Relațiile lui Viète, până la gradul 4 (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un chimist măsoară trei momente în care o concentrație trece prin zero și vrea să știe cât fac, împreună, cele trei momente — fără să le afle pe fiecare în parte. Un fizician are patru poziții de echilibru și are nevoie doar de produsul lor. În amândouă situațiile, informația cerută se citește direct din coeficienți, fără nicio rezolvare. Aici, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), legăturile care fac asta posibil poartă numele lui François Viète, iar tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Capitolul de polinoame face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2: el stă în programa de examen din 2014, valabilă pentru promoțiile examinate în 2027, 2028 și 2029, dar a fost scos din programa de clasa a XII-a aprobată prin OMEC 6930/2025. Cazul cel mai simplu îl cunoști din clasa a IX-a, de la ecuația de gradul al doilea — vezi Relațiile lui Viète. Lecția de față îl duce mai departe, până la gradul $4$ , exact atât cât cere programa de examen.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii cele trei, respectiv cele patru legături dintre rădăcinile unui polinom de gradul al treilea sau al patrulea și coeficienții lui.
Vei ști să ții cont de coeficientul dominant atunci când el nu este $1$ , împărțind fiecare relație la el.
Vei ști să completezi cu zerouri coeficienții termenilor care lipsesc din scrierea polinomului, înainte de a aplica formulele.
Vei ști să calculezi suma pătratelor și suma inverselor rădăcinilor, pornind numai de la coeficienți.
Vei ști să determini un parametru dintr-o condiție pusă asupra rădăcinilor, fără să rezolvi ecuația.
Vei ști să verifici un rezultat recalculând sumele direct din rădăcini, atunci când acestea se pot afla.

Hai să descoperim împreună

1. Ce leagă rădăcinile unui polinom de coeficienții lui?

Fie $f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ , cu $a_{n} \neq = 0$ și $n \leq 4$ , un polinom cu coeficienți reali, iar $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ cele $n$ numere care apar în descompunerea lui în factori de gradul întâi, fiecare scris de câte ori apare acolo.

Relațiile lui Viète sunt egalitățile care exprimă sumele de produse de rădăcini prin rapoarte de coeficienți, cu semne care alternează:

$S_{1} = x_{1} + \dots + x_{n} = - \frac{a _{n - 1}}{a _{n}}, S_{2} = i < j \sum x_{i} x_{j} = \frac{a _{n - 2}}{a _{n}}, S_{3} = i < j < k \sum x_{i} x_{j} x_{k} = - \frac{a _{n - 3}}{a _{n}},$

iar ultima, $S_{n} = x_{1} x_{2} \dots x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a _{0}}{a _{n}}$ . Reține condițiile: coeficientul dominant trebuie să fie nenul, gradul cel mult $4$ , iar rădăcinile se numără toate, inclusiv cele care se repetă.

Denumirea „ $S_{k}$ " se citește simplu: aduni toate produsele de câte $k$ rădăcini luate dintre cele $n$ , fără repetare și fără să conteze ordinea. La gradul al treilea, $S_{2}$ are trei termeni; la gradul al patrulea, șase.

2. De unde vin relațiile?

Din desfacerea produsului, nimic mai mult. Ia un polinom de gradul al treilea, scris în ambele feluri:

$a_{3} X^{3} + a_{2} X^{2} + a_{1} X + a_{0} = a_{3} (X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3}) .$

Desfaci membrul drept, pas cu pas: $(X - x_{1}) (X - x_{2}) = X^{2} - (x_{1} + x_{2}) X + x_{1} x_{2}$ , apoi înmulțești cu $(X - x_{3})$ și obții

$X^{3} - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) X^{2} + (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) X - x_{1} x_{2} x_{3} .$

Înmulțești totul cu $a_{3}$ și compari cu membrul stâng, coeficient cu coeficient. Din poziția lui $X^{2}$ scoți $a_{2} = - a_{3} S_{1}$ , din poziția lui $X$ scoți $a_{1} = a_{3} S_{2}$ , iar din termenul liber $a_{0} = - a_{3} S_{3}$ . Împărțind fiecare egalitate la $a_{3}$ , obții exact relațiile din §1.

Acum vezi și de unde vin semnele alternate: fiecare factor contribuie cu un $- x_{i}$ , iar un produs de $k$ astfel de factori aduce semnul $(- 1)^{k}$ . Nu e o convenție de memorat, ci o consecință a scrierii $X - x_{i}$ .

La gradul al patrulea raționamentul e identic, doar mai lung. Desfacerea produsului $(X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3}) (X - x_{4})$ e, în fond, o înșiruire de alegeri: pentru fiecare dintre cele patru paranteze hotărăști dacă iei nedeterminata sau numărul cu semn schimbat. Un termen în care ai luat numărul de exact $k$ ori arată așa: $(- 1)^{k} x_{i_{1}} \dots x_{i_{k}} X^{4 - k}$ . Aduni toate variantele posibile și, în dreptul puterii $X^{4 - k}$ , îți rămâne exact $(- 1)^{k} S_{k}$ . De aici vine și numărul de termeni ai fiecărei sume: câte moduri sunt de a hotărî pentru care $k$ paranteze iei numărul, adică $C_{4}^{k}$ .

Verificarea aceasta merită făcută o dată cu creionul, la gradul al treilea, fiindcă lasă o urmă: după ce ai văzut de unde iese fiecare semn, nu mai ai nevoie să reții tabelul. Iar dacă la examen te prinde o clipă de îndoială, desfaci în colțul foii $(X - 2) (X + 3) (X - 4)$ și compari semnele cu cele din memorie.

Scrierea în factori de gradul întâi există pentru orice polinom, indiferent cât de urâte sunt rădăcinile — asta garantează valabilitatea relațiilor. Dacă însă vrei să și verifici rezultatul pe rădăcini, ai nevoie de ele efectiv, iar atunci merită să treci întâi prin Rădăcini reale și ecuații polinomiale sau prin descompunerea în factori din lecția despre c.m.m.d.c. și descompunerea în factori.

3. Ce se schimbă când coeficientul dominant nu este $1$ ?

Apare o împărțire, și atât — dar ea e locul în care greșeala se strecoară cel mai ușor. Regula e: fiecare relație are la numitor coeficientul dominant, nu doar prima.

Ia un polinom de gradul al treilea cu $a_{3} = 2$ . Atunci $S_{1} = - \frac{a _{2}}{2}$ , $S_{2} = \frac{a _{1}}{2}$ și $S_{3} = - \frac{a _{0}}{2}$ . Dacă ai împărțit numai prima relație, celelalte două ies duble față de adevăr, iar orice calcul care le folosește — suma pătratelor, de pildă — se strică.

Există și o cale de a scăpa cu totul de împărțiri: împarți polinomul la $a_{n}$ de la început, aducându-l la forma cu coeficient dominant $1$ . Rădăcinile nu se schimbă, fiindcă $f (x) = 0$ și $\frac{1}{a _{n}} f (x) = 0$ sunt condiții echivalente. Dacă alegi drumul acesta, spune-o în rezolvare, ca să se vadă că nu ai uitat coeficientul.

4. Cum arată cele patru relații la gradul al patrulea?

Ia $f = X^{4} - 15 X^{2} + 10 X + 24$ (polinomul acesta rămâne al secțiunii de față; în exemple și în exerciții vei lucra cu altele). Scrie mai întâi toți coeficienții, inclusiv pe cel care lipsește: $a_{4} = 1$ , $a_{3} = 0$ , $a_{2} = - 15$ , $a_{1} = 10$ , $a_{0} = 24$ .

$S_{1} = - \frac{0}{1} = 0, S_{2} = \frac{- 15}{1} = - 15, S_{3} = - \frac{10}{1} = - 10, S_{4} = \frac{24}{1} = 24.$

Cele patru numere spun, în ordine: suma celor patru rădăcini, suma celor șase produse de câte două, suma celor patru produse de câte trei și produsul tuturor. Se poate face și proba, fiindcă polinomul se descompune: $f = (X + 4) (X + 1) (X - 2) (X - 3)$ , deci rădăcinile sunt $- 4$ , $- 1$ , $2$ și $3$ . Într-adevăr, $- 4 - 1 + 2 + 3 = 0$ , iar $(- 4) (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = 24$ .

Observă că proba a fost posibilă numai fiindcă rădăcinile erau simple de aflat. Puterea relațiilor stă exact în cazul contrar: ele funcționează și când rădăcinile nu se pot scrie cu radicali.

5. Ce fac dacă lipsesc termeni din scrierea polinomului?

Îi completezi cu coeficientul $0$ — e cea mai ieftină greșeală de evitat din toată lecția. Ia $g = X^{3} - 31 X - 30$ (și acesta e obiectul secțiunii). Scrierea completă este $g = X^{3} + 0 \cdot X^{2} - 31 X - 30$ , deci $a_{3} = 1$ , $a_{2} = 0$ , $a_{1} = - 31$ , $a_{0} = - 30$ , de unde

$S_{1} = 0, S_{2} = - 31, S_{3} = 30.$

Cine sare peste completare citește greșit „ $a_{2} = - 31$ , deci $S_{1} = 31$ " — un număr care nu are nicio legătură cu polinomul. Regula practică: înainte de orice, scrie coeficienții pe un rând, de la gradul maxim la termenul liber, punând $0$ unde lipsește ceva. Abia apoi aplică formulele.

O observație care ajută la control: $S_{1} = 0$ înseamnă că rădăcinile se compensează, deci ele nu pot fi toate de același semn. Aici, într-adevăr, rădăcinile sunt $- 5$ , $- 1$ și $6$ .

6. Ce sume se pot calcula fără să rezolvi ecuația?

Două sunt cerute des, iar amândouă se obțin din $S_{1}, \dots, S_{n}$ prin câteva rânduri de calcul.

Suma pătratelor. Pornești de la o identitate pe care o știi: pătratul unei sume conține pătratele plus dublul produselor. La trei rădăcini,

$(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}),$

de unde $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ . Formula rămâne aceeași și la patru rădăcini, cu aceeași demonstrație.

Suma inverselor. Aduci fracțiile la același numitor. La trei rădăcini, numitorul comun este $x_{1} x_{2} x_{3} = S_{3}$ , iar numărătorul devine chiar $S_{2}$ :

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} = \frac{x _{2} x _{3} + x _{1} x _{3} + x _{1} x _{2}}{x _{1} x _{2} x _{3}} = \frac{S _{2}}{S _{3}} .$

Condiția $S_{3} \neq = 0$ nu e un detaliu: dacă produsul rădăcinilor e nul, una dintre ele este $0$ și inversul ei nu există. Verific-o înainte de a scrie fracția. La gradul al patrulea, aceeași socoteală dă $\frac{S _{3}}{S _{4}}$ , cu condiția $S_{4} \neq = 0$ .

Reține tiparul, fiindcă se repetă: orice expresie simetrică în rădăcini — care nu se schimbă dacă le permuți între ele — se scrie cu $S_{1}, \dots, S_{n}$ , deci se calculează din coeficienți.

Suma cuburilor se obține pe alt drum, mai scurt decât pare, și merită văzut o dată. Fiecare rădăcină verifică ecuația, deci pentru $f = X^{3} + a X^{2} + b X + c$ avem $x_{i}^{3} = - a x_{i}^{2} - b x_{i} - c$ , pentru fiecare $i$ . Aduni cele trei egalități și obții

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = - a (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) - b S_{1} - 3 c,$

iar în membrul drept nu mai e nimic necunoscut: suma pătratelor o știi din formula de mai sus, $S_{1}$ se citește din coeficienți, iar $3 c$ e un număr. Metoda se numește „coborârea gradului" și funcționează la fel pentru sume de puteri mai mari: înlocuiești mereu puterea cea mai mare folosind chiar ecuația.

Un avertisment de calcul: la o expresie simetrică, verifică întotdeauna dacă rezultatul are sensul pe care îl aștepți. Suma pătratelor a trei numere reale nu poate fi negativă; dacă îți iese negativă, fie ai greșit un semn, fie polinomul are rădăcini care nu sunt reale, iar atunci concluzia e legitimă.

7. Cum determin un parametru dintr-o condiție pusă rădăcinilor?

Aici relațiile se folosesc invers: condiția din enunț se traduce într-o egalitate între $S$ -uri, iar din ea iese parametrul.

Drumul are trei pași, mereu aceiași. Pasul 1: scrii $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ în funcție de parametru, cu grijă la coeficientul dominant. Pasul 2: traduci condiția. „Suma rădăcinilor este $7$ " devine $S_{1} = 7$ ; „două rădăcini sunt opuse" devine „suma lor este $0$ ", deci a treia rădăcină este chiar $S_{1}$ ; „rădăcinile sunt în progresie aritmetică" la gradul al treilea înseamnă că cea din mijloc este $\frac{S _{1}}{3}$ , fiindcă suma celor trei e de trei ori termenul mijlociu. Pasul 3: rezolvi ecuația în parametru și verifici că valoarea găsită chiar dă condiția cerută.

Aplică drumul la exercițiul 14: scrie cele trei relații cu $m$ în ele, tradu condiția, rezolvă — și nu uita pasul al treilea, verificarea.

Pasul al treilea nu e o formalitate. O valoare a parametrului poate să satisfacă egalitatea dintre $S$ -uri și, cu toate acestea, să ducă la un polinom care nu îndeplinește ipoteza suplimentară din enunț — de pildă „rădăcinile sunt reale" sau „rădăcinile sunt pozitive". Relațiile lui Viète nu văd natura rădăcinilor; ele leagă doar niște sume de niște coeficienți. Când enunțul cere ceva despre natura rădăcinilor, acel ceva se verifică separat, la final.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Pentru bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, în capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", rândul „Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 4". Plafonul e scris chiar acolo: gradul 4. De aceea lecția nu urcă mai sus, iar formulele nu se dau pentru un grad $n$ oarecare.

Merită spus și cum arată proba, din sursa cea mai apropiată: modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte, iar materia de algebră a clasei a XII-a stă la Subiectul al II-lea, cu două probleme a câte trei cerințe legate. O precizare de graniță: reconstituirea unei ecuații pornind de la o rădăcină cu radical sau de la una complexă folosește tot relațiile lui Viète, dar se face în lecția următoare despre rădăcini conjugate; în lecția de față, rădăcinile date sunt numere raționale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cele trei relații și proba pe rădăcini

Scrie relațiile lui Viète pentru $f = X^{3} - X^{2} - 32 X + 60$ și verifică-le știind că rădăcinile sunt $- 6$ , $2$ și $5$ .

Rezolvare. Coeficienții sunt $a_{3} = 1$ , $a_{2} = - 1$ , $a_{1} = - 32$ , $a_{0} = 60$ , deci

$S_{1} = - \frac{- 1}{1} = 1, S_{2} = \frac{- 32}{1} = - 32, S_{3} = - \frac{60}{1} = - 60.$

Proba, direct din rădăcini: $- 6 + 2 + 5 = 1$ ✓; $(- 6) \cdot 2 + (- 6) \cdot 5 + 2 \cdot 5 = - 12 - 30 + 10 = - 32$ ✓; $(- 6) \cdot 2 \cdot 5 = - 60$ ✓. Toate trei se potrivesc, deci citirea coeficienților a fost corectă.

Exemplul 2 — Coeficient dominant diferit de $1$

Scrie relațiile lui Viète pentru $f = 2 X^{3} + 2 X^{2} - 32 X - 32$ .

Rezolvare. Aici $a_{3} = 2$ , deci fiecare relație se împarte la $2$ :

$S_{1} = - \frac{2}{2} = - 1, S_{2} = \frac{- 32}{2} = - 16, S_{3} = - \frac{- 32}{2} = 16.$

Control pe cealaltă cale: $f = 2 (X^{3} + X^{2} - 16 X - 16) = 2 (X + 4) (X + 1) (X - 4)$ , deci rădăcinile sunt $- 4$ , $- 1$ și $4$ . Suma lor este $- 1$ ✓, iar produsul $(- 4) (- 1) \cdot 4 = 16$ ✓. Observă că împărțirea polinomului la $2$ nu a schimbat nicio rădăcină.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie, pentru $f = 2 X^{3} + 6 X^{2} - 44 X - 48$ : „ $S_{1} = - \frac{6}{2} = - 3$ , $S_{2} = - 44$ , $S_{3} = 48$ . Atunci suma pătratelor este $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 9 + 88 = 97$ ." Găsește greșelile și dă răspunsul corect.

Rezolvare. Prima relație e bună; a doua și a treia sunt greșite, fiindcă elevul a împărțit la $a_{3} = 2$ doar o dată. Corect: $S_{2} = \frac{- 44}{2} = - 22$ și $S_{3} = - \frac{- 48}{2} = 24$ .

A doua greșeală vine din prima: cu valorile corecte, suma pătratelor este $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 9 - 2 \cdot (- 22) = 9 + 44 = 53$ . Control pe rădăcini, care aici sunt $- 6$ , $- 1$ și $4$ : $36 + 1 + 16 = 53$ ✓. Reține tiparul: o eroare la $S_{2}$ nu rămâne niciodată singură.

Exemplul 4 — Suma pătratelor și suma inverselor, la gradul al patrulea

Pentru $f = X^{4} + 4 X^{3} - 7 X^{2} - 22 X + 24$ , calculează suma pătratelor rădăcinilor și suma inverselor lor.

Rezolvare. Coeficienții: $a_{4} = 1$ , $a_{3} = 4$ , $a_{2} = - 7$ , $a_{1} = - 22$ , $a_{0} = 24$ , deci $S_{1} = - 4$ , $S_{2} = - 7$ , $S_{3} = 22$ , $S_{4} = 24$ .

Suma pătratelor: $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 16 - 2 \cdot (- 7) = 16 + 14 = 30$ .

Suma inverselor: cum $S_{4} = 24 \neq = 0$ , nicio rădăcină nu este nulă, iar rezultatul este $\frac{S _{3}}{S _{4}} = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}$ .

Control pe rădăcini ( $- 4$ , $- 3$ , $1$ , $2$ ): $16 + 9 + 1 + 4 = 30$ ✓ și $- \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{2} = \frac{- 3 - 4 + 12 + 6}{12} = \frac{11}{12}$ ✓.

Exemplul 5 — Trei momente dintr-un experiment

Concentrația unei substanțe, măsurată față de o valoare de referință, este $c (t) = t^{3} - t^{2} - 22 t + 40$ miligrame pe litru, unde $t$ este timpul în ore. Se știe că ecuația $c (t) = 0$ are trei soluții reale. Calculează suma și produsul lor și spune ce se poate deduce despre semnele lor.

Rezolvare. Coeficienții sunt $1$ , $- 1$ , $- 22$ , $40$ , deci $S_{1} = 1$ , $S_{2} = - 22$ , $S_{3} = - 40$ . Suma celor trei soluții este $1$ oră, iar produsul lor este $- 40$ ore la puterea a treia.

Produsul fiind negativ, printre cele trei soluții există un număr impar de valori negative: fie una, fie toate trei. Cum suma lor este pozitivă, varianta „toate trei negative" cade, deci exact una este negativă. Interpretare: numai două dintre cele trei momente au sens fizic, fiindcă timpul se măsoară de la $t = 0$ înainte; al treilea este o soluție a modelului matematic, în afara intervalului de valabilitate. (Într-adevăr, soluțiile sunt $- 5$ , $2$ și $4$ ore.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{4} + 2 X^{3} - 13 X^{2} - 14 X + 24$ , cu rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ .

a) Calculează $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ . b) Calculează $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ . c) Arată că $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} + \frac{1}{x _{4}} = \frac{7}{12}$ .

Rezolvare. Coeficienții sunt $a_{4} = 1$ , $a_{3} = 2$ , $a_{2} = - 13$ , $a_{1} = - 14$ , $a_{0} = 24$ .

a) $S_{1} = - \frac{2}{1} = - 2$ .

b) $S_{4} = \frac{24}{1} = 24$ .

c) Mai avem nevoie de $S_{3} = - \frac{- 14}{1} = 14$ . Cum $S_{4} = 24 \neq = 0$ , suma inverselor este $\frac{S _{3}}{S _{4}} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$ , ceea ce trebuia arătat.

Să exersăm

1. Pentru $f = X^{3} + 2 X^{2} - 19 X - 20$ , calculează $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ și apoi suma pătratelor rădăcinilor.

2. Scrie cele trei relații ale lui Viète pentru $f = X^{3} - 2 X^{2} - 33 X + 90$ .

3. Fie $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ rădăcinile polinomului $f = X^{4} - 8 X^{3} + 9 X^{2} + 38 X - 40$ . Calculează $S_{1}$ și $S_{4}$ , apoi verifică-le știind că rădăcinile sunt $1$ , $- 2$ , $4$ și $5$ .

4. Scrie cele patru relații ale lui Viète pentru $f = X^{4} + 4 X^{3} - X^{2} - 16 X - 12$ .

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{3} + 2 X^{2} - 29 X - 30$ , cu rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ . a) Calculează $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ . b) Calculează $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ . c) Calculează $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}}$ .

6. Scrie cele trei relații ale lui Viète pentru $f = 2 X^{3} + 6 X^{2} - 50 X - 150$ . Atenție la coeficientul dominant.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două polinoame monice de gradul al treilea care au aceleași valori $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ pot avea rădăcini diferite."

8. Pentru $f = X^{3} + X^{2} - 46 X + 80$ , calculează suma inverselor rădăcinilor.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{4} + 5 X^{3} + 5 X^{2} - 5 X - 6$ , cu rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ . a) Calculează $S_{1}$ . b) Calculează $S_{4}$ . c) Calculează $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} + \frac{1}{x _{4}}$ .

10. Scrie relațiile lui Viète pentru $f = 3 X^{3} - 63 X + 60$ , completând întâi coeficienții care lipsesc.

11. (Problemă aplicată.) Trei rezistoare legate în paralel au rezistențele $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ ohmi, iar ele sunt rădăcinile polinomului $f = X^{3} - 11 X^{2} + 34 X - 24$ , toate pozitive. Rezistența echivalentă $R$ verifică $\frac{1}{R} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}}$ . Calculează $R$ folosind relațiile lui Viète și verifică apoi că cele trei rezistențe sunt, într-adevăr, pozitive.

12. Pentru $f = X^{4} + X^{3} - 11 X^{2} - 9 X + 18$ , calculează suma pătratelor rădăcinilor.

13. Revenim la polinomul $f = X^{3} - 2 X^{2} - 33 X + 90$ de la exercițiul 2: cu relațiile scrise acolo, calculează $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ , folosind faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația $f (x) = 0$ .

14. Determină numărul real $m$ pentru care suma rădăcinilor polinomului $f = 2 X^{3} + (m + 4) X^{2} - 7 X + 1$ este egală cu $- 3$ .

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate rădăcinile unui polinom monic de gradul al treilea sunt numere negative, atunci ceilalți trei coeficienți ai lui sunt toți pozitivi."

16. Scrie polinomul de gradul al treilea cu coeficientul dominant $1$ care are rădăcinile $- 2$ , $3$ și $\frac{1}{2}$ , folosind relațiile lui Viète.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{4} + 6 X^{3} + 7 X^{2} - 6 X - 8$ , cu rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ . a) Calculează $S_{1}$ și $S_{2}$ . b) Calculează $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$ . c) Arată că produsul rădăcinilor este negativ și explică ce spune asta despre semnele lor.

18. (Provocare.) Se consideră $f = X^{4} + 4 X^{3} - 7 X^{2} - 34 X - 24$ . a) Scrie cele patru relații ale lui Viète. b) Calculează $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} + \frac{1}{x _{4}}$ . c) Fără să rezolvi ecuația, arată că polinomul are cel puțin o rădăcină negativă.

Răspunsuri și explicații

1. $a_{3} = 1$ , $a_{2} = 2$ , $a_{1} = - 19$ , $a_{0} = - 20$ , deci $S_{1} = - 2$ , $S_{2} = - 19$ , $S_{3} = 20$ . Suma pătratelor: $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 4 + 38 = 42$ . (Rădăcinile sunt $- 5$ , $- 1$ , $4$ : $25 + 1 + 16 = 42$ ✓.)

2. $S_{1} = 2$ , $S_{2} = - 33$ , $S_{3} = - 90$ .

3. $a_{4} = 1$ , $a_{3} = - 8$ , $a_{0} = - 40$ , deci $S_{1} = 8$ și $S_{4} = - 40$ . Verificare din rădăcini: $1 - 2 + 4 + 5 = 8$ ✓ și $1 \cdot (- 2) \cdot 4 \cdot 5 = - 40$ ✓.

4. $a_{4} = 1$ , $a_{3} = 4$ , $a_{2} = - 1$ , $a_{1} = - 16$ , $a_{0} = - 12$ , deci $S_{1} = - 4$ , $S_{2} = - 1$ , $S_{3} = 16$ , $S_{4} = - 12$ .

5. a) $S_{1} = - 2$ . b) $S_{2} = - 29$ , deci $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 4 + 58 = 62$ . c) $S_{3} = 30 \neq = 0$ , deci suma inverselor este $\frac{S _{2}}{S _{3}} = - \frac{29}{30}$ .

6. $a_{3} = 2$ , deci toate se împart la $2$ : $S_{1} = - \frac{6}{2} = - 3$ , $S_{2} = \frac{- 50}{2} = - 25$ , $S_{3} = - \frac{- 150}{2} = 75$ .

7. Fals. Un polinom monic de gradul al treilea se scrie $X^{3} - S_{1} X^{2} + S_{2} X - S_{3}$ , deci cele trei valori îi determină complet coeficienții. Două polinoame cu aceleași $S$ -uri sunt, prin urmare, același polinom, iar rădăcinile lor coincid. Atenție la ipoteza „monice": fără ea, $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ și dublul lui au aceleași $S$ -uri și sunt polinoame diferite — dar au tot aceleași rădăcini.

8. $S_{2} = - 46$ și $S_{3} = - 80 \neq = 0$ , deci suma inverselor este $\frac{- 46}{- 80} = \frac{23}{40}$ .

9. a) $S_{1} = - \frac{5}{1} = - 5$ . b) $S_{4} = \frac{- 6}{1} = - 6$ . c) Mai trebuie $S_{3} = - \frac{- 5}{1} = 5$ ; cum $S_{4} = - 6 \neq = 0$ , suma inverselor este $\frac{S _{3}}{S _{4}} = \frac{5}{- 6} = - \frac{5}{6}$ .

10. Coeficienții completați: $a_{3} = 3$ , $a_{2} = 0$ , $a_{1} = - 63$ , $a_{0} = 60$ . Atunci $S_{1} = 0$ , $S_{2} = \frac{- 63}{3} = - 21$ , $S_{3} = - \frac{60}{3} = - 20$ .

11. $S_{2} = 34$ și $S_{3} = 24 \neq = 0$ , deci $\frac{1}{R} = \frac{S _{2}}{S _{3}} = \frac{34}{24} = \frac{17}{12}$ , de unde $R = \frac{12}{17} \approx 0, 71$ ohmi. Pozitivitatea se arată fără să rezolvi: pentru orice $x \leq 0$ avem $x^{3} \leq 0$ , $- 11 x^{2} \leq 0$ , $34 x \leq 0$ și $- 24 < 0$ , deci $f (x) < 0$ ; prin urmare nicio rădăcină nu poate fi mai mică sau egală cu zero. Control: rădăcinile sunt $1$ , $4$ și $6$ ohmi, iar $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{12 + 3 + 2}{12} = \frac{17}{12}$ ✓. Rezistența echivalentă e mai mică decât cea mai mică dintre cele trei, cum trebuie la o legare în paralel.

12. $S_{1} = - 1$ și $S_{2} = - 11$ , deci suma pătratelor este $1 + 22 = 23$ .

13. Fiecare rădăcină verifică $x^{3} = 2 x^{2} + 33 x - 90$ . Adunând cele trei egalități: $\sum x_{i}^{3} = 2 \sum x_{i}^{2} + 33 S_{1} - 270$ . Cum $S_{1} = 2$ și $S_{2} = - 33$ (exercițiul 2), avem $\sum x_{i}^{2} = 4 + 66 = 70$ , deci $\sum x_{i}^{3} = 140 + 66 - 270 = - 64$ . (Rădăcinile fiind $- 6$ , $3$ , $5$ : $- 216 + 27 + 125 = - 64$ ✓.)

14. Coeficientul dominant este $2$ , deci $S_{1} = - \frac{m + 4}{2}$ . Condiția $S_{1} = - 3$ dă $\frac{m + 4}{2} = 3$ , adică $m + 4 = 6$ și $m = 2$ . Verificare: pentru $m = 2$ , coeficientul lui $X^{2}$ este $6$ , iar $- \frac{6}{2} = - 3$ ✓.

15. Adevărat. Fie rădăcinile negative. Suma lor este negativă, deci $a_{2} = - S_{1} > 0$ . Suma celor trei produse de câte două este pozitivă, fiindcă produsul a două numere negative e pozitiv, deci $a_{1} = S_{2} > 0$ . Produsul celor trei este negativ, ca produs de trei numere negative, deci $a_{0} = - S_{3} > 0$ . Toți trei coeficienții sunt, așadar, pozitivi.

16. $S_{1} = - 2 + 3 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ; $S_{2} = (- 2) \cdot 3 + (- 2) \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = - 6 - 1 + \frac{3}{2} = - \frac{11}{2}$ ; $S_{3} = (- 2) \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = - 3$ . Polinomul este $X^{3} - S_{1} X^{2} + S_{2} X - S_{3} = X^{3} - \frac{3}{2} X^{2} - \frac{11}{2} X + 3$ .

17. a) $S_{1} = - 6$ , $S_{2} = 7$ . b) $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 36 - 14 = 22$ . c) $S_{4} = \frac{- 8}{1} = - 8 < 0$ ; produsul a patru numere fiind negativ, printre ele există un număr impar de valori negative, adică una sau trei. (Rădăcinile sunt $- 4$ , $- 2$ , $- 1$ și $1$ , deci trei dintre ele sunt negative.)

18. a) $a_{4} = 1$ , $a_{3} = 4$ , $a_{2} = - 7$ , $a_{1} = - 34$ , $a_{0} = - 24$ , deci $S_{1} = - 4$ , $S_{2} = - 7$ , $S_{3} = 34$ , $S_{4} = - 24$ . b) $S_{4} \neq = 0$ , deci suma inverselor este $\frac{34}{- 24} = - \frac{17}{12}$ . c) $S_{1} = - 4 < 0$ : dacă toate cele patru rădăcini ar fi nenegative, suma lor ar fi nenegativă. Deci cel puțin una este negativă. (Un al doilea argument, independent: $S_{4} = - 24 < 0$ , deci numărul rădăcinilor negative este impar, în particular nenul.)

De reținut

La un polinom de grad cel mult $4$ , sumele $S_{1}, \dots, S_{n}$ se citesc din coeficienți, cu semn alternat: $S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ .
Semnele alternate nu se memorează: ele vin din faptul că fiecare factor al descompunerii se scrie $X - x_{i}$ .
Coeficientul dominant împarte fiecare relație, nu doar prima; alternativa curată e să aduci polinomul la coeficient dominant $1$ de la început.
Termenii care lipsesc din scriere au coeficientul $0$ și trebuie puși explicit înainte de a aplica formulele.
Orice expresie care nu se schimbă la permutarea rădăcinilor se scrie cu $S_{1}, \dots, S_{n}$ : așa ies $S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ pentru suma pătratelor și $\frac{S _{n - 1}}{S _{n}}$ pentru suma inverselor, ultima cu condiția $S_{n} \neq = 0$ .

Greșeli frecvente

Se împarte la coeficientul dominant o singură dată. La $2 X^{3} + 6 X^{2} - 44 X - 48$ , $S_{2}$ este $- 22$ , nu $- 44$ . Controlul rapid: dacă $a_{n} \neq = 1$ , numără câte fracții ai scris — trebuie să fie tot atâtea câte relații.
Se sare peste coeficienții nuli. În $X^{3} - 31 X - 30$ , coeficientul lui $X^{2}$ este $0$ , nu $- 31$ . Scrie întâi șirul complet al coeficienților, apoi aplică formulele.
Se greșește semnul lui $S_{3}$ la gradul al treilea. Produsul rădăcinilor este $- \frac{a _{0}}{a _{3}}$ , nu $\frac{a _{0}}{a _{3}}$ ; la gradul al patrulea, dimpotrivă, semnul este plus. Regula $(- 1)^{k}$ decide, nu memoria.
Se scrie suma inverselor fără a verifica $S_{n} \neq = 0$ . Dacă produsul rădăcinilor este $0$ , una dintre ele este nulă și expresia nu are sens. Verificarea durează o secundă și se face prima.
Se confundă numărul de termeni ai lui $S_{k}$ . La gradul al patrulea, $S_{2}$ are șase termeni, nu patru. Numărul lor este $C_{n}^{k}$ , iar o sumă cu prea puțini termeni dă mereu un rezultat prea mic.

Aplică acasă

Ia trei numere întregi la alegere, formează polinomul monic care le are ca rădăcini și verifică, prin desfacerea produsului, că cele trei relații se potrivesc. Repetă cu un al patrulea număr adăugat și compară cât a crescut $S_{2}$ ca număr de termeni.
Caută în manualul de fizică o mărime care depinde de trei valori prin suma inverselor lor (de exemplu, capacitățile legate în serie). Scrie un polinom de gradul al treilea cu rădăcini pozitive și calculează, cu Viète, expresia corespunzătoare; verifică apoi direct, cu rădăcinile.
Timp de o săptămână, notează zilnic câte un polinom de gradul al treilea sau al patrulea și cele două numere: suma pătratelor și suma inverselor. La final, numără de câte ori ai uitat să completezi un coeficient nul.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei deprinderi. Prima, citirea corectă a coeficienților: cu semn, cu coeficient dominant, cu zerourile puse la locul lor. A doua, traducerea unei cerințe într-o expresie simetrică: „suma pătratelor", „suma inverselor", „produsul este negativ" devin combinații de $S_{1}, \dots, S_{n}$ . A treia, controlul: când rădăcinile se pot afla, rezultatul se recalculează direct din ele.

Întrebări de control: „De ce apare semnul minus la $S_{1}$ și plus la $S_{2}$ ?", „Ce se schimbă dacă înmulțești tot polinomul cu $5$ ?", „Când nu are sens să ceri suma inverselor rădăcinilor?". Semne că a înțeles: scrie șirul complet al coeficienților înainte de orice calcul; împarte la coeficientul dominant în toate relațiile deodată; verifică $S_{n} \neq = 0$ înainte de a scrie o fracție cu rădăcini la numitor.

Programa și examenul. Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureat M2 2027–2029: relațiile lui Viète sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la rândul „Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 4", pe când programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu le mai cuprinde. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea, cu plafonul explicit „grad cel mult 4". Pentru generația care intră pe programa nouă, polinoamele se studiază mai devreme în liceu, cu coeficienți reali. La proba MAT_P2 din 2030 relațiile lui Viète nu figurează în programa de examen: pentru acea generație lecția rămâne lectură suplimentară, nu materie de probă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce spun, în două rânduri, relațiile lui Viète? Că sumele de produse de rădăcini, luate câte una, câte două, câte trei și așa mai departe, sunt rapoarte de coeficienți, cu semn alternat. Practic: afli suma, produsul și combinațiile intermediare fără să rezolvi ecuația, ceea ce e util mai ales când rădăcinile nu se pot scrie simplu.

Cu ce diferă tema aceasta la M2 față de mate-info (M1)? Prin plafon și prin anul de studiu. La științe ale naturii relațiile se dau până la gradul 4, cât cere programa de examen, și se aplică pe polinoame cu coeficienți reali. La mate-info ele se scriu pentru un grad $n$ oarecare, încă din clasa a X-a. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: relațiile lui Viète pentru grad $n$ .

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2? Materia de algebră a clasei a XII-a stă la Subiectul al II-lea. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, acest subiect are două probleme, fiecare cu trei cerințe legate — un format care se potrivește cu tema: o cerință pentru o sumă simplă, una pentru o expresie derivată, una pentru o concluzie despre rădăcini.

Trebuie să știu rădăcinile ca să folosesc relațiile? Nu, și tocmai asta le face valoroase. Formulele leagă coeficienții de rădăcini fără să ceară aflarea lor. Dacă totuși rădăcinile se pot determina ușor — cum se întâmplă în exercițiile de aici —, folosește-le pentru verificare, nu pentru rezolvare: e cel mai rapid control al unui răspuns.

Ce fac dacă polinomul are rădăcini care nu sunt reale? Relațiile rămân adevărate, fiindcă ele vin din descompunerea în factori de gradul întâi, care există întotdeauna. Ce se schimbă e interpretarea: o sumă de pătrate de rădăcini poate ieși negativă, iar afirmațiile despre semne își pierd sensul. Verifică, deci, ce tip de rădăcini are ecuația înainte de a trage concluzii despre pozitiv și negativ.

Cum îmi dau seama repede dacă am greșit un semn? Ia un polinom cu rădăcini evidente, de pildă unul deja descompus, și compară. Dacă nu ai la îndemână așa ceva, verifică măcar coerența: la un polinom monic de gradul al treilea, $S_{1}$ are semn opus coeficientului lui $X^{2}$ , iar $S_{3}$ are semn opus termenului liber.

Pot folosi relațiile ca să reconstitui o ecuație din rădăcini? Da, și e chiar drumul invers, făcut în exercițiul 16: calculezi $S_{1}, \dots, S_{n}$ din rădăcinile date și scrii $X^{n} - S_{1} X^{n - 1} + S_{2} X^{n - 2} - \dots$ . Polinomul obținut are coeficientul dominant $1$ ; oricare altul cu aceleași rădăcini se obține înmulțindu-l cu o constantă nenulă. Când rădăcinile date conțin un radical sau sunt numere complexe, apare o condiție în plus, tratată în lecția despre rădăcini conjugate.