Sume și produse, la orice grad: pe scurt

Relațiile lui Viète nu se opresc la gradul al treilea: pentru un polinom $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ cu rădăcinile $x_1,\dots ,x_n$, sumele simetrice fundamentale $S_1,\dots ,S_n$ (suma rădăcinilor, suma produselor de câte două, …, produsul tuturor) verifică formula unică $S_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$. Tiparul semnelor alternante și numărătorul care coboară prin coeficienți se păstrează la orice grad; demonstrația e simplă identificare de coeficienți între $f$ și descompunerea canonică $a_n(X-x_1)\cdots (X-x_n)$. Fiecare $S_k$ are exact $C_n^k$ termeni, iar coeficienții lipsă din polinom se tratează ca fiind $0$, nu ca inexistenți — o capcană frecventă.

Consecințele practice sunt identice cu cele de la gradul al treilea: suma pătratelor rădăcinilor este $S_1^2-2S_2$ (poate fi negativă dacă unele rădăcini sunt complexe), iar suma inverselor este $\frac{S_{n-1}}{S_n}$, cu condiția obligatorie $a_0\ne 0$ — altfel $0$ este rădăcină și expresia nu are sens. Pentru puteri mai mari (cuburi, puterea a patra), tehnica rămâne aceeași: fiecare rădăcină verifică ecuația, deci scrii relația pentru fiecare și le aduni. Problema inversă — reconstruirea polinomului monic din sumele $S_1,\dots ,S_n$ — se scrie direct: $X^n-S_1{X}^{n-1}+S_2{X}^{n-2}-\cdots +(-1{)}^n{S}_n$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $x_1,x_2,x_3,x_4$ rădăcinile ecuației $X^4-5X^3+5X^2+5X-6=0$. Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$.

   • a) $15$
   • b) $25$
   • c) $10$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $15$

   Din Viète: $S_1=5$, $S_2=5$, deci suma pătratelor este $S_1^2-2S_2=25-10=15$. Rădăcinile sunt $1,-1,2,3$: direct $1+1+4+9=15$. ✓

2. Pentru aceeași ecuație $X^4-5X^3+5X^2+5X-6=0$, calculați $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}$.

   • a) $-\frac{5}{6}$
   • b) $\frac{5}{6}$
   • c) $\frac{6}{5}$
   • d) $\frac{5}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{5}{6}$

   Se calculează $S_3=-5$ și $S_4=-6$ din rădăcinile $1,-1,2,3$. Termenul liber este nenul, deci suma inverselor este $\frac{S_3}{S_4}=\frac{-5}{-6}=\frac{5}{6}$. Direct: $1-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$. ✓

3. Fie $f=X^5-2X^4+3X^3-X-5$, cu rădăcinile $x_1,\dots ,x_5$. Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2$.

   • a) $4$
   • b) $10$
   • c) $-2$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-2$

   Coeficientul lui $X^2$ este $0$, deci $S_2=3$ vine doar din termenul în $X^3$: $S_1=2$, $S_2=3$. Suma pătratelor este $S_1^2-2S_2=4-6=-2$ — negativă, semn că unele rădăcini sunt complexe.