Relațiile lui Viète pentru polinoame de grad n

O fabrică de piese metalice primește o comandă neobișnuită: patru bare, cu lungimi diferite, care împreună să însumeze $10$ metri, iar produsul lungimilor să fie exact $24$. Inginerul nu primește lungimile, ci doar aceste condiții globale — sume și produse. Întrebarea firească este dacă informația e suficientă și, mai ales, cum se transformă ea în numere concrete. Răspunsul trece printr-un polinom: cele patru lungimi sunt exact rădăcinile unui polinom ai cărui coeficienți se citesc din condițiile date.

Aceasta e ideea pe care François Viète a formulat-o în secolul al XVI-lea și pe care ai folosit-o deja la gradul al doilea și al treilea. Vestea bună a acestei lecții e că relațiile nu se opresc la gradul $3$: ele au o formă generală, valabilă la orice grad, cu un tipar simplu de memorat. Vestea și mai bună e că, odată scrise, ele îți permit să calculezi suma pătratelor rădăcinilor, suma inverselor lor sau suma cuburilor fără să rezolvi ecuația — un lucru esențial, pentru că de la gradul $5$ încolo nu există formulă generală de rezolvare prin radicali.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești sumele simetrice fundamentale $S_1,S_2,\dots ,S_n$ ale rădăcinilor unui polinom.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi relațiile lui Viète pentru un polinom de grad $n$ oarecare.
• Vei ști să scrii rapid relațiile la gradul al patrulea și al cincilea, cu semnele corecte.
• Vei ști să calculezi suma pătratelor rădăcinilor cu formula $\sum x_i^2=S_1^2-2S_2$.
• Vei ști să calculezi suma inverselor rădăcinilor, cu condiția de existență care o însoțește.
• Vei ști să afli suma cuburilor rădăcinilor folosind faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.
• Vei ști să rezolvi problema inversă: să construiești polinomul când cunoști sumele simetrice.

Hai să descoperim împreună

1. De unde plecăm

La Relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al treilea ai scris, pentru $a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$:

$$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}.$$

Privește tiparul, nu formulele: semnele alternează ($-,+,-$), la numitor stă mereu coeficientul dominant $a$, iar la numărător coeficienții se iau în ordine, coborând. Exact acest tipar se păstrează la orice grad. Ce trebuie definit cu grijă este ce anume se adună la fiecare pas.

2. Sumele simetrice fundamentale

Fie $x_1,x_2,\dots ,x_n$ rădăcinile (scrise cu tot cu multiplicitatea lor) ale unui polinom de grad $n$. Definim:

• $S_1=x_1+x_2+\cdots +x_n$ — suma rădăcinilor;
• $S_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n$ — suma tuturor produselor de câte două rădăcini distincte ca poziție;
• $S_3=$ suma tuturor produselor de câte trei rădăcini;
• …
• $S_n=x_1{x}_2\cdots x_n$ — produsul tuturor rădăcinilor.

Numerele $S_1,S_2,\dots ,S_n$ se numesc sumele simetrice fundamentale ale rădăcinilor. „Simetrice" pentru că valoarea lor nu se schimbă dacă rearanjezi rădăcinile între ele: $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$ arată la fel oricum ai renumerota.

Câți termeni are fiecare sumă? $S_k$ adună toate grupele de câte $k$ rădăcini alese dintre cele $n$, fără să conteze ordinea — adică exact $C_n^k$ termeni. La gradul $4$: $S_1$ are $C_4^1=4$ termeni, $S_2$ are $C_4^2=6$, $S_3$ are $C_4^3=4$, iar $S_4$ are $C_4^4=1$. Verificarea numărului de termeni e primul lucru pe care îl faci după ce scrii $S_2$ la gradul $4$: dacă n-ai șase produse, ai uitat unul.

3. Relațiile lui Viète, forma generală

Teoremă (relațiile lui Viète). Fie polinomul $f=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$, cu $a_n\ne 0$ și coeficienți complecși, având rădăcinile $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Atunci, pentru orice $k\in \{1,2,\dots ,n\}$:

$$S_k=(-1{)}^k\cdot \frac{a_{n-k}}{a_n}.$$

Scrisă pe rânduri, pentru primele valori și pentru ultima:

$$S_1=-\frac{a_{n-1}}{a_n},S_2=\frac{a_{n-2}}{a_n},S_3=-\frac{a_{n-3}}{a_n},\dots ,S_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}.$$

Demonstrație. Din Teorema fundamentală a algebrei. Descompunerea canonică știm că $f$ se scrie ca produs de factori de gradul întâi:

$$f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n).$$

Desfacem parantezele. Fiecare termen al produsului se obține alegând, din fiecare paranteză, fie $X$, fie $-x_i$. Dacă alegem $-x_i$ din exact $k$ paranteze (și $X$ din celelalte $n-k$), obținem un termen de forma

$$(-1{)}^k\cdot x_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_k}\cdot X^{n-k}.$$

Adunând peste toate alegerile posibile de $k$ paranteze, coeficientul lui $X^{n-k}$ în produsul de paranteze este $(-1{)}^k{S}_k$, iar în $f$ este $a_n\cdot (-1{)}^k{S}_k$. Pe de altă parte, coeficientul lui $X^{n-k}$ în $f$ este, prin definiție, $a_{n-k}$. Două polinoame egale au coeficienții egali, deci

$$a_n(-1{)}^k{S}_k=a_{n-k}⟹S_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}.■$$

Reține mecanismul, nu doar rezultatul: relațiile lui Viète sunt pur și simplu identificarea coeficienților între forma dezvoltată și forma descompusă a aceluiași polinom.

4. Cum arată la gradul 4 și la gradul 5

Pentru $f=a{X}^4+b{X}^3+c{X}^2+dX+e$ cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3,x_4$:

$$S_1=x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a},S_2=\sum _{i<j}{x}_i{x}_j=\frac{c}{a},$$

$$S_3=x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-\frac{d}{a},S_4=x_1{x}_2{x}_3{x}_4=\frac{e}{a}.$$

Pentru $f=a{X}^5+b{X}^4+c{X}^3+d{X}^2+eX+g$ semnele continuă să alterneze:

$$S_1=-\frac{b}{a},S_2=\frac{c}{a},S_3=-\frac{d}{a},S_4=\frac{e}{a},S_5=-\frac{g}{a}.$$

Atenție la coeficienții lipsă. Dacă un monom nu apare, coeficientul lui este $0$, nu „nimic". În $X^5-3X^4+2X^3+X-7$ termenul cu $X^2$ lipsește, deci $d=0$ și $S_3=0$. Aceasta este greșeala numărul unu la examen: se sare peste coeficientul nul și toate relațiile se decalează cu o poziție.

5. Suma pătratelor rădăcinilor

Cea mai folosită consecință. Pornim de la identitatea pătratului unei sume:

$$(x_1+x_2+\cdots +x_n{)}^2=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2+2\sum _{i<j}{x}_i{x}_j.$$

Recunoști în stânga $S_1^2$, iar în ultimul termen din dreapta $2S_2$. Deci:

$$\boxed{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=S_1^2-2S_2}$$

Formula funcționează la orice grad și e valabilă și în $\mathbb{C}$ — la fel ca la Relațiile lui Viète în mulțimea numerelor complexe, unde ai întâlnit-o pentru două rădăcini.

Un avertisment important: în $\mathbb{C}$ suma pătratelor poate fi negativă sau chiar nereală. Pentru $2X^3-4X^2+6X-10$ avem $S_1=2$, $S_2=3$, deci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4-6=-2$. Nu e nicio greșeală: două dintre rădăcini sunt complexe, iar pătratele lor nu mai sunt numere pozitive.

6. Suma inverselor rădăcinilor

Aducem la același numitor suma $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}$. Numitorul comun este produsul tuturor rădăcinilor, adică $S_n$; la numărător, fiecare fracție contribuie cu produsul celorlalte $n-1$ rădăcini, iar suma tuturor acestor produse este exact $S_{n-1}$:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}=\frac{S_{n-1}}{S_n}.$$

Condiția de existență, obligatorie în redactare: formula are sens doar dacă nicio rădăcină nu este nulă, adică dacă $S_n\ne 0$ — echivalent, dacă $a_0\ne 0$. Într-adevăr, $x=0$ este rădăcină exact atunci când termenul liber este nul. Scrie această verificare înaintea calculului; baremele o punctează separat.

Exprimată direct în coeficienți, la orice grad, relația devine $\sum \frac{1}{x_i}=-\frac{a_1}{a_0}$ — merită memorată în această formă scurtă, dar deducerea prin $S_{n-1}/S_n$ e cea pe care o scrii la examen.

7. Suma cuburilor: folosește ecuația, nu formule exotice

Pentru puteri mai mari există o metodă simplă și sigură, valabilă mereu: fiecare rădăcină verifică ecuația. Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile lui $x^3-2x^2+3x-4=0$. Atunci, pentru fiecare $i$:

$$x_i^3-2x_i^2+3x_i-4=0⟹x_i^3=2x_i^2-3x_i+4.$$

Adunăm cele trei egalități:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=2\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-3\left(x_1+x_2+x_3\right)+12.$$

Aici $S_1=2$, $S_2=3$, deci suma pătratelor este $2^2-2\cdot 3=-2$, iar suma cuburilor devine $2\cdot (-2)-3\cdot 2+12=-4-6+12=2$.

Observă cele două detalii care aduc punctele: constanta $4$ se adună de trei ori (o dată pentru fiecare rădăcină), iar suma pătratelor se calculează separat, cu formula din secțiunea 5. Metoda coboară orice putere: ai $x^4$? Înmulțește relația cu $x_i$ și repetă.

8. Problema inversă: din sume, înapoi la polinom

Relațiile se citesc și invers. Dacă vrei un polinom monic (cu $a_n=1$) de grad $n$ ale cărui rădăcini au sumele simetrice $S_1,S_2,\dots ,S_n$, îl scrii direct:

$$f=X^n-S_1{X}^{n-1}+S_2{X}^{n-2}-\cdots +(-1{)}^n{S}_n.$$

De exemplu, un polinom monic de gradul al treilea cu $S_1=6$, $S_2=11$, $S_3=6$ este $X^3-6X^2+11X-6$, ale cărui rădăcini sunt $1$, $2$ și $3$ (verifică prin înlocuire).

Revenind la barele din deschidere: patru lungimi cu suma $10$ și produsul $24$ nu sunt încă determinate — mai sunt necesare $S_2$ și $S_3$. Dacă comanda cere și $S_2=35$, $S_3=50$, polinomul este $X^4-10X^3+35X^2-50X+24$, iar lungimile sunt $1$, $2$, $3$ și $4$ metri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate relațiile la gradul al patrulea

Scrieți relațiile lui Viète pentru $f=X^4-10X^3+35X^2-50X+24$ și verificați-le știind că rădăcinile sunt $1,2,3,4$.

Rezolvare. Aici $a_4=1$, $a_3=-10$, $a_2=35$, $a_1=-50$, $a_0=24$. Deci:

$$S_1=-\frac{-10}{1}=10,S_2=\frac{35}{1}=35,S_3=-\frac{-50}{1}=50,S_4=\frac{24}{1}=24.$$

Verificare directă cu rădăcinile: $1+2+3+4=10$ ✓; $1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 4+2\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 4=2+3+4+6+8+12=35$ ✓ (șase termeni, cât $C_4^2$); $1\cdot 2\cdot 3+1\cdot 2\cdot 4+1\cdot 3\cdot 4+2\cdot 3\cdot 4=6+8+12+24=50$ ✓; $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$ ✓.

Exemplul 2 — Suma pătratelor și suma inverselor

Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile lui $2x^3-4x^2+6x-10=0$. Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ și $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.

Rezolvare. Din Viète: $S_1=-\frac{-4}{2}=2$, $S_2=\frac{6}{2}=3$, $S_3=-\frac{-10}{2}=5$.

Suma pătratelor: $S_1^2-2S_2=4-6=-2$. (Rezultat negativ, deci cel puțin două rădăcini sunt complexe — corect.)

Suma inverselor: termenul liber este $-10\ne 0$, deci nicio rădăcină nu e nulă și formula are sens:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{S_2}{S_3}=\frac{3}{5}.$$

Exemplul 3 — Grad 5, cu un coeficient lipsă

Fie $f=X^5-3X^4+2X^3+X-7$ cu rădăcinile $x_1,\dots ,x_5$. Calculați $S_1,\dots ,S_5$, apoi $\sum x_i^2$ și $\sum \frac{1}{x_i}$.

Rezolvare. Scriem toți coeficienții, inclusiv cel nul: $a_5=1$, $a_4=-3$, $a_3=2$, $a_2=0$, $a_1=1$, $a_0=-7$.

$$S_1=3,S_2=2,S_3=-\frac{0}{1}=0,S_4=\frac{1}{1}=1,S_5=-\frac{-7}{1}=7.$$

Suma pătratelor: $S_1^2-2S_2=9-4=5$. Suma inverselor: $a_0=-7\ne 0$, deci

$$\sum _{i=1}^5\frac{1}{x_i}=\frac{S_4}{S_5}=\frac{1}{7}.$$

Exemplul 4 — Suma cuburilor

Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-2x^2+3x-4=0$. Calculați $x_1^3+x_2^3+x_3^3$.

Rezolvare. Viète dă $S_1=2$, $S_2=3$, $S_3=4$, deci $\sum x_i^2=2^2-2\cdot 3=-2$.

Fiecare rădăcină verifică ecuația: $x_i^3=2x_i^2-3x_i+4$. Sumând pentru $i=1,2,3$:

$$\sum x_i^3=2\sum x_i^2-3\sum x_i+3\cdot 4=2(-2)-3\cdot 2+12=-4-6+12=2.$$

Exemplul 5 — Problema inversă

Determinați polinomul monic de gradul al treilea ale cărui rădăcini $x_1,x_2,x_3$ satisfac $S_1=6$, $S_2=11$, $S_3=6$. Aflați apoi rădăcinile.

Rezolvare. Polinomul monic se scrie direct cu semne alternate:

$$f=X^3-S_1{X}^2+S_{2}X-S_3=X^3-6X^2+11X-6.$$

Căutăm rădăcinile printre divizorii termenului liber: $f(1)=1-6+11-6=0$, deci $X=1$ este rădăcină. Împărțind, $f=(X-1)(X^2-5X+6)=(X-1)(X-2)(X-3)$. Rădăcinile sunt $1,2,3$ — și, într-adevăr, $1+2+3=6$, $1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=11$, $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f=X^4+2X^3-3X^2+X-5$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3,x_4$. a) Calculați $x_1+x_2+x_3+x_4$. b) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$. c) Calculați $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}$.

Rezolvare. Coeficienții: $a_4=1$, $a_3=2$, $a_2=-3$, $a_1=1$, $a_0=-5$. Relațiile lui Viète:

$$S_1=-2,S_2=-3,S_3=-1,S_4=-5.$$

a) $x_1+x_2+x_3+x_4=S_1=-2$.

b) $\sum x_i^2=S_1^2-2S_2=(-2{)}^2-2(-3)=4+6=10$.

c) Termenul liber este $-5\ne 0$, deci nicio rădăcină nu este nulă și

$$\sum _{i=1}^4\frac{1}{x_i}=\frac{S_3}{S_4}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}.$$

Să exersăm

Scrie de fiecare dată, înainte de calcul, lista completă a coeficienților — inclusiv cei nuli. La suma inverselor, verifică întâi că termenul liber este nenul.

1. Scrie relațiile lui Viète pentru $f=X^4-7X^3+5X^2+2X-8$.

2. Câți termeni are $S_3$ pentru un polinom de gradul al cincilea? Dar $S_2$?

3. Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile lui $x^3-4x^2+5x-2=0$. Calculează $S_1$, $S_2$, $S_3$.

4. Pentru polinomul de la exercițiul 3, calculează $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

5. Fie $x_1,x_2,x_3,x_4$ rădăcinile lui $X^4-10X^3+35X^2-50X+24$. Calculează $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}$.

6. Scrie relațiile lui Viète pentru $f=3X^4-6X^2+9$. Atenție la coeficienții lipsă.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice polinom de gradul al patrulea cu coeficienți reali, suma pătratelor rădăcinilor este un număr pozitiv."

8. Determină polinomul monic de gradul al patrulea cu $S_1=0$, $S_2=-5$, $S_3=0$, $S_4=4$. Ce ecuație recunoști?

9. Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile lui $2x^3+3x^2-x+6=0$. Calculează suma și produsul rădăcinilor, apoi suma pătratelor.

10. Fie $x_1,\dots ,x_5$ rădăcinile lui $X^5+2X^4-X^2+3$. Calculează $S_1,S_2,S_3,S_4,S_5$.

11. Pentru polinomul de la exercițiul 10, calculează $\sum x_i^2$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă termenul liber al unui polinom este $0$, atunci suma inverselor rădăcinilor este $0$."

13. Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile lui $x^3-3x^2+2x-5=0$. Calculează $x_1^3+x_2^3+x_3^3$.

14. (Problemă aplicată.) Trei rezistențe montate într-un circuit au valorile $x_1,x_2,x_3$ (în ohmi), rădăcinile ecuației $x^3-12x^2+44x-48=0$. Rezistența echivalentă la montajul în paralel se calculează din $\frac{1}{R}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$. Află $R$ fără să rezolvi ecuația.

15. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât suma rădăcinilor polinomului $f=2X^4+(m-3)X^3+X-1$ să fie egală cu $4$.

16. Fie $x_1,x_2,x_3,x_4$ rădăcinile lui $X^4-2X^3-X^2+2X$. Calculează $S_1$, $S_4$ și explică de ce suma inverselor nu se poate calcula.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f=X^3-5X^2+6X-1$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$. a) Calculați $x_1+x_2+x_3$. b) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. c) Calculați $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.

18. (Provocare.) Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile lui $x^3-x-1=0$. Calculează $x_1^4+x_2^4+x_3^4$. (Indicație: din $x^3=x+1$ obții $x^4=x^2+x$.)

Răspunsuri și explicații

1. $a_4=1$, $a_3=-7$, $a_2=5$, $a_1=2$, $a_0=-8$. Deci $S_1=7$, $S_2=5$, $S_3=-2$, $S_4=-8$.

2. $S_3$ are $C_5^3=10$ termeni, iar $S_2$ are $C_5^2=10$ termeni. (Egalitatea nu e întâmplătoare: $C_5^3=C_5^2$, prin formula combinărilor complementare.)

3. $S_1=-\frac{-4}{1}=4$, $S_2=\frac{5}{1}=5$, $S_3=-\frac{-2}{1}=2$. (Rădăcinile sunt $1$, $1$ și $2$ — poți verifica: $1+1+2=4$ ✓.)

4. $S_1^2-2S_2=16-10=6$. Verificare cu rădăcinile $1,1,2$: $1+1+4=6$ ✓.

5. $S_3=50$, $S_4=24$, termenul liber e nenul, deci suma inverselor este $\frac{50}{24}=\frac{25}{12}$. Verificare cu rădăcinile $1,2,3,4$: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$ ✓.

6. Coeficienții completați: $a_4=3$, $a_3=0$, $a_2=-6$, $a_1=0$, $a_0=9$. Atunci $S_1=0$, $S_2=-2$, $S_3=0$, $S_4=3$.

7. Fals. Suma pătratelor este $S_1^2-2S_2$ și poate fi negativă. Contraexemplu: $X^4+5X^2+6$ are $S_1=0$, $S_2=5$, deci $\sum x_i^2=-10$. (Toate rădăcinile sunt pur imaginare, iar pătratele lor sunt negative.)

8. $f=X^4-0\cdot X^3+(-5)X^2-0\cdot X+4=X^4-5X^2+4$. Este o ecuație bipătrată, cu rădăcinile $\pm 1$ și $\pm 2$ — se vede imediat că $S_1=0$ și $S_4=1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)=4$ ✓.

9. $S_1=-\frac{3}{2}$, $S_2=-\frac{1}{2}$, $S_3=-\frac{6}{2}=-3$. Suma pătratelor: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2-2\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$.

10. Coeficienții: $a_5=1$, $a_4=2$, $a_3=0$, $a_2=-1$, $a_1=0$, $a_0=3$. Deci $S_1=-2$, $S_2=0$, $S_3=1$, $S_4=0$, $S_5=-3$.

11. $\sum x_i^2=S_1^2-2S_2=4-0=4$.

12. Fals. Dacă termenul liber este $0$, atunci $x=0$ este rădăcină, deci $\frac{1}{x_i}$ nu are sens pentru acea rădăcină: suma inverselor nu există, nu este zero. Formula $\frac{S_{n-1}}{S_n}$ ar avea numitorul $S_n=0$.

13. $S_1=3$, $S_2=2$, $S_3=5$, deci $\sum x_i^2=9-4=5$. Din ecuație, $x_i^3=3x_i^2-2x_i+5$, deci $\sum x_i^3=3\cdot 5-2\cdot 3+3\cdot 5=15-6+15=24$.

14. $S_2=44$, $S_3=48$, termenul liber nenul, deci $\frac{1}{R}=\frac{44}{48}=\frac{11}{12}$, de unde $R=\frac{12}{11}\approx 1,09$ ohmi. (Rezistențele sunt, de fapt, $2$, $4$ și $6$ ohmi.)

15. $S_1=-\frac{m-3}{2}=4\Rightarrow m-3=-8\Rightarrow m=-5$.

16. $S_1=2$, $S_4=\frac{0}{1}=0$. Produsul rădăcinilor fiind $0$, una dintre ele este $0$ (chiar se vede: $X$ se dă factor comun), deci inversul ei nu există și suma inverselor nu se poate calcula.

17. a) $S_1=5$. b) $S_2=6$, deci $\sum x_i^2=25-12=13$. c) $S_3=1\ne 0$, deci $\frac{S_2}{S_3}=\frac{6}{1}=6$.

18. Coeficienții: $a_3=1$, $a_2=0$, $a_1=-1$, $a_0=-1$, deci $S_1=0$, $S_2=-1$, $S_3=1$. Atunci $\sum x_i^2=0-2(-1)=2$. Din $x_i^3=x_i+1$, înmulțind cu $x_i$: $x_i^4=x_i^2+x_i$. Sumând: $\sum x_i^4=\sum x_i^2+\sum x_i=2+0=2$.

De reținut

• Sumele simetrice fundamentale: $S_1$ = suma rădăcinilor, $S_2$ = suma produselor de câte două, …, $S_n$ = produsul tuturor. $S_k$ are $C_n^k$ termeni.
• Relațiile lui Viète, forma generală: $S_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$ — semnele alternează, iar la numitor stă mereu coeficientul dominant.
• Ele se obțin prin identificarea coeficienților între forma dezvoltată și descompunerea canonică $f=a_n(X-x_1)\cdots (X-x_n)$.
• Suma pătratelor: $\sum x_i^2=S_1^2-2S_2$; în $\mathbb{C}$ rezultatul poate fi negativ.
• Suma inverselor: $\sum \frac{1}{x_i}=\frac{S_{n-1}}{S_n}$, cu condiția obligatorie $a_0\ne 0$; pentru puteri mai mari (cuburi, puterea a patra) folosești faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.

Greșeli frecvente

• Coeficienții lipsă tratați ca inexistenți. În $X^5-3X^4+2X^3+X-7$, coeficientul lui $X^2$ este $0$; dacă îl sari, toate relațiile se decalează. Scrie mereu lista completă înainte de calcul.
• Semnele greșite. $S_1$ are minus, $S_2$ are plus, $S_3$ are minus… Verifică-le prin formula $(-1{)}^k$, nu din memorie.
• Uitarea împărțirii la $a_n$. Când polinomul nu e monic, fiecare relație are numitor. Pentru $2x^3-4x^2+\dots$ suma rădăcinilor este $2$, nu $4$.
• Suma inverselor fără verificarea $a_0\ne 0$. Dacă termenul liber este nul, o rădăcină este $0$ și suma inverselor nu există — nu este zero.
• Numărul greșit de termeni în $S_2$ la gradul 4. Trebuie șase produse ($C_4^2=6$); mulți scriu doar patru și pierd rezultatul.

Aplică acasă

1. Verificarea cu rădăcini alese de tine. Alege patru numere întregi mici (de exemplu $-2,1,3,5$), formează polinomul $(X+2)(X-1)(X-3)(X-5)$ desfăcând parantezele pe caiet, apoi verifică toate cele patru relații ale lui Viète pe coeficienții obținuți. Este cel mai rapid mod de a-ți fixa semnele.

2. Cu foaia de calcul. Într-un tabel electronic, pune pe primul rând rădăcinile $x_1,\dots ,x_4$ și scrie formule pentru $S_1,S_2,S_3,S_4$. Schimbă rădăcinile și urmărește cum se modifică sumele — apoi compară cu coeficienții polinomului format.

3. Circuitul din casă. Ia trei becuri cu puteri diferite din locuință și calculează rezistențele lor ($R=U^2/P$, cu $U=230$ volți). Formează polinomul monic care are aceste rezistențe ca rădăcini și verifică, prin relațiile lui Viète, suma inverselor — adică inversul rezistenței echivalente la montajul în paralel.

Pentru părinți și profesori

Lecția generalizează la grad oarecare relațiile lui Viète cunoscute de la gradul al doilea și al treilea. Miza reală nu este memorarea formulelor, ci înțelegerea faptului că legătura dintre coeficienți și rădăcini este o simplă identificare de coeficienți în descompunerea canonică — mecanism pe care elevul îl va regăsi la clasa a XI-a și în algebra liniară.

Ce verifică lecția: scrierea completă a coeficienților (inclusiv cei nuli), semnele alternate, împărțirea la coeficientul dominant, formula $S_1^2-2S_2$ și, mai ales, condiția $a_0\ne 0$ la suma inverselor. Întrebări bune de control: „Câți termeni are $S_2$ la gradul al patrulea?", „De ce poate fi negativă suma pătratelor rădăcinilor?", „Ce se întâmplă cu suma inverselor dacă termenul liber este zero?".

Semne că elevul a înțeles: scrie relațiile la un polinom de gradul al cincilea fără să se uite la formulă, sesizează singur coeficientul lipsă și rezolvă suma cuburilor pornind de la ecuație, nu căutând o formulă memorată. La Bacalaureat M1, aceste calcule apar aproape în fiecare sesiune la subiectul de polinoame, de regulă în trei subpuncte gradate: suma rădăcinilor, o expresie simetrică, apoi o cerință care combină Viète cu o informație suplimentară.

Întrebări frecvente

Care sunt relațiile lui Viète pentru un polinom de grad n? Dacă $f=a_n{X}^n+\cdots +a_0$ are rădăcinile $x_1,\dots ,x_n$, atunci suma simetrică de ordin $k$ este $S_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$. În particular, suma rădăcinilor este $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$, iar produsul lor este $(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$.

Ce sunt sumele simetrice fundamentale? Sunt $S_1$ (suma tuturor rădăcinilor), $S_2$ (suma tuturor produselor de câte două rădăcini), $S_3$ (suma produselor de câte trei) și așa mai departe, până la $S_n$ (produsul tuturor rădăcinilor). Se numesc simetrice pentru că nu se schimbă dacă renumerotezi rădăcinile.

Câți termeni are suma S_k? Exact $C_n^k$ termeni, pentru că fiecare termen corespunde unei alegeri de $k$ rădăcini dintre cele $n$, fără să conteze ordinea. La gradul al patrulea, $S_2$ are $C_4^2=6$ termeni.

Cum calculez suma pătratelor rădăcinilor fără să rezolv ecuația? Cu formula $x_1^2+\cdots +x_n^2=S_1^2-2S_2$, obținută ridicând la pătrat suma rădăcinilor. Funcționează la orice grad, iar $S_1$ și $S_2$ se citesc direct din coeficienți.

Poate fi negativă suma pătratelor rădăcinilor? Da, atunci când unele rădăcini sunt numere complexe nereale — pătratul unui număr complex nu mai este obligatoriu pozitiv. De exemplu, pentru $X^4+5X^2+6$ suma pătratelor rădăcinilor este $-10$.

Cum aflu suma inverselor rădăcinilor? Aduci fracțiile la același numitor și obții $\frac{S_{n-1}}{S_n}$, adică $-\frac{a_1}{a_0}$. Înainte de calcul verifici obligatoriu că termenul liber este nenul; altfel o rădăcină este $0$ și suma inverselor nu există.

Cum calculez suma cuburilor rădăcinilor? Folosești faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația: din $x_i^3=\dots$ exprimi cubul prin puteri mai mici, apoi aduni toate egalitățile. Vei avea nevoie de $\sum x_i^2$, calculată cu $S_1^2-2S_2$, și de $\sum x_i=S_1$.

Unde apar relațiile lui Viète la Bacalaureat M1? La subiectul de polinoame, aproape în fiecare sesiune: se cere suma sau produsul rădăcinilor, o expresie simetrică (suma pătratelor, a inverselor, a cuburilor) sau determinarea unui parametru dintr-o condiție impusă rădăcinilor.