Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL

Un topograf primește de la primărie planul unui teren triunghiular, cu cele trei laturi trecute în acte: $40$ m, $60$ m și $80$ m. Trebuie să monteze gardul, iar la fiecare colț să taie stâlpul la unghiul potrivit. Actele nu conțin niciun unghi. Un coleg de-al lui are problema oglindă: știe că două laturi ale parcelei sale au $20$ m și $25$ m și că se întâlnesc sub un unghi de $70^{\circ }$, dar nu știe cât gard îi trebuie pe a treia latură.

Amândoi cer același lucru: pornind de la trei informații, să afle toate cele șase elemente ale triunghiului. Operația se numește rezolvarea triunghiului și este scopul practic al întregii unități. În această lecție tratăm cele două cazuri în care unealta principală este teorema cosinusului: trei laturi (LLL) și două laturi cu unghiul dintre ele (LUL). Celelalte cazuri, cele care pornesc de la teorema sinusurilor, le rezolvăm în lecția următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă a rezolva un triunghi și care sunt cele șase elemente ale lui.
• Vei ști să recunoști tipul de date primite și să-l numești: LLL, LUL, ULU, LUU, LLU.
• Vei ști să rezolvi complet cazul LLL (trei laturi), calculând toate unghiurile cu teorema cosinusului.
• Vei ști să rezolvi complet cazul LUL (două laturi și unghiul dintre ele), aflând întâi a treia latură.
• Vei ști de ce, după ce ai toate laturile, este mai sigur să continui tot cu cosinusul decât cu sinusul.
• Vei ști să faci cele două controale obligatorii: suma unghiurilor și ordinea latură–unghi.

Hai să descoperim împreună

1. Cele șase elemente

Un triunghi are șase elemente: trei laturi, $a$, $b$, $c$, și trei unghiuri, $A$, $B$, $C$. A rezolva triunghiul înseamnă a determina toate cele șase, pornind de la câteva date.

Câte date sunt necesare? Trei — dar nu orice trei. Din geometria de gimnaziu știi cazurile de congruență a triunghiurilor: LLL, LUL, ULU. Fiecare dintre ele fixează triunghiul până la o suprapunere, deci fixează și cele șase elemente.

O singură combinație de trei elemente nu ajunge niciodată: cele trei unghiuri. Ele îți dau forma triunghiului, nu și dimensiunile lui — există infinit de multe triunghiuri asemenea cu aceleași unghiuri. De aceea printre date trebuie să existe cel puțin o latură.

2. Inventarul cazurilor

Notăm cu $L$ o latură cunoscută și cu $U$ un unghi cunoscut, în ordinea în care apar de-a lungul triunghiului.

Regula de triaj este simplă și merită memorată: dacă printre date există o latură împreună cu unghiul opus ei, pornești cu sinusurile; altfel, pornești cu cosinusul.

3. Cazul LLL, pas cu pas

Date: $a$, $b$, $c$. Algoritm:

1. Verifică existența: cea mai mare latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două. Dacă nu, triunghiul nu există și te oprești.
2. Calculează cosinusul celui mai mare unghi, cel opus celei mai mari laturi: $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$
3. Află unghiul din tabele sau cu un instrument digital. Semnul cosinusului îți spune dinainte dacă unghiul e ascuțit sau obtuz — ai văzut asta în lecția despre natura unui triunghi.
4. Repetă pentru un al doilea unghi, cu formula analogă $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
5. Al treilea unghi iese din suma de $180^{\circ }$ — este și controlul tău.

De ce începem cu unghiul cel mai mare? Pentru că el este singurul care poate fi obtuz. Dacă îl afli primul, știi imediat dacă triunghiul e obtuzunghic și eviți surpriza de la final. În plus, celelalte două sunt atunci obligatoriu ascuțite.

Exemplu. Laturile $5$, $7$, $8$. Existența: $5+7=12>8$ ✓. Cel mai mare unghi este $C$, opus laturii $8$:

$$\cos C=\frac{25+49-64}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\approx 0,1429\Rightarrow m(\angle C)\approx 81,79^{\circ }.$$

Apoi, pentru unghiul $B$ opus laturii $7$: $\cos B=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$, deci $m(\angle B)=60^{\circ }$ exact. Rămâne $m(\angle A)=180^{\circ }-81,79^{\circ }-60^{\circ }=38,21^{\circ }$.

4. Cazul LUL, pas cu pas

Date: $b$, $c$ și unghiul $A$ dintre ele. Algoritm:

1. Află a treia latură cu teorema cosinusului: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}.$$
2. Ai acum toate cele trei laturi — deci ești, de fapt, în cazul LLL. Continuă cu al doilea unghi.
3. Al treilea unghi iese din suma de $180^{\circ }$.

Observă că nu există condiție de existență de verificat: pentru orice $b,c>0$ și orice $A\in (0^{\circ },180^{\circ })$ triunghiul există și este unic. Datele LUL nu pot da niciodată două soluții și nici zero — este exact cazul de congruență „latură–unghi–latură".

Exemplu. $b=5$, $c=8$, $m(\angle A)=60^{\circ }$:

$$a^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49\Rightarrow a=7.$$

Am ajuns la triunghiul $(5,7,8)$ din exemplul anterior — deci celelalte unghiuri sunt cele deja calculate: $m(\angle B)\approx 38,21^{\circ }$ (opus laturii $5$) și $m(\angle C)\approx 81,79^{\circ }$ (opus laturii $8$). Cele două cazuri se întâlnesc, ceea ce e o confirmare bună a metodei.

5. După LUL: cosinus sau sinus?

Odată aflată a treia latură, ai două drumuri către al doilea unghi. Teorema sinusurilor pare mai scurtă:

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}.$$

Are însă un neajuns: ecuația $\sin B=k$ are două soluții în $(0^{\circ },180^{\circ })$, un unghi ascuțit și suplementul lui obtuz, iar calculatorul îți dă doar pe prima. Teorema cosinusului nu are această problemă, pentru că funcția cosinus ia valori distincte pe tot intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$: semnul cosinusului decide singur dacă unghiul e ascuțit sau obtuz.

Recomandarea lecției: după ce ai toate laturile, continuă cu teorema cosinusului. Este cu un pas mai lungă, dar nu greșește niciodată.

Dacă totuși vrei să folosești sinusurile, respectă precauția: aplică-le pentru unghiul opus celei mai mici dintre laturile rămase. Acel unghi nu poate fi obtuz (într-un triunghi, unghiul obtuz stă în fața laturii celei mai mari), deci varianta obtuză se respinge automat.

6. Cele două controale obligatorii

Orice triunghi rezolvat trebuie să treacă două teste, care prind aproape toate greșelile de calcul:

• Suma unghiurilor este $180^{\circ }$. Dacă lucrezi cu valori rotunjite, admite o abatere de câteva sutimi de grad — rotunjirile se adună.
• Ordinea latură–unghi: cea mai mare latură se opune celui mai mare unghi, cea mai mică celui mai mic. Dacă la triunghiul $(5,7,8)$ îți iese cel mai mare unghi în fața laturii de $5$, ai încurcat undeva literele.

Un al treilea control, util la LUL: latura găsită trebuie să respecte inegalitatea triunghiului împreună cu celelalte două.

7. Când unghiurile nu sunt „frumoase"

În problemele practice, valorile ies aproape întotdeauna cu zecimale. Le citești din tabele sau cu un instrument digital, exact cum permite programa. Trei reguli:

• Lucrează în grade (DEG), nu în radiani.
• Rotunjește la final. Dacă înlocuiești $\cos 70^{\circ }$ cu $0,342$ încă de la primul pas, e în regulă; dar nu rotunji și rezultatele intermediare la o singură zecimală.
• Acceptă abaterea de rotunjire la control. O sumă de $179,99^{\circ }$ nu e o greșeală, ci prețul aproximărilor.

Exemplu — parcela colegului topograf. $b=20$, $c=25$, $m(\angle A)=70^{\circ }$, cu $\cos 70^{\circ }\approx 0,342$:

$$a^2=400+625-2\cdot 20\cdot 25\cdot 0,342=1025-342=683\Rightarrow a=\sqrt{683}\approx 26,13\text{m}.$$

Deci a treia latură are aproximativ $26,13$ m. Mai departe, $\cos B=\frac{683+625-400}{2\cdot 26,13\cdot 25}\approx 0,6950$, de unde $m(\angle B)\approx 45,98^{\circ }$, iar $m(\angle C)\approx 180^{\circ }-70^{\circ }-45,98^{\circ }=64,02^{\circ }$. Control: latura cea mai mare, $26,13$, se opune unghiului cel mai mare, $70^{\circ }$ ✓.

8. Rețeta de buzunar

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — LLL complet

Rezolvați triunghiul cu laturile $a=13$, $b=14$, $c=15$.

Rezolvare. Existența: $13+14=27>15$ ✓. Cel mai mare unghi este $C$, opus laturii $15$:

$$\cos C=\frac{169+196-225}{2\cdot 13\cdot 14}=\frac{140}{364}=\frac{5}{13}\approx 0,3846\Rightarrow m(\angle C)\approx 67,38^{\circ }.$$

Cosinusul e pozitiv, deci triunghiul este ascuțitunghic. Al doilea unghi:

$$\cos A=\frac{196+225-169}{2\cdot 14\cdot 15}=\frac{252}{420}=\frac{3}{5}=0,6\Rightarrow m(\angle A)\approx 53,13^{\circ }.$$

Al treilea: $m(\angle B)=180^{\circ }-67,38^{\circ }-53,13^{\circ }=59,49^{\circ }$.

Controale: suma este exact $180^{\circ }$ ✓; ordinea $13<14<15$ corespunde ordinii $53,13^{\circ }<59,49^{\circ }<67,38^{\circ }$ ✓. $■$

Exemplul 2 — LLL cu un unghi obtuz

Rezolvați triunghiul cu laturile $3$, $5$, $7$.

Rezolvare. Existența: $3+5=8>7$ ✓. Notăm $a=7$, $b=5$, $c=3$, deci unghiul cel mai mare este $A$:

$$\cos A=\frac{25+9-49}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}\Rightarrow m(\angle A)=120^{\circ }.$$

Cosinus negativ, deci unghi obtuz — triunghiul este obtuzunghic. Continuăm:

$$\cos B=\frac{49+9-25}{2\cdot 7\cdot 3}=\frac{33}{42}=\frac{11}{14}\approx 0,7857\Rightarrow m(\angle B)\approx 38,21^{\circ },$$

iar $m(\angle C)=180^{\circ }-120^{\circ }-38,21^{\circ }=21,79^{\circ }$.

Control: suma dă $180^{\circ }$ ✓; latura $3$ se opune celui mai mic unghi, $21,79^{\circ }$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Când triunghiul nu există

Rezolvați triunghiul cu laturile $3$, $4$, $8$.

Rezolvare. Pasul întâi oprește totul: $3+4=7<8$, deci inegalitatea triunghiului nu este îndeplinită și triunghiul nu există.

De ce e important să verifici înainte de a calcula? Pentru că formula nu se blochează: ea ar da

$$\cos A=\frac{9+16-64}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{-39}{24}=-1,625,$$

o valoare imposibilă, deoarece cosinusul oricărui unghi este cuprins între $-1$ și $1$. Dacă îți iese un cosinus în afara acestui interval, fie ai greșit calculul, fie datele nu descriu un triunghi. $■$

Exemplul 4 — LUL cu valori exacte

Rezolvați triunghiul în care $b=7$, $c=8$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$.

Rezolvare. Unghiul dat este între laturile cunoscute, deci suntem în cazul LUL. Cu $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$:

$$a^2=49+64-2\cdot 7\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=113+56=169\Rightarrow a=13.$$

Acum avem laturile $7$, $8$, $13$. Continuăm cu cosinusul:

$$\cos B=\frac{169+64-49}{2\cdot 13\cdot 8}=\frac{184}{208}=\frac{23}{26}\approx 0,8846\Rightarrow m(\angle B)\approx 27,80^{\circ },$$

iar $m(\angle C)=180^{\circ }-120^{\circ }-27,80^{\circ }=32,20^{\circ }$.

Controale: $7+8=15>13$ ✓; ordinea $7<8<13$ corespunde ordinii $27,80^{\circ }<32,20^{\circ }<120^{\circ }$ ✓. $■$

Exemplul 5 — LUL cu valori din tabel

Rezolvați triunghiul în care $b=12$, $c=15$ și $m(\angle A)=40^{\circ }$. Folosiți $\cos 40^{\circ }\approx 0,766$.

Rezolvare. A treia latură:

$$a^2=144+225-2\cdot 12\cdot 15\cdot 0,766=369-275,76=93,24\Rightarrow a\approx 9,66.$$

Al doilea unghi, cu cosinusul:

$$\cos B=\frac{93,24+225-144}{2\cdot 9,66\cdot 15}=\frac{174,24}{289,8}\approx 0,6012\Rightarrow m(\angle B)\approx 53,04^{\circ }.$$

Al treilea: $m(\angle C)\approx 180^{\circ }-40^{\circ }-53,04^{\circ }=86,96^{\circ }$.

Control: latura cea mai mare, $15$, se opune celui mai mare unghi, $86,98^{\circ }$ ✓. Suma iese exact $180^{\circ }$ pentru că al treilea unghi a fost calculat din ea; dacă l-am fi calculat tot cu cosinusul, am fi obținut o abatere de câteva sutimi, din cauza rotunjirilor. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se știe că $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculați $BC$. b) Calculați $\cos B$.

Rezolvare. Traducem: $c=AB=6$, $b=AC=10$, iar unghiul $A$ este între ele — caz LUL.

a) $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, deci

$$B{C}^2=a^2=100+36-2\cdot 10\cdot 6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=136+60=196\Rightarrow BC=14.$$

b) Cu toate laturile cunoscute, $a=14$, $b=10$, $c=6$:

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{196+36-100}{2\cdot 14\cdot 6}=\frac{132}{168}=\frac{11}{14}.$$

Control: $\cos B>0$, deci $B$ este ascuțit — corect, pentru că unghiul obtuz al triunghiului este deja $A$. Numeric, $m(\angle B)\approx 38,21^{\circ }$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu identifică întâi cazul (LLL sau LUL), verifică existența triunghiului și fă cele două controale la final. Valorile unghiurilor se dau cu două zecimale.

1. Rezolvă triunghiul cu laturile $4$, $5$, $6$.

2. Rezolvă triunghiul cu laturile $2$, $3$, $4$.

3. Rezolvă triunghiul cu laturile $5$, $7$, $8$.

4. Rezolvă triunghiul cu laturile $7$, $8$, $13$.

5. Rezolvă triunghiul cu laturile $6$, $7$, $8$.

6. În triunghiul $ABC$, $b=3$, $c=5$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$.

7. În triunghiul $ABC$, $b=7$, $c=8$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$.

8. În triunghiul $ABC$, $b=c=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$ și celelalte două unghiuri.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă știu cele trei unghiuri ale unui triunghi, îl pot rezolva complet."

10. În triunghiul $ABC$, $b=4$, $c=6$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculează $a$.

11. În triunghiul $ABC$, $b=20$, $c=25$ și $m(\angle A)=70^{\circ }$. Calculează $a$, folosind $\cos 70^{\circ }\approx 0,342$.

12. Arată că triunghiul cu laturile $9$, $10$, $17$ este obtuzunghic și calculează măsura unghiului obtuz.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „După ce ai aflat a treia latură într-un caz LUL, poți folosi teorema sinusurilor pentru al doilea unghi, fără nicio precauție."

14. (Problemă aplicată.) Două ambarcațiuni pleacă în același moment din același port, pe direcții care fac între ele un unghi de $120^{\circ }$. Prima parcurge $6$ km, a doua $10$ km. La ce distanță una de alta se află?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculați $BC$. b) Calculați $\cos B$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=5$, $AC=8$ și $BC=7$. a) Arătați că $m(\angle A)=60^{\circ }$. b) Calculați $\cos B$.

17. Rezolvă triunghiul cu laturile $5$, $6$, $7$.

18. (Provocare.) Într-un triunghi cu laturile $a$, $b$, $c$ are loc relația $a^2=b^2+c^2+bc$. Arată că $m(\angle A)=120^{\circ }$.

Răspunsuri și explicații

1. $4+5=9>6$ ✓. Unghiul mare, opus laturii $6$: $\cos =\frac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$, deci $\approx 82,82^{\circ }$. Apoi $\cos =\frac{16+36-25}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$, deci $\approx 55,77^{\circ }$ (opus laturii $5$). Al treilea: $180^{\circ }-82,82^{\circ }-55,77^{\circ }=41,41^{\circ }$. Triunghi ascuțitunghic.

2. $2+3=5>4$ ✓. Unghiul opus laturii $4$: $\cos =\frac{4+9-16}{2\cdot 2\cdot 3}=-\frac{1}{4}$, deci $\approx 104,48^{\circ }$ — obtuz. Unghiul opus laturii $3$: $\cos =\frac{4+16-9}{2\cdot 2\cdot 4}=\frac{11}{16}$, deci $\approx 46,57^{\circ }$. Al treilea: $28,96^{\circ }$.

3. $\cos$ al unghiului opus laturii $8$: $\frac{25+49-64}{70}=\frac{1}{7}$, deci $\approx 81,79^{\circ }$. Unghiul opus laturii $7$: $\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}$, deci exact $60^{\circ }$. Al treilea: $38,21^{\circ }$.

4. $7+8=15>13$ ✓. Unghiul opus laturii $13$: $\cos =\frac{49+64-169}{112}=-\frac{1}{2}$, deci exact $120^{\circ }$. Unghiul opus laturii $8$: $\cos =\frac{49+169-64}{2\cdot 7\cdot 13}=\frac{154}{182}=\frac{11}{13}$, deci $\approx 32,20^{\circ }$. Al treilea: $27,80^{\circ }$.

5. Unghiul opus laturii $8$: $\cos =\frac{36+49-64}{84}=\frac{1}{4}$, deci $\approx 75,52^{\circ }$. Unghiul opus laturii $7$: $\cos =\frac{36+64-49}{96}=\frac{17}{32}$, deci $\approx 57,91^{\circ }$. Al treilea: $46,57^{\circ }$. Ascuțitunghic.

6. $a^2=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49$, deci $a=7$.

7. $a^2=49+64+56=169$, deci $a=13$.

8. $a^2=100+100+100=300$, deci $a=10\sqrt{3}\approx 17,32$. Triunghiul fiind isoscel ($b=c$), unghiurile $B$ și $C$ sunt egale, iar suma lor este $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$; deci fiecare are $30^{\circ }$.

9. Fals. Cele trei unghiuri determină doar forma triunghiului, nu și dimensiunile. Toate triunghiurile asemenea au aceleași unghiuri, dar laturi diferite. Ca să rezolvi un triunghi ai nevoie de cel puțin o latură printre date.

10. $a^2=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=52-24=28$, deci $a=2\sqrt{7}\approx 5,29$.

11. $a^2=400+625-2\cdot 20\cdot 25\cdot 0,342=1025-342=683$, deci $a=\sqrt{683}\approx 26,13$.

12. $9+10=19>17$ ✓. Comparăm: $81+100=181<289=17^2$, deci triunghiul este obtuzunghic. Unghiul obtuz este cel opus laturii $17$:

$$\cos =\frac{81+100-289}{2\cdot 9\cdot 10}=\frac{-108}{180}=-\frac{3}{5}\Rightarrow \text{ma˘sura}\approx 126,87^{\circ }.$$

13. Fals. Ecuația $\sin B=k$ are două soluții în $(0^{\circ },180^{\circ })$, iar calculatorul o dă doar pe cea ascuțită. Precauția necesară: aplică teorema sinusurilor pentru unghiul opus celei mai mici laturi rămase — acela nu poate fi obtuz. Alternativa sigură este să continui cu teorema cosinusului, al cărei semn distinge singur unghiurile ascuțite de cele obtuze.

14. Distanța dintre ambarcațiuni este a treia latură a unui triunghi cu $b=6$, $c=10$ și unghiul dintre ele de $120^{\circ }$:

$$a^2=36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=136+60=196\Rightarrow a=14\text{km}.$$

Observă că distanța ($14$ km) este mai mică decât suma drumurilor parcurse ($16$ km), cum trebuie să fie.

15. a) $c=AB=6$, $b=AC=10$, deci $B{C}^2=100+36+60=196$ și $BC=14$. b) $\cos B=\frac{196+36-100}{2\cdot 14\cdot 6}=\frac{132}{168}=\frac{11}{14}$.

16. a) Cu $a=BC=7$, $b=AC=8$, $c=AB=5$:

$$\cos A=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}\Rightarrow m(\angle A)=60^{\circ }.$$

b) $\cos B=\frac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$, deci $m(\angle B)\approx 81,79^{\circ }$.

17. $5+6=11>7$ ✓. Unghiul opus laturii $7$: $\cos =\frac{25+36-49}{60}=\frac{1}{5}$, deci $\approx 78,46^{\circ }$. Unghiul opus laturii $6$: $\cos =\frac{25+49-36}{70}=\frac{19}{35}$, deci $\approx 57,12^{\circ }$. Al treilea: $44,42^{\circ }$. Ascuțitunghic.

18. Scriem teorema cosinusului pentru unghiul $A$ și înlocuim $a^2$:

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-(b^2+c^2+bc)}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}.$$

Singurul unghi din $(0^{\circ },180^{\circ })$ cu cosinusul $-\frac{1}{2}$ este $120^{\circ }$, deci $m(\angle A)=120^{\circ }$. (Analog, relația $a^2=b^2+c^2-bc$ ar da $\cos A=\frac{1}{2}$, adică $m(\angle A)=60^{\circ }$.) $■$

De reținut

• A rezolva un triunghi înseamnă a determina toate cele șase elemente: trei laturi și trei unghiuri. Printre date trebuie să existe cel puțin o latură.
• Triajul: dacă ai o latură împreună cu unghiul opus ei, pornești cu teorema sinusurilor; altfel (LLL sau LUL), pornești cu teorema cosinusului.
• LLL: afli întâi unghiul cel mai mare, cu $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, apoi încă unul, iar al treilea din suma de $180^{\circ }$.
• LUL: afli întâi a treia latură, cu $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, apoi continui ca la LLL. Soluția există întotdeauna și e unică.
• Controalele: suma unghiurilor este $180^{\circ }$ (cu o abatere de rotunjire admisă) și cea mai mare latură se opune celui mai mare unghi.

Greșeli frecvente

• Se sare peste verificarea existenței. La LLL, dacă cea mai mare latură depășește suma celorlalte, triunghiul nu există, iar formula dă un „cosinus" în afara intervalului $[-1,1]$.
• Se confundă LUL cu LLU. Unghiul dat trebuie să fie între cele două laturi cunoscute. Dacă nu este, ești în cazul ambiguu, tratat în lecția următoare, și metoda de aici nu se aplică.
• Se pierde semnul minus la cosinusul unghiului obtuz. La $120^{\circ }$, formula devine $a^2=b^2+c^2+bc$, cu plus, pentru că $-2bc\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=+bc$. Scrisă cu minus, dă un rezultat mult prea mic.
• Se folosește sinusul fără precauție după LUL. Se obține unghiul ascuțit dat de calculator, deși cel corect putea fi suplementul lui. Fie continui cu cosinusul, fie aplici sinusul doar pentru unghiul opus celei mai mici laturi.
• Se rotunjește prea devreme. Dacă a treia latură e rotunjită la o zecimală și apoi folosită în alte două formule, eroarea se propagă și controlul sumei unghiurilor eșuează.

Aplică acasă

1. Terenul din curte. Alege trei repere din curte, din parc sau din fața blocului (un stâlp, un copac, un colț de gard) și măsoară cu ruleta sau numărând pași cele trei distanțe dintre ele. Rezolvă triunghiul: află toate cele trei unghiuri. Verifică apoi unul dintre ele cu o aplicație de raportor din telefon — cât de aproape ești?

2. Compasul improvizat. Ia două rigle sau două bețe și prinde-le la un capăt cu o clemă, ca pe o balama. Fixează un unghi cu raportorul (de exemplu $60^{\circ }$), măsoară distanța dintre capetele libere și compar-o cu valoarea calculată din teorema cosinusului. Repetă cu $90^{\circ }$ și cu $120^{\circ }$ și notează cele trei perechi de valori într-un tabel.

3. Traseul cu două picioare. Pe o hartă digitală, alege un traseu format din două segmente: de acasă până la un magazin, apoi până la școală. Măsoară cele două lungimi și unghiul dintre direcții, calculează distanța directă de acasă la școală și compar-o cu cea măsurată pe hartă. Cât ai economisi dacă ai merge în linie dreaptă?

Pentru părinți și profesori

Lecția strânge într-un algoritm ceea ce cele trei lecții anterioare au construit pe bucăți. Conținutul din programă este „rezolvarea triunghiurilor oarecare", iar aici se acoperă jumătatea lui rezolvabilă cu teorema cosinusului. Cel mai important lucru de format nu este formula, ci triajul: elevul trebuie să citească enunțul, să numească cazul (LLL sau LUL) și abia apoi să scrie prima linie de calcul. Al doilea lucru, la fel de important, sunt controalele: suma unghiurilor și ordinea latură–unghi prind aproape orice eroare de calcul.

Întrebări bune de control: „Câte elemente are un triunghi și câte trebuie să știu ca să-l rezolv?" (șase; trei, dintre care cel puțin o latură); „De ce trei unghiuri nu sunt de ajuns?" (dau forma, nu dimensiunile); „De ce încep cu unghiul cel mai mare la LLL?" (e singurul care poate fi obtuz); „De ce e mai sigur cosinusul decât sinusul după LUL?" (cosinusul distinge prin semn unghiurile ascuțite de cele obtuze, sinusul nu); „Ce înseamnă un cosinus egal cu $-1,6$?" (datele nu formează un triunghi sau calculul e greșit). Semne că a înțeles: numește cazul înainte de a calcula, verifică existența din reflex și își controlează singur rezultatul.

La Bacalaureat, cerințele apar aproape întotdeauna în două puncte: primul cere o latură sau un cosinus obținut cu teorema cosinusului, al doilea continuă cu un alt element al triunghiului (deseori aria sau raza cercului circumscris, ca în lecția despre raza cercului circumscris). Punctajul se acordă pe scrierea formulei și pe înlocuirea corectă, deci merită exersat scrisul complet, nu doar rezultatul. Cine vrea și versiunea de specialitate a acestor cazuri o găsește în lecția de clasa a IX-a despre rezolvarea triunghiurilor.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă „a rezolva un triunghi"? Înseamnă a afla toate cele șase elemente ale lui — cele trei laturi și cele trei unghiuri — pornind de la trei date, dintre care cel puțin una trebuie să fie o latură.

Cum aflu unghiurile unui triunghi dacă știu doar laturile? Aplici teorema cosinusului scrisă pentru cosinus: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Începi cu unghiul opus celei mai mari laturi, apoi calculezi încă unul, iar al treilea îl obții din suma de $180^{\circ }$.

Cum aflu a treia latură dacă știu două laturi și unghiul dintre ele? Cu $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, unde $A$ este unghiul dintre laturile $b$ și $c$. După ce ai toate laturile, continui exact ca la cazul LLL.

De ce cazul LUL are întotdeauna o singură soluție? Pentru că este cazul de congruență „latură–unghi–latură" din geometrie: două laturi fixate și unghiul dintre ele determină triunghiul complet, fără nicio ambiguitate.

Pot folosi teorema sinusurilor după ce am aflat a treia latură? Poți, dar cu precauție: $\sin B=k$ are două soluții posibile. Cel mai sigur este să o aplici doar pentru unghiul opus celei mai mici laturi rămase, care nu poate fi obtuz. Altfel, continuă cu teorema cosinusului.

Ce fac dacă îmi iese un cosinus mai mare decât $1$? Verifică întâi calculul; dacă e corect, înseamnă că cele trei lungimi nu formează un triunghi. Cosinusul oricărui unghi este cuprins între $-1$ și $1$, deci o valoare în afara acestui interval semnalează date imposibile.

De ce nu-mi iese suma unghiurilor exact $180^{\circ }$? Pentru că lucrezi cu valori rotunjite din tabele sau de la calculator. O abatere de câteva sutimi de grad este normală; una de câteva grade înseamnă o greșeală de calcul.

Unde folosesc rezolvarea triunghiurilor în practică? În topografie și cadastru (suprafețe de teren), în construcții (structuri de acoperiș, ferme metalice), în navigație și în orice situație în care trebuie să afli o distanță sau un unghi la care nu ai acces direct.