Rezolvarea triunghiului: ULU și cazul ambiguu LLU: pe scurt

Când datele sunt o latură și cele două unghiuri alăturate ei (ULU), primul pas obligatoriu este al treilea unghi, din suma de $180^{\circ }$; abia apoi se aplică teorema sinusurilor. Când perechea latură–unghi opus e dată direct (LUU), teorema sinusurilor pornește imediat. Ambele cazuri au întotdeauna exact o soluție — aceasta e metoda din spatele triangulației, folosită pentru a măsura distanțe inaccesibile dintr-o bază accesibilă și două unghiuri.

Situația se schimbă la LLU: două laturi și un unghi nealăturat lor. Aici $\sin B=k$ are, în general, două soluții — $B$ și $180^{\circ }-B$ —, deci se numește cazul ambiguu.

Discuția completă folosește înălțimea $h=b\sin A$: pentru $A$ ascuțit, $a<h$ dă zero triunghiuri, $a=h$ dă unul (dreptunghic), $h<a<b$ dă două, iar $a\ge b$ dă unul singur. Dacă $A$ este drept sau obtuz, există un triunghi doar când $a>b$.

Greșelile tipice: a da o singură soluție acolo unde există două, a sări peste al treilea unghi la ULU, a confunda LLU cu LUL (unghiul trebuie să fie între laturi ca să fie LUL) și a ignora semnalul $\sin B>1$, care arată că datele nu descriu niciun triunghi.

Exerciții din această mini-lecție

1. Cazul LLU este numit cazul ambiguu pentru că:

   • a) $\sin B=k$ are două soluții posibile în $(0^{\circ },180^{\circ })$
   • b) laturile nu pot fi determinate deloc
   • c) nu există niciodată nicio soluție
   • d) unghiul dat este întotdeauna drept
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\sin B=k$ are două soluții posibile în $(0^{\circ },180^{\circ })$

   Ecuația $\sin B=k$ admite, în general, două unghiuri suplementare ca soluție — de aici ambiguitatea numărului de triunghiuri.

2. La cazul ULU, primul pas obligatoriu este:

   • a) formula lui Heron
   • b) calculul celui de-al treilea unghi din suma de $180^{\circ }$
   • c) aplicarea directă a teoremei sinusurilor
   • d) teorema cosinusului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) calculul celui de-al treilea unghi din suma de $180^{\circ }$

   Fără al treilea unghi nu ai o pereche latură–unghi opus completă pentru a porni teorema sinusurilor.

3. Dacă unghiul $A$ este obtuz sau drept și $a>b$, câte triunghiuri există?

   • a) zero
   • b) două
   • c) o infinitate
   • d) exact unul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) exact unul

   La unghi obtuz sau drept, soluția e unică dacă $a>b$; altfel nu există niciun triunghi.