Rezolvarea triunghiului: cazurile ULU și LLU

Doi topografi stau pe malul unui râu, la $80$ de metri unul de altul, și vizează același stâlp de pe malul celălalt. Primul citește $62^{\circ }$, al doilea $74^{\circ }$. Din aceste trei numere — o distanță și două unghiuri — pot afla exact cât de departe este stâlpul, fără să pună piciorul în apă. Aceasta este metoda triangulației, iar matematica din spatele ei este cazul ULU.

Dar există și o situație mai neliniștitoare. Un navigator știe că se află la $10$ km de un far, că un al doilea reper se vede sub un unghi de $30^{\circ }$ și că până la el sunt aproximativ $7$ km. Datele par suficiente. Nu sunt: există două poziții diferite care se potrivesc perfect cu toate cele trei informații. Acesta este cazul ambiguu, singura situație din toată unitatea în care un set de date corect poate descrie două triunghiuri diferite — sau niciunul. Îl învățăm aici, complet, pentru că un rezultat incomplet este, la Bacalaureat ca și în practică, un rezultat greșit.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi cazul ULU — o latură și cele două unghiuri alăturate ei — începând, obligatoriu, cu suma unghiurilor.
• Vei ști să rezolvi cazul LUU, în care perechea latură–unghi opus este dată direct.
• Vei ști de ce cazul LLU este ambiguu și cum se face discuția lui completă.
• Vei ști să folosești înălțimea $h=b\sin A$ pentru a decide dacă există două, unul sau niciun triunghi.
• Vei ști să verifici discuția pe a doua cale, cu ecuația de gradul al doilea dată de teorema cosinusului.
• Vei ști să aplici triangulația la măsurarea unor distanțe inaccesibile.

Hai să descoperim împreună

1. Trei cazuri, un singur punct de plecare

În lecția despre cazurile LLL și LUL am rezolvat situațiile în care unealta era teorema cosinusului. Rămân trei, toate pornind de la teorema sinusurilor:

• ULU — o latură și cele două unghiuri alăturate ei;
• LUU — o latură, un unghi alăturat și unul opus;
• LLU — două laturi și un unghi care nu este între ele.

Toate au nevoie de o pereche completă — o latură împreună cu unghiul opus ei. La LUU perechea e dată, la ULU se obține gratuit din suma unghiurilor, iar la LLU ea există, dar tocmai ea deschide ambiguitatea.

2. Cazul ULU: întâi suma, apoi sinusurile

Date: latura $c$ și unghiurile $A$, $B$ alăturate ei. Algoritm:

1. Al treilea unghi: $m(\angle C)=180^{\circ }-m(\angle A)-m(\angle B)$. Abia acum ai perechea completă $(c,C)$.
2. Celelalte laturi: $$a=\frac{c\sin A}{\sin C},b=\frac{c\sin B}{\sin C}.$$
3. Controlul: cea mai mare latură trebuie să iasă în fața celui mai mare unghi.

Ordinea contează: fără $C$, latura $c$ nu are unghi opus cunoscut și teorema sinusurilor nu poate porni. Cine sare peste primul pas rămâne blocat, deși problema era rezolvată pe jumătate.

Cazul ULU are întotdeauna exact o soluție, dacă suma celor două unghiuri date este mai mică de $180^{\circ }$: este cazul de congruență „unghi–latură–unghi".

Exemplu. Pentru $c=6$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=105^{\circ }$ obținem $m(\angle C)=45^{\circ }$, apoi $a=\frac{6\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=3\sqrt{2}\approx 4,24$ și $b=\frac{6\sin 105^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}\approx 8,20$. Îl reluăm pe larg în Exemplul $1$.

3. Cazul LUU: perechea e deja acolo

Date: latura $a$, unghiul opus $A$ și încă un unghi, să zicem $B$. Aici nu e nimic de pregătit:

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A},m(\angle C)=180^{\circ }-m(\angle A)-m(\angle B),c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$

Ca și ULU, cazul LUU are exact o soluție; cele două sunt același caz îmbrăcat diferit, pentru că știind două unghiuri îl știi și pe al treilea.

Exemplu. $a=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$, $m(\angle B)=45^{\circ }$. Atunci $b=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{2}\approx 14,14$, $m(\angle C)=105^{\circ }$ și $c\approx \frac{10\cdot 0,9659}{0,5}\approx 19,32$.

4. Triangulația: la ce folosește ULU

Ne întoarcem la topografii de pe mal. Baza măsurabilă este $AB=80$ m, unghiurile vizate sunt $m(\angle A)=62^{\circ }$ și $m(\angle B)=74^{\circ }$, iar stâlpul este vârful $C$. Atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-62^{\circ }-74^{\circ }=44^{\circ }$, iar din tabel $\sin 62^{\circ }\approx 0,8829$, $\sin 74^{\circ }\approx 0,9613$, $\sin 44^{\circ }\approx 0,6947$:

$$a=BC=\frac{80\cdot 0,8829}{0,6947}\approx 101,7\text{m},b=AC=\frac{80\cdot 0,9613}{0,6947}\approx 110,7\text{m}.$$

Aceasta e ideea cartografiei clasice: măsori o singură distanță accesibilă, apoi doar unghiuri, iar restul hărții iese din calcul.

5. Cazul LLU: de unde vine ambiguitatea

Date: laturile $a$ și $b$ și unghiul $A$, opus laturii $a$. Unghiul nu este între cele două laturi cunoscute — de aici toate necazurile.

Perechea completă $(a,A)$ există, deci scriem

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}.$$

Și aici apare capcana: ecuația $\sin B=k$, cu $k\in (0,1)$, are două soluții în $(0^{\circ },180^{\circ })$ — un unghi ascuțit $B_1$ și suplementul lui, $B_2=180^{\circ }-B_1$. Sinusul nu distinge unghiurile suplementare, iar calculatorul îți dă doar prima variantă. Uneori a doua e la fel de valabilă, alteori trebuie respinsă, alteori nu există nicio soluție, pentru că raportul iese mai mare decât $1$.

Nu este o greșeală de calcul, ci o realitate geometrică: există date de tip LLU care descriu două triunghiuri diferite.

6. Analiza completă, cu o singură înălțime

Construcția lămurește totul. Desenăm unghiul $A$, punem pe una dintre laturile lui segmentul $AC=b$ și căutăm vârful $B$ pe cealaltă latură, la distanța $CB=a$ de $C$. Distanța de la $C$ la dreapta $AB$ este înălțimea $h=b\sin A$, iar un cerc de rază $a$ centrat în $C$ trebuie să taie semidreapta $AB$. Totul depinde de raportul dintre $a$ și numerele $h$ și $b$.

Cazul I — $A$ ascuțit.

Cazul II — $A$ drept sau obtuz.

Regula de memorat: ambiguitatea apare doar când unghiul cunoscut este ascuțit și latura opusă lui este mai scurtă decât cealaltă latură cunoscută. Dacă $a\ge b$, soluția este întotdeauna unică.

7. Cazul cu două soluții, calculat până la capăt

Date: $a=5\sqrt{2}\approx 7,07$, $b=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$.

Discuția. Unghiul $A$ este ascuțit, iar $h=b\sin A=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Cum $5<7,07<10$, suntem exact în situația $h<a<b$: două triunghiuri.

Calculul. $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\cdot \frac{1}{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $m(\angle B)=45^{\circ }$ sau $m(\angle B)=135^{\circ }$. Ambele lasă suma sub $180^{\circ }$, deci ambele variante trăiesc:

• $m(\angle B)=45^{\circ }$: $m(\angle C)=105^{\circ }$ și $c=\frac{a\sin C}{\sin A}=10\sqrt{2}\sin 105^{\circ }=5\sqrt{3}+5\approx 13,66$;
• $m(\angle B)=135^{\circ }$: $m(\angle C)=15^{\circ }$ și $c=10\sqrt{2}\sin 15^{\circ }=5\sqrt{3}-5\approx 3,66$.

Datele descriu, așadar, două triunghiuri diferite. Ambele trec și testul inegalității triunghiului: $7,07+10>13,66$ ✓ și $7,07+3,66>10$ ✓.

8. A doua cale: ecuația de gradul al doilea

Discuția de mai sus se poate verifica pe un drum complet independent, cu teorema cosinusului. Scriem relația pentru unghiul $A$, tratând latura necunoscută $c$ ca necunoscută:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A⟺c^2-(2b\cos A)c+(b^2-a^2)=0.$$

Este o ecuație de gradul al doilea în $c$, iar numărul de rădăcini strict pozitive este exact numărul de triunghiuri. Nicio ambiguitate: aici nu intervine niciun sinus care să ascundă soluții.

Verificare pe exemplul de mai sus: $b=10$, $a=5\sqrt{2}$, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci

$$c^2-10\sqrt{3}c+(100-50)=0⟺c^2-10\sqrt{3}c+50=0.$$

Discriminantul este $\Delta =300-200=100$, deci $c=\frac{10\sqrt{3}\pm 10}{2}=5\sqrt{3}\pm 5$. Exact cele două valori găsite cu sinusurile ✓.

Rețeta practică pentru LLU:

1. Calculează $h=b\sin A$ și compară $a$ cu $h$ și cu $b$; stabilește numărul de soluții. Dacă e zero, scrii asta ca răspuns și te oprești.
2. Calculează $\sin B$, ia ambele unghiuri posibile și păstrează-le doar pe cele care lasă suma sub $180^{\circ }$.
3. Pentru fiecare variantă păstrată, calculează al treilea unghi și a treia latură, apoi verifică inegalitatea triunghiului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — ULU cu valori exacte

Rezolvați triunghiul în care $c=6$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=105^{\circ }$.

Rezolvare. Latura $c$ este între unghiurile date, deci nu avem pereche completă. O completăm:

$$m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-105^{\circ }=45^{\circ }.$$

Acum perechea $(c,C)$ funcționează:

$$a=\frac{6\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2}\approx 4,24,b=\frac{6\sin 105^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}\approx 8,20.$$

Control: $4,24<6<8,20$ urmează ordinea $30^{\circ }<45^{\circ }<105^{\circ }$ ✓. $■$

Exemplul 2 — ULU pe teren

Doi observatori se află în punctele $A$ și $B$, la $50$ m unul de altul, și vizează un turn $C$: $m(\angle A)=48^{\circ }$ și $m(\angle B)=67^{\circ }$. Calculați distanțele de la fiecare observator la turn.

Rezolvare. $m(\angle C)=180^{\circ }-48^{\circ }-67^{\circ }=65^{\circ }$; din tabel, $\sin 48^{\circ }\approx 0,7431$, $\sin 67^{\circ }\approx 0,9205$, $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$. Distanța de la $B$ la turn este latura $a=BC$, opusă unghiului $A$, iar distanța de la $A$ la turn este $b=AC$, opusă unghiului $B$:

$$a=\frac{50\cdot 0,7431}{0,9063}\approx 41,0\text{m},b=\frac{50\cdot 0,9205}{0,9063}\approx 50,8\text{m}.$$

Control: unghiul $B$ este cel mai mare dintre cele două vizate, deci latura opusă lui, $AC$, trebuie să fie cea mai lungă — și este ✓. $■$

Exemplul 3 — LUU direct

În triunghiul $ABC$, $a=9$, $m(\angle A)=60^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculați $b$ și $m(\angle C)$.

Rezolvare. Perechea $(a,A)$ este completă, deci

$$b=\frac{9\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=3\sqrt{6}\approx 7,35,$$

iar $m(\angle C)=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$. Control: $B<A$, deci $b<a$; într-adevăr $7,35<9$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Cazul ambiguu, cu ambele soluții

Se dau $a=5\sqrt{2}$, $b=10$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Determinați toate triunghiurile posibile.

Rezolvare. Discuția întâi: $A$ ascuțit și $h=b\sin A=5$. Cum $5<5\sqrt{2}\approx 7,07<10$, avem $h<a<b$, deci două triunghiuri.

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow m(\angle B)\in \{45^{\circ },135^{\circ }\}.$$

• Prima soluție: $m(\angle B)=45^{\circ }$, $m(\angle C)=105^{\circ }$, $c=10\sqrt{2}\sin 105^{\circ }=5\sqrt{3}+5\approx 13,66$.
• A doua soluție: $m(\angle B)=135^{\circ }$, $m(\angle C)=15^{\circ }$, $c=10\sqrt{2}\sin 15^{\circ }=5\sqrt{3}-5\approx 3,66$.

Verificare pe a doua cale: ecuația $c^2-10\sqrt{3}c+50=0$ are $\Delta =100$ și rădăcinile $5\sqrt{3}\pm 5$, ambele pozitive ✓. Problema are două soluții, iar un răspuns care o dă doar pe una este incomplet. $■$

Exemplul 5 — Zero soluții și exact o soluție

Discutați existența triunghiului cu $b=10$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$, în cazurile: a) $a=4$; b) $a=5$; c) $a=12$.

Rezolvare. În toate cele trei, $h=b\sin A=10\cdot \frac{1}{2}=5$.

a) $a=4<5=h$: niciun triunghi. Verificare: $\sin B=\frac{10\cdot 0,5}{4}=1,25>1$, imposibil — latura $a$ e prea scurtă ca să ajungă la dreapta $AB$.

b) $a=5=h$: exact un triunghi, cel dreptunghic. Într-adevăr, $\sin B=1$, deci $m(\angle B)=90^{\circ }$ (unică soluție), $m(\angle C)=60^{\circ }$ și $c=10\sin 60^{\circ }=5\sqrt{3}\approx 8,66$.

c) $a=12>b=10$: exact un triunghi. $\sin B=\frac{5}{12}\approx 0,4167$, deci $m(\angle B)\approx 24,62^{\circ }$; varianta obtuză, $\approx 155,38^{\circ }$, se respinge, pentru că $30^{\circ }+155,38^{\circ }>180^{\circ }$. Apoi $m(\angle C)\approx 125,38^{\circ }$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se știe că $BC=7$, $AC=3$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. a) Arătați că $AB=8$. b) Calculați $\sin B$.

Rezolvare. Traducem: $a=BC=7$ (opusă unghiului $A$), $b=AC=3$, iar $AB=c$ este necunoscuta. Unghiul dat nu este între laturile cunoscute — caz LLU.

Discuția. $A$ este ascuțit și $h=b\sin A=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 2,60$. Cum $a=7\ge b=3$, soluția este unică.

a) Folosim ecuația dată de teorema cosinusului, cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$:

$$49=9+c^2-2\cdot 3\cdot c\cdot \frac{1}{2}⟺c^2-3c-40=0.$$

Rădăcinile sunt $c=8$ și $c=-5$; cea negativă se respinge, fiind lungime. Deci $AB=8$.

b) Din teorema sinusurilor,

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\approx 0,3712,$$

de unde $m(\angle B)\approx 21,79^{\circ }$. Varianta obtuză se respinge: $b<a$, deci $B<A=60^{\circ }$. Control: triunghiul $(7,3,8)$ verifică inegalitatea triunghiului, $3+7=10>8$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La cazurile LLU, începe întotdeauna cu discuția: calculează $h=b\sin A$ și stabilește numărul de soluții înainte de orice calcul.

1. În triunghiul $ABC$, $c=20$, $m(\angle A)=60^{\circ }$ și $m(\angle B)=90^{\circ }$. Calculează $a$ și $b$.

2. În triunghiul $ABC$, $c=8$, $m(\angle A)=45^{\circ }$ și $m(\angle B)=75^{\circ }$. Calculează $a$ și $b$ ($\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$).

3. În triunghiul $ABC$, $a=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculează $b$ și $m(\angle C)$.

4. În triunghiul $ABC$, $a=9$, $m(\angle A)=60^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculează $b$.

5. În triunghiul $ABC$, $a=14$, $m(\angle A)=120^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculează $b$ și $m(\angle C)$.

6. Se dau $a=5\sqrt{2}$, $b=10$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Câte triunghiuri există? Determină-le pe toate.

7. Se dau $a=5$, $b=10$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Arată că există un singur triunghi și rezolvă-l complet.

8. Se dau $a=4$, $b=10$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Arată că nu există niciun triunghi cu aceste date.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă în cazul LLU unghiul cunoscut este obtuz, problema are cel mult o soluție."

10. Se dau $a=7$, $b=5$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Arată că soluția este unică și calculează a treia latură.

11. Se dau $a=5$, $b=7$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Arată că nu există niciun triunghi cu aceste date.

12. Se dau $a=9$, $b=12$ și $m(\angle A)=40^{\circ }$. Câte triunghiuri există? Calculează, pentru fiecare, măsura unghiului $B$ ($\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$).

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un set de date de tip ULU poate descrie două triunghiuri diferite."

14. (Problemă aplicată.) Doi observatori se află în punctele $A$ și $B$, la $50$ m unul de altul, și vizează un turn $C$: $m(\angle A)=48^{\circ }$ și $m(\angle B)=67^{\circ }$. Calculează distanțele $AC$ și $BC$ ($\sin 48^{\circ }\approx 0,7431$, $\sin 67^{\circ }\approx 0,9205$, $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$).

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $BC=6$, $m(\angle B)=45^{\circ }$ și $m(\angle C)=105^{\circ }$. Calculați $AC$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $BC=7$, $AC=3$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. a) Arătați că $AB=8$. b) Calculați $\sin B$.

17. Se dau $a=12$, $b=18$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Determină toate triunghiurile posibile.

18. (Provocare.) Fie $a$, $b$ și unghiul ascuțit $A$ datele unei probleme de tip LLU. Scriind teorema cosinusului ca ecuație de gradul al doilea în $c$, arată că problema are exact două soluții dacă și numai dacă $b\sin A<a<b$.

Răspunsuri și explicații

1. $m(\angle C)=180^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$. Atunci $a=\frac{20\sin 60^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=20\sqrt{3}\approx 34,64$ și $b=\frac{20\cdot 1}{\frac{1}{2}}=40$. (Latura $b$ este ipotenuza, iar $c=20$ este jumătate din ea — corect, fiind opusă unghiului de $30^{\circ }$.)

2. $m(\angle C)=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$. Atunci

$$a=\frac{8\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{6}}{3}\approx 6,53,b\approx \frac{8\cdot 0,9659}{0,8660}\approx 8,92.$$

3. $b=\frac{10\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=10\sqrt{2}\approx 14,14$ și $m(\angle C)=105^{\circ }$.

4. $b=\frac{9\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=3\sqrt{6}\approx 7,35$.

5. $b=\frac{14\sin 45^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{6}}{3}\approx 11,43$ și $m(\angle C)=180^{\circ }-120^{\circ }-45^{\circ }=15^{\circ }$.

6. $h=10\cdot \frac{1}{2}=5$, iar $5<5\sqrt{2}\approx 7,07<10$, deci două triunghiuri. Din $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$: dacă $m(\angle B)=45^{\circ }$, atunci $m(\angle C)=105^{\circ }$ și $c=5\sqrt{3}+5\approx 13,66$; dacă $m(\angle B)=135^{\circ }$, atunci $m(\angle C)=15^{\circ }$ și $c=5\sqrt{3}-5\approx 3,66$.

7. $h=5=a$, deci cercul de rază $a$ este tangent la dreapta $AB$: exact un triunghi, dreptunghic. Într-adevăr, $\sin B=\frac{10\cdot \frac{1}{2}}{5}=1$, deci $m(\angle B)=90^{\circ }$ — singura valoare posibilă. Apoi $m(\angle C)=60^{\circ }$ și $c=\frac{5\sin 60^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=5\sqrt{3}\approx 8,66$.

8. $h=5$, iar $a=4<5=h$, deci niciun triunghi. Confirmare prin calcul: $\sin B=\frac{10\cdot \frac{1}{2}}{4}=1,25>1$, imposibil, pentru că sinusul nu depășește $1$.

9. Adevărat. Într-un triunghi există cel mult un unghi obtuz, deci dacă $A$ este obtuz, $B$ este obligatoriu ascuțit și se păstrează doar soluția ascuțită. Mai mult, e necesar ca $a>b$; dacă $a\le b$, nu există niciun triunghi.

10. $A=120^{\circ }$ este obtuz, iar $a=7>5=b$, deci soluția este unică. Ecuația în $c$: $49=25+c^2-2\cdot 5\cdot c\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$, adică $c^2+5c-24=0$, cu rădăcinile $c=3$ și $c=-8$. Se păstrează $c=3$. (Verificare: triunghiul $(7,5,3)$ are $\cos A=\frac{25+9-49}{30}=-\frac{1}{2}$ ✓.)

11. $A=120^{\circ }$ este obtuz, dar $a=5<7=b$, deci ar rezulta $B>A=120^{\circ }$: două unghiuri obtuze, imposibil. Niciun triunghi. Confirmare: $\sin B=\frac{7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{5}\approx 1,21>1$.

12. $h\approx 12\cdot 0,6428=7,71$, iar $7,71<9<12$, deci două triunghiuri. Din $\sin B\approx \frac{12\cdot 0,6428}{9}\approx 0,8571$ obținem $m(\angle B)\approx 59,0^{\circ }$ sau $\approx 121,0^{\circ }$; ambele lasă suma sub $180^{\circ }$ (al treilea unghi iese $\approx 81,0^{\circ }$, respectiv $\approx 19,0^{\circ }$).

13. Fals. La ULU cunoști două unghiuri, deci și pe al treilea, plus o latură; triunghiul este determinat complet, ca în cazul de congruență „unghi–latură–unghi". Ambiguitatea apare doar la LLU, unde unghiul necunoscut se află prin sinusul lui.

14. $m(\angle C)=180^{\circ }-48^{\circ }-67^{\circ }=65^{\circ }$. Atunci

$$BC=a=\frac{50\cdot 0,7431}{0,9063}\approx 41,0\text{m},AC=b=\frac{50\cdot 0,9205}{0,9063}\approx 50,8\text{m}.$$

15. $BC=a=6$ este latura dintre unghiurile $B$ și $C$ — caz ULU. Întâi al treilea unghi: $m(\angle A)=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$. Latura $AC=b$ este opusă unghiului $B$:

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=6\sqrt{2}\approx 8,49.$$

16. a) Cu $a=7$, $b=3$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, teorema cosinusului dă $49=9+c^2-3c$, adică $c^2-3c-40=0$, cu rădăcinile $8$ și $-5$. Cum $c$ este lungime, $AB=c=8$. b) $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\approx 0,3712$. (Soluția este unică pentru că $a>b$.)

17. $h=18\cdot \frac{1}{2}=9$, iar $9<12<18$, deci două triunghiuri. Din $\sin B=\frac{18\cdot \frac{1}{2}}{12}=\frac{3}{4}=0,75$ obținem $m(\angle B)\approx 48,59^{\circ }$ sau $m(\angle B)\approx 131,41^{\circ }$.

• Prima variantă: $m(\angle C)\approx 101,41^{\circ }$ și $c=\frac{12\sin C}{\sin 30^{\circ }}\approx 23,53$.
• A doua variantă: $m(\angle C)\approx 18,59^{\circ }$ și $c\approx 7,65$.

18. Teorema cosinusului scrisă pentru unghiul $A$, cu $c$ necunoscută:

$$c^2-(2b\cos A)c+(b^2-a^2)=0.$$

Discriminantul este

$$\Delta =4b^2{\cos }^{2}A-4(b^2-a^2)=4\left(a^2-b^2(1-{\cos }^{2}A)\right)=4\left(a^2-b^2{\sin }^{2}A\right)=4(a^2-h^2),$$

unde $h=b\sin A$. Ecuația are două rădăcini reale distincte exact când $a>h$. Ele sunt amândouă strict pozitive dacă și numai dacă suma lor, $2b\cos A$, și produsul lor, $b^2-a^2$, sunt pozitive. Suma este pozitivă pentru că $A$ este ascuțit, iar produsul este pozitiv exact când $a<b$. Prin urmare, problema are două soluții dacă și numai dacă $h<a<b$, adică $b\sin A<a<b$ — exact tabelul din lecție. $■$

De reținut

• ULU și LUU au întotdeauna exact o soluție. La ULU, primul pas este obligatoriu al treilea unghi, din suma de $180^{\circ }$; abia apoi se aplică teorema sinusurilor.
• Triangulația este aplicația practică a cazului ULU: măsori o bază accesibilă și două unghiuri, restul se calculează.
• LLU este cazul ambiguu, pentru că $\sin B=k$ are două soluții în $(0^{\circ },180^{\circ })$: $B$ și $180^{\circ }-B$.
• Discuția se face cu $h=b\sin A$. Pentru $A$ ascuțit: $a<h$ → zero triunghiuri; $a=h$ → unul, dreptunghic; $h<a<b$ → două; $a\ge b$ → unul. Pentru $A$ drept sau obtuz: unul dacă $a>b$, niciunul altfel.
• Verificarea independentă: ecuația $c^2-(2b\cos A)c+(b^2-a^2)=0$ are exact atâtea rădăcini strict pozitive câte triunghiuri există.

Greșeli frecvente

• Se dă o singură soluție la cazul ambiguu. Din $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ se scrie doar $B=45^{\circ }$, deși $B=135^{\circ }$ poate fi la fel de valabil. Verifică întotdeauna dacă suma cu unghiul cunoscut rămâne sub $180^{\circ }$.
• Se sare peste al treilea unghi la ULU. Fără el nu există pereche completă, iar teorema sinusurilor nu poate porni; problema pare nerezolvabilă.
• Se confundă LLU cu LUL. Dacă unghiul este între cele două laturi, ești în cazul LUL, cu soluție unică; ambiguitatea apare doar când unghiul nu este între ele.
• Se ignoră semnalul $\sin B>1$. Nu este o eroare de calculator, ci mesajul că datele nu descriu niciun triunghi.
• Se acceptă a doua soluție fără verificare. Când $a\ge b$, varianta obtuză trebuie respinsă; a o păstra „ca să fie" este la fel de greșit ca a o omite când e valabilă.

Aplică acasă

1. Triangulația din curte. Alege un obiect de care nu te poți apropia (un stâlp de pe stradă, un copac de peste gard). Marchează două puncte $A$ și $B$ la o distanță măsurabilă și, cu o aplicație de raportor din telefon, citește din fiecare unghiul dintre direcția $AB$ și direcția către obiect. Rezolvă triunghiul, apoi verifică una dintre distanțe mergând până acolo.

2. Cele două triunghiuri, pe hârtie. Trasează un unghi de $30^{\circ }$ și, pe una dintre laturile lui, un segment $AC=10$ cm. Cu compasul deschis la $7$ cm și vârful în $C$, taie cealaltă latură: vei obține două puncte de intersecție. Desenează ambele triunghiuri și măsoară-le a treia latură. Repetă cu $4$ cm și apoi cu $12$ cm — ce se schimbă?

3. Harta și cele două variante. Pe o hartă digitală, alege un punct de plecare și un reper aflat la $10$ km. Caută apoi punctele aflate la $7$ km de reper, pe o direcție care face $30^{\circ }$ cu prima. Câte găsești?

Pentru părinți și profesori

Lecția închide conținutul „rezolvarea triunghiurilor oarecare" din programă și conține singura capcană logică a întregii unități: cazul ambiguu. Elevul trebuie să înțeleagă că nu e vorba de o greșeală, ci de o proprietate a datelor — două triunghiuri diferite pot avea aceleași două laturi și același unghi nealăturat. De aceea disciplina cerută este să facă discuția înaintea calculului: mai întâi $h=b\sin A$ și numărul de soluții, abia apoi sinusurile.

Întrebări bune de control: „De ce la ULU trebuie întâi al treilea unghi?" (ca să obțin perechea latură–unghi opus); „De ce $\sin B=0,5$ poate însemna două unghiuri?" (pentru că $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$); „Când sunt sigur că soluția e unică?" (când $a\ge b$ sau când unghiul cunoscut este obtuz); „Cum verific fără sinusuri?" (cu ecuația de gradul al doilea dată de teorema cosinusului, numărând rădăcinile pozitive). Semne că a înțeles: începe cu discuția, nu cu formula, și își controlează fiecare soluție cu suma unghiurilor și cu inegalitatea triunghiului.

La Bacalaureat, cazul ambiguu apare rar în forma lui completă, dar apare des mascat: se dau două laturi și un unghi nealăturat, iar datele sunt alese astfel încât soluția să fie unică, de obicei pentru că latura opusă unghiului cunoscut este cea mai mare. Elevul care justifică unicitatea primește punctajul integral; cel care o presupune tacit riscă. Tratarea de specialitate a acestor cazuri se află în lecția de clasa a IX-a despre rezolvarea triunghiurilor, iar lecția următoare trece la aria triunghiului, unde elementele aflate aici devin date de intrare.

Întrebări frecvente

Ce este cazul ambiguu al teoremei sinusurilor? Este situația LLU: se cunosc două laturi și un unghi care nu este între ele. Ecuația $\sin B=k$ are două soluții în $(0^{\circ },180^{\circ })$, deci datele pot descrie două triunghiuri diferite, unul singur sau niciunul.

Cum aflu câte triunghiuri există, înainte să calculez? Calculezi înălțimea $h=b\sin A$. Dacă $A$ este ascuțit: $a<h$ înseamnă zero triunghiuri, $a=h$ înseamnă unul (dreptunghic), $h<a<b$ înseamnă două, iar $a\ge b$ înseamnă unul. Dacă $A$ este drept sau obtuz: unul dacă $a>b$, niciunul altfel. În toate situațiile cu o singură soluție, varianta obtuză a lui $B$ se respinge automat.

De ce la cazul ULU nu apare nicio ambiguitate? Pentru că nu afli niciun unghi prin sinusul lui: cunoști două unghiuri, îl calculezi pe al treilea din suma de $180^{\circ }$ și folosești teorema sinusurilor doar pentru laturi. Triunghiul este determinat complet.

Ce fac dacă îmi iese $\sin B>1$? Scrii că problema nu are soluție. Sinusul oricărui unghi este cel mult $1$, deci o valoare mai mare înseamnă că cele trei date nu pot descrie un triunghi — latura $a$ este prea scurtă.

Pot rezolva cazul LLU fără teorema sinusurilor? Da, și este chiar metoda cea mai sigură: scrii teorema cosinusului ca ecuație de gradul al doilea în latura necunoscută $c$ și numeri rădăcinile strict pozitive. Fiecare rădăcină pozitivă corespunde unui triunghi.

Ce este triangulația? Metoda prin care se măsoară distanțe inaccesibile: măsori o bază pe care poți umbla și cele două unghiuri vizate din capetele ei, apoi rezolvi triunghiul ca la cazul ULU. Se folosește în topografie, cartografie, navigație și astronomie.

Trebuie să dau ambele soluții dacă problema are două? Da. Un răspuns care dă un singur triunghi, când datele descriu două, este incomplet și se punctează parțial. Scrie discuția și rezolvă fiecare variantă până la capăt.