În cazul ULU, care este primul pas al rezolvării?

calculezi al treilea unghi din suma unghiurilor

calculezi sinusul unui unghi necunoscut

calculezi înălțimea din vârful opus laturii

Se dau $$a = 5$$, $$b = 8$$ și $$A = \dfrac{2\pi}{3}$$. Câte triunghiuri descriu aceste date?

depinde de unitatea de măsură

Cum se calculează un mecanism bielă–manivelă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Rezolvarea triunghiului ULU și LLU

Axa, capătul manivelei și pistonul formează un triunghi în care se cunosc manivela $r$ , biela $l$ și unghiul $θ$ al manivelei, opus bielei: este cazul LLU. Teorema sinusurilor dă unghiul bielei, $sin φ = \frac{r s i n θ}{l}$ . Exemplu: $r = 5$ cm, $l = 15$ cm, $θ = \frac{π}{2}$ dau $sin φ = \frac{1}{3}$ , iar pistonul este la $15 cos φ = 102 \approx 14, 14$ cm de axă. Cum $l > r$ , soluția este una singură.

Când printre date se află o latură împreună cu unghiul din fața ei, triunghiul se rezolvă cu teorema sinusurilor. La ULU, unde latura stă între cele două unghiuri date, primul pas este al treilea unghi, din sumă; abia atunci perechea latură–unghi opus e completă și poți afla celelalte laturi. Pentru ULU și LUU triunghiul este unic, cu condiția ca unghiurile date să însumeze sub $18 0^{\circ}$ .

La LLU se cunosc două laturi și un unghi așezat în fața uneia dintre ele. Vârful căutat e pe o semidreaptă și, în același timp, pe un cerc cu raza egală cu latura din fața unghiului. Cercul poate să nu atingă semidreapta, să o atingă sau să o taie în două puncte, deci datele pot descrie zero, unul sau două triunghiuri. Decizia se ia cu înălțimea $h = b sin A$ : pentru un unghi ascuțit, două soluții apar exact când $h < a < b$ .

Din $sin B = \frac{b sin A}{a}$ rezultă un unghi ascuțit și suplementul lui; îl păstrezi pe fiecare care, adunat cu $A$ , rămâne sub $18 0^{\circ}$ . În reper, cu $A$ în origine, vârful are $x = b cos A \pm a^{2} - h^{2}$ , iar fiecare valoare pozitivă înseamnă un triunghi.

De reținut

ULU și LUU: întâi al treilea unghi, apoi teorema sinusurilor
LLU: $h = b sin A$ decide zero, una sau două soluții
$sin B = \frac{b s i n A}{a}$ dă un unghi ascuțit și suplementul lui

Greșeala tipică

Se păstrează ambele valori ale lui $B$ date de sinus fără a verifica suma cu $A$ ; suplementul se acceptă doar dacă, adunat cu $A$ , rămâne sub $18 0^{\circ}$ .

Exerciții din această mini-lecție

În cazul ULU, care este primul pas al rezolvării?
- a) calculezi al treilea unghi din suma unghiurilor
- b) calculezi sinusul unui unghi necunoscut
- c) aplici teorema cosinusului
- d) calculezi înălțimea din vârful opus laturii
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) calculezi al treilea unghi din suma unghiurilor

Latura dată stă în fața unghiului necunoscut; după ce afli acest unghi din sumă, perechea latură–unghi opus este completă.
Se dau $a = 9$ , $b = 11$ și $A = \frac{π}{4}$ . Câte triunghiuri descriu aceste date?
- a) niciunul
- b) unul singur
- c) două
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) două

$h = 11 \cdot \frac{2}{2} \approx 7, 78$ , iar $7, 78 < 9 < 11$ : cercul de rază $9$ taie semidreapta în două puncte.
Se dau $a = 5$ , $b = 8$ și $A = \frac{2 π}{3}$ . Câte triunghiuri descriu aceste date?
- a) două
- b) unul singur
- c) niciunul
- d) depinde de unitatea de măsură
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) niciunul

Unghiul $A$ este obtuz, deci latura din fața lui ar trebui să fie cea mai lungă; dar $a = 5 < b = 8$ , deci nu există triunghi.

Întrebări conexe

Cum rezolv un triunghi dacă știu o latură și cele două unghiuri alăturate ei?

Este cazul ULU. Pentru $a = 10$ , $B = \frac{π}{4}$ și $C = \frac{π}{3}$ , afli întâi $A = π - \frac{π}{4} - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{12}$ , adică $7 5^{\circ}$ . Apoi $b = \frac{10 s i n 4 5 ^{\circ}}{s i n 7 5 ^{\circ}} \approx 7, 32$ și $c = \frac{10 s i n 6 0 ^{\circ}}{s i n 7 5 ^{\circ}} \approx 8, 97$ . Verificare: latura cea mai mare, $10$ , stă în fața unghiului cel mai mare, $7 5^{\circ}$ .

Ce lungimi poate avea $c$ dacă $b = 10$ , $A = \frac{π}{6}$ și $a = 6$ ?

Înălțimea este $h = 10 sin \frac{π}{6} = 5$ , iar $5 < 6 < 10$ , deci există două triunghiuri. Cu $A$ în origine, vârful $C$ este în $(53, 5)$ , iar $c = 53 \pm 36 - 25$ , adică circa $11, 98$ sau $5, 34$ .

De ce în cazul LLU cu unghi obtuz există cel mult un triunghi?

Latura din fața unghiului obtuz trebuie să fie cea mai lungă. Pentru $A = \frac{2 π}{3}$ , $b = 5$ și $a = 7$ , $sin B = \frac{5 \cdot \frac{3}{2}}{7} \approx 0, 619$ dă $B \approx 38, 2^{\circ}$ ; suplementul ar face suma peste $18 0^{\circ}$ , deci soluția este una singură.

Ce cursă face pistonul unui mecanism bielă–manivelă?

Pistonul ajunge cel mai departe de axă când manivela și biela sunt în prelungire, la $l + r$ , și cel mai aproape când manivela e întoarsă spre el, la $l - r$ . Cursa este diferența, $2 r$ : pentru $r = 5$ cm, cursa are $10$ cm, oricare ar fi lungimea bielei.

De ce unghiurile date în cazul ULU trebuie să aibă suma mai mică decât $π$ ?

Al treilea unghi se obține ca $π$ minus suma celorlalte două și trebuie să fie pozitiv. Cu $10 0^{\circ}$ și $8 5^{\circ}$ suma depășește $18 0^{\circ}$ , deci niciun triunghi nu are aceste unghiuri, orice latură s-ar da între ele.

Oamenii mai întreabă și: mecanismul bielă manivelă și trigonometria · poziția pistonului cu teorema sinusurilor · cazul LLU în mecanică · calculul bielei și manivelei