Care este tabelul de semn al funcției $$f(x)=\dfrac{x-13}{(x+5)^2}$$?

$$-$$ pe $$(-\infty,-5)$$, bară în $$-5$$, $$-$$ pe $$(-5,13)$$, $$0$$ în $$13$$, $$+$$ pe $$(13,+\infty)$$

$$+$$ pe $$(-\infty,-5)$$, bară în $$-5$$, $$-$$ pe $$(-5,13)$$, $$0$$ în $$13$$, $$+$$ pe $$(13,+\infty)$$

$$-$$ pe $$(-\infty,-5)$$, $$0$$ în $$-5$$, $$-$$ pe $$(-5,13)$$, $$0$$ în $$13$$, $$+$$ pe $$(13,+\infty)$$

$$+$$ pe $$(-\infty,-5)$$, bară în $$-5$$, $$+$$ pe $$(-5,13)$$, $$0$$ în $$13$$, $$-$$ pe $$(13,+\infty)$$

Se consideră funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=(x+6)^2(x-11)$$. Ce se întâmplă cu semnul la trecerea prin $$-6$$ și prin $$11$$?

semnul nu se schimbă la trecerea prin $$-6$$ și se schimbă la trecerea prin $$11$$

semnul se schimbă în amândouă

semnul se schimbă la trecerea prin $$-6$$ și nu se schimbă la trecerea prin $$11$$

semnul nu se schimbă în niciunul dintre ele

Cum rezolv o inecuație cu tabelul de semn?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Semnul pe interval

Aduci inecuația la forma $f (x) \geq 0$ sau $f (x) < 0$ și stabilești domeniul. Afli zerourile numărătorului și valorile care anulează numitorul, apoi completezi semnul pe fiecare interval. Pentru $\frac{x - 3}{x + 1} \geq 0$ : zeroul este $3$ , iar $- 1$ este exclus. Semnul este $+$ pe $(- \infty, - 1)$ , $-$ pe $(- 1, 3)$ și $+$ pe $(3, + \infty)$ . Soluția este $(- \infty, - 1) \cup [3, + \infty)$ : $3$ intră, fiindcă inegalitatea este nestrictă, iar $- 1$ nu intră niciodată.

Pe un interval unde o funcție continuă nu atinge deloc axa, toate valorile ei stau de aceeași parte a ei: ca să treacă dintr-o parte în alta, curba ar trebui să se anuleze undeva. Cuvântul „interval" trage greu — reciproca lui $x$ nu se anulează nicăieri și totuși schimbă semnul în origine, fiindcă domeniul ei e făcut din două bucăți. Urmarea practică: între două zerouri vecine ajunge un singur număr de probă.

Continuitatea se argumentează într-un rând, prin operațiile care o transmit: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea cu numitor nenul și compunerea. Mersul are patru trepte, în ordine: condițiile de existență, propoziția de argument, zerourile păstrate numai dacă sunt în domeniu, apoi câte o valoare încercată pe fiecare bucată. În tabel, un zerou primește $0$ , iar o valoare care lipsește din domeniu primește bară; coloanele capetelor infinite rămân albe.

Capcana. Semnele ies din calcul, nu dintr-o alternanță învățată pe de rost: la o rădăcină de ordin par nu se schimbă nimic. Iar o inecuație cu fracție nu se scapă de numitor prin înmulțire, fiindcă semnul lui e necunoscut — raportul rămâne întreg și i se face tabelul.

De reținut

se compară cu $0$ : totul se aduce într-o parte
între două zerouri vecine o funcție continuă păstrează semnul
punctele care anulează numitorul nu intră niciodată în soluție

Greșeala tipică

Se înmulțește inecuația cu numitorul fără să se știe semnul lui; dacă numitorul este negativ, sensul inegalității se schimbă, de aceea se lucrează cu tabelul de semn.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5^{x} - 625$ . Care este mulțimea numerelor reale pentru care $f (x) > 0$ ?
- a) $(- \infty, 4)$
- b) $(4, + \infty)$
- c) $(625, + \infty)$
- d) $(5, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(4, + \infty)$

Funcția exponențială este continuă pe $R$ , la fel și diferența ei cu o constantă. Zeroul se obține din $5^{x} = 625 = 5^{4}$ , adică $x = 4$ . Probele: $f (0) = 1 - 625 = - 624 < 0$ și $f (5) = 3125 - 625 = 2500 > 0$ , deci $f$ este negativă pe $(- \infty, 4)$ și pozitivă pe $(4, + \infty)$ . Varianta a) alege intervalul greșit, c) confundă valoarea funcției cu argumentul, iar d) citește baza drept zerou.
Care este tabelul de semn al funcției $f (x) = \frac{x - 13}{( x + 5 ) ^{2}}$ ?
- a) $+$ pe $(- \infty, - 5)$ , bară în $- 5$ , $-$ pe $(- 5, 13)$ , $0$ în $13$ , $+$ pe $(13, + \infty)$
- b) $-$ pe $(- \infty, - 5)$ , $0$ în $- 5$ , $-$ pe $(- 5, 13)$ , $0$ în $13$ , $+$ pe $(13, + \infty)$
- c) $-$ pe $(- \infty, - 5)$ , bară în $- 5$ , $-$ pe $(- 5, 13)$ , $0$ în $13$ , $+$ pe $(13, + \infty)$
- d) $+$ pe $(- \infty, - 5)$ , bară în $- 5$ , $+$ pe $(- 5, 13)$ , $0$ în $13$ , $-$ pe $(13, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $-$ pe $(- \infty, - 5)$ , bară în $- 5$ , $-$ pe $(- 5, 13)$ , $0$ în $13$ , $+$ pe $(13, + \infty)$

Domeniul este $R ∖ {- 5}$ , iar funcția rațională este continuă pe el. Numitorul fiind un pătrat, el este strict pozitiv pe tot domeniul, deci semnul raportului este chiar semnul numărătorului: negativ pentru $x < 13$ și pozitiv pentru $x > 13$ . Probele: $f (- 6) = - 19$ , $f (0) = - \frac{13}{25}$ , $f (14) = \frac{1}{361}$ . În dreptul lui $- 5$ se pune bară, nu $0$ : funcția nu există acolo. Varianta b) face exact această greșeală, iar a) și d) alternează semnele fără să le calculeze.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x + 6)^{2} (x - 11)$ . Ce se întâmplă cu semnul la trecerea prin $- 6$ și prin $11$ ?
- a) semnul se schimbă în amândouă
- b) semnul nu se schimbă la trecerea prin $- 6$ și se schimbă la trecerea prin $11$
- c) semnul se schimbă la trecerea prin $- 6$ și nu se schimbă la trecerea prin $11$
- d) semnul nu se schimbă în niciunul dintre ele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) semnul nu se schimbă la trecerea prin $- 6$ și se schimbă la trecerea prin $11$

Factorul $(x + 6)^{2}$ este pozitiv de amândouă părțile lui $- 6$ și se anulează doar în vârf, deci semnul funcției este dat de $x - 11$ : negativ pe $(- \infty, - 6)$ și pe $(- 6, 11)$ , pozitiv pe $(11, + \infty)$ . Probele: $f (- 7) = 1 \cdot (- 18) = - 18$ , $f (0) = 36 \cdot (- 11) = - 396$ , $f (12) = 324 \cdot 1 = 324$ . Rădăcina dublă din $- 6$ este un zerou peste care semnul trece neschimbat; șirul alternat „ $-, +, -$ " ține numai când toate zerourile sunt simple.

Întrebări conexe

Cum rezolv o inecuație de gradul al doilea cu tabel de semn?

Afli rădăcinile și folosești faptul că funcția păstrează semnul între ele. Pentru $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ , rădăcinile sunt $1$ și $4$ ; coeficientul lui $x^{2}$ este pozitiv, deci expresia e negativă între rădăcini. Soluția este $(1, 4)$ .

Cum aflu semnul unei funcții cu logaritm?

Rezolvi ecuația $f (x) = 0$ și folosești monotonia. Pentru $f (x) = lo g_{2} x - 3$ , domeniul este $(0, + \infty)$ și zeroul este $x = 8$ . Cum logaritmul în baza $2$ crește, $f$ este negativă pe $(0, 8)$ și pozitivă pe $(8, + \infty)$ .

Ce se schimbă în tabelul de semn la o inecuație strictă?

Zerourile numărătorului nu mai intră în soluție, fiindcă acolo expresia este $0$ , iar inegalitatea cere strict pozitiv sau strict negativ. Valorile care anulează numitorul sunt excluse în ambele cazuri, fiind în afara domeniului.

De ce trebuie adus totul într-o parte înainte de tabelul de semn?

Tabelul arată semnul unei expresii comparate cu $0$ , nu cu alt număr. Pentru $\frac{x + 1}{x - 2} > 1$ scazi $1$ și aduci la același numitor: $\frac{3}{x - 2} > 0$ , adevărat pentru $x > 2$ . Înmulțirea cu $x - 2$ ar fi fost greșită, fiindcă semnul lui nu se cunoaște.

Cum aflu intervalul de timp în care o mărime depășește un prag?

Scrii inecuația și o rezolvi cu tabel de semn. Dacă o concentrație este $c (t) = 10 t - t^{2}$ mg/L și se cere $c (t) > 16$ , obții $t^{2} - 10 t + 16 < 0$ , cu rădăcinile $2$ și $8$ . Pragul este depășit între orele $2$ și $8$ , adică timp de $6$ ore.

Oamenii mai întreabă și: inecuații rezolvate cu tabel de semn · tabelul de semn la inecuații · cum rezolv inecuații cu fracții · metoda intervalelor la inecuații