Funcții continue: operații și semn pe interval (M2, științe ale naturii)

Într-un iaz, concentrația de oxigen dizolvat scade noaptea și urcă ziua, iar peștii au probleme sub un prag de cinci miligrame pe litru. Biologul care supraveghează apa nu măsoară din minut în minut: îi ajunge să știe orele la care concentrația trece exact prin prag, fiindcă între două asemenea treceri apa e fie bună, fie rea, tot timpul. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), ideea aceasta are un nume tehnic — semnul unei funcții continue pe un interval — și un loc precis la examen: programa bacalaureatului M2 o cere la capitolul „Funcții continue", iar în probă tabelul de semn intră ca pas de lucru la Subiectul al III-lea.

Vei vedea întâi de ce funcțiile cu care lucrezi sunt continue — asta spun operațiile cu funcții continue —, apoi cum se transformă proprietatea într-o metodă de calcul și într-un tabel. Tema e prevăzută atât de programa de examen din sesiunile 2027–2029, cât și, din 2030, de programa probei MAT_P2, în domeniul „Analiză matematică". În modelul oficial publicat al probei M_șt-nat, semnul unei funcții nu apare ca cerință de sine stătătoare, dar el devine pas de lucru ori de câte ori se cere rezolvarea unei inecuații sau studiul variației unei funcții.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți proprietatea de semn: dacă o funcție continuă nu are niciun zerou într-un interval, valorile ei sunt acolo sau toate pozitive, sau toate negative.
• Vei ști să justifici continuitatea unei funcții într-o singură propoziție, folosind operațiile cu funcții continue.
• Vei ști să aplici metoda intervalelor: domeniul, continuitatea, zerourile, un punct de probă în fiecare interval.
• Vei ști să scrii corect un tabel de semn, cu $0$ în zerouri și cu bară acolo unde funcția nu există.
• Vei ști de ce plusurile și minusurile nu se pun din doi în doi și cum se poartă o rădăcină dublă.
• Vei ști să rezolvi o inecuație citind tabelul și să spui, într-un model din științe, când o mărime e peste sau sub un prag.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune continuitatea despre semnul unei funcții?

Proprietate. Fie $I$ un interval de numere reale și $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție continuă, despre care se știe că $f(x)\ne 0$ oricare ar fi $x$ din $I$. Atunci toate valorile ei au același semn: sau $f(x)>0$ peste tot pe $I$, sau $f(x)<0$ peste tot pe $I$.

Semnul constant este numele scurt al concluziei: o funcție păstrează semn constant pe o mulțime atunci când valorile ei sunt fie toate pozitive, fie toate negative pe acea mulțime. Intuiția e cea din deschidere: graficul unei funcții continue se desenează fără să ridici creionul de pe hârtie, așa că, pentru a ajunge de sub axa $Ox$ deasupra ei, ar trebui să treacă prin axă — adică să se anuleze. Dacă ipoteza spune că nu se anulează nicăieri pe $I$, trecerea e imposibilă. Justificarea riguroasă a acestei proprietăți se face cu proprietatea lui Darboux, care la profilul științe ale naturii apare numai în suplimentul pentru bacalaureatul M2; aici o folosim ca pe o unealtă, așa cum cere programa.

Forma în care o vei folosi la fiecare exercițiu este aceasta:

Între două zerouri consecutive ale unei funcții continue, semnul nu se schimbă. Ca să-l afli, e de ajuns să calculezi valoarea funcției într-un singur punct al intervalului.

Cuvântul „interval" din enunț nu e de ornament. Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ nu ia niciodată valoarea zero, și totuși e negativă înainte de origine și pozitivă după ea: mulțimea $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ nu e un interval, ci două intervale puse laolaltă, iar proprietatea lucrează pe fiecare dintre ele în parte. Iată de ce, la rapoarte, semnul se discută separat pe fiecare bucată a domeniului.

2. Operații cu funcții continue: de ce justificarea ține un rând

Ca să folosești proprietatea, trebuie mai întâi să știi că funcția e continuă. Din fericire, continuitatea se transmite prin toate operațiile obișnuite, iar tabelul de mai jos e tot ce ai de reținut. Peste tot, $f$ și $g$ sunt continue pe domeniile lor.

Tabelul acesta e și temeiul afirmației din lecția despre parametrul care face continuă o funcție pe ramuri: în interiorul fiecărei ramuri nu se poate strica nimic, așa că studiul se oprește la racorduri. De aici rezultă faptul practic pe care îl vei folosi de zeci de ori: toate funcțiile studiate la profilul științe ale naturii — de gradul I și al II-lea, putere, radical, exponențială, logaritmică, precum și rapoartele lor — sunt continue în fiecare punct al domeniului lor de definiție. O funcție polinomială se obține din funcția identică și din constante prin adunări și înmulțiri, deci e continuă pe $\mathbb{R}$; o funcție rațională e un raport de funcții polinomiale, deci e continuă oriunde numitorul nu se anulează; o funcție ca $\sqrt{2x+5}$ este o compunere de funcții continue.

Prin urmare, justificarea din rezolvare se scrie într-un rând: „funcție polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$" sau „funcție rațională, deci continuă pe domeniul ei". Fără propoziția aceasta, tabelul de semn rămâne o afirmație nesusținută, fiindcă proprietatea de la §1 nu s-ar putea aplica.

3. Metoda intervalelor, în patru pași

Pornești de la expresia care definește funcția. Ca să-i afli semnul:

1. Domeniul. Scrie condițiile de existență: numitor nenul, radicand pozitiv sau nul, argument strict pozitiv la logaritm. Domeniul este, de obicei, o reuniune de intervale.
2. Continuitatea. Justific-o în propoziția de la §2.
3. Zerourile. Rezolvă ecuația $f(x)=0$ și păstrează soluțiile care aparțin domeniului, ordonate crescător. La un raport, ecuația se reduce la anularea numărătorului, cu numitorul nenul.
4. Probele. Zerourile, împreună cu valorile în care funcția lipsește, rup domeniul în intervale curate, fără găuri și fără zerouri înăuntru. Ia din fiecare câte un număr comod și uită-te ce semn are valoarea: proprietatea de la §1 îl întinde peste tot intervalul.

Pasul 4 e inima metodei și trebuie citit exact așa cum e scris: semnele se calculează, unul pe interval. Nu se ghicesc, nu se alternează și nu se copiază de pe un desen aproximativ.

4. Cum se scrie tabelul de semn?

Rezultatul se strânge într-un tabel scurt: sus stă variabila $x$, iar dedesubt semnele funcției. Coloanele merg alternativ: capătul din stânga, un interval, un zerou, iarăși un interval, iarăși un zerou și tot așa, până la capătul din dreapta. În dreptul unui zerou se pune $0$, iar în dreptul fiecărui interval, $+$ sau $-$. La $\pm \infty$ coloana rămâne liberă, fiindcă acolo funcția n-are nicio valoare; într-un capăt închis al domeniului se trece semnul valorii de acolo.

Să-l construim pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x^2-6x$. Funcția e polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$. Zerourile: dăm factor comun și descompunem trinomul rămas,

$$x^3-x^2-6x=x\left(x^2-x-6\right)=x(x-3)(x+2),$$

de unde $x\in \{-2,0,3\}$. Cele trei valori taie dreapta reală în patru intervale, iar în fiecare calculăm o singură valoare: $f(-3)=-27-9+18=-18$; $f(-1)=-1-1+6=4$; $f(1)=1-1-6=-6$; $f(4)=64-16-24=24$.

Tabelul de semn al funcției $f(x)=x^3-x^2-6x$ este:

Citirea: sub axă stau intervalele $(-\infty ,-2)$ și $(0,3)$; deasupra axei, $(-2,0)$ împreună cu $(3,+\infty )$; graficul atinge axa în $-2$, în $0$ și în $3$.

Formatul nu e o alegere de stil: peste el se vor așeza, în unitatea următoare, rândul derivatei și săgețile de creștere și descreștere. Deprins acum, el nu mai trebuie învățat a doua oară.

5. Ce se pune în tabel acolo unde funcția nu există?

La rapoarte apar valori care taie domeniul fără să fie zerouri: cele care anulează numitorul. Ele intră în tabel, dar cu o bară verticală, nu cu $0$.

Fie $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, iar funcția este rațională, deci continuă pe tot domeniul. Ecuația $f(x)=0$ se reduce la $x+1=0$, adică $x=-1$, valoare care aparține domeniului. Cele trei valori $-2$, $-1$ și $2$ taie domeniul în patru intervale, iar probele sunt $f(-3)=\frac{-2}{5}$; $f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{7}{4}}=\frac{2}{7}$; $f(0)=\frac{1}{-4}$; $f(3)=\frac{4}{5}$.

Tabelul de semn al funcției $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$ este:

Observă că semnul se schimbă și la trecerea peste $-2$, deși acolo funcția nu are zerou: proprietatea de la §1 nu spune nimic despre ce se întâmplă între două intervale diferite ale domeniului, ci doar în interiorul fiecăruia. Semnele din jurul unei bare se pot controla și cu limitele laterale studiate în lecția despre asimptotele verticale și orizontale: dacă funcția coboară spre $-\infty$ la stânga lui $-2$ și urcă spre $+\infty$ la dreapta, atunci semnele $-$ și $+$ din tabel sunt confirmate.

6. De ce nu alternează semnele automat?

Aici apar cele mai multe greșeli. Fie $f(x)=x^3-5x^2+8x-4$. Se observă că $f(1)=1-5+8-4=0$, deci $x-1$ este factor, iar împărțind obținem

$$x^3-5x^2+8x-4=(x-1)\left(x^2-4x+4\right)=(x-1)(x-2{)}^2.$$

Zerourile sunt $1$ și $2$, dar $2$ este rădăcină dublă: apare la puterea a doua. Probele: $f(0)=-4$; $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$; $f(3)=2\cdot 1=2$.

Tabelul de semn al funcției $f(x)=x^3-5x^2+8x-4$ este:

Peste $2$, semnul a rămas neschimbat: factorul $(x-2{)}^2$ e pozitiv și în stânga, și în dreapta, atingând zeroul doar în vârf. Șirul „$-,+,-,+$" e un tipar des întâlnit, nu o lege: el ține cât timp toate zerourile sunt simple și cade de îndată ce unul e dublu.

7. Inecuații și praguri: la ce folosește semnul

Prima întrebuințare e algebrică și continuă o deprindere din clasa a IX-a, de la inecuațiile de gradul doi citite pe grafic, unde alegeai porțiunile în care parabola se află de partea cerută a axei: acum o inecuație de forma $f(x)\ge 0$ sau $f(x)<0$ se rezolvă mutând totul într-un singur membru, făcând tabelul expresiei rămase și strângând laolaltă bucățile cu semnul cerut. Un zerou intră în răspuns numai când inegalitatea nu e strictă; o valoare în care funcția lipsește rămâne afară de fiecare dată.

A doua întrebuințare e cea din științe, și e chiar motivul pentru care tema intră în programa profilului. Ori de câte ori o mărime se compară cu un prag, întrebarea „când suntem peste prag?" devine o discuție de semn pentru diferența dintre mărime și prag. Concentrația de oxigen dizolvat din deschidere, măsurată în miligrame pe litru la $t$ ore de la miezul nopții, se potrivește pe intervalul $[0,10]$ cu legea $c(t)=\frac{t^2-10t+36}{4}$, care dă valori între $2,75$ și $9$ miligrame pe litru. Cum pragul critic e de cinci miligrame pe litru, mărimea care interesează este diferența $d(t)=c(t)-5$, adică $\frac{t^2-10t+16}{4}$. Numitorul fiind pozitiv, semnul lui $d$ este semnul numărătorului, iar $t^2-10t+16=(t-2)(t-8)$. Zerourile sunt $2$ și $8$, iar probele $d(0)=4$, $d(5)=-\frac{9}{4}$ și $d(10)=4$ arată că $d$ e negativă exact pe $(2,8)$: apa stă sub prag din toiul nopții până dimineața, când fotosinteza readuce oxigenul peste prag. Răspunsul biologului nu e „rău" sau „bun", ci un interval orar — obținut din trei calcule.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție polinomială de gradul al treilea

Studiați semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x^2+3x$.

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; domeniul e tot $\mathbb{R}$.

Zerourile: $x^3-4x^2+3x=x\left(x^2-4x+3\right)=x(x-1)(x-3)$, deci $x\in \{0,1,3\}$.

Probele: $f(-1)=-1-4-3=-8$; $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}-1+\frac{3}{2}=\frac{5}{8}$; $f(2)=8-16+6=-2$; $f(4)=64-64+12=12$.

Tabelul de semn al funcției $f(x)=x^3-4x^2+3x$ este:

Exemplul 2 — O funcție rațională

Studiați semnul funcției $f(x)=\frac{x-4}{x^2-1}$.

Rezolvare. Domeniul: numitorul se anulează pentru $x\in \{-1,1\}$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. Funcția e rațională, deci continuă pe $D$.

Zerourile: $x-4=0$, adică $x=4$, valoare din domeniu.

Probele: $f(-2)=\frac{-6}{3}=-2$; $f(0)=\frac{-4}{-1}=4$; $f(2)=\frac{-2}{3}$; $f(5)=\frac{1}{24}$.

Tabelul de semn al funcției $f(x)=\frac{x-4}{x^2-1}$ este:

Atenție la deosebirea de scriere: în dreptul lui $-1$ și al lui $1$ se pune bară, pentru că funcția nu există acolo, iar în dreptul lui $4$ se pune $0$.

Exemplul 3 — O funcție cu radical

Determinați domeniul și semnul funcției $f(x)=\sqrt{2x+1}-3$.

Rezolvare. Domeniul: radicandul trebuie să fie pozitiv sau nul, $2x+1\ge 0$, deci $D=\left[-\frac{1}{2},+\infty \right)$. Funcția este o diferență dintre o compunere de funcții continue și o constantă, deci e continuă pe $D$.

Zerourile: $\sqrt{2x+1}=3$; ridicând la pătrat, $2x+1=9$, adică $x=4$, valoare din domeniu.

Probele: $f(0)=1-3=-2$, deci pe $\left[-\frac{1}{2},4\right)$ funcția e negativă; $f(12)=5-3=2$, deci pe $(4,+\infty )$ e pozitivă. Capătul închis $-\frac{1}{2}$ aparține domeniului și are și el semn: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-3$, negativ.

Prin urmare $f(x)<0$ pentru $x\in \left[-\frac{1}{2},4\right)$, $f(4)=0$ și $f(x)>0$ pentru $x>4$.

Exemplul 4 — Un prag din biologie

Într-o seră, diferența dintre temperatura aerului și temperatura optimă pentru plante, măsurată în grade Celsius la $t$ ore de la răsărit, se potrivește cu legea $d(t)=-t^2+12t-20$, pentru $t\in [0,12]$. Determinați intervalul de timp în care sera este peste temperatura optimă.

Rezolvare. Funcția $d$ e polinomială, deci continuă pe $[0,12]$.

Zerourile: $-t^2+12t-20=0$, adică $t^2-12t+20=0$. Suma rădăcinilor este $12$, produsul $20$, deci ele sunt $2$ și $10$; amândouă aparțin intervalului de lucru, iar $d(t)=-(t-2)(t-10)$.

Probele: $d(0)=-20$; $d(6)=-36+72-20=16$; $d(12)=-144+144-20=-20$.

Sera este peste temperatura optimă exact pentru $t\in (2,10)$, adică între a doua și a zecea oră de la răsărit, iar diferența maximă, de $16$ grade, se atinge la mijlocul acestui interval. În primele două ore și după a zecea, aerul e mai rece decât optimul, cu cel mult $20$ de grade la capete. Modelul e valabil numai pe $[0,12]$: în afara lui, o parabolă care coboară nelimitat n-ar mai descrie nimic real.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă inecuația $\frac{x-1}{x+2}\ge 0$ astfel: „Înmulțesc cu $x+2$ și obțin $x-1\ge 0$, deci $x\ge 1$." Găsiți greșeala și rezolvați corect.

Rezolvare. Greșeala este înmulțirea cu o expresie al cărei semn nu se cunoaște. Înmulțirea unei inegalități cu un număr negativ îi schimbă sensul, iar $x+2$ este negativ pentru $x<-2$; elevul a presupus, fără să spună, că numitorul e pozitiv.

Metoda corectă păstrează raportul întreg și îi studiază semnul. Domeniul: $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, iar funcția e rațională, deci continuă acolo. Zeroul: $x=1$. Probele: $f(-3)=\frac{-4}{-1}=4$; $f(0)=\frac{-1}{2}$; $f(2)=\frac{1}{4}$.

Tabelul de semn al funcției $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ este:

Inegalitatea nefiind strictă, zeroul se include, iar valoarea $-2$ se exclude oricum. Soluția este $x\in (-\infty ,-2)\cup [1,+\infty )$ — o mulțime pe care răspunsul elevului o rata pe jumătate.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-x+3$. a) Arătați că $f(x)=(x-1)(x-3)(x+1)$, pentru orice număr real $x$. b) Determinați semnul funcției $f$. c) Rezolvați inecuația $f(x)\le 0$.

Rezolvare.

a) Grupăm termenii: $x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)\left(x^2-1\right)=(x-3)(x-1)(x+1)$, ceea ce trebuia arătat.

b) Funcția e polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$. Zerourile, citite din forma factorizată, sunt $-1$, $1$ și $3$. Probele: $f(-2)=-8-12+2+3=-15$; $f(0)=3$; $f(2)=8-12-2+3=-3$; $f(4)=64-48-4+3=15$.

Tabelul de semn al funcției $f(x)=x^3-3x^2-x+3$ este:

c) Citim din tabel intervalele cu semnul $-$ și adăugăm zerourile, fiindcă inegalitatea nu e strictă: $x\in (-\infty ,-1]\cup [1,3]$.

De la examen la lecție. Ordinea cerințelor e cea în care se lucrează: întâi factorizarea, care e un pas separat, apoi tabelul, apoi citirea soluției. Punctul a) se rezolvă prin grupare; când gruparea nu se vede, se caută o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber și se împarte.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie domeniul, o propoziție de justificare a continuității, zerourile și câte o probă pe interval.

1. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-12$.

2. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-7x+10$.

3. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x^2-3x$.

4. Studiază semnul funcției $f(x)=\frac{x+2}{x-3}$, precizând ce se scrie în tabel în dreptul lui $3$.

5. Studiază semnul funcției $f(x)=\frac{x^2-4}{x+3}$.

6. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x-8$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Domeniul unei funcții raționale este tăiat în intervale numai de zerourile funcției."

8. Rezolvă inecuația $x^2-2x-15\le 0$, folosind tabelul de semn.

9. Determină domeniul și semnul funcției $f(x)=\sqrt{x+1}-2$, precizând ce semn are funcția în capătul închis al domeniului.

10. Determină domeniul și semnul funcției $f(x)=\ln (x+1)$.

11. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2{)}^2(x+4)$, și explică ce se întâmplă la trecerea prin $2$.

12. (Problemă aplicată.) Diferența dintre concentrația de dioxid de carbon dintr-o sală de clasă și pragul de confort, în sute de părți per milion, la $t$ ore de la începutul programului, se potrivește cu legea $g(t)=-t^2+6t-8$, pentru $t\in [0,7]$. Determină intervalul de timp în care aerul din sală depășește pragul de confort.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-4x$. Arătați că $f(x)=x(x+1)(x-4)$, pentru orice număr real $x$, și determinați semnul funcției $f$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-10}{x+4}$. Rezolvați inecuația $f(x)\ge 0$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x-27$. Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x)<0$.

16. Fie $f$ o funcție continuă pe intervalul $[1,5]$, care nu se anulează în niciun punct al acestui interval, și se știe că $f(2)=-3$. Ce semn are $f(4)$? Justifică.

17. Fie $f(x)=x^2+1$ și $g(x)=\sqrt{x+4}$. Justifică, folosind operațiile cu funcții continue, că produsul $h=f\cdot g$ este continuu pe $[-4,+\infty )$, apoi determină semnul lui $h$.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-mx+4$, este strict pozitivă pe tot $\mathbb{R}$, și explică rezultatul folosind proprietatea de la §1.

Răspunsuri și explicații

1. Funcție de gradul I, deci continuă pe $\mathbb{R}$. Zeroul: $x=4$. Probe: $f(0)=-12$ și $f(5)=3$. Deci $f<0$ pe $(-\infty ,4)$, $f(4)=0$ și $f>0$ pe $(4,+\infty )$.

2. $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$, deci zerourile sunt $2$ și $5$. Probe: $f(0)=10$; $f(3)=-2$; $f(6)=4$. Funcția e pozitivă pe $(-\infty ,2)$ și pe $(5,+\infty )$, negativă pe $(2,5)$.

3. $x^3+2x^2-3x=x\left(x^2+2x-3\right)=x(x+3)(x-1)$, cu zerourile $-3$, $0$ și $1$. Probe: $f(-4)=-64+32+12=-20$; $f(-1)=-1+2+3=4$; $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{7}{8}$; $f(2)=8+8-6=10$. Semnele sunt, în ordine, $-,+,-,+$.

4. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{3\}$, iar în dreptul lui $3$ se scrie bară, nu $0$: funcția nu există acolo. Zeroul: $x=-2$. Probe: $f(-3)=\frac{-1}{-6}=\frac{1}{6}$; $f(0)=-\frac{2}{3}$; $f(4)=6$. Deci $f>0$ pe $(-\infty ,-2)$ și pe $(3,+\infty )$, $f<0$ pe $(-2,3)$.

5. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Zerourile vin din $x^2-4=0$, adică $-2$ și $2$. Probe: $f(-4)=\frac{12}{-1}=-12$; $f\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{9}{2}$; $f(0)=-\frac{4}{3}$; $f(3)=\frac{5}{6}$. Semnele sunt $-$, apoi bară, $+$, $0$, $-$, $0$, $+$.

6. Funcția exponențială e continuă pe $\mathbb{R}$, la fel și diferența ei cu o constantă. Zeroul: $2^x=8$, adică $x=3$. Probe: $f(0)=-7$ și $f(4)=8$. Deci $f<0$ pe $(-\infty ,3)$ și $f>0$ pe $(3,+\infty )$.

7. Fals. Domeniul e tăiat și de valorile care anulează numitorul, iar acelea nu sunt zerouri ale funcției: funcția nici nu există acolo. La $\frac{x+1}{x^2-4}$, de pildă, $-2$ și $2$ taie domeniul fără să fie zerouri, iar în tabel primesc bară.

8. $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$, cu zerourile $-3$ și $5$. Probe: în afara lor funcția e pozitivă ($f(-4)=9$, $f(6)=9$), între ele negativă ($f(0)=-15$). Inegalitatea nefiind strictă, soluția este $x\in [-3,5]$.

9. Condiția $x+1\ge 0$ dă domeniul $[-1,+\infty )$. Zeroul: $\sqrt{x+1}=2$, adică $x=3$. Probe: $f(0)=1-2=-1$ și $f(8)=3-2=1$. În capătul închis, $f(-1)=-2$, deci funcția e negativă acolo; pe scurt, $f<0$ pe $[-1,3)$ și $f>0$ pe $(3,+\infty )$.

10. Condiția $x+1>0$ dă domeniul $(-1,+\infty )$. Zeroul: $x+1=1$, adică $x=0$. Probe: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\ln \frac{1}{2}<0$ și $f(1)=\ln 2>0$. Deci $f<0$ pe $(-1,0)$ și $f>0$ pe $(0,+\infty )$.

11. Zerourile sunt $2$ (dublu) și $-4$. Probe: $f(-5)=49\cdot (-5+4)=-49$; $f(0)=4\cdot 4=16$; $f(3)=1\cdot 7=7$. La trecerea prin $2$ semnul nu se schimbă, fiindcă factorul $(x-2{)}^2$ e pozitiv de amândouă părțile; funcția e negativă doar pe $(-\infty ,-4)$.

12. Dăm factor comun semnul minus: $-t^2+6t-8=-\left(t^2-6t+8\right)$, iar $t^2-6t+8=(t-2)(t-4)$, deci zerourile sunt $2$ și $4$, amândouă în $[0,7]$. Probe: $g(0)=-8$; $g(3)=1$; $g(5)=-3$. Aerul depășește pragul de confort când $g>0$, adică pentru $t\in (2,4)$: între a doua și a patra oră de program, înainte ca aerisirea din pauză să scadă din nou concentrația.

13. $x^3-3x^2-4x=x\left(x^2-3x-4\right)=x(x+1)(x-4)$, cu zerourile $-1$, $0$ și $4$. Probe: $f(-2)=-8-12+8=-12$; $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8}-\frac{3}{4}+2=\frac{9}{8}$; $f(1)=1-3-4=-6$; $f(5)=125-75-20=30$. Semnele sunt, în ordine, $-,+,-,+$.

14. Zeroul este $5$, iar $-4$ taie domeniul. Probe: $f(-5)=\frac{-20}{-1}=20$; $f(0)=-\frac{5}{2}$; $f(6)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$. Cum inegalitatea nu e strictă, zeroul se include, iar $-4$ se exclude: $x\in (-\infty ,-4)\cup [5,+\infty )$.

15. Funcția e continuă pe $\mathbb{R}$, iar zeroul se obține din $3^x=27$, adică $x=3$. Probele $f(0)=1-27=-26$ și $f(4)=81-27=54$ arată că funcția e negativă înainte de $3$ și pozitivă după. Deci $f(x)<0$ pentru $x\in (-\infty ,3)$.

16. Negativ. Intervalul $[1,5]$ este un interval, funcția e continuă pe el și nu se anulează nicăieri, deci păstrează semn constant. Cum $f(2)=-3<0$, toate valorile sunt negative, inclusiv $f(4)$.

17. Funcția $f$ e polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; funcția $g$ e o compunere de funcții continue, definită pentru $x+4\ge 0$, deci continuă pe $[-4,+\infty )$. Produsul a două funcții continue e continuu pe intersecția domeniilor, adică pe $[-4,+\infty )$. Semnul: $f(x)=x^2+1>0$ mereu, iar $g(x)\ge 0$, cu egalitate numai în $-4$. Deci $h(-4)=0$ și $h(x)>0$ pentru $x>-4$.

18. O funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant pozitiv este strict pozitivă pe $\mathbb{R}$ exact când nu are rădăcini reale, adică atunci când discriminantul e negativ: $m^2-16<0$, deci $m\in (-4,4)$. Legătura cu proprietatea de la §1: fără rădăcini reale, funcția e continuă pe intervalul $\mathbb{R}$ și nu se anulează, deci păstrează semn constant; proba $f(0)=4>0$ arată că semnul acela este plus.

De reținut

• Fără niciun zerou într-un interval, o funcție continuă nu-și poate schimba semnul acolo; de aceea, între două zerouri vecine, o singură probă hotărăște totul.
• Continuitatea se justifică într-o propoziție, prin operațiile cu funcții continue: sumele, produsele, rapoartele cu numitor nenul și compunerile de funcții continue sunt continue.
• Metoda intervalelor are patru pași, în ordine: domeniul, continuitatea, zerourile, câte o probă pe fiecare interval.
• În tabel se scrie $0$ unde funcția se anulează și bară unde funcția nu există; la $\pm \infty$ coloana rămâne goală, iar la un capăt închis se scrie semnul valorii de acolo.
• Plusurile și minusurile se obțin prin calcul, nu prin alternanță: peste o rădăcină dublă, semnul trece neschimbat.

Greșeli frecvente

• Înmulțești inecuația cu numitorul. Din $\frac{x+6}{x-1}\ge 0$ nu rezultă $x+6\ge 0$: semnul lui $x-1$ nu e cunoscut, iar înmulțirea cu un număr negativ schimbă sensul inegalității. Raportul se păstrează întreg și i se face tabelul de semn.
• Faci proba cu un număr din afara intervalului. Pentru intervalul $(-2,3)$, valoarea $f(4)$ nu spune nimic. Alege de fiecare dată un număr strict între cele două capete, de preferință întreg.
• Uiți capătul închis al domeniului. La $\sqrt{x+1}-2$, punctul $-1$ aparține domeniului și are semn, deci coloana lui nu rămâne goală; goale sunt doar coloanele lui $-\infty$ și $+\infty$.
• Scrii soluția inecuației cu „și" în loc de „sau". Un număr nu poate fi în același timp mai mic decât $-6$ și mai mare decât $1$: la inecuația de mai sus, răspunsul corect este reuniunea $(-\infty ,-6]\cup (1,+\infty )$, nu intersecția celor două mulțimi.
• Păstrezi o soluție a ecuației $f(x)=0$ din afara domeniului. După ce rezolvi ecuația, fiecare soluție se confruntă cu condițiile de existență scrise la pasul 1; ce nu le respectă nu e zerou al funcției și nu intră în tabel.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de contraexemple. Caută, printre funcțiile pe care le cunoști, trei care nu se anulează în niciun punct al domeniului lor și totuși iau și valori pozitive, și valori negative (una îți este dată în §1). Pentru fiecare, scrie domeniul ca reuniune de intervale și arată, cu câte o probă, că pe fiecare interval în parte semnul chiar rămâne constant. Explică apoi, în două propoziții, de ce proprietatea din lecție nu este contrazisă de niciunul dintre ele.

2. Zerourile căutate printre divizori. Ia funcția $f(x)=x^3-7x+6$ și caută-i rădăcinile întregi printre divizorii termenului liber: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$. Vei găsi trei, iar din ele scrie forma factorizată. Fă tabelul de semn cu câte o probă pe interval, apoi desenează graficul cu un instrument grafic gratuit și verifică dacă zonele de deasupra axei sunt exact intervalele cu $+$.

3. Pragul tău. Alege un prag care contează pentru tine — opt ore de somn, zece mii de pași, o notă — și notează două săptămâni diferența dintre valoarea zilei și prag. Marchează zilele cu plus și cele cu minus și găsește zilele de trecere. Discută apoi o capcană: datele tale sunt un șir de măsurători zilnice, nu o funcție continuă, așa că între două zile vecine semnul chiar poate sări. Ce ar trebui măsurat ca modelul continuu să fie potrivit?

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.2 „Limite de funcții și continuitate" — „operații cu funcții continue și proprietăți fundamentale ale continuității: semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la același capitol, „proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale"; proprietatea lui Darboux nu face parte din programa nouă a clasei și e tratată separat, în suplimentul pentru bacalaureatul M2. În modelul oficial publicat al probei M_șt-nat nu apare o cerință de semn de sine stătătoare. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția urmărește cinci deprinderi: enunțul proprietății cu ipoteza „interval" rostită cu voce tare; fraza care justifică continuitatea, așezată înaintea tabelului; ordinea celor patru pași, începând cu domeniul; distincția dintre zeroul unei funcții și o valoare în care ea lipsește; și trecerea de la tabel la răspunsul unei inecuații. Patru întrebări de control: „De ce nu mai calculezi și al doilea număr din același interval?"; „Cum marchezi o valoare pe care funcția n-o atinge fiindcă nu e definită acolo?"; „Un zerou de ordin par schimbă ceva?"; „Ce te împiedică să dai numitorul la o parte într-o inecuație?".

Semn bun: renunță la desen și trece direct la probele numerice, apoi își controlează singur răspunsul unei inecuații, luând câte un număr din fiecare interval găsit. Lecția pregătește direct unitatea următoare, derivata unei funcții, ca pantă a tangentei la grafic, unde același tabel va primi rândul derivatei.

Întrebări frecvente

Se dă la fel semnul unei funcții continue la M1 și la M2? Metoda e aceeași, dar justificarea diferă. La mate-info proprietatea se demonstrează prin reducere la absurd, folosind proprietatea valorilor intermediare, studiată acolo ca teoremă. La științe ale naturii proprietatea se folosește ca unealtă, iar demonstrația ei apare doar în suplimentul pentru bacalaureatul M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: semnul unei funcții continue pe un interval conține demonstrația completă.

La ce subiect apare semnul unei funcții la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 îl prevede la capitolul „Funcții continue", iar locul lui firesc în structura probei este Subiectul al III-lea, între cerințele de analiză matematică. În modelul oficial publicat al probei M_șt-nat nu apare o cerință de semn de sine stătătoare; tabelul de semn intră însă ca pas de lucru ori de câte ori se cere rezolvarea unei inecuații.

De ce trebuie funcția să fie continuă pentru ca metoda să meargă? Pentru că fără continuitate graficul poate sări peste axă fără să o atingă. O funcție care trece de la valori negative la valori pozitive printr-un salt nu are niciun zerou între ele, deci „intervalele dintre zerouri" nu mai acoperă nimic. Continuitatea e exact ipoteza care interzice acest lucru, iar de aceea se scrie explicit în rezolvare.

Ce înseamnă „operații cu funcții continue" și la ce-mi folosesc? Înseamnă că suma, diferența, produsul, raportul cu numitor nenul și compunerea unor funcții continue sunt tot funcții continue. Îți folosesc la pasul al doilea al metodei: în loc să verifici continuitatea punct cu punct, spui din ce funcții elementare e construită expresia și încheiată justificarea într-un singur rând.

Trebuie să desenez graficul ca să aflu semnul? Nu. Graficul e util ca imagine și ca verificare, dar semnul se obține din calcul: zerourile, apoi câte o valoare de probă pe fiecare interval. Un desen făcut din ochi poate ascunde tocmai punctele delicate, de pildă o rădăcină dublă, unde curba atinge axa fără să o traverseze.

Ce legătură are tabelul de semn cu ce urmează la derivate? Este același obiect, folosit pentru altă funcție. În unitatea următoare vei calcula derivata, îi vei face tabelul de semn și vei citi din el creșterea și descreșterea funcției de pornire. Cine scrie corect tabelul acum nu mai are nimic nou de învățat acolo, în afară de săgeți.

La ce folosește semnul unei funcții într-o problemă din științe? Ori de câte ori o mărime se compară cu un prag — oxigen dizolvat, temperatură optimă, concentrație admisă —, diferența dintre mărime și prag este o funcție al cărei semn dă chiar răspunsul: pozitiv înseamnă peste prag, negativ înseamnă sub prag. Zerourile ei sunt momentele de trecere, iar răspunsul se scrie ca interval de timp.