Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze: pe scurt

Definițiile din triunghiul dreptunghic se opresc la $90^{\circ }$. Ca teorema cosinusului să funcționeze pentru orice triunghi — inclusiv cele cu un unghi obtuz — avem nevoie de sinus și cosinus pentru unghiuri din $(90^{\circ },180^{\circ })$.

Regula suplementului face extinderea: $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$ și $\mathrm{tg}(180^{\circ }-x)=-\mathrm{tg}x$. Practic, orice unghi obtuz se reduce la suplementul lui, care este ascuțit și se găsește în tabel.

Valorile exacte de memorat: $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar sinusurile lor rămân pozitive: $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{1}{2}$.

Semnele pe $(0^{\circ },180^{\circ })$: sinusul este mereu pozitiv; cosinusul este pozitiv la unghi ascuțit, zero la $90^{\circ }$ și negativ la unghi obtuz — acesta este faptul central al lecției, folosit constant în teorema cosinusului. Formula ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ rămâne valabilă pentru orice unghi; la extragerea rădăcinii, semnul îl decide poziția unghiului.

O consecință importantă: cosinusul determină unghiul în mod unic din $(0^{\circ },180^{\circ })$, dar sinusul nu — o valoare a sinusului corespunde la două unghiuri suplementare (de exemplu $30^{\circ }$ și $150^{\circ }$), ambiguitate ce revine în cazul LLU al rezolvării triunghiului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Cât este $\cos 120^{\circ }$?

   • a) $-\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{1}{2}$
   • c) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • d) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-\frac{1}{2}$

   $\cos 120^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-120^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

2. Cât este $\sin 150^{\circ }$?

   • a) $-\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{1}{2}$
   • c) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
   • d) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{1}{2}$

   $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-150^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Sinusul unui unghi obtuz rămâne pozitiv.

3. Dacă $x$ este un unghi obtuz, ce semn are $\cos x$?

   • a) depinde de $\sin x$
   • b) zero
   • c) negativ
   • d) pozitiv
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) negativ

   Pe $(90^{\circ },180^{\circ })$ cosinusul este întotdeauna negativ — este faptul-cheie folosit apoi în teorema cosinusului.