Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze

Deschide tabelul trigonometric din lecția anterioară și uită-te la ultima linie: $90^{\circ }$. Atât. Tabelul se oprește exact acolo unde unghiul devine drept, pentru că definițiile din triunghiul dreptunghic nu au ce să facă mai departe — într-un triunghi, unghiul drept e cel mai mare posibil dintre cele care au catete în jurul lor.

Numai că triunghiurile din realitate nu se opresc la $90^{\circ }$. Un teren în formă de pană are un colț de $118^{\circ }$. Două drumuri care se despart aproape în sens opus formează un unghi de $140^{\circ }$. Iar teorema pe care o vom învăța peste două lecții, teorema cosinusului, are nevoie de $\cos A$ oricare ar fi unghiul $A$ al triunghiului, inclusiv atunci când e obtuz. Lecția de față umple exact acest gol: extindem sinusul, cosinusul și tangenta de la $90^{\circ }$ până la $180^{\circ }$, cu o singură regulă simplă, și descoperim ceva ce va conta enorm mai târziu — cosinusul unui unghi obtuz este negativ, iar semnul acesta poartă toată informația despre forma triunghiului.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești formulele suplementului: $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$ și $\mathrm{tg}(180^{\circ }-x)=-\mathrm{tg}x$.
• Vei ști să calculezi valorile exacte pentru $120^{\circ }$, $135^{\circ }$ și $150^{\circ }$, pornind de la tabelul unghiurilor de bază.
• Vei ști să afli sinusul și cosinusul oricărui unghi obtuz folosind tabelul trigonometric sau un instrument digital.
• Vei ști să explici de ce, pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, sinusul e mereu pozitiv, iar cosinusul își schimbă semnul la $90^{\circ }$.
• Vei ști să faci citirea inversă când cosinusul este negativ și să obții un unghi obtuz.
• Vei ști de ce sinusul nu determină singur unghiul și ce consecință are asta în probleme cu triunghiuri.

Hai să descoperim împreună

1. Unde se termină triunghiul dreptunghic și de unde continuăm

În triunghiul dreptunghic, sinusul și cosinusul erau rapoarte de laturi, deci numere pozitive și cel mult egale cu $1$. Pentru un unghi obtuz nu mai avem nici ipotenuză, nici catete — deci nici rapoarte. Avem nevoie de o definiție care să funcționeze pentru orice unghi.

Ai văzut-o deja în clasa a IX-a: definiția pe cercul trigonometric, discutată pe larg în lecția despre sinus și cosinus pe cercul trigonometric. Pe scurt: desenezi un cerc de rază $1$ cu centrul în origine, pornești din punctul $(1,0)$ și te rotești în sens trigonometric cu unghiul $x$; ajungi într-un punct $M$, iar prin definiție

$$\cos x=\text{abscisa lui }M(\text{coordonata pe orizontala˘}),\sin x=\text{ordonata lui }M(\text{coordonata pe verticala˘}).$$

Pentru unghiuri ascuțite, definiția aceasta dă exact aceleași numere ca rapoartele din triunghiul dreptunghic — deci nu stricăm nimic din ce știm. Dar ea are un avantaj uriaș: funcționează pentru orice unghi, inclusiv pentru unul obtuz, unde punctul $M$ se află în stânga axei verticale.

2. Ce se întâmplă când unghiul trece de $90^{\circ }$

Urmărește punctul $M$ cum se rotește de la $0^{\circ }$ la $180^{\circ }$ și privește separat cele două coordonate.

Ordonata (adică sinusul) pornește de la $0$, crește până la $1$ la $90^{\circ }$, apoi scade înapoi la $0$ la $180^{\circ }$. Ea rămâne tot timpul pozitivă sau nulă: punctul e mereu deasupra axei orizontale sau exact pe ea. Concluzie: sinusul oricărui unghi dintr-un triunghi este pozitiv.

Abscisa (adică cosinusul) pornește de la $1$, scade la $0$ la $90^{\circ }$ și continuă să scadă până la $-1$ la $180^{\circ }$. Ea își schimbă semnul exact la $90^{\circ }$:

$$\cos x>0\text{ pentru }x\in (0^{\circ },90^{\circ }),\cos 90^{\circ }=0,\cos x<0\text{ pentru }x\in (90^{\circ },180^{\circ }).$$

Aceasta e observația centrală a lecției. Semnul cosinusului îți spune, dintr-o privire, dacă unghiul e ascuțit sau obtuz — și tocmai de asta teorema cosinusului va putea recunoaște singură forma unui triunghi.

Tangenta, fiind $\frac{\sin x}{\cos x}$, are semnul cosinusului la numitor: e pozitivă la unghiuri ascuțite și negativă la unghiuri obtuze. La $90^{\circ }$ nu există, pentru că numitorul se anulează.

3. Regula suplementului: o singură formulă pentru tot cadranul II

Cum calculăm efectiv? Nu avem nevoie de tabele noi. Punctele asociate unghiurilor $x$ și $180^{\circ }-x$ sunt simetrice față de axa verticală: au aceeași ordonată și abscise opuse. De aici, direct:

$$\sin (180^{\circ }-x)=\sin x,\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x,\mathrm{tg}(180^{\circ }-x)=-\mathrm{tg}x.$$

Procedeul se numește reducere la primul cadran și l-ai întâlnit, scris cu radiani, în lecția de clasa a IX-a despre reducerea la primul cadran. Aici îl folosim în grade, pentru că lucrăm cu unghiuri de triunghi.

Rețeta, în doi pași:

1. Scade unghiul din $180^{\circ }$. Obții suplementul, care e ascuțit.
2. Ia valorile suplementului din tabel și pune minus la cosinus și la tangentă; sinusul rămâne cum e.

De exemplu, pentru $118^{\circ }$: suplementul este $180^{\circ }-118^{\circ }=62^{\circ }$, iar din tabel $\sin 62^{\circ }=0,8829$ și $\cos 62^{\circ }=0,4695$. Prin urmare

$$\sin 118^{\circ }=0,8829,\cos 118^{\circ }=-0,4695.$$

Aplicând regula pe rând, poți construi singur un mic tabel al unghiurilor obtuze care apar cel mai des în probleme. Iată-l gata făcut, ca să ai un reper de verificare:

Citește-l pe verticală și vei vedea limpede tendința: pe măsură ce unghiul se apropie de $180^{\circ }$, sinusul scade spre $0$, iar cosinusul coboară spre $-1$. Coloana cosinusului nu are nicio valoare pozitivă — și nici nu poate avea.

4. Valorile exacte pentru $120^{\circ }$, $135^{\circ }$ și $150^{\circ }$

Trei unghiuri obtuze apar atât de des încât merită memorate. Ele sunt suplementele celor trei unghiuri de bază: $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$, $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$, $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$.

Citește tabelul așa: linia sinusului este identică cu cea de la $60^{\circ }$, $45^{\circ }$, $30^{\circ }$; linia cosinusului este aceeași, dar cu semnul schimbat. Dintre toate, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ este valoarea pe care o vei folosi cel mai des în tot restul unității — merită să o știi ca pe numele tău.

5. Formula fundamentală rămâne valabilă

Un lucru important nu se schimbă: relația

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

este adevărată pentru orice unghi, ascuțit sau obtuz. Motivul e simplu: punctul $M$ se află pe cercul de rază $1$, iar coordonatele lui verifică ecuația cercului.

Verifică la $135^{\circ }$: ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ ✓. Semnul minus dispare la ridicarea la pătrat, deci formula nu îl „simte".

Consecința practică e valoroasă: dacă știi sinusul unui unghi și știi că unghiul e obtuz, poți afla cosinusul, alegând de data aceasta valoarea negativă. De exemplu, dacă $x$ e obtuz și $\sin x=\frac{4}{5}$, atunci ${\cos }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, deci $\cos x=-\frac{3}{5}$.

Compară cu situația din triunghiul dreptunghic, unde toate unghiurile erau ascuțite și alegeam automat semnul plus. Acum apare un pas nou, obligatoriu: după ce extragi rădăcina pătrată, te întorci la enunț și decizi semnul în funcție de tipul unghiului. Un rezultat scris ca $\cos x=\pm \frac{3}{5}$ și lăsat așa nu este un răspuns complet — la Bacalaureat, tocmai acest pas final aduce punctul.

6. Citirea inversă când cosinusul este negativ

Tabelul are doar valori pozitive, pentru unghiuri până la $90^{\circ }$. Cum găsești atunci unghiul dacă știi că, de exemplu, $\cos A=-0,3420$?

În trei pași:

1. Ignoră semnul minus și caută $0,3420$ în coloana cosinusului. Îl găsești pe linia lui $70^{\circ }$.
2. Reține că semnul minus înseamnă unghi obtuz, deci unghiul căutat este suplementul lui $70^{\circ }$.
3. Calculează suplementul: $A=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.

Pe calculator lucrurile sunt și mai simple: tasta ${\cos }^{-1}$ acceptă direct valori negative și îți dă imediat un unghi între $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$. Merită totuși să știi drumul manual, pentru că el explică de ce răspunsul iese obtuz.

Încă un exemplu, ca să se fixeze rețeta. Presupune că într-o problemă îți iese $\cos B=-0,5736$. Ignori minusul, cauți $0,5736$ în coloana cosinusului și îl găsești pe linia lui $55^{\circ }$; suplementul este $180^{\circ }-55^{\circ }=125^{\circ }$, deci $B=125^{\circ }$. Un control rapid de plauzibilitate: valoarea $-0,5736$ este între $-1$ și $0$, mai aproape de zero decât de $-1$, deci unghiul trebuie să fie mai aproape de $90^{\circ }$ decât de $180^{\circ }$ — și într-adevăr, $125^{\circ }$ se află în prima jumătate a intervalului unghiurilor obtuze.

7. Sinusul nu spune singur cât are unghiul

Iată o subtilitate care va conta mult mai târziu. Pentru cosinus, fiecare valoare din intervalul $(-1,1)$ corespunde unui singur unghi între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$: valorile pozitive dau unghiuri ascuțite, cele negative dau unghiuri obtuze. Cosinusul e un martor sigur.

Pentru sinus, nu. Din tabel: $\sin 40^{\circ }=0,6428$ și $\sin 140^{\circ }=0,6428$ — aceeași valoare, două unghiuri diferite. Dacă tot ce știi despre un unghi este că sinusul lui e $0,6428$, nu poți decide dacă are $40^{\circ }$ sau $140^{\circ }$ fără o informație în plus (de exemplu, o figură sau faptul că e cel mai mic unghi al triunghiului).

Reține concluzia: când vrei să determini un unghi fără ambiguitate, lucrează cu cosinusul. Este exact motivul pentru care teorema cosinusului e unealta preferată la aflarea unghiurilor, iar teorema sinusurilor cere prudență suplimentară.

O ultimă observație, utilă la orice problemă: într-un triunghi, suma unghiurilor este $180^{\circ }$, deci cel mult un unghi poate fi obtuz. Prin urmare, dintre cele trei cosinusuri ale unui triunghi, cel mult unul poate fi negativ — iar acela aparține unghiului cel mai mare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valorile pentru $120^{\circ }$

Calculați $\sin 120^{\circ }$, $\cos 120^{\circ }$ și $\mathrm{tg}120^{\circ }$.

Rezolvare. Suplementul este $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$, cu $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$. Aplicăm regula:

$$\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2},\mathrm{tg}120^{\circ }=-\sqrt{3}.$$

Verificare: ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ ✓.

Exemplul 2 — Valorile pentru $135^{\circ }$ și $150^{\circ }$

Calculați sinusul și cosinusul pentru $135^{\circ }$ și $150^{\circ }$.

Rezolvare. Pentru $135^{\circ }$, suplementul este $45^{\circ }$: $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pentru $150^{\circ }$, suplementul este $30^{\circ }$: $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Observă tiparul: cu cât unghiul obtuz e mai aproape de $180^{\circ }$, cu atât sinusul e mai mic (punctul coboară spre axă), iar cosinusul e mai aproape de $-1$ (punctul se duce spre stânga).

Exemplul 3 — Un unghi obtuz oarecare, din tabel

Calculați $\sin 118^{\circ }$ și $\cos 118^{\circ }$, cu patru zecimale.

Rezolvare. Suplementul: $180^{\circ }-118^{\circ }=62^{\circ }$. Din tabelul de detaliu al lecției anterioare, $\sin 62^{\circ }=0,8829$ și $\cos 62^{\circ }=0,4695$. Prin urmare

$$\sin 118^{\circ }=0,8829,\cos 118^{\circ }=-0,4695.$$

Control: unghiul e obtuz, deci cosinusul trebuie să iasă negativ ✓, iar sinusul rămâne pozitiv ✓.

Exemplul 4 — De la un cosinus negativ la unghi

Într-un triunghi, un unghi $A$ are $\cos A=-0,7660$. Cât are unghiul?

Rezolvare. Semnul minus arată că unghiul este obtuz. Ignorăm semnul și căutăm $0,7660$ în coloana cosinusului: îl găsim pe linia lui $40^{\circ }$. Unghiul căutat este suplementul:

$$A=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }.$$

Verificare: $\cos 140^{\circ }=-\cos 40^{\circ }=-0,7660$ ✓.

Exemplul 5 — Când sinusul lasă loc de dubiu

Se știe că un unghi $x$ din intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ are $\sin x=0,6428$. Ce valori poate avea $x$?

Rezolvare. În coloana sinusului, valoarea $0,6428$ apare pe linia lui $40^{\circ }$. Dar sinusul unui unghi și cel al suplementului său sunt egale, deci și $180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$ are același sinus.

Răspuns: $x=40^{\circ }$ sau $x=140^{\circ }$. Ca să alegem între ele avem nevoie de o informație suplimentară — de exemplu, dacă am ști în plus că $\cos x<0$, atunci sigur $x=140^{\circ }$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră unghiul obtuz $x$ pentru care $\sin x=\frac{3}{5}$. Calculați $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. Din formula fundamentală:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\Rightarrow \cos x=\pm \frac{4}{5}.$$

Unghiul fiind obtuz, cosinusul este negativ, deci $\cos x=-\frac{4}{5}$. Atunci

$$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}.$$

Atenție la pasul cu $\pm$: alegerea semnului nu e o formalitate, ci chiar miezul exercițiului. Fără precizarea „obtuz" din enunț, problema ar fi avut două răspunsuri. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare unghi obtuz, scrie mai întâi suplementul lui, apoi valorile suplementului și abia la final pune semnele. Pentru unghiurile care nu sunt remarcabile, folosește tabelele din lecția anterioară.

1. Calculează $\sin 120^{\circ }$ și $\cos 120^{\circ }$, în formă exactă.

2. Calculează $\sin 135^{\circ }$ și $\cos 135^{\circ }$, în formă exactă.

3. Calculează $\sin 150^{\circ }$ și $\cos 150^{\circ }$, în formă exactă.

4. Calculează $\sin 100^{\circ }$ și $\cos 100^{\circ }$, cu patru zecimale.

5. Calculează $\sin 140^{\circ }$ și $\cos 140^{\circ }$, cu patru zecimale.

6. Calculează $\sin 165^{\circ }$ și $\cos 165^{\circ }$, cu patru zecimale.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există un unghi obtuz al cărui cosinus este pozitiv."

8. Un unghi $x$ din intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ are $\cos x=-\frac{1}{2}$. Cât are unghiul?

9. Un unghi $x$ din intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ are $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Cât are unghiul?

10. Un unghi $x$ din intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ are $\cos x=-0,3420$. Cât are unghiul?

11. Un unghi $x$ din intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ are $\cos x=-0,6428$. Cât are unghiul?

12. Un unghi $x$ din intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ are $\sin x=0,9397$. Ce valori poate avea $x$? De ce sunt două?

13. Calculează $\sin 120^{\circ }+\cos 60^{\circ }$ și scrie rezultatul și în formă zecimală aproximativă.

14. Verifică relația ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ pentru $x=135^{\circ }$.

15. Calculează $\mathrm{tg}120^{\circ }$ și $\mathrm{tg}135^{\circ }$ și explică de ce ambele sunt negative.

16. (Problemă aplicată.) Într-un triunghi $ABC$ se știe că $m(\angle A)=130^{\circ }$. Scrie valorile lui $\sin A$ și $\cos A$ și precizează semnul fiecăreia.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră unghiul obtuz $x$ cu $\sin x=\frac{4}{5}$. Calculează $\cos x$.

18. (Provocare.) Arată că într-un triunghi cel mult un unghi poate fi obtuz și deduce câte dintre cele trei cosinusuri ale unghiurilor unui triunghi pot fi, cel mult, negative. Ce triunghi are toate cele trei cosinusuri pozitive?

Răspunsuri și explicații

1. Suplementul este $60^{\circ }$: $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

2. Suplementul este $45^{\circ }$: $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Suplementul este $30^{\circ }$: $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Suplementul este $80^{\circ }$, cu $\sin 80^{\circ }=0,9848$ și $\cos 80^{\circ }=0,1736$. Deci $\sin 100^{\circ }=0,9848$ și $\cos 100^{\circ }=-0,1736$.

5. Suplementul este $40^{\circ }$: $\sin 140^{\circ }=0,6428$ și $\cos 140^{\circ }=-0,7660$.

6. Suplementul este $15^{\circ }$: $\sin 165^{\circ }=0,2588$ și $\cos 165^{\circ }=-0,9659$.

7. Fals. Pe cercul trigonometric, un unghi obtuz are punctul asociat în stânga axei verticale, deci cu abscisa negativă. Cum cosinusul este abscisa, el nu poate fi pozitiv. Cosinusul se anulează exact la $90^{\circ }$ și rămâne negativ până la $180^{\circ }$.

8. Cosinusul e negativ, deci unghiul e obtuz. Cum $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, unghiul este $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.

9. Cum $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, unghiul este $180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$.

10. În tabel, $0,3420$ este cosinusul lui $70^{\circ }$. Unghiul căutat este $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.

11. În tabel, $0,6428$ este cosinusul lui $50^{\circ }$. Unghiul căutat este $180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$.

12. În coloana sinusului, $0,9397$ apare pe linia lui $70^{\circ }$. Deci $x=70^{\circ }$ sau $x=110^{\circ }$. Sunt două pentru că un unghi și suplementul lui au același sinus: punctele lor de pe cerc sunt simetrice față de axa verticală, deci au aceeași ordonată.

13. $\sin 120^{\circ }+\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1,37$.

14. ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$ ✓. Semnul minus se pierde la ridicarea la pătrat, deci formula rămâne valabilă și pentru unghiuri obtuze.

15. $\mathrm{tg}120^{\circ }=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}\approx -1,73$ și $\mathrm{tg}135^{\circ }=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$. Ambele sunt negative pentru că tangenta este $\frac{\sin }{\cos }$, iar la unghi obtuz sinusul e pozitiv și cosinusul negativ: raportul iese negativ.

16. Suplementul lui $130^{\circ }$ este $50^{\circ }$, deci $\sin A=\sin 50^{\circ }=0,7660$ (pozitiv, ca la orice unghi de triunghi) și $\cos A=-\cos 50^{\circ }=-0,6428$ (negativ, pentru că unghiul e obtuz).

17. ${\cos }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, deci $\cos x=\pm \frac{3}{5}$. Unghiul fiind obtuz, alegem valoarea negativă: $\cos x=-\frac{3}{5}$.

18. Presupunem că un triunghi ar avea două unghiuri obtuze, fiecare mai mare de $90^{\circ }$. Atunci suma lor ar depăși $180^{\circ }$, iar împreună cu al treilea unghi (strict pozitiv) suma totală ar fi mai mare de $180^{\circ }$ — imposibil. Deci există cel mult un unghi obtuz, prin urmare cel mult un cosinus poate fi negativ, și anume cel al unghiului celui mai mare. Toate cele trei cosinusuri sunt pozitive exact la triunghiurile ascuțitunghice; la cele dreptunghice, unul dintre ele este zero. Criteriul complet, exprimat direct în funcție de lungimile laturilor, îl vei găsi în lecția despre natura unui triunghi.

De reținut

• Regula suplementului: $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$, $\mathrm{tg}(180^{\circ }-x)=-\mathrm{tg}x$. Cu ea, orice unghi obtuz se reduce la unul ascuțit din tabel.
• Semnele pe $(0^{\circ },180^{\circ })$: sinusul e mereu pozitiv; cosinusul e pozitiv la unghi ascuțit, zero la $90^{\circ }$ și negativ la unghi obtuz; tangenta are semnul cosinusului.
• Valorile exacte de memorat: $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar sinusurile lor sunt $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{1}{2}$.
• Formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ rămâne valabilă pentru orice unghi; când extragi rădăcina, semnul îl decide poziția unghiului (ascuțit sau obtuz).
• Cosinusul determină unghiul, sinusul nu. O valoare a sinusului corespunde la două unghiuri suplementare; o valoare a cosinusului corespunde unui singur unghi din $(0^{\circ },180^{\circ })$.

Greșeli frecvente

• Semnul uitat la cosinus. Se scrie $\cos 120^{\circ }=\frac{1}{2}$ în loc de $-\frac{1}{2}$. Verifică de fiecare dată: unghi obtuz $\Rightarrow$ cosinus negativ, fără excepție.
• Minusul pus și la sinus. Sinusul unui unghi obtuz este pozitiv. Regula schimbă semnul doar la cosinus și la tangentă.
• Scăderea din $90^{\circ }$ în loc de $180^{\circ }$. Suplementul lui $118^{\circ }$ este $62^{\circ }$, nu altceva. Complementaritatea (scăderea din $90^{\circ }$) se folosea la triunghiul dreptunghic; aici lucrăm cu suplemente.
• Alegerea greșită a semnului la formula fundamentală. Din ${\cos }^{2}x=\frac{9}{25}$ rezultă $\cos x=\pm \frac{3}{5}$; enunțul trebuie citit cu atenție ca să știi care semn se potrivește. Fără informația despre tipul unghiului, problema are două soluții.
• Determinarea unghiului doar din sinus. Dacă $\sin x=0,5$, unghiul poate fi $30^{\circ }$ sau $150^{\circ }$. Nu decide la întâmplare — caută în enunț sau în figură informația care înlătură ambiguitatea.

Aplică acasă

1. Cercul din bucătărie. Desenează pe o coală un cerc de rază $10$ cm și marchează, cu raportorul, punctele corespunzătoare unghiurilor de $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $120^{\circ }$ și $150^{\circ }$. Măsoară cu rigla, pentru fiecare punct, distanța pe orizontală față de centru (cu semn: minus dacă e în stânga) și distanța pe verticală. Împarte fiecare măsurătoare la $10$ și compară cu valorile din tabel.

2. Vânătoarea de unghiuri obtuze. Fotografiază cinci unghiuri obtuze din casă sau din cartier: colțul unui acoperiș, deschiderea unei uși, o intersecție de străzi, spătarul unui scaun reglabil, un ceas la ora $16:00$. Estimează măsura fiecăruia și scrie, pentru fiecare, sinusul și cosinusul cu ajutorul tabelului.

3. Testul calculatorului. Verifică pe calculatorul științific dacă regula suplementului funcționează: calculează $\sin 73^{\circ }$ și $\sin 107^{\circ }$ (trebuie să iasă egale), apoi $\cos 73^{\circ }$ și $\cos 107^{\circ }$ (trebuie să iasă opuse). Repetă pentru încă două perechi alese de tine și notează rezultatele într-un tabel.

Pentru părinți și profesori

Lecția este puntea indispensabilă dintre trigonometria din triunghiul dreptunghic și teoremele care urmează. Programa de trunchi comun cere ca valorile funcțiilor trigonometrice să poată fi obținute din tabele sau cu instrumente digitale (competența X.CS.2.1), iar tabelele se opresc la $90^{\circ }$; fără regula suplementului, elevul nu poate aborda niciun triunghi obtuzunghic, deci nici o bună parte din problemele practice de teren.

Accentul pedagogic cade pe semn, nu pe formulă: elevul trebuie să înțeleagă că sinusul rămâne pozitiv pe tot intervalul unghiurilor de triunghi, în timp ce cosinusul își schimbă semnul la $90^{\circ }$. Întrebări bune de control: „Ce semn are cosinusul unui unghi de $110^{\circ }$ și de ce?" (negativ, punctul de pe cerc e în stânga axei verticale); „Cât e suplementul lui $118^{\circ }$?" ($62^{\circ }$); „Dacă $\sin x=0,5$, cât are $x$?" (răspunsul corect conține ambele variante, $30^{\circ }$ și $150^{\circ }$); „De ce nu pot exista două unghiuri obtuze într-un triunghi?" (suma ar depăși $180^{\circ }$).

La Bacalaureat, tiparul cel mai frecvent este exact cel din Exemplul 6: se dă o valoare trigonometrică și tipul unghiului, se cere cealaltă valoare. Punctajul se pierde aproape întotdeauna la semn, nu la calcul. Merită exersat până când reflexul „unghi obtuz, deci cosinus negativ" devine automat.

Întrebări frecvente

Cât este $\cos 120^{\circ }$? Este $-\frac{1}{2}$. Se obține din regula suplementului: $120^{\circ }$ are suplementul $60^{\circ }$, iar $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Este valoarea cea mai folosită în problemele cu triunghiuri obtuzunghice.

Cât este $\sin 135^{\circ }$? Este $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$, exact cât $\sin 45^{\circ }$. Sinusul unui unghi și cel al suplementului său sunt egale, deci regula nu schimbă nimic la sinus.

De ce cosinusul unui unghi obtuz este negativ? Pentru că, pe cercul trigonometric, cosinusul este coordonata orizontală a punctului asociat unghiului. La un unghi obtuz, punctul se află în stânga axei verticale, deci această coordonată este negativă.

Cum calculez sinusul unui unghi mai mare de $90^{\circ }$ dacă tabelul se oprește acolo? Scazi unghiul din $180^{\circ }$ și obții suplementul, care este ascuțit. Iei valorile suplementului din tabel: sinusul rămâne neschimbat, iar cosinusul și tangenta își schimbă semnul.

Cum aflu unghiul dacă știu că are cosinusul negativ? Cauți în tabel valoarea absolută a cosinusului (fără minus) și găsești un unghi ascuțit; unghiul căutat este suplementul lui. De exemplu, pentru $\cos A=-0,7660$ găsești $40^{\circ }$ și obții $A=140^{\circ }$.

Un unghi poate avea sinusul negativ într-un triunghi? Nu. Unghiurile unui triunghi sunt cuprinse între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, iar pe acest interval sinusul este mereu pozitiv. Dacă îți iese un sinus negativ într-o problemă de geometrie, ai greșit undeva.

De ce se spune că sinusul nu determină unghiul? Pentru că două unghiuri suplementare au același sinus: $\sin 40^{\circ }=\sin 140^{\circ }$. Cunoscând doar sinusul, nu poți alege între ele. Cosinusul, în schimb, are semne diferite pentru unghiuri ascuțite și obtuze, deci determină unghiul fără dubiu.

La ce îmi folosesc unghiurile obtuze mai departe? La teorema cosinusului și la teorema sinusurilor, unde unghiul unui triunghi poate fi orice între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$. În special, semnul negativ al cosinusului va explica de ce latura opusă unui unghi obtuz iese mai lungă decât ar prezice teorema lui Pitagora.