De ce sinusul nu fixează unghiul din triunghi?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Unghiurile obtuze în triunghi

Pentru că unghiurile suplementare au același sinus: $sin (π - x) = sin x$ . Dacă știi doar $sin A = \frac{1}{2}$ , unghiul poate fi $\frac{π}{6}$ sau $\frac{5 π}{6}$ , ambele posibile într-un triunghi. Cosinusul, în schimb, fixează unghiul, fiindcă este strict descrescător pe $(0, π)$ , deci fiecare valoare corespunde unui singur unghi: $cos A = - \frac{1}{2}$ dă numai $A = \frac{2 π}{3}$ . De aceea, când ai de ales, alegerea o fac celelalte date ale problemei.

Orice unghi al unui triunghi are măsura cuprinsă strict între $0$ și $π$ , deci punctul lui de pe cercul trigonometric stă pe semicercul de sus. De aici vin două reguli pe care le folosești mereu: sinusul unui unghi de triunghi este pozitiv, iar cosinusul își schimbă semnul la unghiul drept. Un cosinus negativ înseamnă un unghi obtuz, iar un triunghi poate avea cel mult unul.

Semnul are și un înțeles de desen. Dacă pui vârful $A$ în origine și latura $A B$ pe axa orizontală, vârful $C$ are abscisa $A C \cdot cos A$ . Pentru un unghi obtuz ea este negativă, iar înălțimea din $C$ cade pe prelungirea laturii.

Unghiul exterior leagă unghiul obtuz de celelalte două: suplementul lui $A$ este $B + C$ , deci sinusul lui $A$ coincide cu sinusul sumei $B + C$ , iar cosinusul lui $A$ este opusul cosinusului aceleiași sume.

Când cunoști cosinusul, unghiul de triunghi este unic: calculatorul îl dă direct între $0^{\circ}$ și $18 0^{\circ}$ . Când cunoști doar sinusul, rămân două variante suplementare, iar alegerea o fac datele problemei: un alt unghi obtuz, suma unghiurilor sau ordinea laturilor. Soluțiile de pe cerc mai mari decât $π$ nu sunt unghiuri de triunghi.

De reținut

$sin (π - x) = sin x$ : sinusul nu deosebește un unghi de suplementul lui
cosinusul negativ înseamnă unghi obtuz
suma unghiurilor fiind $π$ , cel mult un unghi poate fi obtuz

Greșeala tipică

Se ia din calculator $sin^{- 1} 0, 6 \approx 36, 8 7^{\circ}$ și se uită varianta obtuză; când datele cer un unghi obtuz, răspunsul este $143, 1 3^{\circ}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru care dintre următoarele unghiuri de triunghi tangenta este negativă?
- a) $\frac{3 π}{8}$
- b) $\frac{5 π}{12}$
- c) $\frac{7 π}{12}$
- d) $\frac{π}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{7 π}{12}$

Tangenta unui unghi de triunghi este negativă exact când unghiul este obtuz; dintre variante, singurul unghi mai mare decât $\frac{π}{2}$ este $\frac{7 π}{12}$ .
Cât este $sin \frac{3 π}{4} \cdot cos \frac{3 π}{4}$ ?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $- \frac{1}{2}$
- c) $- \frac{2}{2}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{1}{2}$

$sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ și $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}$ , iar produsul lor este $- \frac{1}{2}$ .
În triunghiul $A B C$ , $B = 2 5^{\circ}$ și $C = 2 0^{\circ}$ . Cât este $cos A$ ?
- a) $\frac{2}{2}$
- b) $- \frac{1}{2}$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $- \frac{2}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- \frac{2}{2}$

Unghiul exterior din $A$ este $B + C = 4 5^{\circ}$ , deci unghiul $A$ are $13 5^{\circ}$ și $cos A = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ .

Întrebări conexe

Cum aflu unghiul obtuz al unui triunghi dacă știu cosinusul lui?

Cosinusul negativ arată că unghiul este obtuz, iar pe intervalul $(0, π)$ el corespunde unui singur unghi. Pentru $cos A = - 0, 6$ , tasta $cos^{- 1}$ dă $A \approx 126, 8 7^{\circ}$ . Calculatorul întoarce direct unghiul obtuz, fără alte alegeri.

Câte unghiuri obtuze poate avea un triunghi?

Cel mult unul. Suma unghiurilor este $π$ , adică $18 0^{\circ}$ , iar două unghiuri mai mari de $9 0^{\circ}$ ar depăși deja această sumă, de exemplu $10 0^{\circ} + 10 0^{\circ} = 20 0^{\circ}$ . De aceea, dacă un unghi este obtuz, celelalte două sunt sigur ascuțite.

Ce legătură are fracția iluminată a Lunii cu cosinusul?

Dacă $E$ este unghiul dintre direcțiile spre Soare și spre Lună, fracția iluminată este aproximativ $\frac{1 - c o s E}{2}$ . La $E = \frac{2 π}{3}$ , obtuz, cosinusul este $- \frac{1}{2}$ , iar fracția este $\frac{3}{4}$ . La Lună plină, $E = π$ și fracția este $1$ .

Pentru ce unghi de triunghi este cosinusul egal cu zero?

Numai pentru unghiul drept, $\frac{π}{2}$ . Pe semicercul de sus, abscisa punctului este pozitivă pentru unghiurile ascuțite, zero la unghiul drept și negativă pentru cele obtuze. Semnul cosinusului spune astfel direct felul unghiului.

Cum aflu cu calculatorul un unghi obtuz din sinusul lui?

Tasta $sin^{- 1}$ dă mereu un unghi ascuțit. Pentru $sin A = 0, 6$ obții $36, 8 7^{\circ}$ ; dacă știi că $A$ este obtuz, iei suplementul: $18 0^{\circ} - 36, 8 7^{\circ} = 143, 1 3^{\circ}$ . Verificare: $sin 143, 1 3^{\circ} \approx 0, 6$ . Dacă nu știi felul unghiului, păstrezi ambele variante până le decid celelalte date.

Oamenii mai întreabă și: două unghiuri cu același sinus · sinusul unghiului obtuz și al suplementului · de ce sin A nu determină unghiul A · cazul ambiguu în triunghi