La un sistem cu patru necunoscute s-au obținut $$\Delta = 4$$, $$\Delta_1 = 12$$, $$\Delta_2 = -4$$, $$\Delta_3 = 24$$ și $$\Delta_4 = 0$$. Care este soluția lui?

sistemul nu are soluție, fiindcă $$\Delta_4 = 0$$

De ce nu merge regula lui Sarrus la ordinul 4?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Cramer la patru necunoscute

Regula lui Sarrus funcționează numai la ordinul $3$ , unde determinantul are $6$ termeni. La ordinul $4$ sunt $24$ de termeni, iar diagonalele obținute copiind coloanele dau doar $8$ , unii chiar cu semn greșit. Exemplu: determinantul cu $1$ pe pozițiile $(1, 2)$ , $(2, 3)$ , $(3, 4)$ , $(4, 1)$ și $0$ în rest valorează $- 1$ , dar diagonala $a_{12} a_{23} a_{34} a_{41}$ l-ar socoti $+ 1$ . De aceea determinantul se desface după elementele unui rând sau ale unei coloane, cu semnele $(- 1)^{i + j}$ .

Ce se știa la trei necunoscute urcă o treaptă. Un sistem e de tip Cramer dacă numărul ecuațiilor coincide cu al necunoscutelor, iar determinantul tabloului lui, scris $Δ$ , nu se anulează; atunci soluția există și e singura. Necunoscutele apar ca rapoarte: $x = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{2}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{3}}{Δ}$ , $t = \frac{Δ _{4}}{Δ}$ .

Numărul din indicele lui $Δ_{k}$ spune ce coloană iese din tablou — nu ce rând —, iar locul rămas gol primește termenii liberi, în ordinea în care sunt scrise ecuațiile. Orice auxiliar se copiază din tabloul lui $Δ$ ; pornit din cel dinainte, ajunge cu două coloane la fel și iese nul fără niciun rost.

Diagonalele nu mai ajută la ordinul $4$ : desfăcut, tabloul are $24$ de termeni, iar opt diagonale rămân mult sub jumătate. Se dezvoltă atunci după un rând ori după o coloană, fiecare produs primind factorul $(- 1)^{i + j}$ ; rândul cel mai bogat în zerouri iese cel mai ieftin, fiindcă un zero face să dispară cu totul un minor de ordinul $3$ .

Dacă $Δ$ se anulează, procedeul se închide fără verdict asupra numărului de soluții. Dacă $Δ$ e nenul, iar vreun auxiliar iese zero, necunoscuta lui este pur și simplu nulă. Proba adevărată rămâne substituția în toate ecuațiile date.

De reținut

Sarrus și regula triunghiului se aplică numai determinanților de ordinul $3$
la ordinul $4$ se desface după elementele unui rând sau ale unei coloane, cu semnele $(- 1)^{i + j}$
determinant triunghiular = produsul elementelor de pe diagonală
adunarea unui multiplu al unei linii la alta nu schimbă determinantul

Greșeala tipică

Se copiază primele trei coloane lângă un determinant de ordinul $4$ și se adună diagonalele; se obțin doar $8$ din cei $24$ de termeni, așa că rezultatul e greșit, iar corect se dezvoltă după linia cu cele mai multe zerouri.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este determinantul $31420257 00 - 1 6 0004$ ?
- a) $24$
- b) $- 8$
- c) $- 24$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 24$

Prima linie are trei zerouri, deci dezvoltarea după ea lasă un singur termen: $3$ înmulțit cu $257 0 - 1 6 004$ . Acesta se dezvoltă la fel și dă $2 \cdot (- 1) \cdot 4 = - 8$ , deci determinantul este $3 \cdot (- 8) = - 24$ . Varianta a) pierde semnul minus adus de elementul $- 1$ ; b) oprește calculul la minor, fără factorul $3$ ; d) este greșeala „multe zerouri, deci determinant nul" — zerourile scurtează calculul, nu îl hotărăsc.
La un sistem cu patru necunoscute s-au obținut $Δ = 4$ , $Δ_{1} = 12$ , $Δ_{2} = - 4$ , $Δ_{3} = 24$ și $Δ_{4} = 0$ . Care este soluția lui?
- a) $(12, - 4, 24, 0)$
- b) $(3, - 1, 6, 0)$
- c) $(- 3, 1, - 6, 0)$
- d) sistemul nu are soluție, fiindcă $Δ_{4} = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(3, - 1, 6, 0)$

Determinantul principal fiind nenul, sistemul este de tip Cramer, iar fiecare necunoscută se obține împărțind auxiliarul ei la $Δ$ : $x = \frac{12}{4} = 3$ , $y = \frac{- 4}{4} = - 1$ , $z = \frac{24}{4} = 6$ și $t = \frac{0}{4} = 0$ . Varianta a) sare peste împărțire; c) împarte la $- 4$ , adică schimbă semnul determinantului principal; d) confundă rolul auxiliarilor cu al determinantului principal: un auxiliar nul arată doar că necunoscuta lui este $0$ .
Cât este determinantul $1020240301503012$ ?
- a) $- 33$
- b) $63$
- c) $48$
- d) $33$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $33$

Dezvoltăm după ultima linie, $(0, 3, 0, 2)$ , care are două zerouri. Elementul $3$ stă pe poziția $(4, 2)$ , cu semnul $(- 1)^{4 + 2} = 1$ și minorul $102015301 = - 5$ ; elementul $2$ stă pe poziția $(4, 4)$ , cu semnul $(- 1)^{4 + 4} = 1$ și minorul $102240015 = 24$ . Rezultă $3 \cdot (- 5) + 2 \cdot 24 = - 15 + 48 = 33$ . Varianta a) schimbă semnul întregului rezultat; b) ia primul termen cu plus, adică $15 + 48$ ; c) pierde termenul cu $3$ .

Întrebări conexe

Câți termeni are un determinant de ordinul $4$ dezvoltat complet?

Are $4! = 24$ de termeni: fiecare produs ia câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană, jumătate cu plus și jumătate cu minus. Dezvoltarea după o linie îi grupează în patru minori de ordinul $3$ , fiecare cu câte $6$ termeni, adică tot $4 \cdot 6 = 24$ .

Cum formez determinantul auxiliar $Δ_{3}$ la un sistem cu patru necunoscute?

Copiezi determinantul sistemului și înlocuiești a treia coloană, cea a coeficienților necunoscutei a treia, cu coloana termenilor liberi. Celelalte trei coloane rămân neschimbate, iar necunoscuta a treia este $\frac{Δ _{3}}{Δ}$ . Dacă înlocuiești o linie în loc de coloană, obții alt număr și o valoare greșită.

Ce fac dacă determinantul unui sistem cu patru necunoscute este zero?

Regula lui Cramer nu se mai aplică, fiindcă ar cere împărțirea la $0$ . Sistemul poate fi atunci incompatibil sau compatibil nedeterminat, iar natura lui se stabilește altfel, de exemplu prin rang sau prin eliminarea necunoscutelor. Un sistem omogen cu $Δ = 0$ are sigur și soluții nenule, pe lângă soluția nulă.

Ce operație pe linii nu schimbă un determinant de ordinul $4$ ?

Adunarea la o linie a unui multiplu al altei linii. Așa se fabrică zerouri înainte de dezvoltare, de pildă scăzând din linia a doua dublul primei. Schimbarea a două linii între ele schimbă însă semnul, iar înmulțirea unei linii cu $k$ înmulțește determinantul cu $k$ .

Ce spune regula lui Cramer când un determinant auxiliar este zero?

Dacă $Δ \neq = 0$ și, de exemplu, $Δ_{2} = 0$ , atunci necunoscuta a doua este $y = \frac{0}{Δ} = 0$ . Sistemul rămâne compatibil determinat; zero ca valoare a unei necunoscute e un rezultat obișnuit, nu un semn că sistemul n-ar avea soluție.

Unde apare un sistem cu patru necunoscute în științe?

De exemplu, la un circuit electric cu patru intensități necunoscute: nodurile și ochiurile dau patru ecuații de gradul întâi. Dacă determinantul e nenul, curenții se află cu Cramer; o intensitate negativă arată doar că sensul ales pe desen este invers celui real.

Oamenii mai întreabă și: regula lui Sarrus la ordinul 4 · Sarrus pentru determinant 4x4 · se poate folosi Sarrus la patru necunoscute · determinant de ordinul patru fără Sarrus