Cramer la sisteme cu patru necunoscute (M2, științe ale naturii)

Un montaj cu patru ramuri, o structură cu patru straturi, un circuit cu patru curenți necunoscuți: de fiecare dată când fenomenul are patru mărimi legate între ele, ai nevoie de patru condiții simultane, iar sistemul care iese are patru ecuații și patru necunoscute. Metoda de rezolvare este, la clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), exact cea de la trei necunoscute: fiecare necunoscută iese ca raport a doi determinanți, iar la bacalaureatul M2 tema aceasta se evaluează abia la proba MAT_P2. Ce se schimbă este mărimea tablourilor — și, odată cu ea, toată aritmetica.

O precizare de generație, spusă cinstit. Metoda lui Cramer este în programa de examen actuală, cea din 2014, care cere explicit „metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare"; elevii care susțin Bacalaureatul M2 în sesiunile 2027, 2028 și 2029 o au și o folosesc, dar numai până la trei necunoscute — atât permite plafonul programei lor, iar lecția scrisă pentru ei este Metoda lui Cramer, la cel mult 3 necunoscute. Prin urmare, cerințele din lecția de față nu sunt „altă metodă", ci aceeași metodă dincolo de plafonul lor: sistemele cu patru necunoscute intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul Algebră. Dacă ești în prima promoție care învață după programa nouă, lecția aceasta este chiar partea de algoritm a capitolului tău de algebră.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți regula lui Cramer pentru un sistem cu $n\le 4$ necunoscute, cu toate condițiile pe care le cere.
• Vei ști să scrii cei cinci determinanți ai unui sistem cu patru necunoscute, fără să încurci coloana care se schimbă.
• Vei ști de ce schema cu diagonale se oprește la ordinul $3$ și cum calculezi atunci un determinant de ordinul $4$.
• Vei ști să duci până la capăt un sistem $4\times 4$, cu verificarea finală în toate ecuațiile.
• Vei ști ce poți și ce nu poți spune despre un sistem atunci când determinantul principal este nul.
• Vei ști să-ți organizezi foaia astfel încât o greșeală la un singur determinant să nu-ți strice toată problema.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune metoda lui Cramer la patru necunoscute?

Notațiile rămân cele fixate la trei necunoscute: determinantul principal $\Delta$ este determinantul matricei sistemului, iar determinantul auxiliar ${\Delta }_k$ are toate coloanele lui $\Delta$, afară de a $k$-a, pe locul căreia stau termenii liberi. Ce se schimbă este doar câte sunt: la patru necunoscute, indicele $k$ merge de la $1$ la $4$.

Regula lui Cramer. Dacă un sistem liniar are tot atâtea ecuații câte necunoscute, numărul lor este cel mult $4$, iar determinantul principal este nenul, $\Delta \ne 0$, atunci sistemul are exact o soluție, iar necunoscutele se află cu formulele $x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }$, $z=\frac{{\Delta }_3}{\Delta }$, $t=\frac{{\Delta }_4}{\Delta }$. Un sistem care îndeplinește primele două condiții se numește de tip Cramer.

Enunțul spune două lucruri deodată: că soluția există și că este unică. De aceea, la o cerință de tipul „arătați că sistemul are soluție unică", răspunsul complet este calculul lui $\Delta$ plus constatarea că nu e zero. Condiția $n\le 4$ nu e a metodei, ci a programei: formulele merg la orice $n$, dar la acest profil nu se dau sisteme mai mari.

2. Cum arată cei cinci determinanți?

Fie sistemul pătratic cu patru necunoscute $x$, $y$, $z$, $t$, cu matricea $A$ și coloana termenilor liberi $B$. Determinantul principal este $\Delta =\det A$, iar fiecare auxiliar se obține din același $\Delta$: în ${\Delta }_1$ pleacă prima coloană și pe locul ei vine coloana lui $B$, în ${\Delta }_2$ a doua, în ${\Delta }_3$ a treia, în ${\Delta }_4$ a patra. Celelalte coloane rămân neatinse, iar termenii liberi se copiază în ordinea ecuațiilor. Ai deci de calculat cinci determinanți de ordinul $4$, iar regula de memorat rămâne aceeași: indicele lui ${\Delta }_k$ arată ce coloană pleacă.

O precizare de notație, ca să nu se ciocnească simbolurile. Litera $\Delta$ poartă aici un singur indice, care numără necunoscuta. La lecția despre rangul unei matrice vei întâlni minori, notați cu litera $d$; ei se aleg dintr-un tablou oarecare, nu sunt legați de un sistem, și nu au nicio legătură cu ${\Delta }_k$ de aici.

3. Cum calculezi un determinant de ordinul 4, dacă Sarrus nu merge?

Schema cu diagonale este bună numai la ordinul $3$. Motivul se vede numărând: dezvoltat complet, un determinant de ordinul $4$ are $4!=24$ de termeni, în vreme ce opt diagonale ar da opt. Cele două cifre nu se pot împăca prin nicio prelungire a schemei, iar „Sarrus la ordinul $4$" rămâne cea mai costisitoare greșeală a capitolului.

Calculul se face prin dezvoltare după o linie sau o coloană, ca la Determinantul de ordinul 4: fiecare element al liniei alese se înmulțește cu determinantul de ordinul $3$ rămas după ștergerea liniei și a coloanei lui, iar produsul primește semnul $(-1{)}^{i+j}$. Alegi linia sau coloana cu cele mai multe zerouri, fiindcă termenii cu factorul $0$ dispar.

Urmărește-l pe acesta, ales tocmai pentru că linia a treia are două zerouri:

$$\left|\begin{array}{cccc}2& 0& 1& 3\\ 1& 2& 0& 1\\ 0& 1& 2& 0\\ 3& 1& 1& 2\end{array}\right|$$

Dezvoltăm după linia a treia, formată din $0$, $1$, $2$, $0$. Rămân doi termeni. Primul are elementul $1$ pe poziția $(3,2)$, deci semnul $(-1{)}^{3+2}=-1$, iar minorul lui este $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=2$. Al doilea are elementul $2$ pe poziția $(3,3)$, deci semnul $(-1{)}^{3+3}=1$, iar minorul lui este $\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 1& 2& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=-9$. Adunând, determinantul este $-1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 2\cdot (-9)=-2-18=-20$.

Reține cât te costă: un determinant de ordinul $4$ înseamnă, în cel mai rău caz, patru determinanți de ordinul $3$. Cu două zerouri pe linia aleasă, doi.

4. Un sistem cu patru necunoscute, dus până la capăt

$$\{\begin{array}{l}x+y+z+t=10\\ 2x-y+z=8\\ y+2z-t=9\\ x+3t=6\end{array}$$

Ordinea de lucru nu se schimbă niciodată: întâi determinantul principal. Matricea sistemului, cu zerourile la locul lor, și determinantul ei sunt

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& -1& 1& 0\\ 0& 1& 2& -1\\ 1& 0& 0& 3\end{array}\right),\Delta =\det A=-10.$$

Fiind nenul, sistemul este de tip Cramer. Construim cei patru auxiliari, fiecare pornind din tabloul lui $\Delta$, nu din cel dinainte, înlocuind o coloană cu coloana termenilor liberi $10$, $8$, $9$, $6$:

$${\Delta }_1=-30,{\Delta }_2=-20,{\Delta }_3=-40,{\Delta }_4=-10.$$

Împărțind fiecare auxiliar la $\Delta$, obținem $x=3$, $y=2$, $z=4$, $t=1$. Verificarea, obligatorie, în toate ecuațiile: $3+2+4+1=10$; $6-2+4=8$; $2+8-1=9$; $3+3=6$.

5. Ce faci când determinantul principal este zero?

Te oprești, dar nu tragi nicio concluzie pripită. Un $\Delta$ nul înseamnă doar că metoda nu se aplică: împărțirea de la final nu ar avea sens. Sistemul rămâne în una dintre celelalte două situații — incompatibil sau cu o infinitate de soluții —, iar regula lui Cramer nu are cum să le deosebească.

La trei necunoscute puteai cerceta ecuațiile cu ochiul liber; la patru, relațiile dintre ele sunt mai greu de văzut. De aceea capitolul construiește un instrument care le tratează pe toate deodată: rangul unei matrice, folosit apoi pentru studiul compatibilității. Până acolo, când determinantul principal e nul, răspunsul corect este „sistemul nu este de tip Cramer, iar metoda se oprește aici".

Reține și greșeala simetrică, la fel de frecventă: dacă $\Delta \ne 0$, iar un auxiliar iese $0$, nu s-a stricat nimic. Înseamnă doar că necunoscuta corespunzătoare este nulă, iar sistemul rămâne compatibil determinat.

6. Cum îți organizezi cele cinci tablouri ca să nu le încurci?

Cinci tablouri de câte șaisprezece numere nu se mai țin în cap, iar greșelile nu mai vin din calcul, ci din transcriere. Trei obiceiuri rezolvă problema.

Scrie coloana lui $B$ o singură dată, separat. O copiezi apoi în fiecare auxiliar, de sus în jos. Cele mai multe greșeli de la această temă sunt termeni liberi transcriși în altă ordine, iar rezultatul iese la fel de „frumos".

Alege linia de dezvoltare o singură dată, la $\Delta$. Auxiliarii au trei coloane identice cu cele din $\Delta$, dar linia aleasă poate deveni proastă după înlocuire: dacă zerourile de pe ea erau tocmai în coloana schimbată, alege alta pentru acel auxiliar.

Fă controlul înmulțind înapoi. După ce ai aflat $x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$, verifici pe loc că $\Delta \cdot x={\Delta }_1$. E un control ieftin, care prinde o împărțire răsturnată, dar nu prinde un determinant greșit — pentru asta rămâne singura probă care nu poate fi păcălită: substituția soluției în toate ecuațiile sistemului inițial.

7. Cât costă metoda și de ce se oprește programa la patru?

Numără operațiile. La trei necunoscute ai patru determinanți de ordinul $3$, fiecare rezolvabil cu Sarrus într-un minut. La patru ai cinci determinanți de ordinul $4$, iar fiecare cere, în cel mai rău caz, patru determinanți de ordinul $3$: până la douăzeci în total, adică de cinci ori mai multă muncă.

De aici se vede și de ce programa se oprește aici. La cinci necunoscute ar fi șase determinanți de ordinul $5$, fiecare cerând cinci de ordinul $4$ — o sută douăzeci de determinanți de ordinul $3$. Metoda ar rămâne corectă, dar de nefolosit cu creionul. Concluzia practică: calculează $\Delta$ cu atenție, folosind zerourile, și abia apoi treci la auxiliari; dacă iese zero, ai economisit patru determinanți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem $4\times 4$, complet

Rezolvați cu regula lui Cramer sistemul $x+y+z=6$, $2x-z+3t=12$, $y+2z+t=11$, $x+2y+t=11$.

Rezolvare. Scriem matricea sistemului și calculăm întâi determinantul principal:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 2& 0& -1& 3\\ 0& 1& 2& 1\\ 1& 2& 0& 1\end{array}\right),\Delta =\det A=-15\ne 0.$$

Sistemul este de tip Cramer. Înlocuim pe rând câte o coloană cu coloana termenilor liberi $6$, $12$, $11$, $11$ și obținem ${\Delta }_1=-15$, ${\Delta }_2=-45$, ${\Delta }_3=-30$, ${\Delta }_4=-60$; împărțind la $\Delta$, $x=1$, $y=3$, $z=2$, $t=4$. Verificare: $1+3+2=6$; $2-2+12=12$; $3+4+4=11$; $1+6+4=11$.

Exemplul 2 — Când zerourile fac toată treaba

Rezolvați sistemul $3x+y=13$, $2y-z=-1$, $z+4t=11$, $x+t=6$.

Rezolvare. Fiecare ecuație are doar două necunoscute, deci matricea sistemului are opt zerouri:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ 0& 2& -1& 0\\ 0& 0& 1& 4\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right),\Delta =\det A=10\ne 0.$$

Dezvoltarea după ultima linie are numai doi termeni nenuli, iar fiecare minor de ordinul $3$ are la rândul lui o linie cu două zerouri. Auxiliarii, construiți fiecare din $\Delta$, sunt ${\Delta }_1=40$, ${\Delta }_2=10$, ${\Delta }_3=30$, ${\Delta }_4=20$, deci $x=4$, $y=1$, $z=3$, $t=2$. Verificare: $12+1=13$; $2-3=-1$; $3+8=11$; $4+2=6$. Reține: la un sistem cu multe necunoscute lipsă, ordinul $4$ nu e mai greu decât ordinul $3$.

Exemplul 3 — Determinantul principal se anulează

Arătați că sistemul $x+y+z+t=8$, $x-y+z-t=2$, $2x+2z=10$, $3x+y+3z+t=18$ nu este de tip Cramer și stabiliți câte soluții are.

Rezolvare. Adunând primele două ecuații obținem $2x+2z=10$, adică exact a treia; adunând prima înmulțită cu $2$ la a doua obținem $3x+y+3z+t=18$, adică a patra. Ultimele două ecuații nu aduc nicio condiție nouă, iar $\Delta =0$: sistemul nu este de tip Cramer.

Rămân două condiții pentru patru necunoscute, $x+z=5$ și $y+t=3$. Cuadruplul $(2,1,3,2)$ le verifică, iar controlul în toate patru ecuațiile dă $2+1+3+2=8$, $2-1+3-2=2$, $4+6=10$, $6+1+9+2=18$. La fel și $(1,0,4,3)$: $1+0+4+3=8$, $1-0+4-3=2$, $2+8=10$, $3+0+12+3=18$. Două soluții deosebite înseamnă o infinitate.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează determinantul $\left|\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 1\\ 2& 1& 1& 0\\ 0& 2& 1& 3\\ 1& 0& 2& 1\end{array}\right|$ dezvoltându-l după prima linie. El scrie corect cei patru minori de ordinul $3$, anume $-7$, $-7$, $7$ și $7$, apoi adună: $1\cdot (-7)+3\cdot (-7)+0\cdot 7+1\cdot 7=-21$. Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Minorii sunt corecți; greșite sunt semnele. La dezvoltarea după o linie, fiecare produs primește factorul $(-1{)}^{i+j}$, iar pe prima linie semnele alternează: $+$, $-$, $+$, $-$. Elevul le-a luat pe toate cu plus.

Cu semnele corecte, $1\cdot (-7)-3\cdot (-7)+0\cdot 7-1\cdot 7=-7+21-7=7$. Valoarea determinantului este $7$, nu $-21$. Controlul care prinde greșeala este recalculul dezvoltând după altă linie — merită făcut, la ordinul $4$, ori de câte ori ai timp.

Exemplul 5 — Patru curenți într-un montaj

Într-un montaj electric, curenții din patru ramuri se notează cu $x$, $y$, $z$, $t$ și se măsoară în amperi. În nodul principal, suma curenților care intră este egală cu suma celor care ies, adică $x+y-z-t=0$; pe ramurile a treia și a patra, aparatul indică împreună $z+t=7$ amperi; două bucle ale montajului dau relațiile $3x-2z=2$ și $2y-4t=-2$. Aflați cei patru curenți.

Rezolvare. Matricea sistemului și determinantul ei sunt

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ 0& 0& 1& 1\\ 3& 0& -2& 0\\ 0& 2& 0& -4\end{array}\right),\Delta =\det A=-8\ne 0,$$

deci montajul are o singură repartiție posibilă a curenților. Cu termenii liberi $0$, $7$, $2$, $-2$ obținem ${\Delta }_1=-32$, ${\Delta }_2=-24$, ${\Delta }_3=-40$ și ${\Delta }_4=-16$, de unde $x=4$, $y=3$, $z=5$, $t=2$.

Verificare: $4+3-5-2=0$; $5+2=7$; $12-10=2$; $6-8=-2$. Citirea fizică: toți curenții au ieșit pozitivi, deci sensurile alese pe schemă au fost cele reale; un rezultat negativ nu ar fi fost o eroare, ci ar fi însemnat că pe acea ramură curentul circulă invers. Unitatea se scrie la fiecare rezultat: $4$ A, $3$ A, $5$ A și $2$ A.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.)

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră sistemul $x+y+z+t=10$, $2x+y-z+t=10$, $x-y+2z-t=-3$, $3x+2y+z-t=9$.

a) Scrieți matricea $A$ a sistemului și arătați că $\Delta =21$.

b) Arătați că sistemul este de tip Cramer și calculați ${\Delta }_3$.

c) Rezolvați sistemul.

Rezolvare. a) Coeficienții, pe linii, în ordinea $x$, $y$, $z$, $t$:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 1& -1& 1\\ 1& -1& 2& -1\\ 3& 2& 1& -1\end{array}\right),\Delta =\det A=21.$$

b) Sistemul are patru ecuații și patru necunoscute, iar $\Delta =21\ne 0$: ambele condiții din definiție fiind îndeplinite, sistemul este de tip Cramer, deci are soluție unică. Pentru ${\Delta }_3$ înlocuim coloana a treia a lui $A$ cu coloana termenilor liberi $10$, $10$, $-3$, $9$ și obținem ${\Delta }_3=21$.

c) Ceilalți auxiliari, construiți fiecare din $\Delta$, sunt ${\Delta }_1=42$, ${\Delta }_2=63$ și ${\Delta }_4=84$. Împărțind la $21$: $x=2$, $y=3$, $z=1$, $t=4$. Verificare: $2+3+1+4=10$; $4+3-1+4=10$; $2-3+2-4=-3$; $6+6+1-4=9$.

De la examen la lecție. Înlănțuirea cerințelor — determinantul, justificarea, rezolvarea — urmează structura primei probleme a Subiectului al II-lea din modelul oficial publicat pentru proba actuală. Punctul b) se rezolvă în două rânduri, cu condiția să spui și că numărul ecuațiilor este egal cu cel al necunoscutelor.

Să exersăm

Calculează întâi $\Delta$; dacă iese zero, oprește-te și spune de ce. Verifică apoi fiecare soluție în toate ecuațiile.

1. Scrie matricea $A$ și coloana $B$ pentru sistemul $2x+y-z+3t=8$, $x-2y+z=1$, $3x+y+2z-t=7$, $x+y+z+t=6$ și precizează ordinul determinantului principal.

2. Pentru sistemul $x+2z+t=5$, $3x+y+2t=9$, $2y+z+t=7$, $2x-y+z=3$, scrie tabloul determinantului ${\Delta }_3$, fără să-l calculezi.

3. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}2& 0& 1& 0\\ 1& 3& 0& 2\\ 0& 1& 2& 0\\ 3& 0& 0& 1\end{array}\right|$, dezvoltând după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Rezolvă cu regula lui Cramer sistemul $x+y+z=9$, $2x-y+t=7$, $y+z-t=4$, $x+2z+3t=19$.

5. Verifică dacă grupul $(5,1,2,3)$ este soluție a sistemului $2x+y+z-t=10$, $x-y+2z+t=11$, $3x+2y-z+2t=21$, $x+y+z+t=11$.

6. La un sistem cu patru necunoscute s-au obținut $\Delta =-3$, ${\Delta }_1=6$, ${\Delta }_2=-9$, ${\Delta }_3=0$ și ${\Delta }_4=12$. Scrie soluția și precizează tipul de compatibilitate.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă la un sistem cu patru necunoscute unul dintre determinanții auxiliari este nul, atunci sistemul nu are soluție."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un determinant de ordinul $4$ se poate calcula cu regula lui Sarrus, luând câte patru diagonale în fiecare sens."

9. Arată că sistemul $x+2y+z+3t=7$, $2x+y-z+2t=5$, $3x+3y+5t=12$, $x-y-2z-t=-2$ nu este de tip Cramer și găsește două soluții ale lui.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Rezolvă sistemul $x+z+2t=11$, $2x+y-3t=-5$, $3y+z=10$, $x+y+z=7$.

11. (Problemă aplicată.) Un ecran de protecție este format din patru plăci de plumb, așezate una peste alta, cu grosimile $x$, $y$, $z$, $t$, în milimetri. Se măsoară grosimea pachetului întreg, $18$ mm, a primelor două plăci, $10$ mm, a plăcilor a doua și a treia, $9$ mm, și a plăcilor întâi și a treia, $7$ mm. Află grosimea fiecărei plăci și spune ce condiție cerută de fizică nu se citește din sistem.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul $x+y+2z-t=4$, $2x-y+z+t=11$, $x+2y-z+2t=11$, $3x+y+z+t=15$. a) Arată că $\Delta =-12$. b) Calculează ${\Delta }_4$ și află necunoscuta $t$.

13. Rezolvă sistemul $x+2y+t=13$, $2x-y+z=9$, $y+3z-t=1$, $x+y+z+t=12$.

14. Explică, în trei-patru fraze, de ce la un sistem cu patru necunoscute este greșit să construiești ${\Delta }_3$ pornind din tabloul lui ${\Delta }_2$ și după ce semn recunoști greșeala.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul $2x+y+t=12$, $x+3z-t=8$, $2y+z+t=13$, $x+y+z=10$. a) Calculează $\Delta$. b) Rezolvă sistemul.

16. Scrie sistemul de patru ecuații liniare care are forma matriceală $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 1& -1\\ 1& 2& 0& 1\\ 0& 1& 4& 2\\ 2& 1& 1& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 15\\ 7\end{array}\right)$.

17. Pentru sistemul $x+z+t=12$, $2x+3y-t=5$, $y+3z+t=13$, $x-y+z+2t=17$, calculează numai $\Delta$ și ${\Delta }_4$ și află necunoscuta $t$, fără să determini celelalte necunoscute.

18. (Provocare.) Se consideră un sistem de tip Cramer cu patru necunoscute la care coloana termenilor liberi coincide cu a treia coloană a matricei sistemului. Arată, fără să calculezi nimic, că soluția lui este $x=0$, $y=0$, $z=1$, $t=0$, apoi ilustrează pe sistemul cu matricea $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 1\\ 1& -1& 2& 0\\ 3& 2& 1& -1\\ 1& 0& 4& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 3\\ 1& -2& 1& 0\\ 3& 1& 2& -1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 7\\ 6\end{array}\right)$. Determinantul principal este de ordinul $4$, la fel ca fiecare dintre cei patru auxiliari.

2. Matricea sistemului este $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 3& 1& 0& 2\\ 0& 2& 1& 1\\ 2& -1& 1& 0\end{array}\right)$, iar în ${\Delta }_3$ pleacă a treia coloană și pe locul ei vin termenii liberi, în ordinea ecuațiilor: ${\Delta }_3=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 5& 1\\ 3& 1& 9& 2\\ 0& 2& 7& 1\\ 2& -1& 3& 0\end{array}\right|$. Celelalte trei coloane rămân neatinse.

3. Dezvoltăm după ultima linie, $3$, $0$, $0$, $1$. Primul termen are semnul $(-1{)}^{4+1}=-1$, al doilea semnul $(-1{)}^{4+4}=1$. Se obține $-3\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 3& 0& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 3& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right|$, adică $-3\cdot 2+1\cdot 13=-6+13=7$. Valoarea determinantului este $7$.

4. $\Delta =-6\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer. Auxiliarii sunt ${\Delta }_1=-18$, ${\Delta }_2=-6$, ${\Delta }_3=-30$ și ${\Delta }_4=-12$, de unde $x=3$, $y=1$, $z=5$, $t=2$. Verificare: $3+1+5=9$; $6-1+2=7$; $1+5-2=4$; $3+10+6=19$.

5. Da. Înlocuim în toate cele patru ecuații: $10+1+2-3=10$; $5-1+4+3=11$; $15+2-2+6=21$; $5+1+2+3=11$. Toate patru egalitățile sunt adevărate.

6. Cum $\Delta =-3\ne 0$, sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat. Împărțind fiecare auxiliar la $\Delta$ obținem $x=-2$, $y=3$, $z=0$, $t=-4$.

7. Fals. Cu $\Delta \ne 0$, sistemul are soluție unică oricare ar fi auxiliarii, iar un auxiliar nul spune doar că necunoscuta corespunzătoare este $0$ — exact cazul de la exercițiul 6, unde ${\Delta }_3=0$ dă $z=0$. Determinantul care decide dacă metoda se aplică este numai cel principal.

8. Fals. Regula lui Sarrus este valabilă numai la ordinul $3$. Un determinant de ordinul $4$ are $24$ de termeni, iar orice schemă cu diagonale ar produce cel mult opt: nu există nicio prelungire corectă. La ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană.

9. Adunând primele două ecuații obținem $3x+3y+5t=12$, adică a treia; scăzând-o pe prima din a doua obținem $x-y-2z-t=-2$, adică a patra. Ultimele două ecuații nu aduc nimic nou, deci $\Delta =0$ și sistemul nu este de tip Cramer. Rămân două condiții pentru patru necunoscute. Cuadruplul $(1,3,0,0)$ le verifică: $1+6=7$ și $2+3=5$; controlul pe celelalte două dă $3+9=12$ și $1-3=-2$. La fel și $(2,2,1,0)$: $2+4+1=7$; $4+2-1=5$; $6+6=12$; $2-2-2=-2$.

10. $\Delta =-7\ne 0$; auxiliarii sunt ${\Delta }_1=-7$, ${\Delta }_2=-14$, ${\Delta }_3=-28$ și ${\Delta }_4=-21$, deci $x=1$, $y=2$, $z=4$, $t=3$. Verificare: $1+4+6=11$; $2+2-9=-5$; $6+4=10$; $1+2+4=7$.

11. Cu $x$, $y$, $z$, $t$ grosimile celor patru plăci, în milimetri, cele patru măsurători dau $x+y+z+t=18$, $x+y=10$, $y+z=9$, $x+z=7$. Determinantul principal este $\Delta =-2\ne 0$, iar auxiliarii sunt ${\Delta }_1=-8$, ${\Delta }_2=-12$, ${\Delta }_3=-6$ și ${\Delta }_4=-10$, deci $x=4$ mm, $y=6$ mm, $z=3$ mm și $t=5$ mm. Verificare: $4+6+3+5=18$ mm; $4+6=10$ mm; $6+3=9$ mm; $4+3=7$ mm. Condiția nescrisă în sistem este ca toate cele patru grosimi să fie pozitive: o grosime negativă nu are sens fizic, iar dacă una ar ieși așa, ar însemna că o măsurătoare a fost notată greșit.

12. a) $\Delta =-12\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer. b) Înlocuind a patra coloană cu termenii liberi $4$, $11$, $11$, $15$ obținem ${\Delta }_4=-60$, deci $t=\frac{-60}{-12}=5$. Celelalte necunoscute, dacă sunt cerute, ies din ${\Delta }_1=-24$, ${\Delta }_2=-12$ și ${\Delta }_3=-36$: $x=2$, $y=1$, $z=3$.

13. $\Delta =-12\ne 0$; auxiliarii sunt ${\Delta }_1=-60$, ${\Delta }_2=-24$, ${\Delta }_3=-12$ și ${\Delta }_4=-48$, deci $x=5$, $y=2$, $z=1$, $t=4$. Verificare: $5+4+4=13$; $10-2+1=9$; $2+3-4=1$; $5+2+1+4=12$.

14. Fiecare auxiliar se construiește din tabloul original al lui $\Delta$, schimbând o singură coloană. Pornind din ${\Delta }_2$, tabloul are deja o coloană stricată, iar la înlocuirea coloanei a treia rămâi cu două coloane identice, amândouă egale cu coloana termenilor liberi; un determinant cu două coloane identice este nul, deci vei obține ${\Delta }_3=0$ și vei conchide, greșit, că $z=0$.

15. a) $\Delta =6\ne 0$. b) Auxiliarii sunt ${\Delta }_1=18$, ${\Delta }_2=30$, ${\Delta }_3=12$ și ${\Delta }_4=6$, deci $x=3$, $y=5$, $z=2$, $t=1$. Verificare: $6+5+1=12$; $3+6-1=8$; $10+2+1=13$; $3+5+2=10$.

16. Fiecare linie a lui $A$ dă o ecuație, iar zerourile arată necunoscutele care lipsesc: $3x+z-t=6$, $x+2y+t=9$, $y+4z+2t=15$, $2x+y+z=7$. Numerele negative își păstrează semnul, iar termenii liberi se citesc de pe aceeași linie din $B$.

17. $\Delta =4$, iar pentru ${\Delta }_4$ înlocuim a patra coloană cu termenii liberi $12$, $5$, $13$, $17$ și obținem ${\Delta }_4=24$. Prin urmare $t=\frac{24}{4}=6$. Metoda dă fiecare necunoscută independent de celelalte, deci, când enunțul cere una singură, se calculează doar doi determinanți în loc de cinci.

18. În ${\Delta }_3$ înlocuim coloana a treia cu coloana termenilor liberi, care este chiar ea: tabloul rămâne neschimbat, deci ${\Delta }_3=\Delta$ și $z=1$. În ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ și ${\Delta }_4$, coloana termenilor liberi ajunge alături de coloana a treia, identică cu ea: fiecare tablou are două coloane egale, deci este nul, iar necunoscutele sunt $0$. Pe exemplul dat, $\Delta =-2\ne 0$, iar soluția este $(0,0,1,0)$ — se vede și direct, prima ecuație dând $2\cdot 0+1\cdot 0+3\cdot 1+1\cdot 0=3$.

De reținut

• Sistem de tip Cramer înseamnă tot atâtea ecuații câte necunoscute și determinantul principal nenul; la profilul științe ale naturii, numărul necunoscutelor este cel mult $4$.
• La patru necunoscute se calculează cinci determinanți de ordinul $4$: $\Delta$, ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$, ${\Delta }_4$, iar necunoscutele sunt $\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, cu determinantul principal întotdeauna la numitor.
• Regula lui Sarrus nu se aplică la ordinul $4$. Determinantul se calculează prin dezvoltare după o linie sau o coloană, cu semnul $(-1{)}^{i+j}$, alegând linia cu cele mai multe zerouri.
• Fiecare auxiliar pornește din tabloul lui $\Delta$, nu din cel dinainte; două coloane identice într-un auxiliar sunt semnalul că ai pornit greșit.
• Când $\Delta =0$, metoda se oprește și nu spune nimic despre numărul soluțiilor; decizia se ia mai târziu, cu rangul.

Greșeli frecvente

• Ștergi numai linia elementului, nu și coloana lui. La dezvoltare, minorul se obține tăind și linia, și coloana pe care stă elementul; cine taie doar linia rămâne cu un tablou de trei linii și patru coloane, care nici nu are determinant.
• Crezi că un determinant cu multe zerouri este automat nul. Zerourile scurtează calculul, nu îl hotărăsc: determinantul din Exemplul 2 are opt zerouri și valoarea $10$. Un determinant este nul când liniile lui sunt legate între ele, nu când conține multe zerouri.
• Alegi pentru dezvoltare o linie fără zerouri. Nu este o greșeală de matematică, ci de timp: la ordinul $4$ o linie plină înseamnă patru determinanți de ordinul $3$ în loc de doi, adică dublu de lucru și dublu de ocazii de a greși.
• Înlocuiești linia $k$ în loc de coloana $k$. La ordinul $4$ tabloul are tot atâtea linii câte coloane, iar confuzia trece neobservată: indicele lui ${\Delta }_k$ numără necunoscuta, deci coloana care pleacă. Controlul e să te uiți dacă termenii liberi stau pe verticală, nu pe orizontală.
• Te oprești fără verificare, pentru că „au ieșit numere întregi". Numerele întregi nu sunt o probă: la sisteme construite pentru examen ele ies întregi și când un determinant e greșit. Singura probă este substituția în toate cele patru ecuații ale sistemului inițial.

Aplică acasă

1. Cele cinci tablouri, fără niciun calcul. Ia un sistem cu patru necunoscute din culegere și scrie, unul sub altul, cele cinci tablouri: $\Delta$, ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$, ${\Delta }_4$, încercuind în fiecare coloana înlocuită. Calculează apoi numai $\Delta$. Exercițiul durează zece minute și fixează singurul pas la care se greșește sistematic.

2. Aceeași valoare, patru drumuri. Ia un determinant de ordinul $4$ cu cel puțin trei zerouri și dezvoltă-l pe rând după fiecare dintre cele patru linii. Valoarea trebuie să iasă aceeași de patru ori; notează, pentru fiecare drum, câți minori de ordinul $3$ ai avut de calculat și care linie te-a scutit de cei mai mulți.

3. Cinci tablouri, o singură coloană. Ia un sistem cu patru necunoscute din culegere, scrie coloana termenilor liberi pe o fâșie de hârtie separată și construiește cei patru auxiliari alunecând fâșia din stânga spre dreapta, peste coloana care pleacă. Vei vedea, mișcând-o, de ce indicele lui ${\Delta }_k$ numără coloana, nu linia.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul calculează corect un determinant de ordinul $4$ prin dezvoltare, cu semnele lui; dacă construiește fiecare auxiliar pornind din tabloul original; și dacă verifică soluția în toate ecuațiile. Nimic din toate acestea nu cere o idee nouă, dar cere disciplină la scris, iar acolo apar greșelile.

Dificultatea nu e conceptuală, ci de volum: la trei necunoscute calculul durează cinci minute, la patru un sfert de oră și cinci tablouri scrise îngrijit. Un obicei care ajută: coloana termenilor liberi se scrie o singură dată, separat. Întrebări de control: „Câți determinanți ai de calculat la un sistem cu patru necunoscute?"; „Din ce tablou pornești ca să scrii ${\Delta }_4$?"; „Câți minori de ordinul $3$ îți cere o dezvoltare?"; „Ce înseamnă ${\Delta }_2=0$ la un sistem cu $\Delta =5$?". Semn bun: înainte de a dezvolta, elevul caută linia cu cele mai multe zerouri.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28); tema este în domeniul Algebră, unitatea XII.1. Sisteme de ecuații liniare, la conținutul „determinarea soluției unui sistem de ecuații liniare: metoda lui Cramer", cu nota „se vor studia sisteme de ecuații liniare cu cel mult 4 ecuații și cel mult 4 necunoscute". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029: pentru ei, programa de examen (OMEN 4430/2014) cere metoda lui Cramer la clasa a XI-a, dar numai la sisteme cu cel mult 3 necunoscute, iar determinanții se opresc la ordinul $3$. Prin urmare, cerințele cu patru necunoscute din această lecție nu se dau în sesiunile 2027–2029; ele intră la proba MAT_P2, din 2030, și sunt marcate ca atare. Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Cele trei ore pe săptămână pe care se sprijină planificarea vin din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă metoda lui Cramer la M2 față de M1?

Formulele sunt aceleași, dar la științe ale naturii se opresc la patru necunoscute și nu sunt însoțite de demonstrație. La mate-info tema e în clasa a XI-a, cu demonstrație pornind de la matricea adjunctă: vezi Sisteme Cramer de ordin 4, la mate-info (M1), care continuă cu metoda lui Gauss, temă ce nu intră la acest profil.

La ce subiect apar sistemele cu patru necunoscute la bacalaureatul M2?

La proba MAT_P2, din 2030, în domeniul Algebră; în sesiunile 2027–2029 ele nu apar deloc, fiindcă programa de examen se oprește la trei necunoscute. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, prima problemă a Subiectului al II-lea este de calcul cu matrice, cu trei cerințe legate și fără niciun sistem.

Câți determinanți am de calculat la un sistem cu patru necunoscute?

Cinci: determinantul principal și patru auxiliari, toți de ordinul $4$; numărul lor este mereu cu unu mai mare decât numărul necunoscutelor. Dacă $\Delta$ iese zero, te oprești după primul, iar ceilalți patru nu mai sunt de niciun folos — de aceea el se calculează întotdeauna primul, nu la urmă.

Cum aleg linia după care dezvolt?

Pe cea cu cele mai multe zerouri, fiindcă fiecare zero șterge un minor întreg de ordinul $3$. Dacă niciuna nu are zerouri, alege oricare: valoarea iese aceeași, doar munca diferă. Coloanele sunt la fel de bune ca liniile, iar semnul $(-1{)}^{i+j}$ se calculează la fel.

Cât durează rezolvarea unui sistem cu patru necunoscute?

Cu antrenament, în jur de un sfert de oră: cinci determinanți de ordinul $4$, patru împărțiri și verificarea. Cea mai mare parte a timpului se duce pe determinanți, așa că merită scriși unul sub altul, nu împrăștiați pe foaie, iar coloana termenilor liberi copiată o singură dată.

Cum verific repede că nu am greșit un determinant auxiliar?

Uită-te întâi la tablou: trei dintre coloanele lui trebuie să fie identice cu cele din $\Delta$, iar coloana schimbată să conțină termenii liberi în ordinea ecuațiilor. Apoi, după împărțire, controlul sigur rămâne substituția soluției în toate cele patru ecuații ale sistemului inițial; durează un minut și nu poate fi păcălită.

Se pot da sisteme cu cinci necunoscute?

Nu, nici în programa nouă, nici în cea de examen. Programa spune explicit „cel mult 4 ecuații și cel mult 4 necunoscute", iar motivul este practic: la cinci necunoscute ar fi șase determinanți de ordinul $5$, adică peste o sută de determinanți de ordinul $3$ — un calcul care nu se mai poate duce până la capăt cu creionul.