Pentru care dintre matricele de mai jos nu se poate folosi metoda $$X=A^{-1}B$$?

$$\begin{pmatrix}14&21\\6&9\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}12&7\\5&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}13&9\\10&7\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}9&13\\2&3\end{pmatrix}$$

Pentru un sistem cu trei necunoscute se cunosc $$A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-3&2&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$$ și $$B=\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}$$. Care este coloana soluțiilor?

$$\begin{pmatrix}7\\-5\\-1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-1\\-5\\7\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}8\\-12\\4\end{pmatrix}$$

Cum rezolv o problemă de amestec cu matrice?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sisteme cu inversa

Notezi cu $x$ , $y$ cantitățile din fiecare componentă, scrii câte o ecuație pentru fiecare mărime conservată, apoi rezolvi $A X = B$ cu $X = A^{- 1} B$ . De exemplu, din soluții de $10%$ și $30%$ sare vrei $20$ L de $25%$ : $x + y = 20$ și $0, 1 x + 0, 3 y = 5$ , adică $x + 3 y = 50$ . Matricea $(1113)$ are determinantul $2$ și inversa $\frac{1}{2} (3 - 1 - 1 1)$ , deci $x = 5$ L și $y = 15$ L.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029: întrebuințarea inversei la rezolvarea sistemelor e cerută de programa de examen din 2014, deși programa nouă păstrează inversa doar ca unealtă a capitolului de determinanți.

Metoda cere două lucruri, verificate înaintea oricărui calcul: matricea sistemului să fie pătratică și determinantul ei să fie nenul. Atunci soluția se scrie dintr-o dată, $X = A^{- 1} B$ , cu inversa așezată la stânga coloanei termenilor liberi — numai așa apare produsul care lasă necunoscutele singure. Pașii de redactare sunt fixați: determinantul, inversa, produsul, proba.

Proba face parte din rezolvare și spune mai mult decât „da” sau „nu”. Dacă nu iese o singură ecuație, greșeala stă în linia ei din inversă; dacă toate ecuațiile scot termenii liberi de un același număr de ori, a rămas nefăcută împărțirea la determinant; dacă valorile n-au legătură cu enunțul, coeficienții au fost așezați pe alte coloane decât necunoscutele lor.

Câștigul metodei apare când matricea rămâne aceeași și se schimbă doar coloana termenilor liberi: inversa se calculează o dată, iar fiecare comandă nouă costă un singur produs. Un determinant nul nu înseamnă „sistem fără soluții”, ci doar că metoda nu se aplică; într-o problemă aplicată, rezultatul se citește cu unitatea lui de măsură alături.

De reținut

o ecuație pentru fiecare mărime conservată
$X = A^{- 1} B$ , cu $det A \neq = 0$
proba verifică ecuațiile și semnul cantităților

Greșeala tipică

Se adună concentrațiile ca pe cantități, scriind $10% + 30% = 25%$ ; se conservă masa de substanță, nu procentul, deci ecuația corectă este $0, 1 x + 0, 3 y = 0, 25 \cdot 20$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru care dintre matricele de mai jos nu se poate folosi metoda $X = A^{- 1} B$ ?
- a) $(12573)$
- b) $(131097)$
- c) $(146219)$
- d) $(92133)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(146219)$

Metoda cere determinant nenul. Determinanții sunt, luați pe rând, $36 - 35 = 1$ , $91 - 90 = 1$ , $126 - 126 = 0$ și $27 - 26 = 1$ . Numai a treia matrice are determinantul nul, deci numai ea nu are inversă: scrierea $A^{- 1}$ nu înseamnă acolo nimic, la fel cum $\frac{1}{0}$ nu este un număr mare, ci pur și simplu nu este număr.
Rezolvă cu matricea inversă sistemul care are $A = (71023)$ și $B = (1926)$ .
- a) $x = 5$ , $y = - 8$
- b) $x = - 8$ , $y = 5$
- c) $x = 3$ , $y = - 2$
- d) $x = 19$ , $y = 26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 5$ , $y = - 8$

$det A = 21 - 20 = 1 \neq = 0$ , deci $A^{- 1} = (3 - 10 - 2 7)$ și $X = A^{- 1} B = (3 - 10 - 2 7) (1926) = (5 - 8)$ . Proba în ambele ecuații: $35 - 16 = 19$ și $50 - 24 = 26$ . Varianta b) citește coloana de jos în sus; c) dă prima coloană a inversei în loc de necunoscute; d) lasă chiar coloana termenilor liberi.
Pentru un sistem cu trei necunoscute se cunosc $A^{- 1} = 2 - 3 1 - 1 20 01 - 1$ și $B = 415$ . Care este coloana soluțiilor?
- a) $- 1 - 5 7$
- b) $7 - 5 - 1$
- c) $415$
- d) $8 - 12 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7 - 5 - 1$

Se face un singur produs, cu inversa la stânga: pe prima linie $8 - 1 + 0 = 7$ , pe a doua $- 12 + 2 + 5 = - 5$ , pe a treia $4 + 0 - 5 = - 1$ , deci $X = 7 - 5 - 1$ . Varianta a) citește coloana de jos în sus; c) lasă coloana $B$ neschimbată; d) înmulțește numai prima coloană a inversei cu primul termen liber.

Întrebări conexe

Cum fac proba la o problemă de amestec?

Verifici toate condițiile din enunț și sensul fizic. Pentru $x = 5$ , $y = 15$ : volumul total este $20$ L, iar sarea este $0, 5 + 4, 5 = 5$ kg la $20$ L, adică $25%$ . Cantitățile trebuie să fie și pozitive; una negativă arată că amestecul cerut nu se poate obține.

Cum scriu o problemă cu trei componente ca sistem cu trei necunoscute?

Scrii o ecuație pentru fiecare mărime: volumul total, o substanță, apoi alta. De exemplu, $x + y + z = 10$ , $10 x + 20 y + 40 z = 280$ și $30 x + 10 y = 90$ ; determinantul este $300 \neq = 0$ , iar soluția este $x = 2$ , $y = 3$ , $z = 5$ litri.

Ce înseamnă determinantul zero într-o problemă de amestec?

Că ecuațiile nu sunt independente, de exemplu două componente au aceeași compoziție. Amestecând două soluții de $10%$ , orice împărțire a volumului dă tot $10%$ , deci problema are o infinitate de răspunsuri sau niciunul.

Cum aflu prețurile a două produse din două bonuri cu matrice?

Scrii câte o ecuație pentru fiecare bon. Pentru $2 a + 3 b = 19$ și $4 a + b = 13$ lei, determinantul este $2 - 12 = - 10$ , iar $Δ_{a} = - 20$ și $Δ_{b} = - 50$ , deci $a = 2$ lei și $b = 5$ lei. Verificare: $4 + 15 = 19$ și $8 + 5 = 13$ .

Cum aleg liniile și coloanele matricei într-o problemă de amestec?

Fiecare linie corespunde unei mărimi care se conservă, cum ar fi volumul sau masa unei substanțe, iar fiecare coloană corespunde unei componente. Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ arată câtă mărime $i$ aduce o unitate din componenta $j$ .

Oamenii mai întreabă și: problemă de amestec cu sistem · amestec de soluții cu matrice · problemă de amestec rezolvată cu inversa · amestec de concentrații sistem liniar