Sistemul rezolvat cu X = A⁻¹B, cu proba pe loc (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un laborant pregătește în fiecare dimineață același amestec din două îngrășăminte, dar cantitatea cerută se schimbă de la o zi la alta. Numerele din rețetă rămân aceleași; se schimbă doar comanda. Întrebarea firească — „chiar trebuie să reiau tot calculul de fiecare dată?" — are un răspuns matematic scurt, iar el este subiectul lecției de astăzi, la clasa a XI-a, profilul științe ale naturii (M2): dacă matricea sistemului are inversă, soluția se scrie dintr-o dată, sub forma $X = A^{- 1} B$ , și se poate verifica pe loc. La bacalaureatul M2, sistemele liniare stau la Subiectul al II-lea, în prima problemă, alături de matrice și determinanți.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: rezolvarea sistemelor liniare cu ajutorul matricei inverse este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a XI-a. Inversa unei matrice se învață și pe programa nouă, la capitolul de determinanți; ce lipsește de acolo este tocmai întrebuințarea ei la sisteme. Vei vedea, până la final, și de ce merită să știi ambele drumuri către soluție — cel cu inversa și metoda lui Cramer, la cel mult 3 necunoscute —, pentru că nu costă la fel.

Ce vei învăța

Vei ști să verifici, înainte de orice calcul, dacă un sistem poate fi rezolvat cu inversa: matrice pătratică și determinant nenul.
Vei ști să scrii soluția sub forma $X = A^{- 1} B$ și să explici de ce inversa se așază în stânga coloanei termenilor liberi.
Vei ști să faci proba în toate ecuațiile, în ordinea potrivită, și să recunoști din probă ce anume ai greșit.
Vei ști să rezolvi mai multe sisteme cu aceeași matrice folosind o singură inversă.
Vei ști să numeri înmulțirile cerute de fiecare metodă și să alegi, pe argumente, între inversă și formulele lui Cramer.
Vei ști să spui ce se întâmplă când determinantul este nul și de ce metoda tace atunci, fără să dea un răspuns greșit.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă, de fapt, „rezolvarea" unui sistem cu matrice?

Un sistem liniar cu două ecuații și două necunoscute se strânge, așa cum ai văzut la forma matriceală a unui sistem cu 3 necunoscute, într-o singură egalitate între matrice: $A X = B$ . Aici $A$ adună coeficienții necunoscutelor, $X$ este coloana necunoscutelor, iar $B$ coloana termenilor liberi. Toate cele trei sunt matrice, iar egalitatea dintre ele înseamnă egalitate pe fiecare poziție.

Soluția matriceală a unui sistem liniar este coloana $X = A^{- 1} B$ , definită atunci când matricea sistemului $A$ este pătratică și inversabilă, adică $det A \neq = 0$ ; ea este singura coloană care verifică egalitatea $A X = B$ . Din cele două condiții, prima se citește dintr-o privire — numărul de ecuații să fie egal cu numărul de necunoscute —, iar a doua cere un determinant calculat.

Merită să observi cât de mult seamănă scrierea cu o ecuație de gimnaziu. Din $3 x = 12$ afli $x$ înmulțind cu $\frac{1}{3}$ , adică exact cu inversul lui $3$ . Din $A X = B$ afli $X$ înmulțind cu inversa lui $A$ . Diferența, importantă, este că la matrice ordinea factorilor contează, așa că trebuie spus și de care parte se înmulțește.

2. De ce se înmulțește la stânga?

Pornim de la $A X = B$ și înmulțim ambii membri cu $A^{- 1}$ , punând-o înaintea fiecărui membru:

$A^{- 1} (A X) = A^{- 1} B ⟺ (A^{- 1} A) X = A^{- 1} B ⟺ I_{n} X = A^{- 1} B ⟺ X = A^{- 1} B .$

Fiecare pas are o justificare scrisă: asociativitatea înmulțirii matricelor la prima echivalență, definiția inversei la a doua, rolul matricei unitate la a treia. Dacă am fi așezat inversa în dreapta, am fi obținut $A X A^{- 1}$ , unde $A^{- 1}$ nu are pe cine să simplifice, pentru că între $A$ și ea stă $X$ . Regula aceasta este aceeași pe care se sprijină toată lecția despre ecuații matriceale: AX = B și XA = B: partea în care stă necunoscuta hotărăște partea în care se pune inversa.

Să urmărim calculul complet pe sistemul ${2 x + 3 y = 8 5 x + 7 y = 19$ . Matricea sistemului este $A = (2537)$ , cu $det A = 14 - 15 = - 1 \neq = 0$ , deci metoda se aplică. Inversa se calculează după rețeta din lecția despre inversa unei matrice:

$A^{- 1} = \frac{1}{- 1} (7 - 5 - 3 2) = (- 7 5 3 - 2), X = A^{- 1} B = (- 7 5 3 - 2) (819) = (12) .$

Soluția este $x = 1$ , $y = 2$ . Observă că înmulțirea finală produce direct ambele necunoscute, pe rânduri, în ordinea în care le-ai scris în coloana $X$ — de aceea ordinea necunoscutelor trebuie păstrată identică în toate ecuațiile.

3. Cum se face proba pe loc?

Proba nu este o politețe, ci partea din rezolvare care transformă un rezultat într-un răspuns. Ea se poate face în două feluri, amândouă corecte, și e bine să le ai pe amândouă.

Proba matriceală înmulțește înapoi: calculezi $A \cdot X$ și te uiți dacă obții chiar coloana $B$ . Pentru sistemul de mai sus, $(2537) (12) = (819)$ , ceea ce încheie discuția. Proba pe ecuații înlocuiește numerele găsite în fiecare ecuație a sistemului, una câte una: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8$ și $5 \cdot 1 + 7 \cdot 2 = 19$ . Cele două probe fac același lucru, pentru că înmulțirea $A \cdot X$ este exact scrierea concentrată a membrilor stângi.

Proba spune însă mai mult decât „da" sau „nu". Dacă o singură ecuație nu iese, greșeala e aproape sigur în linia corespunzătoare a inversei sau în înmulțirea finală. Dacă niciuna nu iese, dar valorile obținute sunt toate un multiplu al celor corecte, ai uitat să împarți la determinant. Iar dacă valorile par fără legătură cu enunțul, verifică întâi dacă ai scris coeficienții în ordinea bună. Un sfat de redactare: fă proba înainte de a scrie propoziția finală, nu după, pentru că altfel ești tentat să o treci cu vederea.

4. Aceeași matrice, mai multe comenzi

Aici se vede adevăratul câștig al metodei. Dacă rețeta rămâne aceeași și se schimbă doar cantitățile cerute, matricea $A$ nu se mișcă, iar coloana $B$ da. Inversa se calculează o singură dată și apoi fiecare comandă costă doar o înmulțire de matrice.

Cu $A = (4232)$ , care are $det A = 2$ și $A^{- 1} = \frac{1}{2} (2 - 2 - 3 4)$ , coloana $B_{1} = (200120)$ dă soluția $(2040)$ , iar coloana $B_{2} = (10060)$ dă $(1020)$ — jumătate, cum era de așteptat, fiindcă și comanda s-a înjumătățit. Proporționalitatea aceasta nu e o coincidență: înmulțirea de matrice păstrează factorii numerici, așa că o comandă dublă cere cantități duble.

5. Inversa sau Cramer? Să numărăm înmulțirile

Cele două metode dau același răspuns, deci alegerea se face pe muncă, nu pe corectitudine. Numărăm înmulțirile a două numere, care sunt operația scumpă la creion, și socotim un determinant de ordinul al treilea calculat cu regula lui Sarrus: șase termeni, fiecare produs de trei factori, adică $12$ înmulțiri. Un determinant de ordinul al doilea cere $2$ înmulțiri.

Pentru un sistem cu trei necunoscute și o singură coloană de termeni liberi, formulele lui Cramer cer patru determinanți de ordinul al treilea, adică $4 \cdot 12 = 48$ de înmulțiri, plus trei împărțiri. Metoda inversei cere un determinant ( $12$ ), cei nouă complemenți algebrici, fiecare determinant de ordinul al doilea ( $9 \cdot 2 = 18$ ), și înmulțirea finală $A^{- 1} B$ ( $9$ ) — în total $39$ de înmulțiri și nouă împărțiri. Sunt cam la fel; la ordinul al doilea, cele două metode cer chiar același număr de înmulțiri, șase.

Diferența apare când coloanele sunt mai multe. Pentru trei coloane de termeni liberi cu aceeași matrice, Cramer recalculează de fiecare dată cei trei determinanți de la numărători: $12 + 3 \cdot 36 = 120$ de înmulțiri. Metoda inversei construiește inversa o dată ( $30$ ) și apoi face trei înmulțiri de matrice ( $3 \cdot 9 = 27$ ): $57$ de înmulțiri, mai puțin de jumătate. Concluzia, scrisă ca regulă de lucru: o coloană — oricare metodă; mai multe coloane cu aceeași matrice — inversa.

6. Ce se întâmplă când determinantul este nul?

Condiția $det A \neq = 0$ nu e o formalitate. Când determinantul este nul, matricea nu are inversă, deci scrierea $X = A^{- 1} B$ nu înseamnă nimic — nu e „greu de calculat", ci inexistent, la fel cum $\frac{1}{0}$ nu e un număr mare, ci nu e număr. Metoda nu se aplică, iar rezolvarea continuă altfel.

Ce se întâmplă cu sistemul în sine e o altă întrebare, și răspunsul nu e unul singur. Sistemul ${x + y = 2 2 x + 2 y = 4$ are o infinitate de soluții, pentru că a doua ecuație o repetă pe prima; sistemul ${x + y = 2 x + y = 3$ nu are niciuna, pentru că cere ca aceeași sumă să fie și $2$ , și $3$ . Amândouă au $det A = 0$ . Geometric, cele două ecuații descriu drepte în plan, iar situațiile sunt cele pe care le-ai văzut la intersecția a două drepte și interpretarea ei: drepte confundate sau drepte paralele distincte. Determinantul nenul înseamnă exact „drepte care se taie într-un singur punct".

7. La ce folosește într-o problemă din științe?

Modelul tipic are aceeași formă peste tot: câteva componente cu compoziție cunoscută, un rezultat cerut, iar necunoscutele sunt cantitățile din fiecare componentă. Două îngrășăminte cu procente cunoscute de azot și de fosfor trebuie amestecate astfel încât să aducă o cantitate dată din fiecare element. Coeficienții — procentele — nu se schimbă de la o comandă la alta, iar cantitățile cerute da. Exact situația din paragraful precedent.

La fel arată bilanțul unui laborator care amestecă două soluții de concentrații diferite, repartizarea unui buget între două activități cu costuri unitare cunoscute sau împărțirea unei recolte între două culturi cu producții la hectar cunoscute. De fiecare dată, rezultatele se scriu cu unitatea lor de măsură — kilograme, litri, lei — și se citesc cu bun-simț: o cantitate negativă înseamnă că amestecul cerut nu se poate obține din cele două componente, nu că matematica a greșit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rețeta laboratorului, scrisă ca sistem

Un îngrășământ de tip I conține $40%$ azot și $20%$ fosfor, iar unul de tip al II-lea conține $10%$ azot și $10%$ fosfor. Se cere un amestec care să aducă $22$ kg de azot și $14$ kg de fosfor. Determinați cantitățile din fiecare tip, folosind matricea inversă.

Rezolvare. Notăm cu $x$ și $y$ cantitățile, în kilograme. Condițiile se scriu $0, 4 x + 0, 1 y = 22$ și $0, 2 x + 0, 1 y = 14$ ; înmulțind fiecare ecuație cu $10$ , coeficienții devin întregi:

${4 x + y = 220 2 x + y = 140 ⟺ (4211) (x y) = (220140) .$

Avem $det A = 4 - 2 = 2 \neq = 0$ , deci $A^{- 1} = \frac{1}{2} (1 - 2 - 1 4)$ și

$X = \frac{1}{2} (1 - 2 - 1 4) (220140) = \frac{1}{2} (80120) = (4060) .$

Proba. $0, 4 \cdot 40 + 0, 1 \cdot 60 = 16 + 6 = 22$ și $0, 2 \cdot 40 + 0, 1 \cdot 60 = 8 + 6 = 14$ . Sunt necesare $40$ kg din primul tip și $60$ kg din al doilea. Amândouă valorile sunt pozitive, deci amestecul se poate obține.

Exemplul 2 — Un sistem $2 \times 2$ , cap-coadă

Rezolvați, cu ajutorul matricei inverse, sistemul ${3 x - 2 y = 1 5 x - 3 y = 4$ .

Rezolvare. Matricea sistemului este $A = (35 - 2 - 3)$ , cu $det A = - 9 + 10 = 1$ . Fiind nenul, metoda se aplică, iar împărțirea la $1$ nu schimbă nimic:

$A^{- 1} = (- 3 - 5 23), X = (- 3 - 5 23) (14) = (57) .$

Proba. $3 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 15 - 14 = 1$ și $5 \cdot 5 - 3 \cdot 7 = 25 - 21 = 4$ . Soluția sistemului este $x = 5$ , $y = 7$ . Reține cât de comod lucrezi când determinantul iese $1$ : inversa are numai numere întregi, iar toată rezolvarea încape pe trei rânduri.

Exemplul 3 — Trei necunoscute

Rezolvați sistemul $⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y = 4 - x + 2 y - z = 1 - y + z = 2$ , folosind inversa matricei sistemului.

Rezolvare. Scriem cu grijă coeficienții, punând $0$ acolo unde o necunoscută lipsește:

$A = 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 1, det A = 2 (2 - 1) + 1 (- 1 - 0) + 0 = 1.$

Cei nouă complemenți algebrici, transpuși, dau o inversă cu numere întregi:

$A^{- 1} = 111122123, X = A^{- 1} 412 = 71012 .$

Proba, în toate cele trei ecuații: $2 \cdot 7 - 10 = 4$ ; $- 7 + 2 \cdot 10 - 12 = 1$ ; $- 10 + 12 = 2$ . Soluția este $x = 7$ , $y = 10$ , $z = 12$ . Observă că nici măcar o dată nu a trebuit să eliminăm o necunoscută între ecuații: toată munca a stat în inversă.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă sistemul ${5 x + 2 y = 23 2 x + 2 y = 14$ astfel: „ $det A = 6$ ; complemenții algebrici transpuși dau $(2 - 2 - 2 5)$ , deci $X = (2 - 2 - 2 5) (2314) = (1824)$ ." Găsiți greșeala și duceți rezolvarea până la capăt.

Rezolvare. Matricea scrisă de elev este adjuncta, nu inversa: lipsește factorul $\frac{1}{det A} = \frac{1}{6}$ . Inversa corectă este $A^{- 1} = \frac{1}{6} (2 - 2 - 2 5)$ , iar soluția

$X = \frac{1}{6} (1824) = (34) .$

Proba pe valorile elevului: $5 \cdot 18 + 2 \cdot 24 = 138$ , adică de șase ori termenul liber $23$ . Aici se vede semnătura greșelii: toate valorile sunt multiplicate cu același determinant. Proba pe valorile corecte: $5 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 23$ și $2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 14$ . Reține tiparul — dacă proba dă peste tot termenii liberi înmulțiți cu același număr, ai uitat împărțirea la determinant.

Exemplul 5 — Trei comenzi, o singură inversă

Cu matricea $A = (4211)$ din Exemplul 1 se rezolvă trei sisteme, cu coloanele $B_{1} = (220140)$ , $B_{2} = (11070)$ și $B_{3} = (4030)$ . Aflați cele trei soluții și numărați înmulțirile economisite față de formulele lui Cramer.

Rezolvare. Inversa e deja calculată, $A^{- 1} = \frac{1}{2} (1 - 2 - 1 4)$ , și se folosește de trei ori:

$X_{1} = (4060), X_{2} = (2030), X_{3} = \frac{1}{2} (1040) = (520) .$

Proba pentru al treilea: $4 \cdot 5 + 20 = 40$ și $2 \cdot 5 + 20 = 30$ .

Numărătoarea. Cu inversa: un determinant de ordinul al doilea ( $2$ înmulțiri) și trei înmulțiri de matrice (câte $4$ fiecare, adică $12$ ), în total $14$ înmulțiri. Cu formulele lui Cramer: determinantul sistemului, calculat o dată ( $2$ înmulțiri), plus, pentru fiecare coloană, câte doi determinanți de ordinul al doilea, adică $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ înmulțiri — tot $14$ . La ordinul al doilea economia este nulă; ea apare de la trei necunoscute în sus, unde un determinant costă $12$ înmulțiri, nu $2$ , iar Cramer îl reia pentru fiecare coloană.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricea $A (m) = (m 4 1 m)$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că $det (A (m)) = m^{2} - 4$ . b) Determinați numerele reale $m$ pentru care matricea $A (m)$ este inversabilă. c) Rezolvați sistemul ${3 x + y = 7 4 x + 3 y = 11$ , folosind inversa matricei $A (3)$ .

Rezolvare.

a) Determinantul de ordinul al doilea se calculează direct: $det (A (m)) = m \cdot m - 1 \cdot 4 = m^{2} - 4$ .

b) Matricea este inversabilă exact când determinantul este nenul: $m^{2} - 4 \neq = 0$ , adică $m \neq = - 2$ și $m \neq = 2$ . Prin urmare $m \in R ∖ {- 2, 2}$ .

c) Pentru $m = 3$ avem $A (3) = (3413)$ , care este chiar matricea sistemului, cu $det (A (3)) = 9 - 4 = 5 \neq = 0$ . Atunci

$A (3)^{- 1} = \frac{1}{5} (3 - 4 - 1 3), X = \frac{1}{5} (3 - 4 - 1 3) (711) = \frac{1}{5} (105) = (21) .$

Proba: $3 \cdot 2 + 1 = 7$ și $4 \cdot 2 + 3 = 11$ . Soluția sistemului este $x = 2$ , $y = 1$ .

De la examen la lecție. Cele trei cerințe urmează forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: un determinant calculat, o condiție pusă pe el și o aplicație numerică. Punctul b) merită citit cu atenție — se cere condiția de inversabilitate, nu inversa însăși, iar răspunsul este o mulțime de valori, scrisă ca atare.

Să exersăm

Ordinea de redactare: determinantul, inversa, înmulțirea $A^{- 1} B$ , proba.

1. Scrie sub forma $A X = B$ sistemul ${x + 4 y = 9 2 x + 7 y = 16$ și calculează $det A$ .

2. Determină inversa matricei $A = (6511)$ și verifică rezultatul prin $A \cdot A^{- 1} = I_{2}$ .

3. Rezolvă, cu matricea inversă, sistemul ${6 x + y = 20 5 x + y = 17$ .

4. Un elev afirmă că soluția sistemului ${2 x + 5 y = 11 3 x + 4 y = 13$ este $x = 3$ , $y = 1$ . Verifică prin probă.

5. Calculează $A^{- 1}$ pentru $A = (3725)$ și rezolvă apoi sistemul ${3 x + 2 y = 16 7 x + 5 y = 38$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $det A = 0$ , atunci sistemul $A X = B$ nu are nicio soluție."

7. Rezolvă cu inversa sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + 3 z = 14 y + 2 z = 8 z = 3$ și compară efortul cu rezolvarea prin substituție.

8. Pentru $A = 121011232$ se dă $A^{- 1} = - 1 - 1 1 20 - 1 - 2 11$ . Rezolvă sistemul cu coloana termenilor liberi $B = 5118$ și fă proba în toate ecuațiile.

9. Folosind inversa de la exercițiul 8, rezolvă același sistem pentru $B = 122$ și spune câte înmulțiri noi ai făcut.

10. Determină valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $A = (a 2 2 a)$ nu este inversabilă.

11. (Problemă aplicată.) Un magazin vinde două sortimente de cafea. O comandă de $3$ kg din primul și $2$ kg din al doilea costă $190$ de lei, iar una de $1$ kg din primul și $4$ kg din al doilea costă $230$ de lei. Determină prețul unui kilogram din fiecare sortiment, folosind matricea inversă, și scrie unitatea de măsură la răspuns.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A = (2132)$ . Arată că $det A = 1$ și determină $A^{- 1}$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul ${2 x + 3 y = 8 x + 2 y = 5$ . Rezolvă-l folosind inversa matricei sistemului.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A (m) = (1 m m 4)$ , $m$ număr real. Determină valorile lui $m$ pentru care $A (m)$ este inversabilă.

15. Un sistem cu trei necunoscute are $det A = 2$ , iar coloana $B$ are toate elementele duble față de ale unei coloane $B^{'}$ pentru care soluția era $1 - 2 3$ . Scrie soluția noului sistem, fără să calculezi inversa.

16. Arată că, dacă $A$ este inversabilă și $B$ este coloana nulă, singura soluție a sistemului $A X = B$ este coloana nulă.

17. Pentru $A = (5912)$ , rezolvă deodată cele două sisteme cu coloanele $B_{1} = (1935)$ și $B_{2} = (1120)$ , calculând o singură inversă.

18. (Provocare.) Fie $A = (2312)$ . Arată că $det A = 1$ și că $A^{- 1} = (2 - 3 - 1 2)$ , apoi explică de ce, pentru orice coloană $B$ cu elemente întregi, soluția sistemului $A X = B$ are tot elemente întregi.

Răspunsuri și explicații

1. $A = (1247)$ , $X = (x y)$ , $B = (916)$ ; $det A = 7 - 8 = - 1$ .

2. $det A = 6 - 5 = 1$ , deci $A^{- 1} = (1 - 5 - 1 6)$ . Verificarea: $(6511) (1 - 5 - 1 6) = I_{2}$ .

3. Cu inversa de la exercițiul 2, $X = (1 - 5 - 1 6) (2017) = (32)$ . Proba: $6 \cdot 3 + 2 = 20$ și $5 \cdot 3 + 2 = 17$ .

4. Prima ecuație: $2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 11$ ; a doua: $3 \cdot 3 + 4 \cdot 1 = 13$ . Amândouă se verifică, deci afirmația elevului este corectă.

5. $det A = 15 - 14 = 1$ și $A^{- 1} = (5 - 7 - 2 3)$ , deci $X = (5 - 7 - 2 3) (1638) = (42)$ . Proba: $12 + 4 = 16$ și $28 + 10 = 38$ .

6. Fals. Determinantul nul spune doar că metoda inversei nu se aplică. Sistemul ${x + y = 2 2 x + 2 y = 4$ are $det A = 0$ și o infinitate de soluții, iar ${x + y = 2 x + y = 3$ are tot $det A = 0$ și nicio soluție.

7. $A = 100210321$ , cu $det A = 1$ și $A^{- 1} = 100 - 2 10 1 - 2 1$ , deci $X = 123$ . Proba: $1 + 4 + 9 = 14$ ; $2 + 6 = 8$ ; $3 = 3$ . Aici substituția de jos în sus este mai rapidă — matricea are zerouri sub diagonală, iar metoda inversei nu profită de asta.

8. $X = - 1 - 1 1 20 - 1 - 2 11 5118 = 132$ . Proba: $1 + 0 + 4 = 5$ ; $2 + 3 + 6 = 11$ ; $1 + 3 + 4 = 8$ .

9. $X = - 1 + 4 - 4 - 1 + 0 + 2 1 - 2 + 2 = - 1 11$ ; proba: $- 1 + 2 = 1$ , $- 2 + 1 + 3 = 2$ , $- 1 + 1 + 2 = 2$ . Am făcut doar cele nouă înmulțiri ale produsului $A^{- 1} B$ : inversa era deja calculată.

10. $det A = a^{2} - 4$ , care se anulează pentru $a = - 2$ și $a = 2$ . Pentru aceste două valori matricea nu este inversabilă.

11. Sistemul este ${3 x + 2 y = 190 x + 4 y = 230$ , cu $det A = 12 - 2 = 10$ și $A^{- 1} = \frac{1}{10} (4 - 1 - 2 3)$ . Atunci $X = \frac{1}{10} (300500) = (3050)$ : primul sortiment costă $30$ de lei pe kilogram, al doilea $50$ de lei pe kilogram. Proba: $90 + 100 = 190$ și $30 + 200 = 230$ .

12. $det A = 4 - 3 = 1$ , deci $A^{- 1} = (2 - 1 - 3 2)$ ; verificare: $A \cdot A^{- 1} = I_{2}$ .

13. Matricea sistemului este cea de la exercițiul 12, deci $X = (2 - 1 - 3 2) (85) = (12)$ . Proba: $2 + 6 = 8$ și $1 + 4 = 5$ .

14. $det (A (m)) = 4 - m^{2}$ , care este nenul pentru $m \neq = - 2$ și $m \neq = 2$ , deci $m \in R ∖ {- 2, 2}$ .

15. Din $X = A^{- 1} B$ și $B = 2 B^{'}$ rezultă $X = A^{- 1} (2 B^{'}) = 2 (A^{- 1} B^{'}) = 2 X^{'}$ , deci soluția este $2 - 4 6$ . Determinantul $2$ nu intervine deloc în raționament.

16. Dacă $A$ este inversabilă, atunci $X = A^{- 1} B = A^{- 1} O = O$ , pentru că produsul oricărei matrice cu matricea nulă este matricea nulă. Soluția nulă este deci singura.

17. $det A = 10 - 9 = 1$ și $A^{- 1} = (2 - 9 - 1 5)$ . Atunci $X_{1} = (34)$ , cu proba $15 + 4 = 19$ și $27 + 8 = 35$ , iar $X_{2} = (21)$ , cu proba $10 + 1 = 11$ și $18 + 2 = 20$ .

18. $det A = 4 - 3 = 1$ , iar inversa, calculată după regulă, este $\frac{1}{1} (2 - 3 - 1 2)$ , adică exact matricea dată; verificarea $A \cdot A^{- 1} = I_{2}$ o confirmă. Cum $A^{- 1}$ are numai elemente întregi, produsul $A^{- 1} B$ este o sumă de produse de numere întregi, deci are tot elemente întregi. Determinantul egal cu $1$ este cheia: el face ca împărțirea la determinant să nu producă numitori.

De reținut

Metoda se aplică numai când matricea sistemului este pătratică și are determinantul nenul; cele două condiții se verifică înainte de orice alt calcul, iar determinantul se scrie explicit în rezolvare.
Soluția este $X = A^{- 1} B$ , cu inversa așezată la stânga, pentru că numai așa apare produsul $A^{- 1} A = I_{n}$ care lasă necunoscuta singură.
Proba face parte din rezolvare, nu din politețe: se înlocuiește în toate ecuațiile, iar felul în care pică proba arată unde este greșeala — o singură ecuație greșită înseamnă o linie greșită, toate ecuațiile înmulțite cu același număr înseamnă că lipsește împărțirea la determinant.
Când matricea nu se schimbă și comenzile da, munca grea se face o dată: $A^{- 1}$ rămâne aceeași, iar fiecare comandă nouă cere doar produsul cu noua coloană — de aici vine economia față de formulele lui Cramer, care reiau determinanții la fiecare comandă.
Determinantul nul nu înseamnă „sistem fără soluții", ci „metoda inversei nu se aplică": sistemul poate avea o infinitate de soluții sau niciuna, iar deosebirea se face pe alt drum.

Greșeli frecvente

Scrii $X$ sau $B$ ca linie, nu ca coloană. Produsul $A^{- 1} B$ are sens numai dacă $B$ este o coloană cu tot atâtea elemente câte linii are $A$ . O coloană scrisă ca linie face înmulțirea imposibilă, chiar dacă numerele sunt corecte.
Schimbi ordinea necunoscutelor de la o ecuație la alta. Coloanele lui $A$ sunt legate de necunoscute, în ordinea din coloana $X$ . Dacă într-o ecuație scrii întâi $y$ și în alta întâi $x$ , matricea iese cu coeficienții amestecați, iar soluția e a altui sistem.
Faci proba doar în prima ecuație. O greșeală dintr-o linie a inversei se vede numai în ecuația corespunzătoare. Verificarea într-o singură ecuație lasă neatinsă exact jumătate — sau două treimi — din rezolvare.
Recalculezi inversa pentru fiecare coloană de termeni liberi. Dacă matricea sistemului nu s-a schimbat, inversa e aceeași; refăcând-o, pierzi tocmai avantajul pentru care ai ales metoda.
Rotunjești fracțiile înainte de probă. O soluție $\frac{7}{3}$ scrisă $2, 33$ face ca proba să nu mai iasă exact, iar tu cauți o greșeală care nu există. Fracțiile se păstrează până la sfârșit; rotunjirea se face doar la interpretarea unui rezultat aplicat, cu unitatea de măsură alături.

Aplică acasă

Două bonuri de cumpărături. Caută două bonuri pe care apar aceleași două produse, în cantități diferite, și scrie sistemul care are ca necunoscute prețurile unitare. Rezolvă-l cu matricea inversă și compară rezultatele cu prețurile tipărite pe bon. Dacă nu se potrivesc, verifică dacă pe unul dintre bonuri a fost aplicată o reducere — matematica îți semnalează astfel o informație lipsă din enunț.
O inversă, trei comenzi. Ia matricea $A = (7934)$ , calculează-i inversa o singură dată și rezolvă cu ea trei sisteme, alegând tu coloanele termenilor liberi (una dintre ele să fie $(1722)$ ). Cronometrează cât ți-a luat prima rezolvare și cât a doua: diferența este exact munca pe care o economisește inversa.
Dreapta prin două puncte, ca sistem. Alege două puncte cu coordonate întregi de pe o hârtie milimetrică și scrie sistemul care dă coeficienții $m$ și $n$ din ecuația $y = m x + n$ . Rezolvă-l cu matricea inversă, apoi verifică panta obținută cu formula învățată în clasa a IX-a. Ai rezolvat, cu matrice, o problemă de geometrie analitică.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: rezolvarea sistemelor liniare cu matricea inversă este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Sisteme de ecuații liniare", deși nu mai apare în programa nouă a clasei a XI-a (OMEC 6930/2025, anexa 28). Programa nouă păstrează inversa unei matrice, la capitolul de determinanți din clasa a XI-a — deci elevul are unealta —, dar mută sistemele liniare în clasa a XII-a și le tratează acolo cu metoda lui Cramer și cu rangul. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde locul firesc al temei este Subiectul al II-lea, prima problemă, cea construită pe matrice, determinanți și sisteme; modelul oficial publicat pentru proba M_șt-nat are acolo o problemă de matrice cu parametru, fără sistem, așa că forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția verifică patru lucruri: (1) verificarea condițiilor înainte de calcul — matrice pătratică, determinant nenul; (2) așezarea corectă a inversei, la stânga; (3) proba scrisă în toate ecuațiile; (4) alegerea argumentată între inversă și formulele lui Cramer, pe numărul de coloane de termeni liberi. Întrebări de control, de pus oral: „De ce nu se poate scrie $X = B A^{- 1}$ ?"; „Ce verifici înainte de a începe calculul inversei?"; „Dacă proba dă peste tot termenii liberi înmulțiți cu același număr, unde ai greșit?"; „Când merită să calculezi inversa în loc să aplici Cramer?". Semne că elevul a înțeles: scrie determinantul înainte de orice altceva, păstrează fracțiile până la probă și, la a doua coloană de termeni liberi, nu se atinge de inversă. Continuarea firească a unității este lecția despre proprietatea lui Darboux, care deschide partea de analiză a suplimentului.

Întrebări frecvente

Ce pași se scriu la un sistem rezolvat cu matricea inversă? Patru, în ordinea aceasta: determinantul scris explicit, cu concluzia că e nenul; inversa calculată; înmulțirea $A^{- 1} B$ arătată; proba în toate ecuațiile. Fiecare pas se scrie separat, așa că o rezolvare care sare peste determinant și scrie direct soluția rămâne incompletă chiar dacă numerele sunt corecte.

Care este diferența față de mate-info (M1) la această temă? La M2 sistemele au cel mult trei necunoscute, iar matricea sistemului este pătratică, așa că rămân doar două drumuri: inversa și formulele lui Cramer. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: sisteme rezolvate cu matricea inversă continuă cu rangul unei matrice și cu discuția sistemelor în care determinantul se anulează, teme care la profilul științe ale naturii apar abia în clasa a XII-a.

La ce subiect apare tema la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, prima problemă, care are trei subpuncte de câte cinci puncte și este construită pe matrice, determinanți și sisteme liniare. Cerințele tipice sunt calculul unui determinant, o condiție de inversabilitate și o rezolvare numerică. În modelul oficial publicat, acea problemă este despre o matrice cu parametru; programa de examen cuprinde însă și sistemele.

Ce-mi spune felul în care pică proba? Trei lucruri diferite. Dacă nu iese o singură ecuație, greșeala e în linia corespunzătoare a inversei sau în înmulțirea finală. Dacă toate ecuațiile dau termenii liberi înmulțiți cu același număr, lipsește împărțirea la determinant. Iar dacă valorile n-au nicio legătură cu enunțul, coeficienții au fost scriși în altă ordine decât necunoscutele.

Ce înseamnă o soluție negativă într-o problemă de amestec? Înseamnă că amestecul cerut nu se poate obține din componentele date, nu că ai greșit calculul. Matematica rezolvă sistemul oricum, dar o cantitate negativă de îngrășământ sau de soluție nu există în realitate. La profilul științe ale naturii, răspunsul se citește întotdeauna cu unitatea de măsură alături și cu bun-simț fizic.

Câte înmulțiri cere fiecare dintre cele două metode? La trei necunoscute și o coloană de termeni liberi: patruzeci și opt pentru Cramer, treizeci și nouă pentru inversă — practic la fel. La trei coloane cu aceeași matrice: o sută douăzeci pentru Cramer, cincizeci și șapte pentru inversă. Numărătoarea socotește produsele de câte două numere, cu determinantul de ordinul al treilea calculat prin regula lui Sarrus.

Trebuie să știu și metoda lui Cramer, dacă știu metoda inversei? Da, pentru că programa de examen le cere pe amândouă și pentru că enunțul poate impune una dintre ele. În plus, ele se controlează reciproc: dacă ai timp, rezolvi cu una și verifici cu cealaltă. Practic, alegerea se face după numărul coloanelor de termeni liberi, iar rezultatul trebuie să fie același.