Care este matricea sistemului $$\begin{cases}x-3z=4\\2x+y=15\\y+6z=7\end{cases}$$?

$$\begin{pmatrix}1&0&-3\\2&1&0\\0&1&6\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-3&0\\2&1&0\\0&1&6\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-3\\2&1\\1&6\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&3\\2&1&0\\0&1&6\end{pmatrix}$$

Într-un sistem cu necunoscutele $$x$$, $$y$$, $$z$$ apare ecuația $$4y-7=3x+2z$$. Ce se scrie pe linia ei din matricea sistemului și ce termen liber îi corespunde?

$$-3,\ 4,\ -2$$ și termenul liber $$7$$

$$3,\ 4,\ 2$$ și termenul liber $$7$$

$$-3,\ 4,\ -2$$ și termenul liber $$-7$$

$$4,\ -3,\ -2$$ și termenul liber $$7$$

Ce este un sistem compatibil determinat?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sistemul scris AX = B

Un sistem este compatibil dacă are cel puțin o soluție și incompatibil dacă nu are niciuna. Compatibil determinat înseamnă exact o soluție, iar compatibil nedeterminat, o infinitate. La un sistem cu tot atâtea ecuații câte necunoscute, determinantul nenul al matricei sistemului garantează soluția unică. De exemplu, $x + y = 5$ , $x - y = 1$ are determinantul $- 2$ și soluția unică $(3, 2)$ . În schimb, $x + y = 5$ , $x + y = 7$ este incompatibil.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029: sistemele cu cel mult trei necunoscute intră, la clasa a XI-a, în programa de examen, iar programa nouă le-a mutat mai târziu. Aici nu se rezolvă nimic — se învață traducerea.

Un sistem are trei tablouri: matricea coeficienților, coloana necunoscutelor și coloana termenilor liberi. Pe linia $i$ stau coeficienții ecuației $i$ , pe coloana $j$ coeficienții necunoscutei $j$ . Două reguli țin loc de jumătate din corectură: așezarea necunoscutelor se hotărăște o singură dată și se ține la fel în fiecare ecuație, iar coeficientul absent este zero și se scrie. Coloanele sunt tot atâtea câte necunoscute are sistemul întreg, nu câte apar într-o singură ecuație.

Înainte de a citi numerele, fiecare ecuație se aduce la forma obișnuită: necunoscutele adunate în stânga, termenul liber rămas singur în dreapta, cu semnul schimbat la mutare, și termenii asemenea reduși.

Egalitatea $A X = B$ spune exact ce spun ecuațiile, fiindcă o linie a produsului reproduce membrul stâng al ecuației corespunzătoare. De aici două câștiguri: o soluție propusă se verifică într-un singur produs, nu prin trei înlocuiri, iar un sistem pătratic — tot atâtea ecuații câte necunoscute — are matricea cu determinant, numărul pe care îl calculezi primul.

De reținut

compatibil determinat: exact o soluție; nedeterminat: o infinitate; incompatibil: niciuna
sistem pătratic cu $det A \neq = 0$ : compatibil determinat
un sistem omogen este mereu compatibil

Greșeala tipică

Se afirmă că un sistem cu determinantul zero nu are soluții; el poate fi incompatibil, dar poate avea și o infinitate de soluții.

Exerciții din această mini-lecție

Care este matricea sistemului $⎩ ⎨ ⎧ x - 3 z = 4 2 x + y = 15 y + 6 z = 7$ ?
- a) $120 - 3 11 006$
- b) $121 - 3 16$
- c) $120011 - 3 06$
- d) $120011306$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $120011 - 3 06$

Necunoscutele se iau în șirul $x$ , $y$ , $z$ , iar coeficienții absenți se scriu cu $0$ : din prima ecuație lipsește $y$ , din a doua $z$ , din a treia $x$ . Rezultă $120011 - 3 06$ , cu trei coloane, cât numărul necunoscutelor. Varianta a) citește numerele așa cum apar scrise în ecuație; b) sare peste zerouri și obține un tablou cu două coloane; d) pierde semnul coeficientului lui $z$ .
Care triplet este soluție a sistemului $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y + z = 13 x + 3 y + 2 z = 15 3 x + y + 4 z = 29$ ?
- a) $(4, 1, 4)$
- b) $(3, 3, 4)$
- c) $(5, 1, 2)$
- d) $(2, 5, 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(4, 1, 4)$

Pentru $(4, 1, 4)$ : $8 + 1 + 4 = 13$ , $4 + 3 + 8 = 15$ și $12 + 1 + 16 = 29$ — toate trei se verifică. Celelalte trei triplete trec de prima ecuație, dar cad la a doua: $3 + 9 + 8 = 20$ , $5 + 3 + 4 = 12$ și $2 + 15 + 8 = 25$ , niciunul egal cu $15$ . Cuvântul care costă la o verificare este „toate”: o valoare care iese dintr-o ecuație poate cădea în alta.
Într-un sistem cu necunoscutele $x$ , $y$ , $z$ apare ecuația $4 y - 7 = 3 x + 2 z$ . Ce se scrie pe linia ei din matricea sistemului și ce termen liber îi corespunde?
- a) $3, 4, 2$ și termenul liber $7$
- b) $- 3, 4, - 2$ și termenul liber $- 7$
- c) $4, - 3, - 2$ și termenul liber $7$
- d) $- 3, 4, - 2$ și termenul liber $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 3, 4, - 2$ și termenul liber $7$

Întâi forma standard: trecem necunoscutele în stânga și termenul liber în dreapta, schimbând semnul la mutare. Din $4 y - 7 = 3 x + 2 z$ rezultă $- 3 x + 4 y - 2 z = 7$ , deci pe linie stau $- 3$ , $4$ , $- 2$ , iar termenul liber este $7$ . Varianta a) uită semnele minus, b) mută termenul liber fără să-i schimbe semnul, iar c) așază coeficienții așa cum apar în enunț, nu pe coloana necunoscutei lor.

Întrebări conexe

Cum arată pe grafic un sistem cu două ecuații și două necunoscute?

Fiecare ecuație este o dreaptă. Dacă dreptele se intersectează, sistemul este compatibil determinat; dacă sunt paralele, este incompatibil; dacă se suprapun, este compatibil nedeterminat. De exemplu, $x + y = 5$ și $2 x + 2 y = 10$ sunt aceeași dreaptă.

Poate avea soluții un sistem cu determinantul zero?

Da, dar nu una singură. Sistemul $x + y + z = 3$ , $2 x + 2 y + 2 z = 6$ , $x - y = 0$ are determinantul $0$ , fiindcă primele două linii sunt proporționale. Are o infinitate de soluții: $x = y = t$ și $z = 3 - 2 t$ , pentru orice $t$ real.

Ce este un sistem liniar omogen?

Este un sistem cu toți termenii liberi egali cu $0$ . Are mereu soluția $x = y = z = 0$ , deci este compatibil. Dacă determinantul matricei este nenul, aceasta este singura soluție; dacă este zero, există și soluții nenule.

Cum scriu matricea sistemului când o necunoscută lipsește dintr-o ecuație?

Pui $0$ pe poziția necunoscutei care lipsește. Ecuația $x + 2 z = 1$ , cu necunoscutele $x$ , $y$ , $z$ , dă linia $(1, 0, 2)$ în matricea sistemului și $1$ în coloana termenilor liberi. Fără acel $0$ , coeficientul lui $z$ ar ajunge sub $y$ .

Cum scriu sistemul înapoi în ecuații din forma AX = B?

Fiecare linie a lui $A$ , înmulțită cu coloana necunoscutelor, dă o ecuație. Pentru $A = (12 - 1 3)$ și $B = (07)$ obții $x - y = 0$ și $2 x + 3 y = 7$ , cu soluția $x = y = \frac{7}{5}$ . Fiecare linie a lui $B$ devine membrul drept al ecuației corespunzătoare.

Oamenii mai întreabă și: sistem compatibil determinat · sistem compatibil nedeterminat și incompatibil · ce înseamnă sistem compatibil · tipuri de sisteme liniare