Forma matriceală a unui sistem cu 3 necunoscute (M2, științe ale naturii)

Într-o seră se pun la încolțit trei feluri de răsaduri, iar fiecare fel cere altceva: alt volum de apă pe zi, alt spațiu pe masa de lucru, alt timp de îngrijire. Grădinarul nu poate alege numărul de răsaduri dintr-un fel fără să se uite la celelalte două, pentru că apa, spațiul și orele sunt aceleași pentru toți. Trei condiții care trebuie îndeplinite în același timp, trei necunoscute: acesta este, în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), un sistem de ecuații liniare. Iar lecția de față îl strânge într-o singură egalitate, de forma cunoscută din lecția trecută — o egalitate pe care o vei întâlni la bacalaureatul M2, la Subiectul al II-lea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: sistemele liniare cu cel mult trei necunoscute și forma lor matriceală sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014) la clasa a XI-a, deși în programa nouă tema a coborât la clasa a XII-a. Nu se învață aici nicio metodă de rezolvare: învățăm limbajul, adică felul în care un sistem se traduce în tablouri și înapoi. Rezolvarea propriu-zisă vine imediat după, cu metoda lui Cramer.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație liniară printre altele care nu sunt și să spui când mai multe astfel de ecuații formează un sistem.
• Vei ști să scrii cele trei tablouri ale unui sistem: matricea sistemului, matricea necunoscutelor și matricea termenilor liberi.
• Vei ști să traduci sistemul în egalitatea $AX=B$ și, la fel de repede, egalitatea înapoi în ecuații.
• Vei ști să verifici o soluție propusă cu un singur produs, în loc de trei înlocuiri separate.
• Vei ști ce înseamnă că un sistem este pătratic și de ce determinantul matricei lui se calculează primul.
• Vei ști cele trei nume folosite — incompatibil, compatibil determinat, compatibil nedeterminat — și ce înseamnă fiecare.

Hai să descoperim împreună

1. Trei mărimi care se hotărăsc împreună

În seră, un răsad de roșii cere zilnic $3$ litri de apă, $2$ decimetri pătrați de masă și $1$ oră de îngrijire pe săptămână; unul de castraveți cere $4$ litri, $3$ decimetri pătrați și $2$ ore; unul de ardei cere $2$ litri, $2$ decimetri pătrați și $1$ oră. Grădinarul are la dispoziție exact $35$ de litri de apă pe zi, $27$ de decimetri pătrați de masă și $15$ ore pe săptămână și vrea să le folosească integral. Notând cu $x$, $y$ și $z$ numărul de răsaduri din fiecare fel, cele trei resurse dau trei condiții:

$$\{\begin{array}{l}3x+4y+2z=35\\ 2x+3y+2z=27\\ x+2y+z=15\end{array}$$

Ecuația liniară în $x$, $y$, $z$ se scrie $ax+by+cz=d$: numerele $a$, $b$, $c$ poartă numele de coeficienți, $d$ se cheamă termen liber, iar necunoscutele intră toate la puterea întâi, fiecare singură — nu înmulțite între ele, nu sub radical, nu la numitor. Un sistem de ecuații liniare este o mulțime de astfel de ecuații, privite deodată; a-l rezolva înseamnă a găsi toate grupurile de numere care le verifică pe toate.

Testul e simplu de aplicat: $2x-y+5z=1$ este liniară; $xy=6$, $x^2+y=0$ și $\sqrt{z}-x=2$ nu sunt. Programa de examen pentru M2 cere sisteme cu cel mult trei necunoscute, exact atât cât se poate duce până la capăt, cu tot cu verificare, într-un timp rezonabil.

2. Cum scrii matricele unui sistem?

Numerele din sistem sunt de două feluri: coeficienți și termeni liberi. Coeficienții se așază într-un tablou, matricea sistemului, în care linia $i$ adună coeficienții din ecuația $i$, iar coloana $j$ adună coeficienții necunoscutei $j$. Necunoscutele formează, la rândul lor, un tablou cu o singură coloană — matricea necunoscutelor —, iar termenii liberi un al treilea tablou, tot cu o coloană: matricea termenilor liberi. Pentru sistemul serei,

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 2\\ 2& 3& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}35\\ 27\\ 15\end{array}\right).$$

Două reguli de scriere țin loc de jumătate din corectură. Prima: necunoscutele trebuie să apară în aceeași ordine în toate ecuațiile, iar coloanele lui $A$ urmează acea ordine. Dacă într-o ecuație scrii $y$ înaintea lui $x$, te trezești că citești coeficienții pe rând și amesteci coloanele. A doua: coeficientul care lipsește este $0$ și se scrie. La sistemul

$$\{\begin{array}{l}2x+y-z=2\\ 3x+2z=12\\ y+4z=13\end{array}$$

necunoscuta $z$ apare peste tot, dar $y$ lipsește din a doua ecuație, iar $x$ din a treia. Matricea lui are, prin urmare, două zerouri:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 3& 0& 2\\ 0& 1& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}2\\ 12\\ 13\end{array}\right).$$

Controlul se face numărând coloanele: câte necunoscute are sistemul, atâtea trebuie să aibă tabloul. O coloană lipsă înseamnă un zero nescris, nu o simplificare.

Un al treilea fel de neatenție se strecoară când enunțul nu dă ecuațiile aranjate. Înainte de a citi coeficienții, adu fiecare ecuație la forma standard: necunoscutele în stânga, termenul liber în dreapta, termenii asemenea reduși. Din $2x+5=y$ se obține $2x-y=-5$, deci pe linia respectivă stau $2$, $-1$, $0$ și termenul liber $-5$.

3. De ce $AX=B$ spune exact același lucru cu sistemul?

Pentru că așa este construită înmulțirea matricelor. Matricea $A$ are trei coloane, iar $X$ are trei linii, deci produsul $AX$ se poate face și iese un tablou cu trei linii și o coloană. După regula fixată la înmulțirea a două matrice, pe linia $i$ a produsului se adună produsele dintre elementele liniei $i$ din $A$ și elementele coloanei lui $X$:

$$AX=\left(\begin{array}{c}3x+4y+2z\\ 2x+3y+2z\\ x+2y+z\end{array}\right).$$

Recunoști membrii stângi ai celor trei ecuații, în ordine. Cum două matrice sunt egale exact când coincid element cu element, egalitatea $AX=B$ înseamnă că prima componentă este $35$, a doua $27$, a treia $15$ — adică exact cele trei ecuații, nici mai mult, nici mai puțin. Sistemul și egalitatea $AX=B$ sunt, așadar, două scrieri ale aceleiași informații, iar trecerea dintr-una în cealaltă nu pierde și nu adaugă nimic.

Câștigul nu este de spațiu, ci de gândire: trei ecuații au devenit o singură ecuație matriceală, de tipul studiat în lecția despre ecuațiile matriceale. De acolo știi deja că, dacă $A$ este inversabilă, o astfel de ecuație are soluție unică.

4. Cum citești sistemul pornind de la forma matriceală?

Drumul invers se parcurge la fel de mecanic și apare la examen la fel de des. Fie

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 0& 3\\ 0& 5& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ 26\end{array}\right).$$

Fiecare linie a lui $A$ dă o ecuație, coloanele spunând cu ce necunoscută se înmulțește fiecare număr; termenul liber este numărul de pe aceeași linie din $B$. Rezultă sistemul $2x-y=3$, $x+3z=7$, $5y+z=26$. Zerourile din tablou se traduc prin necunoscute care lipsesc, iar numerele negative își păstrează semnul în ecuație. Tripletul $(4,5,1)$ îl verifică: $8-5=3$, $4+3=7$ și $25+1=26$.

5. Ce înseamnă soluție și cum o verifici dintr-un singur produs

Numim soluție un triplet ordonat de numere care, pus în locul necunoscutelor, face adevărate toate ecuațiile deodată. Cuvântul „toate" este cel care costă puncte la examen: o valoare care iese dintr-o ecuație și se potrivește în a doua poate cădea în a treia. Reluăm sistemul serei, $\{\begin{array}{l}3x+4y+2z=35\\ 2x+3y+2z=27\\ x+2y+z=15\end{array}$, și punem la încercare două triplete.

Tripletul $(5,3,4)$ dă $15+12+8=35$, apoi $10+9+8=27$ și $5+6+4=15$ — toate trei adevărate, deci este soluție: grădinarul pune $5$ răsaduri de roșii, $3$ de castraveți și $4$ de ardei.

Tripletul $(7,2,3)$ trece de prima ecuație, pentru că $21+8+6=35$, dar cade la a doua, unde $14+6+6=26\ne 27$; nu este soluție.

Scrierea matriceală scurtează controlul: în loc de trei înlocuiri, faci un singur produs. Cu $X_0=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ obții

$$A{X}_0=\left(\begin{array}{c}15+12+8\\ 10+9+8\\ 5+6+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}35\\ 27\\ 15\end{array}\right),$$

adică exact coloana $B$. Avantajul e mai mare decât pare: produsul se calculează o dată, iar comparația se face dintr-o privire, pe coloane, fără să rescrii ecuațiile.

6. Ce înseamnă sistem pătratic și de ce se calculează întâi determinantul?

Un sistem se numește pătratic atunci când are tot atâtea ecuații câte necunoscute; numai la un astfel de sistem matricea $A$ este pătratică și are determinant. Pentru sistemul serei, cu regula lui Sarrus,

$$\det A=(9+8+8)-(6+12+8)=25-26=-1.$$

Reține reflexul, pentru că îl vei folosi în toate lecțiile care urmează: la un sistem pătratic, primul număr pe care îl calculezi este $\det A$. El decide dacă metoda de rezolvare din lecția următoare se poate aplica, iar calculul lui costă un minut. Aici, $\det A=-1\ne 0$, deci planul grădinarului există și este unic — ceea ce verificarea de mai sus confirmase deja, pe numere.

Un sistem cu două ecuații și trei necunoscute, sau cu patru ecuații și trei necunoscute, nu este pătratic: matricea lui nu are determinant, iar întrebarea „cât face $\det A$?" nu are sens. La profilul științe ale naturii, sistemele care se dau la examen sunt pătratice, cu două sau trei necunoscute.

7. Câte soluții poate avea un sistem liniar?

Trei situații, trei nume care se folosesc ca atare. Le urmărim pe aceeași primă ecuație, $2x+5y=9$, ca să se vadă că totul depinde de a doua.

• Sistem compatibil determinat — are exact o soluție. Alături de $x+2y=4$, sistemul are soluția unică $x=2$, $y=1$; verificare: $4+5=9$ și $2+2=4$.
• Sistem incompatibil — nu are nicio soluție. Alături de $4x+10y=20$, cerințele se bat cap în cap: dublând prima ecuație obținem $4x+10y=18$, iar o aceeași expresie nu poate valora și $18$, și $20$.
• Sistem compatibil nedeterminat — soluțiile lui sunt nesfârșit de multe. Alături de $4x+10y=18$, a doua ecuație este chiar dubla primei și nu aduce nicio informație nouă; rămâne o singură condiție, pe care o verifică nesfârșit de multe perechi, de pildă $(2,1)$, $(7,-1)$ și $(-3,3)$.

Numele acestea se rețin ușor dacă le citești pe bucăți: „compatibil" înseamnă că are măcar o soluție, iar „determinat" sau „nedeterminat" spune dacă soluția e una singură sau nu. Un sistem liniar nu poate avea, de pildă, fix două soluții: numărul lor este ori zero, ori unu, ori nemărginit, fiindcă din două soluții deosebite se fabrică imediat altele. Deosebirea între ultimele două cazuri se face, la profilul științe ale naturii, prin cercetare directă a ecuațiilor; aparatul teoretic cu care se decide dinainte, prin rangul unei matrice, aparține traseului de mate-info, iar în programa nouă vine abia în clasa a XII-a.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem cu trei necunoscute, scris matriceal

Scrieți sub forma $AX=B$ sistemul $x+2y+z=8$, $2x+y+3z=8$, $3x+y+2z=8$ și calculați determinantul matricei sistemului.

Rezolvare. Necunoscutele apar în aceeași ordine în toate cele trei ecuații, deci coeficienții se citesc direct, linie cu linie:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 8\end{array}\right).$$

Cu regula lui Sarrus, $\det A=(2+18+2)-(3+3+8)=22-14=8$. Sistemul este pătratic, iar determinantul este nenul.

Exemplul 2 — Un sistem din care lipsesc necunoscute

Scrieți matricea sistemului $2x+y-3z=0$, $x-5z=-4$, $3y+z=4$ și precizați câte zerouri conține.

Rezolvare. În ecuația a doua lipsește $y$, iar în a treia lipsește $x$; pe locurile lor se scrie $0$. Matricea sistemului este

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -3\\ 1& 0& -5\\ 0& 3& 1\end{array}\right),$$

deci conține două zerouri. Are trei coloane, cât numărul necunoscutelor — controlul a ieșit. Semnele se păstrează: coeficientul lui $z$ din prima ecuație este $-3$, nu $3$.

Exemplul 3 — Drumul invers, de la tablouri la ecuații

Scrieți sistemul de ecuații liniare care are forma matriceală $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 9\end{array}\right)$, apoi arătați că tripletul $(7,5,2)$ este soluție.

Rezolvare. Fiecare linie a lui $A$ se citește ca o ecuație, iar zerourile spun care necunoscută lipsește: $x-y=2$, $y-z=3$, $x+z=9$.

Verificarea se face cu un singur produs. Cu $X_0=\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 2\end{array}\right)$,

$$A{X}_0=\left(\begin{array}{c}7-5+0\\ 0+5-2\\ 7+0+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 9\end{array}\right),$$

adică matricea $B$; toate cele trei ecuații sunt îndeplinite.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev trebuie să scrie matricea sistemului $3x-z=5$, $2y+x=7$, $z-y=1$. El notează liniile în ordinea în care apar numerele în enunț și obține tabloul $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$. Găsiți cele două greșeli și scrieți matricea corectă.

Rezolvare. Prima greșeală: elevul a scris doar coeficienții care apar, sărind peste necunoscutele lipsă. Matricea are două coloane, deși sistemul are trei necunoscute — controlul de la §2 pică din prima privire.

A doua greșeală: în ecuațiile a doua și a treia necunoscutele nu sunt scrise în ordinea $x$, $y$, $z$, iar el a citit numerele pe rând, de la stânga la dreapta. Ordinea trebuie stabilită întâi și respectată peste tot; rescriem ecuațiile în forma standard: $3x-z=5$, $x+2y=7$, $-y+z=1$. Abia acum se citesc coeficienții:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -1\\ 1& 2& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 1\end{array}\right).$$

Reține ordinea de lucru care evită amândouă greșelile: întâi fixezi ordinea necunoscutelor, apoi rescrii fiecare ecuație în forma standard, abia la urmă copiezi numerele în tablou.

Exemplul 5 — Trei cântăriri pe o balanță

Într-un laborator se cântăresc trei pachete, dar balanța nu poate ține decât două deodată. Se măsoară: primul cu al doilea, $12$ kg; primul cu al treilea, $13$ kg; al doilea cu al treilea, $15$ kg. Scrieți sistemul și matricele lui, apoi verificați că masele $5$ kg, $7$ kg și $8$ kg se potrivesc.

Rezolvare. Notăm cu $x$, $y$, $z$ masele celor trei pachete, în kilograme, în ordinea în care au fost numerotate. Fiecare cântărire dă o ecuație liniară, în care al treilea pachet, cel rămas pe masă, are coeficientul $0$:

$$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ x+z=13\\ y+z=15\end{array}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}12\\ 13\\ 15\end{array}\right).$$

Verificarea tripletului $(5,7,8)$: $5+7=12$, $5+8=13$ și $7+8=15$ kg, deci el este soluție. Sistemul este pătratic, iar $\det A=-2\ne 0$, ceea ce înseamnă că cele trei cântăriri sunt de ajuns: nu există o altă repartizare a maselor care să dea aceleași trei rezultate. Merită observat și că modelul e cinstit fizic — toate masele au ieșit pozitive; dacă una ar fi ieșit negativă, ar fi însemnat că datele au fost citite greșit, nu că pachetul „cântărește minus".

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră sistemul $x+y+2z=5$, $2x+3y+z=9$, $x+2y+3z=8$. a) Scrieți matricea $A$ a sistemului. b) Arătați că $\det A=4$. c) Verificați că tripletul $(1,2,1)$ este soluție a sistemului.

Rezolvare.

a) Coeficienții, pe linii, în ordinea $x$, $y$, $z$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right).$$

b) Cu regula lui Sarrus, $\det A=(9+1+8)-(6+2+6)=18-14=4$.

c) Înlocuim, în ordine, $x=1$, $y=2$, $z=1$ în fiecare ecuație: $1+2+2=5$; $2+6+1=9$; $1+4+3=8$. Toate trei se verifică, deci tripletul este soluție; cum $\det A\ne 0$, este chiar singura.

De la examen la lecție. Lanțul acesta de cerințe — matricea, determinantul ei, apoi o verificare — este forma în care tema apare la prima problemă a Subiectului al II-lea. Punctul c) se rezolvă prin înlocuire directă, nu prin rezolvarea sistemului: enunțul dă tripletul tocmai ca să nu fie nevoie de metoda de calcul.

Să exersăm

La fiecare sistem, scrie întâi câte ecuații și câte necunoscute are, apoi formează tablourile. Nu uita zerourile și verifică orice soluție propusă în toate ecuațiile.

1. Scrie sub forma $AX=B$ sistemul $3x+2y=11$, $x-4y=-1$ și precizează matricele $A$, $X$ și $B$.

2. Scrie matricea sistemului $3x+2z=4$, $x+2y=6$, $4x-y+5z=1$ și numără zerourile ei.

3. Verifică dacă tripletul $(2,1,4)$ este soluție a sistemului $x+y+z=7$, $2x+3y-z=3$, $x-y+2z=9$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem cu trei ecuații și trei necunoscute are întotdeauna cel puțin o soluție."

5. Scrie sistemul de ecuații liniare care are forma matriceală $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)$, apoi arată că perechea $(2,-1)$ este soluție.

6. Calculează determinantul matricei sistemului $2x+y+z=8$, $x+3y+2z=13$, $3x+y+2z=11$ și spune ce concluzie tragi despre numărul soluțiilor.

7. (Problemă aplicată.) O florărie face trei feluri de buchete. Într-un buchet de primul fel intră $5$ trandafiri, $2$ lalele și $3$ frezii; într-unul de al doilea fel, $3$ trandafiri, $4$ lalele și $2$ frezii; într-unul de al treilea, $2$ trandafiri, $3$ lalele și $5$ frezii. Într-o zi s-au consumat $32$ de trandafiri, $25$ de lalele și $31$ de frezii. Scrie sistemul și matricele lui, apoi verifică dacă s-au făcut $4$, $2$ și, respectiv, $3$ buchete.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $x+y+z=9$, $2x+y+3z=19$, $x+3y+z=15$. a) Scrieți matricea $A$ a sistemului și matricea $B$ a termenilor liberi. b) Calculați $\det A$.

9. Un sistem are două ecuații și trei necunoscute. Câte linii și câte coloane are matricea lui? Are ea determinant?

10. Scrie forma matriceală a sistemului $2x+z=11$, $y-z=-1$, $x+y=7$ și verifică, printr-un singur produs, că tripletul $(3,4,5)$ este soluție.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}9\\ 11\\ 16\end{array}\right)$. a) Scrieți sistemul care are forma matriceală $AX=B$. b) Verificați că tripletul $(2,2,3)$ este soluție.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă dintr-o ecuație a sistemului lipsește o necunoscută, matricea sistemului are cu o coloană mai puțin."

13. Adu la forma standard și scrie matricea sistemului $2x+5=y$, $3y-4=x+2z$, $z=x+y-1$.

14. Precizează natura fiecăruia dintre sistemele: (a) $3x+4y=10$, $x+3y=5$; (b) $3x+4y=10$, $9x+12y=31$; (c) $3x+4y=10$, $9x+12y=30$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $x+2y+z=13$, $2x+y+2z=14$, $x+y+3z=15$. a) Scrieți matricea $A$ a sistemului. b) Arătați că $\det A=-6$. c) Verificați că tripletul $(2,4,3)$ este soluție.

16. Explică, în trei-patru fraze, de ce produsul $AX$ se poate efectua la orice sistem liniar și de ce rezultatul are întotdeauna o singură coloană.

17. Un sistem cu trei necunoscute are matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& -1& 2\\ 2& 1& -1\end{array}\right)$ și soluția $(2,-1,3)$. Scrie matricea $X$ și determină matricea $B$ a termenilor liberi.

18. (Provocare.) Arată că, dacă schimbi între ele două ecuații ale unui sistem liniar, mulțimea soluțiilor rămâne aceeași, iar matricea sistemului își schimbă două linii. Ce se întâmplă atunci cu $\det A$? Ilustrează pe sistemul de la exercițiul 14(a).

Răspunsuri și explicații

1. Sistemul are două ecuații și două necunoscute, deci $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& -4\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}11\\ -1\end{array}\right)$. Matricea $A$ are două coloane, cât numărul necunoscutelor.

2. $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 1& 2& 0\\ 4& -1& 5\end{array}\right)$, cu două zerouri: pe locul lui $y$ din prima ecuație și pe locul lui $z$ din a doua. Semnele se păstrează: coeficientul lui $y$ din ecuația a treia este $-1$.

3. Înlocuim în toate cele trei ecuații: $2+1+4=7$; $4+3-4=3$; $2-1+8=9$. Toate sunt adevărate, deci $(2,1,4)$ este soluție.

4. Fals. Un sistem pătratic poate fi incompatibil. Contraexemplu: $x+y+z=1$, $x+y+z=2$, $x-y=0$ — primele două ecuații cer ca aceeași sumă să aibă două valori diferite, deci nu există niciun triplet care să le verifice pe amândouă.

5. Fiecare linie a produsului dă o ecuație: $x-2y=4$ și $3x+y=5$. Verificarea perechii $(2,-1)$: $2+2=4$ și $6-1=5$, deci este soluție. Cum $\det A=1+6=7\ne 0$, este singura.

6. Matricea sistemului este $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$, iar cu regula lui Sarrus $\det A=(12+6+1)-(9+4+2)=19-15=4\ne 0$. Sistemul fiind pătratic, cu determinantul nenul, are soluție unică — este compatibil determinat. Care anume este ea se află cu metoda din lecția următoare.

7. Cu $x$, $y$, $z$ numărul buchetelor din cele trei feluri, fiecare floare dă o ecuație: $5x+3y+2z=32$, $2x+4y+3z=25$, $3x+2y+5z=31$, deci $A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 2& 4& 3\\ 3& 2& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}32\\ 25\\ 31\end{array}\right)$. Verificare pentru $(4,2,3)$: $20+6+6=32$ trandafiri, $8+8+9=25$ de lalele și $12+4+15=31$ de frezii — se potrivește.

8. a) $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}9\\ 19\\ 15\end{array}\right)$. b) $\det A=(1+3+6)-(1+9+2)=10-12=-2$.

9. Matricea are două linii și trei coloane, adică $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$. Nefiind pătratică, nu are determinant, iar sistemul nu este pătratic.

10. $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}11\\ -1\\ 7\end{array}\right)$. Produsul dintre $A$ și coloana $(3,4,5)$ dă $\left(\begin{array}{c}6+0+5\\ 0+4-5\\ 3+4+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11\\ -1\\ 7\end{array}\right)$, adică exact $B$, deci tripletul este soluție.

11. a) Liniile lui $A$ dau ecuațiile $2x+y+z=9$, $x+3y+z=11$, $x+y+4z=16$. b) Pentru $(2,2,3)$: $4+2+3=9$; $2+6+3=11$; $2+2+12=16$. Toate trei se verifică.

12. Fals. Numărul de coloane este numărul necunoscutelor din sistem, nu din fiecare ecuație. Necunoscuta care lipsește primește coeficientul $0$, iar coloana ei rămâne la locul ei — exemplele 2 și 5 arată exact acest lucru.

13. Trecem necunoscutele în stânga și termenii liberi în dreapta: $2x-y=-5$, $-x+3y-2z=4$, $-x-y+z=-1$. Matricea sistemului este $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 3& -2\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$, iar termenii liberi formează coloana $(-5,4,-1)$.

14. (a) $\det A=9-4=5\ne 0$, iar perechea $(2,1)$ verifică ambele ecuații, pentru că $6+4=10$ și $2+3=5$: sistem compatibil determinat. (b) Înmulțind prima ecuație cu $3$ obținem $9x+12y=30$, în contradicție cu $31$: sistem incompatibil. (c) A doua ecuație este chiar tripla primei, deci rămâne o singură condiție, verificată de o infinitate de perechi, de pildă $(2,1)$ și $(-2,4)$: sistem compatibil nedeterminat.

15. a) $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$. b) $\det A=(3+4+2)-(1+2+12)=9-15=-6$. c) $2+8+3=13$; $4+4+6=14$; $2+4+9=15$ — toate trei se verifică.

16. Produsul se poate efectua pentru că matricea sistemului are atâtea coloane câte necunoscute, iar matricea necunoscutelor are exact atâtea linii; condiția de la înmulțirea matricelor este astfel îndeplinită prin însăși construcția tablourilor. Rezultatul are o singură coloană pentru că al doilea factor are una singură, iar numărul de coloane al produsului este cel al factorului din dreapta. Pe fiecare linie a produsului apare membrul stâng al ecuației corespunzătoare.

17. Matricea necunoscutelor este coloana $(2,-1,3)$, iar $B=AX$ se obține înmulțind: pe prima linie $2-2+3=3$, pe a doua $6+1+6=13$, pe a treia $4-1-3=0$. Deci $B=\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ 0\end{array}\right)$.

18. Un triplet este soluție dacă verifică toate ecuațiile; ordinea în care le citim nu schimbă cu nimic această condiție, deci mulțimea soluțiilor rămâne aceeași. În tablou însă, schimbarea a două ecuații înseamnă schimbarea a două linii, iar o proprietate a determinanților spune că atunci determinantul își schimbă semnul. Pe sistemul de la 14(a): în ordinea dată, $\det A=9-4=5$; cu ecuațiile schimbate între ele, matricea devine $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 4\end{array}\right)$, cu determinantul $4-9=-5$. Soluția rămâne $(2,1)$ în ambele cazuri — semnul determinantului nu are nicio legătură cu ea.

De reținut

• Un sistem liniar cu cel mult trei necunoscute se scrie $AX=B$, unde $A$ strânge coeficienții, $X$ este coloana necunoscutelor, iar $B$ coloana termenilor liberi; cele două scrieri spun exact același lucru.
• Numărul de coloane ale lui $A$ este numărul necunoscutelor din sistem, nu din fiecare ecuație în parte: coeficientul absent este $0$ și se scrie în tablou.
• Ordinea necunoscutelor se fixează o dată și se respectă peste tot; înainte de a citi coeficienții, fiecare ecuație se aduce la forma standard, cu termenul liber singur în dreapta.
• O soluție se verifică într-un singur produs: dacă $A$ înmulțit cu coloana valorilor propuse dă coloana $B$, atunci toate ecuațiile sunt îndeplinite deodată.
• La un sistem pătratic, determinantul matricei sistemului se calculează primul — el decide dacă metoda de rezolvare studiată în lecția următoare se poate aplica.

Greșeli frecvente

• Citești coeficienții în ordinea în care apar în ecuație. Dacă o ecuație e scrisă $2y+x=7$, pe linia tabloului trebuie totuși $1$ la coloana lui $x$ și $2$ la coloana lui $y$. Ordinea coloanelor este dată de ordinea necunoscutelor, fixată la început, nu de felul în care s-a scris ecuația.
• Muți termenul liber fără să-i schimbi semnul. Din $3x-y-8=0$ se obține $3x-y=8$, nu $3x-y=-8$. Este cea mai scumpă greșeală a lecției, pentru că tabloul iese corect ca formă și nimic nu te avertizează.
• Nu reduci termenii asemenea înainte de a citi coeficienții. În $4x+y-x=6$ coeficientul lui $x$ este $3$, nu $4$ și nici $-1$; forma standard se face întâi, tabloul se scrie după.
• Scrii necunoscutele pe o linie, nu pe o coloană. Matricea $X$ are o singură coloană; scrisă ca linie, produsul $AX$ nici nu se mai poate efectua, fiindcă numărul de coloane al lui $A$ nu mai coincide cu numărul de linii al lui $X$.
• Calculezi determinantul la un sistem care nu e pătratic. Dacă numărul ecuațiilor diferă de numărul necunoscutelor, matricea sistemului este dreptunghiulară și nu are determinant; întrebarea trebuie refuzată, nu aproximată.

Aplică acasă

1. Sistemul din manualul de fizică. Caută în manualul de fizică sau de chimie o problemă care duce la două sau trei relații de gradul întâi între mărimi necunoscute — un circuit, un amestec, un echilibru. Scrie-i sistemul și cele trei tablouri, fără să rezolvi nimic, și verifică numărul de coloane ale matricei sistemului.

2. Tabloul care devine enunț. Scrie un tablou $3\times 3$ cu numere întregi, dintre care două zerouri, și o coloană de termeni liberi. Dă-le unui coleg și cere-i să reconstituie sistemul; compară apoi ecuațiile lui cu ale tale, linie cu linie.

3. Cinci sisteme, nicio rezolvare. Ia cinci sisteme din culegere și, pentru fiecare, notează doar patru lucruri: câte ecuații, câte necunoscute, dacă e pătratic și ce format are matricea lui. Nu rezolva niciunul. Exercițiul durează cinci minute și fixează exact ce se cere la primul punct al unei probleme de examen.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a XI-a, „Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar"; la proba scrisă, capitolul de calcul matriceal și sisteme este prima problemă a Subiectului al II-lea. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, pe acel loc au fost o matrice și un determinant, nu un sistem — forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. În programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) tema a coborât la clasa a XII-a, în domeniul Algebră, unitatea „Sisteme de ecuații liniare", unde se studiază sisteme cu cel mult $4$ ecuații și $4$ necunoscute; tot acolo apar rangul unei matrice și matricea extinsă (competența XII.CS.2.1), care la examenul M2 din 2027–2029 nu intră. La Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema este în domeniul Algebră, la capitolul de clasa a XII-a. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Toată lecția se învârte în jurul unui singur lucru: traducerea. Cine o stăpânește trece fără ezitare de la ecuațiile scrise cu litere la tablourile de numere și înapoi, fără să calculeze nimic. Practic, toate greșelile de aici sunt de transcriere, nu de raționament, și se prind cu două controale mecanice: numărul de coloane și semnul termenului liber. De verificat în caiet: (1) ordinea necunoscutelor, scrisă o dată și respectată; (2) forma standard a fiecărei ecuații, înainte de tablou; (3) zerourile puse pe locurile necunoscutelor absente; (4) coloana $X$ scrisă vertical; (5) soluția propusă verificată în toate ecuațiile, nu doar în una. Întrebări de control: „Câte coloane are matricea unui sistem cu trei ecuații și două necunoscute?"; „De ce produsul $AX$ se poate face întotdeauna?"; „Ce se schimbă în tablou dacă muți termenul liber în stânga?"; „Când are sens întrebarea «cât e determinantul sistemului»?". Un elev care lucrează cu sistemele de ecuații din clasa a IX-a prin substituție trebuie ajutat să vadă că aici nu i se cere nicio metodă de calcul — doar traducerea. Semn bun: în fața unei probleme din viața de zi cu zi, elevul ajunge la tablouri dintr-un singur pas, fără să mai aștearnă ecuațiile pe hârtie.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă sistemele liniare la M2 față de M1? La profilul științe ale naturii se lucrează cu sisteme de cel mult trei necunoscute și se studiază o singură metodă de rezolvare, cea a determinanților. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: forma matriceală a unui sistem liniar merge până la patru necunoscute și introduce în plus matricea extinsă, de care are nevoie aparatul cu rang și compatibilitate — teme care, la M2, nu apar în programa de examen.

La ce subiect apare tema la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, prima problemă, cea construită pe matrice, determinanți și sisteme. Primele cerințe sunt mărunte și ușor de verificat — scrierea matricei sistemului, calculul determinantului ei, uneori o simplă înlocuire —, iar rezolvarea propriu-zisă a sistemului vine abia la ultimul punct, acolo unde se adună cele mai multe puncte pierdute.

Câte necunoscute pot avea sistemele date la examenul M2? Cel mult trei. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 spune explicit „sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute", așa că un sistem cu patru necunoscute nu poate apărea la această probă. În programa nouă, unde tema s-a mutat la clasa a XII-a, limita urcă la patru ecuații și patru necunoscute.

De ce se scrie $AX=B$ și nu $XA=B$? Pentru că necunoscutele formează o coloană, iar produsul trebuie să dea membrii stângi ai ecuațiilor. Matricea sistemului are atâtea coloane câte necunoscute, deci se poate înmulți cu coloana $X$ numai așezată în fața ei. Scrisă invers, $XA$, înmulțirea nici nu s-ar putea efectua, în afara cazului unui sistem cu o singură ecuație.

Cum verific o soluție folosind matricele? Scrii valorile propuse ca o coloană, faci produsul cu matricea sistemului și compari rezultatul cu coloana termenilor liberi. Dacă cele două coloane coincid element cu element, toate ecuațiile sunt îndeplinite; dacă diferă măcar pe o poziție, tripletul nu este soluție. E un singur calcul, în locul a două sau trei înlocuiri separate.

Ce înseamnă că un sistem este pătratic? Că are tot atâtea ecuații câte necunoscute, deci matricea lui are același număr de linii și de coloane. Numai atunci se poate vorbi despre determinantul sistemului. Un sistem cu trei ecuații și două necunoscute nu este pătratic, iar matricea lui, fiind dreptunghiulară, nu are determinant.

Sistemele liniare mai sunt materie de clasa a XI-a? La bacalaureatul M2 din 2027–2029, da: programa de examen le cere la clasa a XI-a, împreună cu forma matriceală și cu metoda determinanților. În programa nouă însă capitolul s-a mutat la clasa a XII-a, cu sisteme mai mari și cu noțiunea de rang. De aceea lecția stă în suplimentul acestui traseu, nu în unitatea de matrice.