Cum se clasifică sistemele liniare?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sisteme liniare: forma matriceală

Un sistem liniar are fie nicio soluție, fie exact una, fie o infinitate. După asta se numește incompatibil, compatibil determinat sau compatibil nedeterminat. Exemple: $x + y = 3$ și $x + y = 5$ se contrazic, deci sistemul e incompatibil; $x + y = 3$ , $x - y = 1$ are doar soluția $(2, 1)$ ; $x + y = 3$ , $2 x + 2 y = 6$ repetă aceeași condiție și are soluțiile $(3 - α, α)$ , cu $α$ real. Alt număr de soluții nu poate apărea.

Un sistem liniar strânge $m$ condiții de gradul întâi despre $n$ mărimi necunoscute, notate $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{n}$ . Coeficientul $a_{ij}$ se citește pe doi indici: primul spune din ce ecuație vine numărul, al doilea lângă care necunoscută este așezat. Programa profilului oprește capitolul la patru ecuații și patru necunoscute. Dacă o necunoscută nu apare undeva, coeficientul ei este $0$ și se trece totuși în tablou, altfel coloana ei dispare.

Forma $A X = B$ merge oricum, nu doar la tablouri pătratice: $A$ este de tip $m \times n$ , $X$ are $n$ linii, $B$ are $m$ , iar produsul se poate face fiindcă cele două numere din mijloc coincid. Determinantul există numai la tablouri pătratice, așa că întrebarea „cât e determinantul sistemului?" capătă înțeles abia pentru $m = n$ .

Câte soluții pot fi? Zero, una, ori infinit de multe — nicio altă cifră. Dacă găsești două soluții deosebite, poți produce imediat oricâte, combinându-le. De aici cele trei nume: incompatibil, compatibil determinat și compatibil nedeterminat.

Sistemele omogene, cele la care toți termenii liberi sunt zero, au mereu soluția făcută din zerouri, deci nu ajung niciodată fără răspuns. Iar un determinant care se anulează nu desființează soluțiile: el arată doar că unicitatea s-a pierdut, iar între cele două situații rămase hotărăște rangul.

De reținut

nicio soluție: incompatibil; o soluție: compatibil determinat; infinit de multe: compatibil nedeterminat
sistemul se scrie $A X = B$ , cu $A$ de tipul $m \times n$ ( $m$ ecuații, $n$ necunoscute)
necunoscuta absentă dintr-o ecuație primește coeficientul $0$

Greșeala tipică

Se crede că un sistem cu determinantul nul nu are soluții; determinantul nul arată doar că sistemul nu are o singură soluție, iar sistemul poate fi la fel de bine nedeterminat sau incompatibil.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră sistemul $2 x - y + 5 z - 3 t = 7$ , $x + 4 y - t = 1$ , $6 x + z + 2 t = 9$ . Ce format are matricea $A$ a sistemului?
- a) $4 \times 3$
- b) $3 \times 3$
- c) $3 \times 4$
- d) $4 \times 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3 \times 4$

Matricea sistemului are câte o linie pentru fiecare ecuație, deci $3$ linii, și câte o coloană pentru fiecare necunoscută din sistem, deci $4$ coloane: necunoscutele absente dintr-o ecuație își păstrează coloana, cu $0$ pe ea. Formatul este $3 \times 4$ . Varianta a) inversează liniile cu coloanele; b) numără doar cele trei necunoscute care apar în ultima ecuație; d) presupune că numărul ecuațiilor este egal cu cel al necunoscutelor.
Pentru sistemul $5 x - 2 y + z - 4 t = 3$ , $- x + 7 y - 6 z + t = 8$ , $3 x + y + 2 z - 5 t = 0$ , numărul $a_{34}$ este:
- a) $- 4$
- b) $- 5$
- c) $2$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 5$

Primul indice numără linia, al doilea coloana: $a_{34}$ este coeficientul necunoscutei a patra, $t$ , din ecuația a treia, adică $- 5$ . Varianta a) citește $a_{14}$ , coeficientul lui $t$ din prima ecuație; c) citește $a_{33}$ , coeficientul lui $z$ din a treia ecuație; d) lasă semnul deoparte, deși semnul face parte din coeficient.
Determină numărul real $k$ pentru care sistemul $4 x - y + 3 z = 5$ , $12 x - 3 y + 9 z = k$ are o infinitate de soluții.
- a) $k = 5$
- b) $k = 8$
- c) nu există un astfel de $k$
- d) $k = 15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $k = 15$

Membrul stâng al ecuației a doua este triplul celui din prima, deci a doua ecuație nu aduce nicio condiție nouă exact atunci când și termenul ei liber se triplează: $k = 3 \cdot 5 = 15$ . Rămâne o singură condiție pentru trei necunoscute, deci o infinitate de soluții. Varianta a) păstrează termenul liber neschimbat, ca și cum proporționalitatea coeficienților ar fi de ajuns; b) adună $3$ în loc să înmulțească cu $3$ ; c) ar fi adevărată doar dacă membrii stângi nu ar fi proporționali — pentru orice $k \neq = 15$ sistemul este incompatibil, nu fără răspuns.

Întrebări conexe

Cum trec un sistem cu trei ecuații și patru necunoscute în forma $A X = B$ ?

Scrii coeficienții pe rânduri, câte un rând pentru fiecare ecuație, și câte o coloană pentru fiecare necunoscută, deci $A$ are tipul $3 \times 4$ . $X$ este coloana $(x, y, z, t)$ , iar $B$ coloana celor trei termeni liberi. Înmulțind rândul $i$ al lui $A$ cu $X$ trebuie să regăsești membrul stâng al ecuației $i$ .

Cum recunosc un sistem liniar omogen?

Un sistem este omogen când toți termenii liberi sunt $0$ , adică $B$ este coloana nulă. Un astfel de sistem are mereu soluția $x = y = z = 0$ , deci nu poate fi incompatibil. De exemplu, sistemul $x + y - z = 0$ , $2 x - y = 0$ este omogen și, pe lângă soluția nulă, are și soluția $(1, 2, 3)$ .

Cum verific cu forma matriceală dacă un triplet este soluție?

Calculezi produsul $A \cdot X_{0}$ , unde $X_{0}$ este coloana tripletului, și îl compari cu $B$ . Pentru $x + 2 y - z = 4$ , $3 x - y + 5 z = 1$ și tripletul $(1, 2, 1)$ se obține coloana $(4, 6)$ ; prima ecuație se verifică, a doua nu, deci tripletul nu e soluție.

Cum apare un sistem liniar într-un circuit electric?

Legile lui Kirchhoff dau ecuații de gradul întâi în intensități. De exemplu, $I_{1} - I_{2} - I_{3} = 0$ la un nod, $2 I_{1} + 2 I_{2} = 14$ și $2 I_{2} - 6 I_{3} = 0$ pe două ochiuri. Matricea are rândurile $(1, - 1, - 1)$ , $(2, 2, 0)$ , $(0, 2, - 6)$ , iar soluția este $I_{1} = 4$ A, $I_{2} = 3$ A, $I_{3} = 1$ A.

De ce produsul $A X$ se poate face la orice sistem liniar?

Matricea $A$ are atâtea coloane câte necunoscute are sistemul, iar $X$ are exact atâtea rânduri. Numerele din mijloc ale tipurilor, $m \times n$ și $n \times 1$ , coincid, deci înmulțirea e definită, iar rezultatul are tipul $m \times 1$ , la fel ca $B$ .

Cum recunosc din coeficienți un sistem incompatibil cu două ecuații?

Dacă membrii stângi sunt proporționali, dar termenii liberi nu respectă același raport, ecuațiile cer lucruri opuse. La $2 x - 3 y = 5$ și $4 x - 6 y = 9$ , dublul primei ecuații ar cere termenul liber $10$ , nu $9$ , deci sistemul nu are nicio soluție.

Oamenii mai întreabă și: clasificarea sistemelor după numărul de soluții · incompatibil, compatibil determinat sau nedeterminat · tipurile de sisteme liniare · câte soluții are un sistem de ecuații liniare