Sisteme liniare: forma matriceală și soluțiile (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

În laborator, mărimea care te interesează este aproape niciodată cea pe care o citești pe aparat. Aparatul îți dă, de obicei, o combinație a mai multor mărimi necunoscute: grosimea unui pachet de straturi, căderea de presiune pe două tronsoane luate împreună. Ca să afli fiecare mărime în parte, repeți măsurătoarea în alte combinații și obții mai multe condiții care trebuie să fie adevărate în același timp. Exact aici, la clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), începe capitolul despre sisteme de ecuații liniare, parte a calculului matriceal. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de bacalaureat M2, prima problemă a Subiectului al II-lea este una de calcul cu matrice.

Merită spus de la început cui i se adresează lecția, fiindcă tema traversează două programe. Sistemele liniare există și în programa de examen actuală, cea din 2014, dar acolo stau la clasa a XI-a, cu un plafon limpede: „sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar". Elevii care susțin Bacalaureatul M2 în sesiunile 2027, 2028 și 2029 învață tema în acest format, iar pentru ei am scris Forma matriceală a unui sistem cu 3 necunoscute, din suplimentul clasei a XI-a. Programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) a coborât capitolul la clasa a XII-a și i-a ridicat plafonul la patru ecuații și patru necunoscute, adăugându-i rangul unei matrice. Lecția duce mai departe exact aceste două lucruri: forma generală și răspunsul complet la întrebarea „câte soluții are?".

Ce vei învăța

Vei ști să scrii forma generală a unui sistem liniar cu $m$ ecuații și $n$ necunoscute, cu notația pe doi indici a coeficienților.
Vei ști să pui sub forma $A X = B$ și un sistem la care numărul ecuațiilor diferă de numărul necunoscutelor, precizând formatul fiecărei matrice.
Vei ști că un sistem liniar are zero, una sau o infinitate de soluții — niciodată alt număr — și să explici de ce.
Vei ști ce este un sistem omogen și de ce el nu poate fi niciodată incompatibil.
Vei ști să recunoști, citind direct ecuațiile, cazurile simple de sistem incompatibil sau cu o infinitate de soluții.
Vei ști ce se schimbă când treci de la trei la patru necunoscute și unde se oprește programa de științe.

Hai să descoperim împreună

1. Cum arată forma generală a unui sistem liniar?

Când numărul necunoscutelor crește, literele $x$ , $y$ , $z$ nu mai ajung și devine mai comod să le numerotezi: $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{n}$ . La fel se numerotează și coeficienții, cu doi indici: primul spune din ce ecuație provine numărul, al doilea pe lângă ce necunoscută stă.

Un sistem de ecuații liniare cu $m$ ecuații și $n$ necunoscute este o mulțime de $m$ egalități de forma $a_{i 1} x_{1} + a_{i 2} x_{2} + \dots + a_{in} x_{n} = b_{i}$ , în care numerele reale $a_{ij}$ se numesc coeficienți, numerele reale $b_{i}$ se numesc termeni liberi, iar fiecare necunoscută apare la puterea întâi, o singură dată în fiecare ecuație, înmulțită doar cu un număr; a rezolva sistemul înseamnă a găsi toate grupurile ordonate de $n$ numere care verifică toate cele $m$ egalități deodată. Programa de la științe ale naturii adaugă o limitare pe care trebuie să o ai mereu în minte: se studiază sisteme cu $m \leq 4$ și $n \leq 4$ .

Numărul $a_{23}$ este, așadar, coeficientul celei de-a treia necunoscute din a doua ecuație, iar $b_{3}$ este termenul liber al ecuației a treia: ordinea indicilor este linie, apoi coloană, ca la matrice — vezi Înmulțirea a două matrice. Două precizări care fac diferența la corectură: o necunoscută care lipsește dintr-o ecuație are coeficientul $0$ , iar acel zero se scrie; și, înainte de a citi coeficienții, fiecare ecuație se aduce la forma standard, cu termenul liber singur în dreapta.

2. De ce merge scrierea $A X = B$ și când numărul ecuațiilor diferă de cel al necunoscutelor?

Ai văzut scrierea matriceală la sisteme cu trei ecuații și trei necunoscute, unde tabloul coeficienților ieșea pătratic. Partea importantă este că nimic din construcție nu cerea asta: coeficienții se așază într-o matrice $A$ cu $m$ linii și $n$ coloane, necunoscutele într-o coloană $X$ cu $n$ linii, termenii liberi într-o coloană $B$ cu $m$ linii, iar produsul $A X$ se poate efectua și iese tot cu $m$ linii și o coloană. Ia sistemul cu trei ecuații și patru necunoscute

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z + t = 4 3 x - y + 2 z = 7 2 x + y + z - t = 5$

și scrie-i tablourile, cu zerourile la locul lor:

$A = 132 2 - 1 1 - 1 21 10 - 1, X = x y z t, B = 475 .$

Matricea sistemului are trei linii și patru coloane, deci nu este pătratică, iar un astfel de tablou nu are determinant: întrebarea „cât face determinantul sistemului?" nu are sens pentru el. Toate metodele care se sprijină pe acest determinant — și ele sunt principalele metode ale capitolului — cer ca numărul ecuațiilor să fie egal cu numărul necunoscutelor; un sistem care îndeplinește condiția se numește pătratic. Controlul de scriere rămâne același, oricât de mare ar fi sistemul: numărul de coloane ale lui $A$ este numărul necunoscutelor din sistem.

3. Câte soluții poate avea un sistem liniar?

Răspunsul e surprinzător de sărac în variante: zero, una sau o infinitate. Un sistem liniar nu poate avea exact două soluții sau exact șapte. Numele celor trei situații sunt cele din programă: incompatibil (nicio soluție), compatibil determinat (exact una), compatibil nedeterminat (o infinitate).

De ce nu există alte posibilități? Pentru că din două soluții deosebite se fabrică imediat o infinitate. Urmărește raționamentul pe o singură ecuație, $a x + b y + cz = d$ , scrisă cu litere. Presupune că tripletele $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ și $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ o verifică amândouă și construiește, pentru un număr real $s$ oarecare, tripletul cu componentele $x_{1} + s (x_{2} - x_{1})$ , $y_{1} + s (y_{2} - y_{1})$ , $z_{1} + s (z_{2} - z_{1})$ . Înlocuindu-l și grupând termenii obții $(a x_{1} + b y_{1} + c z_{1}) + s [(a x_{2} + b y_{2} + c z_{2}) - (a x_{1} + b y_{1} + c z_{1})]$ , adică $d + s (d - d) = d$ : egalitatea se păstrează, oricare ar fi $s$ .

Argumentul nu depinde de ecuație, deci merge la fel pentru fiecare ecuație a sistemului, cu același $s$ . Valori diferite ale lui $s$ dau grupuri diferite de numere, deci un sistem cu două soluții deosebite are o infinitate. Reține concluzia sub forma în care se folosește: oprește-te din numărat după a doua soluție.

Rezultatul nu îți dă însă niciun mijloc de a decide în care dintre cele trei cazuri te afli; îți spune doar că altele nu există. Mijlocul de decizie se construiește în lecțiile următoare, pornind de la rangul unei matrice și ajungând la studiul compatibilității prin rang.

4. Ce este un sistem omogen și de ce nu poate fi incompatibil?

Un sistem liniar se numește omogen atunci când toți termenii lui liberi sunt nuli, adică $b_{1} = b_{2} = \dots = b_{m} = 0$ ; astfel de sisteme apar ori de câte ori scrii condiții de echilibru sau de conservare. Un sistem omogen are întotdeauna cel puțin o soluție, grupul format numai din zerouri, numit soluția banală: înlocuind toate necunoscutele cu $0$ , fiecare membru stâng devine $0$ , iar membrul drept este tot $0$ . Așadar el nu poate fi incompatibil niciodată, iar întrebarea interesantă devine: are și alte soluții? Uneori are, și se vede cu ochiul liber de ce. La sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - 2 z = 0 3 x - 2 y = 0 4 x - 2 z = 0$

adună primele două ecuații: obții exact a treia, deci ea nu aduce nimic nou. Rămân două condiții pentru trei necunoscute, iar tripletul $(2, 3, 4)$ le îndeplinește, fiindcă $2 + 6 - 8 = 0$ și $6 - 6 = 0$ ; controlul pe a treia dă $8 - 8 = 0$ . Avem o soluție nebanală, deci, după §3, o infinitate. Semnalul folosit aici — o ecuație care se obține din celelalte — este cel mai ieftin indiciu că un sistem nu are soluție unică.

5. Cum se citește incompatibilitatea direct din ecuații?

Există o situație în care răspunsul se vede fără niciun calcul. Privește sistemul

${x + 3 y - z = 2 2 x + 6 y - 2 z = 7$

Membrul stâng al ecuației a doua este exact dublul celui din prima. Dacă un grup de numere ar verifica prima ecuație, dublul expresiei ar fi $4$ ; dar a doua ecuație cere ca aceeași expresie să fie $7$ . Aceeași cantitate nu poate valora și $4$ , și $7$ , așa că niciun grup de numere nu verifică sistemul: el este incompatibil.

Schimbă acum un singur număr: pune $4$ în locul lui $7$ . A doua ecuație devine prima înmulțită cu $2$ , deci rămâne o singură condiție pentru trei necunoscute — un sistem compatibil nedeterminat. Granița e subțire: membrii stângi proporționali hotărăsc că sistemul nu poate fi determinat, iar termenii liberi hotărăsc apoi între incompatibil și nedeterminat. Metoda funcționează însă numai când proporționalitatea sare în ochi; pentru restul cazurilor capitolul construiește un instrument care le tratează pe toate deodată.

6. Ce aduce nou plafonul de patru necunoscute?

Programa de la științe ale naturii permite acum și sisteme cu patru ecuații și patru necunoscute. Scrierea nu se schimbă: tot $A X = B$ , doar că $A$ are patru linii și patru coloane. Ia, de pildă, sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z + t = 12 2 x - y + z + 3 t = 15 x + 2 y - z + t = 9 3 x + y + 2 z - t = 14$

Sistemul este pătratic, deci matricea lui are determinant, iar acesta rămâne primul număr pe care merită să-l calculezi — reflexul fixat la metoda lui Cramer. Ce se schimbă este cum se calculează: la ordinul $4$ regula lui Sarrus nu mai are nicio valabilitate, iar determinantul se obține prin dezvoltare după o linie sau o coloană. Rezolvarea propriu-zisă, cu organizarea celor cinci determinanți de care are nevoie, este subiectul lecției următoare: Cramer la sisteme cu patru necunoscute. Reține și unde se oprește programa: cel mult patru; metoda lui Gauss, prin care se rezolvă sistemele mari, nu face parte din programa de științe ale naturii — nici din cea nouă, nici din cea de examen.

7. Ce spune clasificarea despre o problemă din științe?

Cele trei nume au fiecare o citire limpede în laborator. Compatibil determinat: măsurătorile sunt exact atâtea câte trebuie, fiecare mărime iese cu o singură valoare, experimentul e bine pus. Compatibil nedeterminat: ai măsurat mai puțin decât credeai, fiindcă una dintre determinări se obține din celelalte; rezultatul nu e o valoare, ci o familie de valori, iar asta e semnul că mai ai de făcut o măsurătoare, de alt fel. Incompatibil: datele se contrazic — fie o citire e greșită, fie modelul liniar nu descrie corect fenomenul.

Mai e ceva ce matematica singură nu vede: contextul adaugă condiții pe care ecuațiile nu le conțin — o grosime, o masă sau o concentrație nu pot ieși negative. Dacă soluția matematică le încalcă, problema fizică nu are răspuns, deși sistemul are.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea elementelor unui sistem

Se consideră sistemul $2 x - y + 3 z + t = 5$ , $x + 4 y - z + 2 t = 11$ , $3 x + y + z - t = 6$ . Precizați $m$ și $n$ , scrieți matricea sistemului și indicați numerele $a_{23}$ , $a_{34}$ și $b_{3}$ .

Rezolvare. Sunt trei ecuații și patru necunoscute, deci $m = 3$ și $n = 4$ . Coeficienții se citesc pe linii:

$A = 213 - 1 41 3 - 1 1 12 - 1 .$

Numărul $a_{23}$ stă pe linia a doua, coloana a treia, deci $a_{23} = - 1$ ; la fel $a_{34} = - 1$ , coeficientul lui $t$ din ecuația a treia, iar $b_{3} = 6$ . Semnul face parte din coeficient.

Exemplul 2 — Un sistem cu mai puține ecuații decât necunoscute

Scrieți sub forma $A X = B$ sistemul $4 x - 3 z = 1$ , $x + 5 y + 2 z = 8$ și precizați formatul fiecăreia dintre cele trei matrice.

Rezolvare. În prima ecuație lipsește $y$ , deci pe locul lui se scrie $0$ :

$A = (4105 - 3 2), X = x y z, B = (18) .$

Formatele: $A$ este de tip $2 \times 3$ , $X$ de tip $3 \times 1$ , iar $B$ de tip $2 \times 1$ . Numărul de coloane ale lui $A$ coincide cu numărul de linii ale lui $X$ , deci produsul $A X$ se poate efectua. Matricea sistemului nu este pătratică, deci nu are determinant.

Exemplul 3 — Trei sisteme, trei situații

Stabiliți tipul de compatibilitate pentru fiecare dintre sistemele: (a) $x + 5 y = 7$ , $3 x - 4 y = 2$ ; (b) $x - 3 y + 2 z = 3$ , $2 x - 6 y + 4 z = 7$ ; (c) $2 y + z = 7$ , $3 x - 2 y + 2 z = 5$ .

Rezolvare. (a) Sistemul e pătratic, cu $det A = 1 \cdot (- 4) - 5 \cdot 3 = - 19 \neq = 0$ , deci compatibil determinat; perechea $(2, 1)$ îl verifică, fiindcă $2 + 5 = 7$ și $6 - 4 = 2$ .

(b) Membrul stâng al ecuației a doua este dublul celui din prima, iar dublul lui $3$ este $6$ , nu $7$ . Sistemul este incompatibil.

(c) Două ecuații pentru trei necunoscute. Tripletul $(1, 2, 3)$ le verifică: $4 + 3 = 7$ și $3 - 4 + 6 = 5$ ; la fel $(3, 3, 1)$ : $6 + 1 = 7$ și $9 - 6 + 2 = 5$ . Două soluții deosebite, deci sistemul este compatibil nedeterminat.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev cercetează sistemul omogen $x - y - z = 0$ , $2 x + 4 y - 5 z = 0$ , $3 x + 3 y - 6 z = 0$ . El calculează corect determinantul matricei sistemului și obține $0$ , apoi scrie: „determinantul fiind nul, sistemul nu are soluții". Găsiți greșeala și arătați ce se întâmplă de fapt.

Rezolvare. Greșeala nu este de calcul: determinantul chiar este nul, fiindcă a treia linie este suma primelor două. Greșită este concluzia. Un determinant nul spune doar că sistemul nu are soluție unică, nu că nu are soluții; iar aici sistemul este omogen, deci soluția banală $(0, 0, 0)$ îl verifică oricum. Mai mult, tripletul $(3, 1, 2)$ îl verifică și el: $3 - 1 - 2 = 0$ , apoi $6 + 4 - 10 = 0$ și $9 + 3 - 12 = 0$ . Având două soluții deosebite, sistemul este compatibil nedeterminat. Reține deosebirea de formulare, fiindcă ea schimbă răspunsul: „determinant nul" înseamnă „fără soluție unică".

Exemplul 5 — Trei straturi ale unui geam termoizolant

Un geam termoizolant este format din trei straturi lipite: sticlă, spațiu cu gaz, sticlă. Tehnicianul nu poate măsura fiecare strat separat, dar măsoară grosimea pachetului întreg, $24$ mm, grosimea primelor două straturi, $16$ mm, și grosimea primului împreună cu al treilea, $18$ mm. Aflați grosimea fiecărui strat.

Rezolvare. Notăm cu $x$ , $y$ , $z$ grosimile celor trei straturi, în milimetri, în ordinea așezării. Cele trei măsurători dau sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 24 x + y = 16 x + z = 18$

Scăzând a doua ecuație din prima obținem $z = 8$ ; scăzând a treia din prima obținem $y = 6$ ; din a doua rezultă apoi $x = 10$ . Verificare: $10 + 6 + 8 = 24$ mm, $10 + 6 = 16$ mm, $10 + 8 = 18$ mm. Sistemul este pătratic, iar $det A = - 1 \neq = 0$ , deci cele trei măsurători sunt de ajuns: nu există altă repartizare a grosimilor care să dea aceleași citiri. Toate grosimile au ieșit pozitive, cum trebuie; una negativă ar fi însemnat o măsurătoare notată greșit, nu un strat cu „grosime minus".

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $2 x + y - 2 z = - 2$ , $x + 3 y + 2 z = 24$ , $3 x - y + z = 7$ .

a) Scrieți matricea $A$ a sistemului și matricea $B$ a termenilor liberi.

b) Verificați că tripletul $(2, 4, 5)$ este soluție a sistemului.

c) Știind că $det A = 35$ , precizați tipul de compatibilitate al sistemului.

Rezolvare. a) Coeficienții, pe linii, în ordinea $x$ , $y$ , $z$ :

$A = 213 13 - 1 - 2 21, B = - 2 247 .$

b) Înlocuim $x = 2$ , $y = 4$ , $z = 5$ : $4 + 4 - 10 = - 2$ ; $2 + 12 + 10 = 24$ ; $6 - 4 + 5 = 7$ . Toate trei egalitățile sunt adevărate, deci tripletul este soluție.

c) Sistemul este pătratic și are $det A = 35 \neq = 0$ , deci are soluție unică: este compatibil determinat. Cum la punctul b) am găsit deja o soluție, ea este chiar singura.

De la examen la lecție. Înlănțuirea aceasta — matricele, o verificare prin înlocuire, apoi concluzia despre numărul soluțiilor — urmează structura primei probleme a Subiectului al II-lea din modelul oficial publicat pentru proba actuală: trei cerințe legate între ele. Punctul b) se rezolvă prin înlocuire directă, nu prin rezolvarea sistemului.

Să exersăm

1. Pentru sistemul $3 x + 2 y - z = 7$ , $x - y + 4 z = 2$ , precizează câte ecuații și câte necunoscute are, ce format are matricea sistemului și dacă aceasta are determinant.

2. Scrie matricea sistemului $5 x - 2 y + z = 4$ , $3 y - z = 1$ , $x + y = 6$ și precizează numerele $a_{12}$ , $a_{23}$ și $a_{31}$ .

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Scrie sub forma $A X = B$ sistemul $x + 2 y - z + 3 t = 9$ , $2 x - y + z - t = 1$ , $x + y + 2 z + t = 12$ și precizează formatul matricei $A$ .

4. Verifică dacă tripletul $(3, - 1, 2)$ este soluție a sistemului $2 x + 3 y - 2 z = - 1$ , $x - y + 4 z = 12$ , $4 x + y + z = 13$ .

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Verifică dacă grupul de numere $(1, 2, - 1, 3)$ este soluție a sistemului cu patru necunoscute $x + y + z + t = 5$ , $2 x - y + 3 z - t = - 6$ , $x + 2 y - z + 2 t = 12$ , $3 x + y + z + t = 8$ .

6. Stabilește tipul de compatibilitate al sistemului $5 x - 2 y = 4$ , $- 15 x + 6 y = - 12$ și scrie trei soluții ale lui, dacă are.

7. Stabilește tipul de compatibilitate al sistemului $4 x + y = 7$ , $8 x + 2 y = 15$ , fără să calculezi niciun determinant.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem liniar care are mai multe necunoscute decât ecuații nu poate fi incompatibil."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem omogen cu patru ecuații și trei necunoscute are întotdeauna cel puțin o soluție."

10. Arată că sistemul omogen $x + y - z = 0$ , $2 x - 4 y = 0$ , $3 x - 3 y - z = 0$ are și soluții nebanale, găsind una dintre ele.

11. Un sistem liniar cu trei necunoscute are printre soluțiile lui tripletele $(2, - 1, 4)$ și $(6, 3, 0)$ . Scrie încă două soluții ale sistemului și spune ce tip de compatibilitate are.

12. (Problemă aplicată.) Pe o conductă cu trei tronsoane sunt montate trei manometre, iar $x$ , $y$ , $z$ sunt căderile de presiune, în kPa. Primul indică $x + y = 18$ , al doilea $y + z = 25$ , al treilea o cădere combinată, $x + 2 y + z = 43$ . Arată că a treia citire nu aduce nicio informație nouă și scrie două repartiții posibile ale celor trei căderi.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $2 x + y + z = 8$ , $2 x - 3 y + z = - 4$ , $x + 4 y - 2 z = 7$ . a) Scrie matricea $A$ a sistemului. b) Verifică dacă tripletul $(1, 3, 3)$ este soluție. c) Știind că $det A = 20$ , precizează tipul de compatibilitate.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $3 x + 2 y - z = 8$ , $x - 4 y + 2 z = - 9$ , $2 x + y + 3 z = 15$ . a) Scrie matricele $A$ și $B$ . b) Arată că tripletul $(1, 4, 3)$ este soluție. c) Câte soluții are sistemul, dacă $det A = - 49$ ?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul $x + y + z + t = 10$ , $x - y + 2 z - t = 6$ , $2 x + y - z + t = 4$ , $x + 2 y + z - 2 t = 2$ . a) Scrie matricea $A$ și precizează ordinul ei. b) Verifică dacă grupul $(2, 1, 4, 3)$ este soluție.

16. Arată că sistemul omogen $2 x - y + 4 z = 0$ , $x + 3 y - 2 z = 0$ , $3 x + y + z = 0$ are numai soluția banală, știind că determinantul matricei lui este $- 15$ .

17. La un sistem pătratic cu trei necunoscute se știe că $det A = 0$ și că tripletul $(2, 1, - 1)$ este soluție. Ce poți afirma sigur despre numărul soluțiilor și ce nu poți decide încă?

18. (Provocare.) Arată că sistemul $x + y = p$ , $y + 2 z = q$ , $x - z = r$ are soluție unică oricare ar fi numerele reale $p$ , $q$ , $r$ și scrie soluția în funcție de ele.

Răspunsuri și explicații

1. Două ecuații, trei necunoscute; matricea sistemului este de tip $2 \times 3$ . Nefiind pătratică, nu are determinant, iar sistemul nu este pătratic.

2. $A = 501 - 2 31 1 - 1 0$ , cu $a_{12} = - 2$ , $a_{23} = - 1$ și $a_{31} = 1$ . Zerourile marchează necunoscutele absente: $x$ din a doua ecuație și $z$ din a treia.

3. $A = 121 2 - 1 1 - 1 12 3 - 1 1$ , $X$ este coloana cu $x$ , $y$ , $z$ , $t$ , iar $B$ este coloana cu $9$ , $1$ , $12$ . Matricea $A$ este de tip $3 \times 4$ , deci dreptunghiulară.

4. Da. Înlocuim: $6 - 3 - 4 = - 1$ ; apoi $3 + 1 + 8 = 12$ ; apoi $12 - 1 + 2 = 13$ . Toate trei egalitățile sunt adevărate.

5. Nu. Primele trei se verifică: $1 + 2 - 1 + 3 = 5$ ; $2 - 2 - 3 - 3 = - 6$ ; $1 + 4 + 1 + 6 = 12$ . A patra însă dă $3 + 2 - 1 + 3 = 7$ , iar termenul liber este $8$ ; o singură ecuație neverificată e de ajuns ca grupul să nu fie soluție.

6. A doua ecuație este prima înmulțită cu $- 3$ , inclusiv termenul liber, deci nu aduce nicio condiție nouă: sistemul este compatibil nedeterminat. Trei soluții: $(2, 3)$ , pentru că $10 - 6 = 4$ ; $(0, - 2)$ , pentru că $0 + 4 = 4$ ; $(4, 8)$ , pentru că $20 - 16 = 4$ .

7. Scade din ecuația a doua prima ecuație înmulțită cu $2$ : în stânga rămâne $0$ , iar în dreapta $15 - 14 = 1$ . Egalitatea $0 = 1$ este falsă pentru orice pereche de numere, deci sistemul este incompatibil — concluzie obținută fără niciun determinant, cum cerea enunțul.

8. Fals. Contraexemplu: $2 x + y + 3 z = 1$ , $4 x + 2 y + 6 z = 5$ are trei necunoscute și două ecuații, dar membrul stâng al ecuației a doua este dublul primului, iar $2 \cdot 1 = 2 \neq = 5$ . Numărul necunoscutelor nu garantează existența soluțiilor.

9. Adevărat. Sistemul fiind omogen, tripletul $(0, 0, 0)$ îl verifică: fiecare membru stâng devine $0$ , iar toți termenii liberi sunt $0$ . Numărul ecuațiilor nu are importanță.

10. Adunând primele două ecuații obținem $3 x - 3 y - z = 0$ , adică exact a treia: ea nu aduce nimic nou. Tripletul $(2, 1, 3)$ verifică toate ecuațiile: $2 + 1 - 3 = 0$ , $4 - 4 = 0$ și $6 - 3 - 3 = 0$ . Fiind nebanală, sistemul are o infinitate de soluții.

11. Folosim construcția din §3, cu $s$ real: componentele sunt $2 + 4 s$ , $- 1 + 4 s$ și $4 - 4 s$ . Pentru $s = 2$ obținem $(10, 7, - 4)$ , pentru $s = - 1$ obținem $(- 2, - 5, 8)$ . Sistemul e compatibil nedeterminat.

12. Sistemul este $x + y = 18$ , $y + z = 25$ , $x + 2 y + z = 43$ . Adunând primele două ecuații obținem exact a treia citire: al treilea manometru confirmă ce știam, fără să adauge o condiție. Două repartiții posibile: $(15, 3, 22)$ , pentru că $15 + 3 = 18$ și $3 + 22 = 25$ kPa; și $(13, 5, 20)$ , pentru că $13 + 5 = 18$ și $5 + 20 = 25$ kPa. Amândouă dau la a treia citire $43$ kPa. Practic: pentru a afla cele trei căderi e nevoie de o măsurătoare de alt fel, nu de încă una combinată.

13. a) $A = 221 1 - 3 4 11 - 2$ . b) Da: $2 + 3 + 3 = 8$ ; $2 - 9 + 3 = - 4$ ; $1 + 12 - 6 = 7$ . c) Sistemul este pătratic și $det A = 20 \neq = 0$ , deci este compatibil determinat, iar tripletul de la b) este unica lui soluție.

14. a) $A = 312 2 - 4 1 - 1 23$ și $B = 8 - 9 15$ . b) $3 + 8 - 3 = 8$ ; $1 - 16 + 6 = - 9$ ; $2 + 4 + 9 = 15$ . c) Cum $det A = - 49 \neq = 0$ , sistemul are exact o soluție, deci este compatibil determinat; acea soluție este chiar $(1, 4, 3)$ .

15. a) $A = 1121 1 - 1 12 12 - 1 1 1 - 1 1 - 2$ , pătratică de ordinul $4$ . b) Da: $2 + 1 + 4 + 3 = 10$ ; $2 - 1 + 8 - 3 = 6$ ; $4 + 1 - 4 + 3 = 4$ ; $2 + 2 + 4 - 6 = 2$ .

16. Tripletul $(0, 0, 0)$ este soluție, sistemul fiind omogen. Cum el este pătratic și $det A = - 15 \neq = 0$ , are soluție unică, deci singura lui soluție este cea banală.

17. Sigur: sistemul este compatibil, pentru că are cel puțin o soluție, cea din enunț, și nu are soluție unică, fiindcă $det A = 0$ . Cum numărul soluțiilor unui sistem liniar este $0$ , $1$ sau o infinitate, iar primele două variante sunt excluse, rămâne una singură: sistemul are o infinitate de soluții, deci este compatibil nedeterminat. Nu poți decide încă câte necunoscute rămân libere, lucru care se citește din rangul matricei, la compatibilitatea sistemelor.

18. Din ecuația a treia scoatem $x = r + z$ ; înlocuind în prima obținem $y = p - r - z$ , iar acest $y$ în a doua dă $p - r - z + 2 z = q$ , deci $z = q - p + r$ . Mai departe, $x = q - p + 2 r$ și $y = 2 p - q - 2 r$ . Toate trei au ieșit determinate de $p$ , $q$ , $r$ , fără nicio alegere pe drum, deci soluția este unică oricare ar fi cele trei numere. Controlul pe a doua ecuație: $(2 p - q - 2 r) + 2 (q - p + r) = q$ .

De reținut

Un sistem liniar are $m$ ecuații și $n$ necunoscute, cu $m \leq 4$ și $n \leq 4$ la profilul științe ale naturii; coeficientul $a_{ij}$ stă pe linia $i$ , coloana $j$ , iar coeficientul unei necunoscute absente este $0$ și se scrie.
Scrierea $A X = B$ funcționează pentru orice sistem liniar, nu doar pentru cele pătratice; matricea sistemului este de tip $m \times n$ , iar ea are determinant numai când $m = n$ .
Un sistem liniar are zero, una sau o infinitate de soluții — niciodată alt număr: din două soluții deosebite se fabrică o infinitate.
Un sistem omogen are întotdeauna soluția banală, deci nu poate fi incompatibil; întrebarea la el este dacă are și soluții nebanale.
Un determinant nul înseamnă „fără soluție unică", nu „fără soluții"; alegerea dintre incompatibil și nedeterminat se face cu rangul, la lecțiile următoare.

Greșeli frecvente

Numeri coloanele lui $A$ după ecuația cu cele mai multe necunoscute. Numărul de coloane este numărul necunoscutelor din sistem, iar necunoscuta absentă dintr-o ecuație își păstrează coloana, cu un $0$ pe ea. O coloană lipsă face ca produsul $A X$ să nici nu se mai poată efectua.
Tai o linie sau o coloană ca să faci tabloul pătratic. La un sistem cu trei ecuații și patru necunoscute, tentația este să arunci ultima coloană, ca să poți calcula un determinant. Tabloul obținut nu mai este matricea sistemului, iar determinantul lui nu spune nimic despre sistemul dat.
Citești „determinant nul" ca „sistem fără soluții". Sunt afirmații diferite, iar la un sistem omogen a doua este chiar imposibilă. Determinantul nul spune doar că soluția nu este unică.
Declari un sistem nedeterminat după ce ai găsit o soluție. O soluție arată doar că sistemul este compatibil. Ca să spui „o infinitate" îți mai trebuie ceva: două soluții deosebite, o ecuație care se obține din celelalte sau, la un sistem pătratic, un determinant nul.
Crezi că „mai multe ecuații" înseamnă „mai puține soluții". Un sistem cu patru ecuații poate avea o infinitate de soluții, dacă a patra ecuație se obține din celelalte, iar unul cu două ecuații poate să nu aibă niciuna. Numărul ecuațiilor nu hotărăște nimic singur; hotărăsc legăturile dintre ele.

Aplică acasă

Trei măsurători, un singur obiect. Ia trei cărți de grosimi diferite și o riglă. Măsoară grosimea primelor două puse împreună, a ultimelor două și a tuturor trei — fără să măsori vreodată o carte singură. Scrie sistemul, află cele trei grosimi și verifică apoi măsurând fiecare carte separat; notează cu cât diferă și de ce.
Sistemul care nu aduce nimic nou. Scrie două ecuații liniare cu trei necunoscute, apoi construiește o a treia adunându-le, și cere-i unui coleg să spună câte soluții are sistemul. Repetă schimbând numai termenul liber al ecuației a treia: tipul de compatibilitate se schimbă dintr-o singură cifră.
Vânătoarea de sisteme din manuale. Caută în manualul de fizică sau de chimie cinci probleme care duc la relații de gradul întâi între mărimi necunoscute. Pentru fiecare notează doar patru lucruri — câte ecuații, câte necunoscute, dacă sistemul e pătratic, dacă e omogen — fără să rezolvi niciuna.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei deprinderi măsurabile: dacă elevul trece corect de la ecuații la tablouri și înapoi, inclusiv când sistemul nu e pătratic; dacă folosește exact cele trei nume ale compatibilității; și dacă deosebește „determinantul este nul" de „sistemul nu are soluții". A treia e cea mai greu de prins, fiindcă greșeala nu se vede în calcul, ci în concluzie.

Dificultatea reală nu este aritmetica, ci trecerea de la „rezolv sistemul" la „spun ce fel de sistem este": până acum elevul a întâlnit aproape numai sisteme cu soluție unică, iar reflexul lui este să caute numere. Un exercițiu bun de acasă este să i se dea sisteme fără cerința de a le rezolva. Întrebări de control: „Câte coloane are matricea unui sistem cu două ecuații și patru necunoscute?"; „Când are sens întrebarea «cât este determinantul sistemului»?"; „Poate un sistem liniar să aibă exact trei soluții?"; „De ce un sistem omogen nu poate fi incompatibil?". Semne că a înțeles: în fața unui sistem cu o ecuație care este suma celorlalte spune imediat că soluția nu poate fi unică; nu mai confundă „compatibil nedeterminat" cu „nu se poate rezolva"; iar la un rezultat negativ într-o problemă cu mase sau grosimi se întoarce la enunț, nu la calcul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; tema este în domeniul Algebră, unitatea XII.1. Sisteme de ecuații liniare, la conținuturile „Forma generală a unui sistem de ecuații liniare" și „clasificarea sistemelor de ecuații liniare în funcție de numărul de soluții", cu nota „se vor studia sisteme de ecuații liniare cu cel mult 4 ecuații și cel mult 4 necunoscute". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; pentru ei, programa de examen (OMEN 4430/2014) cere tema la clasa a XI-a, cu plafonul de 3 necunoscute, în același capitol cu matricele și determinanții. De aceea exercițiile cu patru necunoscute din lecție sunt marcate separat: ele intră în probă abia din 2030, la MAT_P2. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, prima problemă a Subiectului al II-lea a fost una de calcul cu matrice și determinanți — forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Cele trei ore pe săptămână pe care se sprijină planificarea vin din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă sistemele liniare la M2 față de M1?

La științe ale naturii se studiază sisteme cu cel mult patru ecuații și patru necunoscute, cu metode care se sprijină pe determinanți și pe rang. La mate-info tema este în clasa a XI-a și merge mai departe, cu metoda lui Gauss: vezi, pentru comparație, Sisteme compatibile nedeterminate, la mate-info (M1). Gauss nu intră la acest profil nici în programa nouă, nici în cea de examen.

La ce subiect apar sistemele liniare la bacalaureatul M2?

La Subiectul al II-lea: matricele, determinanții, sistemele și polinoamele sunt capitolele de algebră ale programei de examen din 2014. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, prima problemă a acestui subiect cere un determinant, o ecuație matriceală și o demonstrație, pe o familie de matrice de ordinul al doilea cu parametru. În sesiunile 2027–2029 sistemele se dau cu cel mult trei necunoscute; plafonul de patru intră abia la MAT_P2, din 2030, în domeniul Algebră.

Câte necunoscute pot avea sistemele din programa nouă?

Cel mult patru, și tot cel mult patru ecuații: programa o spune explicit, printr-o notă atașată capitolului. Limitarea nu e arbitrară — la patru necunoscute calculele se mai pot duce până la capăt cu creionul, într-un timp rezonabil, în vreme ce de la cinci în sus devin nepractice.

Poate un sistem liniar să aibă exact două soluții?

Nu. Dacă are două soluții deosebite, are automat o infinitate: din ele se construiesc altele, luând componentele de forma „prima soluție plus $s$ ori diferența dintre cele două", iar argumentul merge pentru fiecare ecuație deodată. Numărul soluțiilor este $0$ , $1$ sau nemărginit, niciodată alt număr finit.

Ce este un sistem omogen și de ce contează?

Este un sistem în care toți termenii liberi sunt nuli. Contează pentru că are întotdeauna soluția banală, formată numai din zerouri, deci nu poate fi incompatibil. Sistemele omogene apar la condițiile de echilibru și de conservare, iar la ele întrebarea utilă nu este „are soluții?", ci „are și altele în afară de cea banală?".

Ce înseamnă că un sistem nu este pătratic?

Înseamnă că numărul ecuațiilor diferă de numărul necunoscutelor, deci matricea sistemului este dreptunghiulară. O matrice dreptunghiulară nu are determinant, așa că metodele care pornesc de la el nu i se pot aplica. Astfel de sisteme se tratează cu rangul, la lecțiile următoare.

Cum îmi dau seama repede că un sistem nu are soluție unică?

Caută o ecuație care se obține din celelalte: un multiplu al alteia sau suma a două dintre ele. Dacă o găsești, ea nu aduce nicio condiție nouă, iar sistemul nu poate fi determinat. Când membrii stângi se potrivesc, dar termenii liberi nu respectă aceeași proporție, sistemul este incompatibil; dacă o respectă, are o infinitate de soluții.