Cum fac proba la o cerință de la Subiectul I?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul I

Înlocuiești rezultatul găsit în enunțul inițial și verifici că egalitatea sau condiția se îndeplinește; nu refaci rezolvarea. Exemplu: pentru $lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x - 1) = 3$ , cu condiția $x > 1$ , se obține $x^{2} - 1 = 8$ , deci $x = 3$ . Proba: $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 2 = 2 + 1 = 3$ , iar $3 > 1$ . Valoarea $- 3$ , care încalcă condiția de existență, se respinge în scris. O probă de acest fel durează sub un minut.

Pe prima pagină nu se află nicio problemă, ci șase cerințe scurte, de câte cinci puncte, fiecare rezolvabilă fără celelalte cinci. Una nereușită nu blochează nimic, iar redactarea rămâne pe măsură: câteva rânduri, cu pașii la vedere, nu doar cu rezultatul.

Temele vin din anii anteriori de liceu, iar lecția le recapitulează pe poziții, așa cum apar în modelul oficial: numere complexe în formă algebrică, o funcție de gradul întâi, o ecuație cu logaritmi, o probabilitate, reperul cartezian în plan și trigonometria în triunghi. Ordinea de mai sus vine dintr-un singur model dat publicității, nu dintr-o regulă; ce se susține cu temei e doar că toate cele șase teme figurează în programa de examen din 2014.

Trei deprinderi hotărăsc rezultatul. Verbul enunțului decide redactarea: „Arătați că" oferă ținta și, o dată cu ea, proba; „Determinați" cere închiderea explicită a rezolvării. Condițiile de existență se scriu înaintea calculului — argument strict pozitiv la logaritmi, numitor nenul, expresie nenegativă sub radicalul de ordin par — și se folosesc la final ca filtru, iar valorile respinse se resping în scris, cu motivul. Proba se face înlocuind rezultatul în enunț, nu refăcând rezolvarea; la probabilități, cazurile favorabile și cele posibile se numără în același fel, iar raportul obținut stă între zero și unu.

De reținut

proba se face înlocuind rezultatul în enunț
înainte de calcul scrii condițiile de existență, apoi le folosești ca filtru
cazurile favorabile se numără după aceeași regulă ca și cele posibile

Greșeala tipică

La o ecuație cu logaritmi se păstrează ambele soluții ale ecuației de gradul al doilea; valoarea care încalcă condițiile de existență trebuie respinsă în scris.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră numărul complex $z = 2 - 7 i$ . Cât este $z \cdot \overline{z}$ ?
- a) $- 45$
- b) $45$
- c) $53$
- d) $53$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $53$

Conjugatul este $\overline{z} = 2 + 7 i$ , iar produsul unui număr complex cu conjugatul lui este $a^{2} + b^{2} = 4 + 49 = 53$ . Varianta a) folosește $a^{2} - b^{2}$ , adică partea reală a lui $z^{2}$ ; b) îi ia opusul; d) dă modulul lui $z$ , nu pătratul lui.
Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{3} (x - 2) + lo g_{3} (x + 6) = 2$ .
- a) $x \in {3, - 7}$
- b) $x = 3$
- c) $x = - 7$
- d) $x = 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 3$

Condițiile de existență cer $x > 2$ . Suma logaritmilor cu aceeași bază este logaritmul produsului, deci $(x - 2) (x + 6) = 3^{2} = 9$ , adică $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ , cu $Δ = 100$ și rădăcinile $3$ și $- 7$ . Condiția respinge motivat valoarea $- 7$ , deci singura soluție este $x = 3$ . Proba: $lo g_{3} 1 + lo g_{3} 9 = 0 + 2$ .
Se alege la întâmplare un număr din mulțimea ${10, 11, \dots, 29}$ . Care este probabilitatea ca suma cifrelor lui să fie egală cu $7$ ?
- a) $\frac{1}{20}$
- b) $\frac{3}{20}$
- c) $\frac{1}{5}$
- d) $\frac{1}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{10}$

Cazurile posibile sunt cele $20$ de numere ale mulțimii. Suma cifrelor este $7$ numai la $16$ și la $25$ , deci sunt două cazuri favorabile, iar probabilitatea este $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ . Variantele a), b) și c) corespund la unul, la trei, respectiv la patru cazuri favorabile, care nu se regăsesc în mulțime.

Întrebări conexe

Cum număr cazurile la o probabilitate de la Subiectul I?

Numeri posibilele și favorabilele în același fel. Alegând un număr din mulțimea ${1, 2, \dots, 30}$ , sunt $30$ de cazuri posibile, iar multiplii lui $4$ sunt $4$ , $8$ , …, $28$ , adică $7$ . Probabilitatea este $\frac{7}{30}$ , un număr între $0$ și $1$ .

De ce scriu condițiile de existență înainte de calcul?

Pentru că la final ele filtrează soluțiile. La $lo g_{3} (x - 4) + lo g_{3} (x + 4) = 2$ condiția este $x > 4$ ; ecuația $x^{2} - 16 = 9$ dă $x = 5$ și $x = - 5$ , iar a doua valoare se respinge. Fără condiția scrisă de la început, soluția falsă ar rămâne în răspuns.

Cum calculez modulul numărului complex $5 - 12 i$ ?

Modulul este $a^{2} + b^{2}$ , unde $a$ este partea reală și $b$ coeficientul lui $i$ : $25 + 144 = 169 = 13$ . Semnul minus al părții imaginare nu contează, fiindcă se ridică la pătrat.

Cum aflu punctul de pe axa $O y$ egal depărtat de $A (2, 4)$ și $B (6, 2)$ ?

Punctul are forma $C (0, c)$ , iar condiția $C A^{2} = C B^{2}$ dă $4 + (c - 4)^{2} = 36 + (c - 2)^{2}$ . Desfăcând, $- 8 c + 20 = - 4 c + 40$ , deci $c = - 5$ . Proba: $C A^{2} = 4 + 81 = 85$ și $C B^{2} = 36 + 49 = 85$ . Condiția se scrie cu pătratele distanțelor, ca să nu apară radicali.

Cum aflu aria unui triunghi din două laturi și unghiul dintre ele?

Folosești $\frac{1}{2} ab sin C$ . Pentru laturile $6$ și $8$ cu unghiul de $3 0^{\circ}$ între ele, aria este $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12$ . Formula cere unghiul cuprins între cele două laturi date, nu un unghi oarecare.

Oamenii mai întreabă și: proba la subiectul 1 bacalaureat · cum verific rezultatul la subiectul I · verificarea prin înlocuire în enunț · proba unei ecuații cu logaritmi