Subiectul I: cele șase cerințe scurte (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un laborant nu începe o analiză cu aparatul cel mai complicat, ci cu cele șase verificări scurte de pe fișa de control: densitatea, temperatura, pH-ul, masa probei, data etalonării, semnătura. Niciuna nu ia mai mult de două minute și niciuna nu depinde de celelalte, dar dacă una lipsește, toată analiza se refuză. Prima pagină a probei de matematică de la Bacalaureatul M2, cea pentru care te pregătești în clasa a XII-a, este construită exact așa: șase cerințe scurte, independente una de alta, fiecare de câte $5$ puncte. Ele nu formează o problemă, ci o listă de verificări — și tocmai de aceea se rezolvă una câte una, fără să depindă de restul foii.

Lecția aceasta de clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), le adună pe toate șase și le așază pe poziții, în ordinea în care apar pe foaie. Materia lor nu este din clasa a XII-a: vine din clasele a IX-a, a X-a și a XI-a, iar recapitularea ei se face aici, nu se predă din nou. La Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029, Subiectul I este primul dintre cele trei subiecte ale probei, iar programa de examen — cea din 2014 — cuprinde fiecare dintre temele de mai jos. Pentru generația care va da proba MAT_P2 în 2030, structura subiectelor nu a fost încă publicată, așa că despre numărul și ordinea cerințelor de atunci lecția nu spune nimic; ce intră și ce iese din materia de examen vezi în Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști tipul fiecărei cerințe de pe prima pagină și să spui, într-o singură propoziție, ce unealtă îți trebuie pentru ea.
Vei ști să deosebești o cerință „Arătați că" de una „Determinați" și să redactezi altfel fiecare dintre ele.
Vei ști să scrii condițiile de existență înainte de calcul la ecuațiile cu logaritmi și la orice expresie cu numitor.
Vei ști să faci proba unei cerințe scurte prin înlocuire în enunț, în mai puțin de un minut.
Vei ști să numeri corect cazurile favorabile și pe cele posibile, în același fel, la o cerință de probabilități.
Vei ști să începi cerințele de geometrie și de trigonometrie cu o figură și să citești din ea ce se cere.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, Subiectul I?

Începe de la o observație simplă: pe prima pagină nu există „problemă". Subiectul I este o listă de șase cerințe independente, de câte $5$ puncte fiecare, fiecare rezolvabilă complet fără să te uiți la celelalte cinci; nu are subpuncte legate, nu are un fir care să lege cerința a doua de prima și nu are variante de răspuns, fiindcă proba M2 nu este grilă. Consecința practică e mare: o cerință pe care n-o știi nu-ți blochează nimic.

A doua consecință ține de redactare: cerința fiind scurtă, și rezolvarea trebuie să fie scurtă — trei-patru rânduri, cu pașii scriși, nu doar cu rezultatul. Aici ne interesează numai prima pagină.

2. Ce stă pe cele șase poziții?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cele șase cerințe ale Subiectului I stau pe poziții distincte ca temă. Iată-le, în ordinea de pe foaie, descrise ca tip de cerință:

Poziția	Ce cere, în modelul oficial	Unealta
1	o egalitate de verificat cu numere complexe scrise în formă algebrică	operațiile cu $a + bi$
2	determinarea unui număr real dintr-o egalitate cu valori ale unor funcții de gradul întâi	înlocuirea în formula funcției
3	rezolvarea în mulțimea numerelor reale a unei ecuații cu logaritmi	proprietățile logaritmilor
4	o probabilitate pe o mulțime de numere descrisă printr-o condiție	raportul cazurilor
5	determinarea unor coordonate dintr-o condiție de mijloc comun	reperul cartezian în plan
6	o lungime dintr-un triunghi cu un unghi și o rază date	trigonometria în triunghi

Tabelul acesta descrie un singur model publicat, nu o regulă. Ce se poate spune cu temei este altceva, și e mai util: toate cele șase teme sunt în programa de examen din 2014, la domeniile Algebră, Geometrie și Elemente de trigonometrie. Cum se împarte materia pe cele trei subiecte se citește în Structura probei de Bacalaureat M2; materia clasei a XII-a stă la matrice și sisteme, la structuri și polinoame și la derivate și integrale.

3. „Arătați că" și „Determinați" — două cerințe, două redactări

Uită-te la verbul din enunț, fiindcă el îți spune ce ai de scris.

„Arătați că" îți dă ținta. Ai voie, deci, să pleci de la datele problemei și să ajungi la ea, sau să pleci de la ea și să cobori la o egalitate evident adevărată — dar drumul trebuie scris, nu doar capetele. Avantajul e că ai proba gratis: dacă nu ajungi exact la expresia din enunț, ai greșit undeva și știi imediat.

„Determinați" nu-ți dă ținta. Aici trebuie să închizi singur rezolvarea: scrii mulțimea soluțiilor, respingi motivat valorile care nu intră în domeniu și precizezi ce ai găsit. O valoare scrisă fără să arăți de unde vine e o rezolvare neterminată.

Al treilea verb, „Calculați", cere un număr scris în forma cea mai simplă: fracție ireductibilă, radical scos de sub radical, nu zecimale aproximative.

4. Unde se pierde o cerință întreagă: condițiile de existență

Cea mai costisitoare greșeală de pe prima pagină nu este de calcul, ci de domeniu. O ecuație cu logaritmi are sens numai acolo unde fiecare argument este strict pozitiv; o fracție, numai acolo unde numitorul nu se anulează; un radical de ordin par, numai acolo unde expresia de sub el este nenegativă. Dacă scrii condițiile înainte de calcul, ele devin un filtru prin care trece rezultatul la sfârșit. Dacă le scrii după, de multe ori nu le mai scrii deloc.

Tiparul de lucru are trei mișcări: notezi condițiile, rezolvezi ecuația fără să te mai gândești la ele, apoi confrunți fiecare rădăcină cu lista. Rădăcinile care nu trec sunt respinse în scris, cu motivul — nu șterse. Recapitulează, dacă ai nevoie, Ecuații logaritmice, unde tiparul e construit pas cu pas.

5. Cum faci proba unei cerințe scurte?

O cerință de $5$ puncte se verifică în mai puțin de un minut, dar nu refăcând calculul — refăcut la fel, un calcul greșit iese greșit a doua oară. Se verifică înlocuind rezultatul în enunț.

La o ecuație, pui valoarea găsită în ecuația inițială și te uiți dacă cele două părți sunt egale. La o cerință cu funcții, calculezi direct valoarea cerută cu formula dată. La una de geometrie analitică, verifici că punctul găsit satisface condiția din enunț. La una de probabilități, te uiți dacă numărul obținut este între $0$ și $1$ — favorabilele sunt o parte dintre posibile, deci un rezultat supraunitar arată sigur o greșeală de numărare. Proba prin înlocuire e singura care folosește enunțul, nu rezolvarea, și de aceea e singura care prinde erorile de transcriere.

6. Cum numeri corect la o cerință de probabilități?

Probabilitatea unui eveniment dintr-un experiment cu rezultate egal probabile este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Toată dificultatea stă în cuvântul același: cele două numărători trebuie făcute în același fel. Dacă numeri posibilele ca submulțimi, numeri și favorabilele ca submulțimi.

Nu orice numărare cere o formulă. Când se alege un singur element, iar condiția se verifică pe el, favorabilele se numără direct: așa e cerința de pe poziția a patra a modelului oficial, unde se caută numerele de două cifre cu produsul cifrelor dat. Formulele combinatoriale intră când se aleg mai multe elemente deodată: o comisie, o echipă, o extragere simultană nu au ordine, deci se numără cu combinări; un cod, un clasament au ordine, deci cu aranjamente. Tiparul complet e la Cazuri favorabile și cazuri posibile.

7. De ce începi cu figura la geometrie și la trigonometrie?

Fiindcă figura transformă o propoziție într-o configurație pe care o poți măsura cu ochiul. Un reper desenat din mână îți spune dacă abscisa căutată e pozitivă sau negativă înainte de orice calcul — iar dacă rezultatul iese cu semn contrar, știi că ai greșit pe drum.

La trigonometrie figura are un rol în plus: ea arată ce laturi și ce unghiuri sunt opuse. Într-un triunghi, fiecare latură are un singur unghi opus, iar teorema sinusurilor leagă exact perechile acestea; teorema cosinusului leagă un unghi de cele trei laturi. Care dintre ele se folosește se decide din datele problemei, nu din obișnuință.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Aici trebuie făcută o distincție de calendar, pentru că cele două generații de elevi dau examene diferite. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține rândurile pe care se sprijină toate cele șase poziții: „Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe", „Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor", „Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice", „evenimente, probabilitatea unui eveniment", „coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan" și „Calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris în triunghi".

Merită spus și cum arată proba, din sursa cea mai apropiată: modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte, iar Subiectul I are șase cerințe de câte $5$ puncte, fără subpuncte. Cerințele din lecție sunt construite pe temele din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Poziția 1: o împărțire de numere complexe

Temă reluată: Împărțirea numerelor complexe, în formatul unei cerințe de $5$ puncte. Se consideră $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ . a) Arată că $z = 1 + 2 i$ . b) Calculează $z + \overline{z}$ și $z \cdot \overline{z}$ .

Rezolvare. a) Împărțirea nu se face pe componente; se amplifică fracția cu conjugatul numitorului. Cum $\overline{1 - i} = 1 + i$ și $(1 - i) (1 + i) = 1 - i^{2} = 2$ , obținem $z = \frac{( 3 + i ) ( 1 + i )}{2} = \frac{3 + 3 i + i - 1}{2} = \frac{2 + 4 i}{2} = 1 + 2 i$ , adică exact ce trebuia arătat. b) Conjugatul este $\overline{z} = 1 - 2 i$ , deci $z + \overline{z} = 2$ și $z \cdot \overline{z} = 1 - (2 i)^{2} = 1 + 4 = 5$ . Ambele rezultate sunt numere reale — proba faptului că am conjugat corect.

Exemplul 2 — Poziția 2: o funcție de gradul întâi

Temă reluată: Funcția afină. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . a) Arată că $f (1) + f (2) = 0$ . b) Determină numărul real $a$ pentru care punctul $A (a, 5)$ aparține graficului funcției $f$ .

Rezolvare. a) Se înlocuiește direct: $f (1) = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$ și $f (2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ , deci suma lor este $0$ . b) Un punct aparține graficului exact atunci când ordonata lui este valoarea funcției în abscisă, adică $f (a) = 5$ . Rezolvăm $2 a - 3 = 5$ și obținem $a = 4$ . Proba: $f (4) = 8 - 3 = 5$ , deci $A (4, 5)$ chiar este pe grafic.

Exemplul 3 — Poziția 3: o ecuație cu logaritmi

Temă reluată: Ecuații logaritmice. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x + 7) = 4$ .

Rezolvare. Condițiile de existență se scriu primele: $x + 1 > 0$ și $x + 7 > 0$ , deci $x > - 1$ . Suma logaritmilor cu aceeași bază este logaritmul produsului, așa că ecuația devine $lo g_{2} ((x + 1) (x + 7)) = 4$ , adică $(x + 1) (x + 7) = 2^{4} = 16$ . Desfacem și obținem $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ , cu discriminantul $64 + 36 = 100$ și rădăcinile $x = 1$ și $x = - 9$ . Condiția $x > - 1$ respinge motivat valoarea $- 9$ , deci singura soluție este $x = 1$ . Proba: $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 8 = 1 + 3 = 4$ .

Exemplul 4 — Poziția 4: o probabilitate pe o mulțime de numere

Temă reluată: Probabilitatea unui eveniment. Se consideră mulțimea numerelor de două cifre distincte formate cu cifre din ${1, 2, 3, 4}$ . Se alege la întâmplare un număr din această mulțime. Calculează probabilitatea ca numărul ales să fie multiplu de $3$ .

Rezolvare. Cazurile posibile se numără direct: prima cifră în $4$ feluri, a doua în $3$ , deci $4 \cdot 3 = 12$ numere. Un număr e multiplu de $3$ când suma cifrelor lui e multiplu de $3$ ; din ${1, 2, 3, 4}$ perechile potrivite sunt ${1, 2}$ și ${2, 4}$ , fiecare în două ordini, deci favorabilele sunt $12$ , $21$ , $24$ și $42$ . Probabilitatea este $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ . Nicio combinare și niciun aranjament: se alege un singur număr, iar condiția se verifică pe cifrele lui.

Exemplul 5 — Poziția 5: mijloc și simetric în reperul cartezian

Temă reluată: coordonatele mijlocului unui segment. Se consideră punctele $A (2, - 3)$ și $B (6, 5)$ . a) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $[A B]$ . b) Determină coordonatele punctului $C$ , simetricul lui $A$ față de $B$ .

Rezolvare. a) Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $x_{M} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ și $y_{M} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$ , deci $M (4, 1)$ . b) „Simetricul lui $A$ față de $B$ " înseamnă că $B$ este mijlocul segmentului $[A C]$ . Scriem deci $\frac{2 + x _{C}}{2} = 6$ și $\frac{- 3 + y _{C}}{2} = 5$ , de unde $x_{C} = 10$ și $y_{C} = 13$ , adică $C (10, 13)$ . Proba: mijlocul lui $[A C]$ are coordonatele $\frac{2 + 10}{2} = 6$ și $\frac{- 3 + 13}{2} = 5$ , adică chiar $B$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Temă reluată: Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris. În triunghiul $A B C$ , $A B = 3$ , $A C = 5$ și $B C = 7$ . a) Arată că $m (∠ A) = 12 0^{\circ}$ . b) Calculează raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ .

Rezolvare. a) Se cunosc toate trei laturile, deci se folosește teorema cosinusului pentru unghiul $A$ , opus laturii $B C$ . Cu notațiile obișnuite $a = 7$ , $b = 5$ , $c = 3$ , avem $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{- 15}{30} = - \frac{1}{2}$ . Un cosinus negativ arată un unghi obtuz, iar valoarea $- \frac{1}{2}$ îi corespunde lui $12 0^{\circ}$ . b) Acum avem o latură și unghiul ei opus, deci se folosește teorema sinusurilor: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ . Cum $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , obținem $2 R = \frac{7}{\frac{3}{2}} = \frac{14}{3}$ , deci $R = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}$ . Numitorul se raționalizează, fiindcă răspunsul se scrie fără radical la numitor.

Să exersăm

Cele optsprezece cerințe de mai jos reiau teme din lecțiile claselor a IX-a și a X-a, indicate lângă fiecare cerință, și urmează ordinea celor șase poziții ale Subiectului I; exercițiul 5, cu relațiile lui Viète, adaugă o temă din programa de examen care nu apare în modelul acesta.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Temă reluată: Înmulțirea numerelor complexe și puterile lui $i$ . Se consideră $z = 1 - i$ . a) Arată că $z^{2} = - 2 i$ . b) Calculează $z^{10}$ .

2. Temă reluată: Împărțirea numerelor complexe. Rezolvă în $C$ ecuația $(2 + i) z = 5 + 5 i$ .

3. Temă reluată: Modulul unui număr complex. Determină $m$ real pentru care $∣ m + 4 i ∣ = 5$ .

4. Temă reluată: Funcția afină. Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât funcția $f (x) = a x + b$ să verifice $f (- 2) = 7$ și $f (3) = - 3$ .

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Temă reluată: Relațiile lui Viète. Se consideră ecuația $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ , cu rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ . Calculează $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ , $(x_{1} - x_{2})^{2}$ și $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ .

6. Temă reluată: Funcția afină. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = (m - 2) x + 3$ , unde $m$ este un parametru real. a) Pentru ce valori ale lui $m$ funcția este de gradul întâi? b) Determină $m$ astfel încât graficul să treacă prin punctul $(1, 6)$ .

7. Temă reluată: Ecuații exponențiale elementare. Rezolvă $3^{x + 2} - 3^{x} = 72$ .

8. Temă reluată: Ecuații logaritmice. Rezolvă ecuația $lo g_{4} x + lo g_{4} (x - 3) = 1$ .

9. Temă reluată: Ecuații logaritmice. Rezolvă ecuația $l g (x + 1) - l g (x - 1) = l g 3$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) Temă reluată: Probabilitatea unui eveniment. „Dacă un eveniment are probabilitatea $0, 9$ , atunci el se va produce sigur."

11. Temă reluată: Probabilitatea unui eveniment. Se alege la întâmplare un număr din mulțimea ${1, 2, \dots, 20}$ . Care este probabilitatea ca el să fie multiplu de $3$ ? Dar pătrat perfect?

12. (Problemă aplicată.) Temă reluată: Cazuri favorabile și cazuri posibile. Într-un lot de $12$ becuri, $3$ sunt defecte. Se aleg simultan $2$ becuri pentru verificare. Care este probabilitatea ca ambele să fie bune?

13. Temă reluată: coordonatele mijlocului unui segment. Determină simetricul punctului $A (3, - 2)$ față de punctul $P (1, 1)$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Temă reluată: distanța dintre două puncte în plan. Se consideră punctele $A (1, 3)$ și $B (5, 1)$ . a) Calculează lungimea segmentului $[A B]$ . b) Determină coordonatele punctului $C$ situat pe axa $O x$ , egal depărtat de $A$ și de $B$ .

15. Temă reluată: coliniaritatea a trei puncte. Determină $m \in R$ astfel încât punctele $A (m, 1)$ , $B (2, 3)$ și $C (5, 9)$ să fie coliniare.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Temă reluată: Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris. În triunghiul $A B C$ , $B C = 10$ și $m (∠ A) = 4 5^{\circ}$ . Calculează raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ .

17. Temă reluată: Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris. Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $4$ . Calculează latura triunghiului.

18. (Provocare.) Temă reluată: Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris. Folosind $a = 2 R sin A$ , arată că $a \leq 2 R$ pentru orice latură și că egalitatea are loc dacă și numai dacă unghiul opus este drept. Ce spune acest rezultat despre coardele unui cerc?

Răspunsuri și explicații

1. a) $z^{2} = (1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = - 2 i$ . b) Scriem $z^{10} = (z^{2})^{5} = (- 2 i)^{5} = - 32 \cdot i^{5}$ , iar $i^{5} = i$ , deci $z^{10} = - 32 i$ . Ridicarea la pătrat întâi scurtează mult calculul.

2. Împărțim: $z = \frac{5 + 5 i}{2 + i} = \frac{( 5 + 5 i ) ( 2 - i )}{5} = \frac{10 - 5 i + 10 i + 5}{5} = \frac{15 + 5 i}{5}$ , deci $z = 3 + i$ . Proba: $(2 + i) (3 + i) = 6 + 2 i + 3 i - 1 = 5 + 5 i$ .

3. Modulul este $m^{2} + 16$ , deci condiția devine $m^{2} + 16 = 25$ , adică $m^{2} = 9$ și $m = \pm 3$ . Ambele valori sunt bune: modulul nu deosebește semnul părții reale.

4. Din $f (- 2) = 7$ și $f (3) = - 3$ obținem sistemul $- 2 a + b = 7$ , $3 a + b = - 3$ . Scăzând, $5 a = - 10$ , deci $a = - 2$ și apoi $b = 3$ . Funcția este $f (x) = - 2 x + 3$ . Proba: $f (- 2) = 4 + 3 = 7$ .

5. Relațiile lui Viète dau $S = x_{1} + x_{2} = 5$ și $P = x_{1} x_{2} = 3$ . Atunci $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 25 - 6 = 19$ ; $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P = 25 - 12 = 13$ ; $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = S^{3} - 3 P S = 125 - 45 = 80$ . Niciuna dintre cele trei valori nu cere rezolvarea ecuației.

6. a) Funcția este de gradul întâi când coeficientul lui $x$ este nenul, adică $m - 2 \neq = 0$ , deci $m \neq = 2$ . b) Condiția $f (1) = 6$ înseamnă $m - 2 + 3 = 6$ , de unde $m = 5$ ; valoarea respectă și condiția de la a).

7. Dăm factor comun $3^{x}$ : $3^{x} (3^{2} - 1) = 72$ , adică $8 \cdot 3^{x} = 72$ și $3^{x} = 9$ , deci $x = 2$ . Proba: $3^{4} - 3^{2} = 81 - 9 = 72$ .

8. Condiții: $x > 0$ și $x - 3 > 0$ , deci $x > 3$ . Ecuația devine $lo g_{4} (x (x - 3)) = 1$ , adică $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , cu rădăcinile $4$ și $- 1$ . Condiția $x > 3$ respinge valoarea $- 1$ , deci $x = 4$ .

9. Condiții: $x + 1 > 0$ și $x - 1 > 0$ , deci $x > 1$ . Diferența logaritmilor este logaritmul câtului, deci $\frac{x + 1}{x - 1} = 3$ , de unde $x + 1 = 3 x - 3$ și $x = 2$ , valoare care trece de condiție.

10. Fals. Probabilitatea măsoară cât de des se produce evenimentul pe termen lung, nu dacă se produce într-o încercare anume. Singura valoare care garantează producerea este $1$ , adică evenimentul sigur. Un contraexemplu: la o urnă cu nouă bile albe și una neagră, probabilitatea de a extrage o bilă albă este $0, 9$ , dar bila neagră poate ieși chiar la prima extragere.

11. Cazurile posibile sunt $20$ . Multiplii de $3$ din mulțime sunt $3, 6, 9, 12, 15, 18$ , deci șase cazuri favorabile și probabilitatea $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ . Pătratele perfecte sunt $1, 4, 9, 16$ , deci patru cazuri și probabilitatea $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ .

12. Alegerea e simultană, deci numărăm cu combinări. Becuri bune sunt $12 - 3 = 9$ . Cazuri posibile: $C_{12}^{2} = 66$ ; cazuri favorabile: $C_{9}^{2} = 36$ . Probabilitatea este $\frac{36}{66} = \frac{6}{11}$ , adică puțin peste $0, 54$ — plauzibil, de vreme ce un sfert din lot e defect.

13. Simetricul $A^{'}$ verifică faptul că $P$ este mijlocul lui $[A A^{'}]$ : $\frac{3 + x}{2} = 1$ și $\frac{- 2 + y}{2} = 1$ , deci $x = - 1$ și $y = 4$ . Simetricul este $A^{'} (- 1, 4)$ .

14. a) $A B = (5 - 1)^{2} + (1 - 3)^{2} = 16 + 4 = 20 = 25$ . b) Punctul căutat are forma $C (c, 0)$ , iar condiția $C A = C B$ se scrie fără radicali: $(c - 1)^{2} + 9 = (c - 5)^{2} + 1$ . Desfăcând, $c^{2} - 2 c + 10 = c^{2} - 10 c + 26$ , deci $8 c = 16$ și $c = 2$ . Punctul este $C (2, 0)$ .

15. Trei puncte sunt coliniare când pantele a două dintre segmente coincid. Panta lui $B C$ este $\frac{9 - 3}{5 - 2} = 2$ , iar panta lui $A B$ este $\frac{3 - 1}{2 - m}$ . Egalitatea $\frac{2}{2 - m} = 2$ dă $2 - m = 1$ , deci $m = 1$ .

16. Teorema sinusurilor cu latura $B C$ și unghiul opus $A$ : $\frac{10}{sin 4 5 ^{\circ}} = 2 R$ . Cum $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , avem $2 R = \frac{20}{2} = 102$ , deci $R = 52$ .

17. Într-un triunghi echilateral fiecare unghi are $6 0^{\circ}$ , iar latura opusă se află din $a = 2 R sin A = 2 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 43$ . Aceeași valoare se obține și din formula $a = R 3$ , cunoscută de la cercul circumscris triunghiului echilateral.

18. Sinusul oricărui unghi de triunghi este cel mult $1$ , deci $a = 2 R sin A \leq 2 R$ pentru orice latură. Egalitatea are loc exact când $sin A = 1$ , adică $A = 9 0^{\circ}$ . Geometric, rezultatul spune că nicio coardă a unui cerc nu poate depăși diametrul, iar coarda care îl atinge este chiar diametrul — de unde și faptul că ipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului circumscris.

De reținut

Cele șase cerințe ale Subiectului I sunt independente și valorează la fel; una nerezolvată nu blochează nimic.
Verbul enunțului decide redactarea: „Arătați că" îți dă ținta și proba, „Determinați" îți cere să închizi tu rezolvarea.
Condițiile de existență se scriu înaintea calculului și se folosesc la sfârșit ca filtru; valorile respinse se resping în scris.
Proba unei cerințe scurte se face înlocuind în enunț, nu refăcând rezolvarea.
La probabilități, favorabilele și posibilele se numără în același fel; un rezultat care nu e între $0$ și $1$ arată că regula a fost încălcată.

Greșeli frecvente

Se insistă pe cerința care nu iese. Cele șase valorează la fel și sunt independente; un sfert de oră pierdut pe una ia timpul a două cerințe care s-ar fi rezolvat în cinci minute.
Se răspunde la o cerință „Determinați" doar cu valoarea. Cerința cere și drumul: un număr scris singur, fără egalitatea din care iese, este o rezolvare neterminată.
Se folosește teorema sinusurilor când se cunosc trei laturi. Teorema sinusurilor leagă o latură de unghiul ei opus, deci are nevoie de unul dintre ele; trei laturi cer teorema cosinusului.
Se confundă „simetricul lui $A$ față de $B$ " cu mijlocul lui $[A B]$ . În primul caz $B$ este mijlocul, în al doilea îl căutăm; condițiile pe care le scrii sunt diferite.
Se lasă radicalul la numitor. Un răspuns ca $\frac{7}{3}$ se raționalizează; forma finală este $\frac{7 3}{3}$ .

Aplică acasă

Alcătuiește-ți o fișă de o pagină cu cele șase poziții, iar în dreptul fiecăreia scrie două formule pe care te bazezi acolo. Ține fișa la vedere o săptămână și rezolvă zilnic câte o cerință fără s-o consulți; bifează pozițiile la care n-ai avut nevoie de ea.
Ia trei cerințe rezolvate de tine și verifică-le numai prin înlocuire în enunț, cronometrat. Notează cât a durat fiecare probă: dacă trece de un minut, înseamnă că verifici refăcând calculul, nu înlocuind.
Scrie, pentru cinci ecuații diferite (cu logaritmi, cu radicali, cu numitor), doar condițiile de existență. Apoi cere-i cuiva să le rezolve și compară: câte rădăcini cad în afara condițiilor tale?

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul recunoaște, dintr-o privire, tipul unei cerințe scurte și unealta care i se potrivește; dacă scrie condițiile de existență înainte de calcul și le folosește la final; și dacă face proba prin înlocuire în enunț, nu prin refacerea rezolvării. Sunt deprinderi de redactare, nu de calcul, și se formează exersând multe cerințe scurte, nu puține lungi.

Dificultatea reală a acestei părți nu este matematica — temele au fost învățate în anii anteriori de liceu —, ci dispersia: șase teme diferite, una după alta, fiecare cu vocabularul ei. Elevul care rezolvă bine când știe capitolul se poate bloca aici numai fiindcă nu-și dă seama despre ce capitol e vorba. Antrenamentul util este amestecarea: cerințe din capitole diferite, puse una lângă alta, fără titlu deasupra.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce se schimbă în rezolvare dacă enunțul spune «Arătați că» în loc de «Determinați»?", „Care sunt condițiile de existență aici și de ce le scrii acum?", „Cum verifici rezultatul fără să refaci calculul?", „De ce o probabilitate nu poate depăși $1$ ?". Semnele că a înțeles: începe cerințele de geometrie cu o figură, respinge în scris valorile care nu intră în domeniu și nu lasă radicali la numitor.

Programa și examenul. Lecția pregătește Subiectul I al probei E.c) Matematică M_șt-nat, susținută în sesiunile 2027, 2028 și 2029 după programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014); toate cele șase teme de mai sus se regăsesc în conținuturile acelei programe, la domeniile Algebră, Geometrie și Elemente de trigonometrie. Descrierea probei — trei ore, trei subiecte de câte $30$ de puncte, zece puncte din oficiu — este cea din modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026. Pentru generația care va susține proba MAT_P2 din 2030 (programa aprobată prin OMEC 5077/2026, construită pe anexa 28 a OMEC 6930/2025), structura subiectelor nu a fost încă publicată: se cunosc conținuturile evaluabile, organizate pe patru domenii, nu numărul cerințelor. Numerele complexe în formă algebrică, ecuațiile logaritmice, probabilitățile, distanța și mijlocul în reperul cartezian și trigonometria rămân în conținuturile din 2030; ce iese și ce intră în rest e descris în lecția despre MAT_P2. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Câte cerințe are Subiectul I și cât valorează fiecare?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul I are șase cerințe, fiecare de câte $5$ puncte, deci $30$ de puncte în total. Cerințele nu au subpuncte și sunt independente între ele: se pot rezolva în orice ordine, iar una nerezolvată nu împiedică rezolvarea celorlalte. Proba M2 nu este grilă, deci fiecare cerință se rezolvă scris.

Din ce clase vine materia Subiectului I?

Din clasele a IX-a, a X-a și a XI-a, în principal. Numerele complexe, logaritmii, metodele de numărare și probabilitățile sunt de clasa a X-a; funcțiile de gradul întâi și al doilea, reperul cartezian și trigonometria în triunghi, de clasa a IX-a și a X-a. Clasa a XII-a contribuie la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea, nu aici.

Cum se deosebește partea aceasta de Subiectul I de la mate-info (M1)?

La mate-info, aceleași tipuri de cerințe scurte sunt împărțite pe cinci lecții tematice, fiindcă programa M1 conține în plus forma trigonometrică a numerelor complexe, formula lui Moivre și progresiile. Pentru comparație, prima dintre ele: Subiectul I la mate-info (M1): numere reale, radicali, logaritmi, ecuații și inecuații. La M2 tot ce ține de prima pagină încape într-o singură lecție.

La ce subiect apare materia aceasta la Bacalaureatul M2?

Chiar la Subiectul I, primul dintre cele trei subiecte ale probei. Cerințele de calcul matriceal și de sisteme stau la Subiectul al II-lea: matrice și sisteme, iar cele de analiză matematică — derivate, primitive, integrale — la Subiectul al III-lea: derivate și integrale. Cele trei subiecte nu împart teme între ele.

Ce fac dacă nu-mi iese o cerință?

O lași și treci mai departe, fiindcă cerințele sunt independente. Este singura parte a probei unde abandonul nu costă nimic în plus: nu există subpuncte care să se sprijine pe rezultatul pierdut. Întoarce-te la ea după ce ai parcurs tot ce știi, cu mintea odihnită; de multe ori blocajul e o citire greșită a enunțului, nu o lipsă de cunoștințe.

Ce înseamnă că cele șase cerințe sunt „independente"?

Înseamnă că fiecare are datele ei complete în propriul enunț și că rezultatul uneia nu intră în rezolvarea alteia. Poți deci sări peste oricare fără să pierzi altceva decât cele $5$ puncte ale ei. La celelalte două subiecte lucrurile stau invers: enunțul se scrie o dată, deasupra, iar cele trei cerințe se sprijină pe el.

În ce ordine rezolv cele șase cerințe?

În orice ordine vrei, fiindcă sunt independente: cel mai bine, în ordinea în care le recunoști. Faci o primă trecere rezolvându-le pe cele pe care le vezi imediat și le lași pe celelalte pentru a doua trecere. Planul de timp al întregii probe e în Structura probei de Bacalaureat M2: celor șase cerințe le revin $45$ de minute din cele trei ore.