Se consideră $$A=\begin{pmatrix}11&3\\7&2\end{pmatrix}$$, cu $$\det A=1$$. Care este soluția ecuației $$AX=\begin{pmatrix}17&25\\11&16\end{pmatrix}$$?

$$\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}2&-3\\-7&11\end{pmatrix}$$

Cum aflu a din egalitatea A+aI₂=B?

Matricea aI₂ adaugă a doar pe diagonala principală. Pentru A= 1, 2; 0, 3 și B= 4, 2; 0, 6, ambele elemente de pe diagonală cresc cu 3, deci a=3, iar celelalte elemente coincid.

Cât este determinantul matricei aI₂?

Matricea aI₂ are a pe diagonală și zero în rest, deci determinantul este a· a-0=a². Pentru a=3 se obține 9; matricea este inversabilă exact când a≠0.

Pentru ce parametru nu e inversabilă o matrice?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Matrice și sisteme

O matrice pătratică nu este inversabilă exact când determinantul ei este zero, deci scrii determinantul cu parametrul și rezolvi ecuația. Exemplu: $A (x) = (x 2 3 x + 1)$ are $det A (x) = x (x + 1) - 6 = x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$ . Matricea nu este inversabilă pentru $x = - 3$ și $x = 2$ , iar pentru orice altă valoare reală are inversă. Proba în $x = 2$ : $2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 0$ .

Prima problemă a Subiectului al II-lea începe cu un obiect, nu cu o cerință: o matrice cu parametru, adică o familie de matrice de același format, ale cărei elemente sunt expresii într-o literă ce parcurge o mulțime precizată. Cele trei cerințe pornesc de la același text, tipărit o dată deasupra lor; ce se schimbă de la una la alta este valoarea dată literei, nu litera. De aceea, la fiecare subpunct se rescrie întâi matricea cu valoarea cerută acolo.

Cerința de pornire e un calcul scurt — un determinant, un produs, o verificare. La ordinul al doilea se scade produsul de pe cealaltă diagonală din cel de pe diagonala principală; calculul făcut cu litera în el arată în plus pentru ce valori determinantul se anulează. O egalitate între două matrice de același format înseamnă egalitatea tuturor elementelor corespunzătoare, iar scrierea $a I_{2}$ înseamnă numărul $a$ înmulțit cu matricea unitate. Când necunoscuta dintr-o egalitate este ea însăși o matrice, inversa se așază de aceeași parte pe care stă matricea cunoscută, iar verificarea se face prin înmulțirea înapoi.

A doua temă a subiectului sunt sistemele liniare, cerute în 2014 cu cel mult trei necunoscute și cu determinanți de ordin cel mult trei. Se calculează întâi $Δ$ , apoi ceilalți determinanți, iar valorile care îl anulează se cercetează separat. Rangul, determinantul de ordinul al patrulea și sistemul cu patru necunoscute intră în probă abia din 2030.

De reținut

matrice neinversabilă $⟺$ determinant nul
$A X = B$ : $X = A^{- 1} B$ ; $X A = B$ : $X = B A^{- 1}$
$a I_{2}$ are $a$ pe diagonală și $0$ în rest

Greșeala tipică

La fiecare subpunct se păstrează valoarea parametrului de la cel anterior; matricea se rescrie cu valoarea cerută chiar la subpunctul respectiv.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $B (x) = (x + 2 2 5 x - 1)$ , unde $x$ este număr real. Cât este $det (B (5))$ ?
- a) $18$
- b) $38$
- c) $- 18$
- d) $28$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $18$

Scriem întâi matricea: $B (5) = (7254)$ . Determinantul ei este $7 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 28 - 10 = 18$ . Varianta b) adună cele două produse; c) le scade în ordinea inversă; d) se oprește la produsul de pe diagonala principală.
Pentru ce valori reale ale lui $x$ matricea $B (x) = (x + 2 2 5 x - 1)$ nu este inversabilă?
- a) $x \in {- 3, 4}$
- b) $x \in {2, - 6}$
- c) $x = 12$
- d) $x \in {3, - 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x \in {3, - 4}$

Matricea nu e inversabilă exact când determinantul ei se anulează. Cu litera în el, $det (B (x)) = (x + 2) (x - 1) - 10 = x^{2} + x - 12$ , iar ecuația $x^{2} + x - 12 = 0$ are $Δ = 49$ și rădăcinile $3$ și $- 4$ . Varianta a) le schimbă semnele; b) rezolvă altă ecuație; c) confundă rădăcinile cu termenul liber.
Se consideră $A = (11732)$ , cu $det A = 1$ . Care este soluția ecuației $A X = (17112516)$ ?
- a) $(2112)$
- b) $(1221)$
- c) $(2121)$
- d) $(2 - 7 - 3 11)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(1221)$

Determinantul fiind nenul, matricea e inversabilă, iar necunoscuta stă la dreapta, deci $X = A^{- 1} B$ , cu $A^{- 1} = (2 - 7 - 3 11)$ . Produsul dă $(1221)$ , iar proba $A X$ reface membrul drept din enunț. Varianta d) e chiar inversa, nu soluția; a) și c) nu verifică proba.

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația $X A = B$ cu matrice de ordinul al doilea?

Necunoscuta stă la stânga, deci înmulțești la dreapta cu $A^{- 1}$ : $X = B A^{- 1}$ . Pentru $A = (1011)$ și $B = (2134)$ se obține $X = (2113)$ , iar proba $X A = B$ se face înmulțind. Ordinea contează: $A^{- 1} B$ ar da, în general, altă matrice.

Cum calculez pătratul unei matrice de ordinul al doilea?

Înmulțești matricea cu ea însăși, linie cu coloană, nu ridici fiecare element la pătrat. Pentru $A = (1324)$ , $A^{2} = (7151022)$ ; de exemplu, primul element este $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7$ . Ridicarea fiecărui element la pătrat ar da $(19416)$ , un rezultat greșit.

Cum aflu $a$ din egalitatea $A + a I_{2} = B$ ?

Matricea $a I_{2}$ adaugă $a$ doar pe diagonala principală. Pentru $A = (1023)$ și $B = (4026)$ , ambele elemente de pe diagonală cresc cu $3$ , deci $a = 3$ , iar celelalte elemente coincid.

Cum verific soluția unui sistem cu trei ecuații?

Înlocuiești tripletul în toate cele trei ecuații. Pentru $(1, 2, 3)$ și sistemul $x + y + z = 6$ , $2 x - y + z = 3$ , $x + 2 y - z = 2$ : $6 = 6$ , $2 - 2 + 3 = 3$ și $1 + 4 - 3 = 2$ . O singură ecuație neverificată arată o greșeală.

Cât este determinantul matricei $a I_{2}$ ?

Matricea $a I_{2}$ are $a$ pe diagonală și zero în rest, deci determinantul este $a \cdot a - 0 = a^{2}$ . Pentru $a = 3$ se obține $9$ ; matricea este inversabilă exact când $a \neq = 0$ .

Oamenii mai întreabă și: matrice cu parametru neinversabilă · când nu este inversabilă o matrice · determinant zero matrice cu parametru · valorile parametrului pentru care matricea e inversabilă