Subiectul al II-lea: matrice și sisteme (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Pe foaia de examen, prima problemă a Subiectului al II-lea ocupă mai puțin de zece rânduri, iar jumătate dintre ele sunt un tablou de numere în care apare o literă. Sub tablou stau trei cerințe scurte, a), b) și c), fiecare cu mențiunea $5$ p. Elevul care le citește ca pe trei exerciții fără legătură pierde tocmai lucrul care face problema rezolvabilă: toate trei se sprijină pe același enunț, scris o singură dată deasupra lor. Lecția aceasta, din unitatea de pregătire a clasei a XII-a de la științe ale naturii (M2), ia prima problemă bucată cu bucată și arată ce gest se face la fiecare dintre cele trei litere. Cât durează proba și cum se împart cele $30$ de puncte ale acestui subiect se citește în Structura probei de bacalaureat M2.

Despre materie, cinstit: la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029, programa de examen — cea din 2014 — conține rândurile „Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți", „Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți", „Ecuații matriceale", „Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar" și „Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare". Ce trece dincolo de ele — rangul unei matrice, determinantul de ordinul $4$ , sistemul cu patru necunoscute — nu se dă în acele trei sesiuni: acolo marcajul exercițiului este — MAT_P2 2030., iar schimbarea de plafoane e explicată în Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2.

Ce vei învăța

Vei ști să citești enunțul comun al unei probleme cu subpuncte: ce mulțime, ce literă, ce rămâne fix la toate cele trei cerințe.
Vei ști să rezolvi cerința a), calculul de pornire, și să recunoști când b) folosește ce ai obținut la a).
Vei ști să tratezi o egalitate între două matrice, citind-o element cu element, și să rezolvi o ecuație matriceală de tipul $A X = B$ sau $X A = B$ .
Vei ști ce cere verbul „Demonstrați" într-o cerință cu parametru întreg și de ce câteva verificări numerice nu țin loc de demonstrație.
Vei ști unde se oprește programa de examen din 2014 la sisteme și ce intră în probă abia din 2030.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, o matrice cu parametru?

Enunțul primei probleme nu începe cu o cerință, ci cu un obiect. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, obiectul acela nu e o matrice, ci o familie de matrice, scrisă cu o literă în interior.

Matricea cu parametru este o matrice ale cărei elemente sunt expresii ce depind de o literă — parametrul —, astfel încât fiecărei valori date literei îi corespunde o singură matrice numerică, toate matricele obținute au același format, iar litera parcurge o mulțime precizată în enunț.

Cele trei condiții aduc fiecare o informație. „O singură matrice numerică" spune că, punând $x = 6$ , obții un tablou de numere cu care lucrezi ca la clasa a XI-a. „Același format" spune că formatul se citește o dată și nu se mai schimbă. Iar mulțimea în care stă parametrul — în modelul oficial, numerele reale la primele două cerințe și numerele întregi la a treia — hotărăște ce înseamnă „pentru orice valoare".

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, sesiunea 2026, prima problemă a Subiectului al II-lea este construită exact așa: se dau $I_{2}$ și o matrice de tip $2 \times 2$ ale cărei elemente sunt expresii de gradul întâi într-un număr real, iar cele trei cerințe cer un determinant, o egalitate de matrice și o demonstrație. În acel model, prima problemă nu conține niciun sistem de ecuații; sistemele figurează însă în programa de examen din 2014, cu rândurile citate în deschidere, așa că lecția le tratează pe amândouă.

2. Ce se mișcă și ce stă pe loc în enunțul comun?

Ce stă pe loc: matricele scrise fără literă, cum e $I_{2}$ , și formatul. Ce se mișcă: parametrul. Ce se schimbă de la o cerință la alta: valoarea dată parametrului — și aici stă capcana, fiindcă litera rămâne aceeași, dar cerințele nu vorbesc despre același număr. La b) parametrul primește valoarea din condiția scrisă în b), la c) pe cea din condiția scrisă în c); una nu se transportă în cealaltă.

Deprinderea de redactare care iese de aici: la fiecare subpunct rescrii mai întâi matricea cu valoarea cerută acolo, ca rând de sine stătător, și abia apoi calculezi. O notă de citire, valabilă în toată lecția: litera $A$ nu numește aceeași matrice peste tot — fiecare problemă își are propriul $A$ , definit în enunțul ei, la fel cum $I_{2}$ înseamnă pretutindeni matricea unitate de ordinul al doilea.

3. Cerința a): calculul care nu cere nicio idee

Prima cerință cere un calcul scurt pe un caz particular: un determinant, un produs de două matrice, o verificare. La determinantul de ordinul al doilea, formula se scrie cu litere o singură dată. Pentru $(p r q s)$ avem $det = p s - q r$ : produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe cealaltă. Când în matrice apare un parametru, ordinea gesturilor poate fi oricare dintre două — înlocuiești întâi litera și calculezi determinantul unui tablou de numere, sau calculezi întâi determinantul ca expresie în literă și înlocuiești la sfârșit.

A doua cale aduce ceva în plus: din expresia obținută se citește pentru ce valori determinantul se anulează. Alege-o când vezi, în b) sau în c), o întrebare despre „toate valorile" parametrului; prima cale e mai scurtă când cerința dă o singură valoare.

4. Cum se citește o egalitate între două matrice?

A doua cerință a problemei din modelul oficial aduce o egalitate în care apar matrice de amândouă părțile. Regula de citire e una singură și se scrie o dată:

Două matrice de același format sunt egale exact când toate elementele lor corespunzătoare sunt egale.

Prin urmare, o egalitate între două matrice de tip $2 \times 2$ înseamnă patru egalități de numere, nu una. Cu o consecință care se uită des: o scriere de forma $a I_{2}$ nu înseamnă „o matrice cu toate elementele $a$ ", ci $(a 0 0 a)$ — produsul dintre numărul $a$ și matricea unitate.

Tot aici intră ecuațiile matriceale, adică egalitățile în care necunoscuta este ea însăși o matrice. Din $A X = B$ , cu $det A \neq = 0$ , se obține $X = A^{- 1} B$ , iar din $X A = B$ se obține $X = B A^{- 1}$ : inversa se pune de partea de care stătea $A$ , fiindcă înmulțirea matricelor nu e comutativă. Metoda completă e în Ecuații matriceale, de la clasa a XI-a.

Proba se face în ambele cazuri fără efort: înmulțești matricea găsită înapoi și trebuie să obții membrul drept din enunț — un rând care prinde orice greșeală de semn.

5. Ce cere verbul „Demonstrați" într-o cerință cu parametru?

Cerința c) desparte rezolvările. Ea nu cere un număr, ci o propoziție adevărată pentru toate valorile parametrului, iar diferența se vede în ce accepți ca răspuns: un tabel cu cinci valori verificate arată că propoziția e plauzibilă, nu că e adevărată.

Drumul are doi pași: calculezi cantitatea cerută cu litera în ea, până obții o expresie simplă, apoi citești din ea proprietatea. Când cerința spune „numărul este natural", ai de arătat două lucruri: că expresia e întreagă pentru orice valoare întreagă a literei și că e mai mare sau egală cu zero.

Al doilea lucru se citește dintr-o formă factorizată. Un tipar care merită ținut minte: produsul a două numere întregi consecutive nu poate fi negativ — dacă cel mai mic dintre ele e $k$ , produsul $k (k + 1)$ se anulează pentru $k = 0$ și $k = - 1$ , iar în rest amândoi factorii au același semn.

6. Sistemele: ce cere programa din 2014 și unde se oprește

A doua temă a acestui subiect sunt sistemele liniare. Programa de examen din 2014 le cere cu două plafoane scrise negru pe alb: „Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute" și „Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3". Sub ele, drumul e cel știut: scrii matricea sistemului, calculezi $Δ$ , iar dacă $Δ \neq = 0$ aplici metoda lui Cramer, cu $x = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{2}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{3}}{Δ}$ . Metoda e în Metoda lui Cramer; recunoașterea tipului de compatibilitate, în Sisteme liniare.

Ordinea gesturilor e fixă: întâi $Δ$ , apoi ceilalți determinanți. Dacă $Δ$ iese nul, calculele următoare nu mai au sens, iar sistemul se studiază altfel. Când în sistem apare un parametru, valorile care anulează $Δ$ se numesc critice și se cercetează separat, una câte una; pentru celelalte, sistemul are soluție unică. Greșeala de evitat — simplificarea unei fracții printr-o expresie care se poate anula — e lucrată la Reducerea la sistem Cramer și o reia Exemplul 5.

Peste plafoane rămân trei teme învățate anul acesta care nu se dau în sesiunile 2027–2029: rangul unei matrice, sistemele cu patru necunoscute și determinanții de ordinul $4$ . Ele intră în probă din 2030, la MAT_P2, și poartă în lecție marcajul — MAT_P2 2030..

7. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Aici trebuie făcută o distincție de calendar, pentru că cele două generații de elevi dau examene diferite. Pentru sesiunile 2027, 2028 și 2029 sursa este programa de examen din 2014, cu rândurile citate în deschidere: calcul matriceal, determinanți de ordin cel mult $3$ , ecuații matriceale, sisteme cu cel mult trei necunoscute, metoda lui Cramer.

Despre forma probei se poate spune ce se vede în sursa cea mai apropiată: modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo, Subiectul al II-lea valorează $30$ de puncte și are două probleme, fiecare cu trei cerințe de câte $5$ puncte. Prima problemă din acel model e construită pe matricea cu parametru descrisă la §1: a) cere un determinant, b) cere numărul real pentru care un produs de matrice e egal cu un multiplu al lui $I_{2}$ , iar c) cere demonstrarea faptului că un determinant construit din mai multe matrice ale familiei e număr natural, pentru orice valoare întreagă a parametrului. Cerințele din lecție sunt construite pe temele din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Un detaliu de ritm, util la antrenament: cele $55$ de minute pe care lecția despre structura probei le propune pentru tot Subiectul al II-lea se împart la șase cerințe, deci în jur de nouă minute de cerință. E o propunere de lucru pentru simulări, nu o cifră a examenului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Prima cerință, pe o matrice cu literă

Reluare declarată: revenim la exercițiile 13 și 14 din Determinanți, de la clasa a XI-a, unde se consideră $W (x) = (x + 5 2 3 x)$ , cu $x$ număr real. a) Arată că $det (W (1)) = 0$ . b) Determină toate numerele reale $x$ pentru care $det (W (x)) = 0$ .

Rezolvare. a) Punem $x = 1$ și scriem întâi matricea: $W (1) = (6231)$ . Determinantul ei este $6 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = 6 - 6 = 0$ .

b) Aici se cer toate valorile, deci calculăm determinantul cu litera: $det (W (x)) = (x + 5) \cdot x - 3 \cdot 2 = x^{2} + 5 x - 6$ . Ecuația $x^{2} + 5 x - 6 = 0$ are $Δ = 25 + 24 = 49$ , deci $x_{1} = 1$ și $x_{2} = - 6$ .

Observă legătura: valoarea de la a) apare din nou la b), ca una dintre rădăcini. Aici stă și proba cerinței — dacă valoarea de la a) nu s-ar regăsi printre rădăcinile de la b), una dintre cele două rezolvări ar fi greșită.

Exemplul 2 — Când a) pregătește unealta pentru b)

Reluare declarată: revenim la exercițiul 13 din Inversa unei matrice, unde se consideră $A (m) = (m m + 1 12)$ , cu $m$ număr real. a) Arată că $det (A (m)) = m - 1$ . b) Determină inversa matricei $A (3)$ .

Rezolvare. a) $det (A (m)) = m \cdot 2 - 1 \cdot (m + 1) = 2 m - m - 1 = m - 1$ .

b) Pentru $m = 3$ obținem $A (3) = (3412)$ , iar din formula de la a) determinantul este $3 - 1 = 2$ , deci matricea e inversabilă — nu recalculăm nimic. Inversa este $A (3)^{- 1} = \frac{1}{2} (2 - 4 - 1 3)$ .

Proba, într-un rând: $(3412) \cdot \frac{1}{2} (2 - 4 - 1 3) = \frac{1}{2} (2002) = I_{2}$ .

Exemplul 3 — O egalitate în care necunoscuta e o matrice

Reluare declarată: revenim la exercițiul 8 din Ecuații matriceale, cu $A = (5 - 6 - 4 5)$ . a) Arată că $det A = 1$ . b) Rezolvă ecuația $A X = (1211)$ .

Rezolvare. a) $det A = 5 \cdot 5 - (- 4) \cdot (- 6) = 25 - 24 = 1$ .

b) Determinantul fiind nenul, matricea e inversabilă, iar necunoscuta stă la dreapta lui $A$ , deci se înmulțește la stânga cu $A^{- 1}$ : $X = A^{- 1} B$ , unde $B$ e membrul drept din enunț. Inversa este $A^{- 1} = (5645)$ , iar produsul dă $X = (1316911)$ .

Proba: $A X = (5 - 6 - 4 5) (1316911) = (1211)$ , adică membrul drept din enunț. Reține ordinea: întâi propoziția „ $det A \neq = 0$ , deci $A$ e inversabilă", apoi calculul.

Exemplul 4 — Un sistem care vine dintr-un amestec

Reluare declarată: revenim la exercițiul 12 din Modelare cu sisteme liniare, unde sistemul $x + y + z = 18$ , $2 x + 3 y + z = 35$ , $x + 2 y + 5 z = 47$ descrie un amestec de trei componente, în kilograme. a) Calculează $det A$ . b) Rezolvă sistemul și spune dacă rețeta se poate prepara.

Rezolvare. a) Matricea sistemului este $A = 121132115$ , iar dezvoltarea după prima linie dă $det A = 1 \cdot (15 - 2) - 1 \cdot (10 - 1) + 1 \cdot (4 - 3) = 13 - 9 + 1 = 5$ .

b) Cum $det A = 5 \neq = 0$ , sistemul e de tip Cramer. Auxiliarii sunt $Δ_{1} = 35$ , $Δ_{2} = 25$ și $Δ_{3} = 30$ , deci $x = 7$ kg, $y = 5$ kg și $z = 6$ kg. Verificarea se face în enunț, nu doar în ecuații: $7 + 5 + 6 = 18$ kg, $14 + 15 + 6 = 35$ și $7 + 10 + 30 = 47$ . Toate masele sunt pozitive, deci rețeta se poate prepara — condiție care nu se citește din sistem, ci din situația descrisă.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: o simplificare fără condiție

Reluare declarată: revenim la exercițiul 9 din Reducerea la sistem Cramer. Un elev scrie: „Pentru sistemul cu $Δ = (m - 3) (m + 2)$ și $Δ_{1} = 4 (m - 3)$ avem $x = \frac{4}{m + 2}$ , oricare ar fi $m$ real." Găsește greșeala și scrie afirmația corectă.

Rezolvare. Formula lui Cramer dă $x = \frac{4 ( m - 3 )}{( m - 3 ) ( m + 2 )}$ . Simplificarea prin $m - 3$ se poate face numai dacă $m - 3 \neq = 0$ , iar elevul a făcut-o fără condiție. Tocmai $m = 3$ e însă o valoare critică: acolo $Δ = 0$ , sistemul nu mai e de tip Cramer, iar formula nu are sens.

Afirmația corectă: $x = \frac{4}{m + 2}$ pentru $m \in / {3, - 2}$ , iar cele două valori critice se cercetează separat. Greșeala are un nume care merită ținut minte: simplificare cu o expresie care se poate anula. Ea nu se vede în rezultat — rezultatul arată bine —, ci doar dacă te întorci la pasul în care ai tăiat paranteza.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Cerințele de mai jos sunt cele publicate în modelul oficial pentru proba actuală de la științe ale naturii, sesiunea 2026, prima problemă a Subiectului al II-lea; rezolvarea este a noastră.)

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (x) = (x - 1 1 - x 1 x - 5)$ , unde $x$ este număr real. a) Arătați că $det (A (6)) = 10$ . b) Determinați numărul real $a$ pentru care $A (3) \cdot A (3) = a I_{2}$ . c) Demonstrați că numărul $N = det (A (m) \cdot A (2) - A (m - 1))$ este natural, pentru orice număr întreg $m$ .

Rezolvare. a) Scriem întâi matricea: $A (6) = (5 - 5 11)$ . Determinantul ei este $5 \cdot 1 - 1 \cdot (- 5) = 5 + 5 = 10$ .

b) Pentru $x = 3$ avem $A (3) = (2 - 2 1 - 2)$ , iar produsul se face linie cu coloană:

$A (3) \cdot A (3) = (4 - 2 - 4 + 4 2 - 2 - 2 + 4) = (2002) .$

Egalitatea $A (3) \cdot A (3) = a I_{2}$ se citește element cu element: pe diagonala principală obținem $a = 2$ de două ori, iar în afara ei $0 = 0$ , adevărat. Deci $a = 2$ .

c) Calculăm cu litera în ea. Din enunț, $A (2) = (1 - 1 1 - 3)$ și $A (m - 1) = (m - 2 2 - m 1 m - 6)$ . Produsul primelor două matrice este

$A (m) \cdot A (2) = (m - 2 6 - 2 m m - 4 16 - 4 m),$

iar scăderea se face element cu element:

$A (m) \cdot A (2) - A (m - 1) = (0 4 - m m - 5 22 - 5 m) .$

Determinantul acestei matrice este $N = 0 \cdot (22 - 5 m) - (m - 5) (4 - m) = (m - 5) (m - 4)$ , adică produsul a două numere întregi consecutive, cel mai mic fiind $m - 5$ . Pentru orice număr întreg $m$ , produsul este întreg, iar semnul lui nu poate fi negativ: dacă $m \geq 5$ , amândoi factorii sunt pozitivi sau nuli; dacă $m \leq 4$ , amândoi sunt negativi sau nuli. Prin urmare $N \geq 0$ și $N$ este întreg, adică natural.

Observă ce s-a întâmplat cu litera: la b) parametrul a primit valoarea $3$ , iar la c) el a rămas literă până la capăt. Cerințele unei probleme cu subpuncte vorbesc despre același obiect, nu despre același număr.

Să exersăm

La fiecare cerință scrie întâi ce înlocuiești și ce păstrezi cu literă; la sisteme, calculează întâi $Δ$ ; la orice ecuație matriceală, fă proba.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 12 din Determinanți: se consideră $T = (37 - 2 4)$ . Calculează $det T$ .

2. Reluare, exercițiul 7 din aceeași lecție Determinanți: determină numerele reale $m$ pentru care $m 2 5 m + 3 = 0$ .

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 11 din Inversa unei matrice: se consideră $A = (4332)$ . a) Arătați că $det A = - 1$ . b) Determinați $A^{- 1}$ . c) Verificați rezultatul, calculând prima linie a produsului $A \cdot A^{- 1}$ .

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 12 din Ecuații matriceale: se consideră $A (m) = (21 m 3)$ , cu $m$ număr real. a) Calculați $det (A (m))$ . b) Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația $A (m) X = B$ are soluție unică. c) Pentru $m = 5$ și $B = (7352)$ , rezolvați ecuația.

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 14 din Ecuații matriceale: se consideră $A = (1314)$ . a) Arătați că $det A = 1$ . b) Rezolvați ecuația $X A = (8101013)$ și spuneți de ce inversa se pune la dreapta.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 13 din Sisteme liniare: se consideră sistemul $2 x + y + z = 8$ , $2 x - 3 y + z = - 4$ , $x + 4 y - 2 z = 7$ . a) Scrie matricea $A$ a sistemului. b) Verifică dacă tripletul $(1, 3, 3)$ este soluție. c) Știind că $det A = 20$ , precizează tipul de compatibilitate.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 12 din Metoda lui Cramer: se consideră sistemul $3 x + y + 2 z = 13$ , $x + 2 y + z = 7$ , $2 x + 3 y + z = 10$ . a) Arătați că determinantul matricei sistemului este $- 4$ . b) Rezolvați sistemul.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 12 din Reducerea la sistem Cramer: se consideră sistemul $2 x + y + z = 12$ , $3 x + 2 y + z = 17$ , $x + y + m z = 8$ , cu $m$ real. a) Calculează $Δ$ în funcție de $m$ . b) Determină $m$ pentru care sistemul e de tip Cramer. c) Rezolvă sistemul pentru $m = 1$ .

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 16 din aceeași lecție Reducerea la sistem Cramer: determină valoarea lui $m$ pentru care sistemul $m x + 5 y = 7$ , $4 x + 10 y = 12$ nu are soluție unică și stabilește ce se întâmplă atunci.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $det (A (x))$ este un polinom de gradul al doilea în $x$ , atunci există cel mult două valori ale lui $x$ pentru care matricea $A (x)$ nu este inversabilă."

11. Reluare, exercițiul 17 din Sisteme liniare: la un sistem pătratic cu trei necunoscute se știe că $det A = 0$ și că tripletul $(2, 1, - 1)$ este soluție. Ce poți afirma sigur despre numărul soluțiilor și ce nu poți decide încă?

12. (Problemă aplicată.) Reluare, exercițiul 15 din Modelare cu sisteme liniare: trei tipuri de îngrășământ granulat au masele pe granulă de $2$ , $3$ și $5$ grame și conținutul de sulf de $1$ , $2$ și $2$ miligrame pe granulă. Un eșantion are $60$ de granule, cântărește $196$ de grame și conține $102$ mg de sulf. Câte granule sunt din fiecare tip?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Reluare, exercițiul 15 din Sisteme Cramer de ordin 4: se consideră sistemul $2 x + y + t = 12$ , $x + 3 z - t = 8$ , $2 y + z + t = 13$ , $x + y + z = 10$ . a) Calculează $Δ$ . b) Rezolvă sistemul.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Reluare, exercițiul 15 din Rangul unei matrice: se consideră matricea $213134 4 m 9$ , cu $m$ număr real. a) Arată că determinantul ei este $25 - 5 m$ . b) Determină rangul matricei, discutând după valorile lui $m$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Reluare, exercițiul 7 din Compatibilitatea sistemelor: se consideră sistemul $x + 2 y + z + t = 9$ , $2 x + y - t = 2$ , $3 x + y + z - 2 t = 3$ . a) Precizează formatul lui $\overline{A}$ . b) Arată că $rang A = 3$ și află gradul de nedeterminare.

16. Reluare, exercițiul 7 din Ecuații matriceale: arată că ecuația $A X = I_{2}$ nu are nicio soluție, pentru $A = (6293)$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 15 din Metoda lui Cramer: se consideră sistemul $3 x + y + z = 6$ , $x + 3 y + z = 6$ , $x + y + 3 z = 8$ . a) Calculați $Δ$ . b) Rezolvați sistemul.

18. (Provocare.) Reluare, exercițiul 18 din Ecuații matriceale: arată că, dacă $det A \neq = 0$ și $A X = X A$ , atunci și $A^{- 1} X = X A^{- 1}$ . Verifică apoi afirmația pe $A = (2112)$ și $X = (1331)$ , făcând proba pe amândouă produsele.

Răspunsuri și explicații

1. $det T = 3 \cdot 4 - (- 2) \cdot 7 = 12 + 14 = 26$ .

2. Condiția se scrie $m (m + 3) - 10 = 0$ , adică $m^{2} + 3 m - 10 = 0$ , cu $Δ = 49$ ; deci $m_{1} = 2$ și $m_{2} = - 5$ . Control pentru $m = 2$ : $2 \cdot 5 - 10 = 0$ .

3. a) $det A = 8 - 9 = - 1$ . b) Din matricea adjunctă $(2 - 3 - 3 4)$ , împărțirea la $- 1$ schimbă toate semnele: $A^{- 1} = (- 2 3 3 - 4)$ . c) Prima linie a produsului: $4 \cdot (- 2) + 3 \cdot 3 = 1$ și $4 \cdot 3 + 3 \cdot (- 4) = 0$ , adică prima linie a lui $I_{2}$ .

4. a) $det (A (m)) = 2 \cdot 3 - m \cdot 1 = 6 - m$ . b) Soluția e unică exact când $6 - m \neq = 0$ , adică pentru $m \neq = 6$ . c) Pentru $m = 5$ , $A (5) = (2153)$ are determinantul $1$ și inversa $(3 - 1 - 5 2)$ , deci $X = (6 - 1 5 - 1)$ . Proba: $A (5) X = (7352)$ .

5. a) $det A = 4 - 3 = 1$ . b) Necunoscuta stă la stânga lui $A$ , deci se înmulțește la dreapta cu $A^{- 1} = (4 - 3 - 1 1)$ , de unde $X = (2123)$ . Proba: $X A = (8101013)$ . Dacă am fi înmulțit la stânga, am fi obținut $A^{- 1} X$ , o cu totul altă matrice, fiindcă produsul matricelor nu e comutativ.

6. a) $A = 221 1 - 3 4 11 - 2$ . b) Da: $2 + 3 + 3 = 8$ ; $2 - 9 + 3 = - 4$ ; $1 + 12 - 6 = 7$ . c) Sistemul e pătratic și $det A = 20 \neq = 0$ , deci e compatibil determinat, iar tripletul de la b) e unica lui soluție.

7. a) $Δ = (6 + 2 + 6) - (8 + 9 + 1) = 14 - 18 = - 4$ . b) $Δ_{1} = - 8$ , $Δ_{2} = - 4$ , $Δ_{3} = - 12$ , deci $x = 2$ , $y = 1$ , $z = 3$ . Verificare: $6 + 1 + 6 = 13$ ; $2 + 2 + 3 = 7$ ; $4 + 3 + 3 = 10$ .

8. a) Dezvoltând determinantul, $Δ = 2 (2 m - 1) - 1 (3 m - 1) + 1 (3 - 2) = m$ . b) Sistemul e de tip Cramer pentru $m \neq = 0$ . c) Pentru $m = 1$ avem $Δ = 1$ , $Δ_{1} = 4$ , $Δ_{2} = 1$ , $Δ_{3} = 3$ , deci $x = 4$ , $y = 1$ , $z = 3$ ; verificare: $8 + 1 + 3 = 12$ , $12 + 2 + 3 = 17$ , $4 + 1 + 3 = 8$ .

9. $Δ = 10 m - 20$ se anulează pentru $m = 2$ . Atunci prima ecuație devine $2 x + 5 y = 7$ , iar a doua, împărțită la $2$ , cere $2 x + 5 y = 6$ : aceeași expresie ar lua două valori diferite, deci sistemul e incompatibil. Pentru orice alt $m$ , el are soluție unică.

10. Adevărat. Matricea $A (x)$ nu e inversabilă exact când $det (A (x)) = 0$ , adică atunci când $x$ e rădăcină a unui polinom de gradul al doilea. O astfel de ecuație are cel mult două rădăcini reale, după semnul discriminantului, deci mulțimea valorilor „rele" are cel mult două elemente.

11. Sigur: sistemul e compatibil, fiindcă are soluția din enunț, și nu are soluție unică, fiindcă $det A = 0$ . Cum numărul soluțiilor unui sistem liniar e $0$ , $1$ sau o infinitate, rămâne ultima variantă: compatibil nedeterminat. Nu se poate decide încă câte necunoscute rămân libere — asta se citește din rang.

12. Cu $x$ , $y$ , $z$ numerele de granule: $x + y + z = 60$ , $2 x + 3 y + 5 z = 196$ , $x + 2 y + 2 z = 102$ . Determinantul sistemului este $Δ = 1 (6 - 10) - 1 (4 - 5) + 1 (4 - 3) = - 2$ , iar $Δ_{1} = - 36$ , $Δ_{2} = - 50$ , $Δ_{3} = - 34$ , deci $x = 18$ , $y = 25$ și $z = 17$ granule. Verificare: $18 + 25 + 17 = 60$ de granule, $36 + 75 + 85 = 196$ g și $18 + 50 + 34 = 102$ mg de sulf.

13. a) $Δ = 6 \neq = 0$ , deci sistemul e de tip Cramer. b) Auxiliarii sunt $Δ_{1} = 18$ , $Δ_{2} = 30$ , $Δ_{3} = 12$ și $Δ_{4} = 6$ , deci $x = 3$ , $y = 5$ , $z = 2$ , $t = 1$ . Verificare: $6 + 5 + 1 = 12$ ; $3 + 6 - 1 = 8$ ; $10 + 2 + 1 = 13$ ; $3 + 5 + 2 = 10$ .

14. a) Dezvoltarea după prima linie dă $2 (27 - 4 m) - (9 - 3 m) + 4 (4 - 9) = 54 - 8 m - 9 + 3 m - 20 = 25 - 5 m$ . b) Pentru $m \neq = 5$ determinantul e nenul, deci rangul e $3$ . Pentru $m = 5$ el se anulează, iar a treia linie devine suma primelor două; rangul coboară la $2$ , fiindcă minorul $2113 = 5 \neq = 0$ .

15. a) Trei ecuații și patru necunoscute, deci $\overline{A}$ are formatul $3 \times 5$ . b) Minorul format din coloanele lui $x$ , $y$ și $z$ este $1 (1 - 0) - 2 (2 - 0) + 1 (2 - 3) = - 4 \neq = 0$ ; cum $A$ are trei linii, $rang A = 3$ , la fel și $rang \overline{A}$ . Gradul de nedeterminare e $4 - 3 = 1$ : o singură necunoscută rămâne secundară.

16. $det A = 18 - 18 = 0$ , deci $A$ nu e inversabilă. Mai mult, a doua linie a lui $A$ înmulțită cu $3$ dă prima linie, deci și în produsul $A X$ prima linie va fi de trei ori a doua, oricare ar fi $X$ . În $I_{2}$ însă prima linie e $(1, 0)$ , a doua $(0, 1)$ , iar $(1, 0) \neq = 3 \cdot (0, 1)$ : ecuația nu are nicio soluție.

17. a) $Δ = (27 + 1 + 1) - (3 + 3 + 3) = 29 - 9 = 20$ . b) $Δ_{1} = 20$ , $Δ_{2} = 20$ , $Δ_{3} = 40$ , deci $x = 1$ , $y = 1$ , $z = 2$ . Verificare: $3 + 1 + 2 = 6$ ; $1 + 3 + 2 = 6$ ; $1 + 1 + 6 = 8$ .

18. Pornim de la $A X = X A$ și înmulțim egalitatea cu $A^{- 1}$ în ambele părți, o dată la stânga și o dată la dreapta: $A^{- 1} (A X) A^{- 1} = A^{- 1} (X A) A^{- 1}$ . În stânga, $A^{- 1} A = I_{2}$ , deci rămâne $X A^{- 1}$ ; în dreapta, $A A^{- 1} = I_{2}$ , deci rămâne $A^{- 1} X$ . Egalitatea cerută e demonstrată. Verificare: $det A = 3$ , $A^{- 1} = \frac{1}{3} (2 - 1 - 1 2)$ , iar $A^{- 1} X = \frac{1}{3} (- 1 5 5 - 1) = X A^{- 1}$ ; proba pe ecuația de plecare: $A X = (5775) = X A$ .

De reținut

Enunțul comun se citește o singură dată, cu creionul pe el: mulțimea parametrului, formatul matricelor și ce rămâne fix la toate cele trei cerințe.
La fiecare subpunct rescrii matricea cu valoarea cerută acolo; litera e aceeași, numărul nu.
Două matrice sunt egale exact când toate elementele lor corespunzătoare sunt egale, iar $a I_{2}$ înseamnă $(a 0 0 a)$ .
La o ecuație matriceală, inversa se pune de partea de care stătea matricea cunoscută, iar proba se face înmulțind înapoi.
La sisteme, ordinea e fixă: întâi $Δ$ , apoi ceilalți determinanți; valorile care anulează $Δ$ se cercetează separat.

Greșeli frecvente

Se înmulțesc matricele element cu element. Produsul $A \cdot B$ se face linie cu coloană; înmulțirea pe poziții dă alt tablou, care nu verifică proba.
Se citește $a I_{2}$ ca „matricea cu toate elementele $a$ ". Scrierea înseamnă numărul $a$ înmulțit cu matricea unitate, deci elementele din afara diagonalei principale sunt nule.
Se compară o singură poziție. O egalitate între matrice de tip $2 \times 2$ înseamnă patru egalități de numere; verificarea unei singure poziții lasă afară condiții care pot fi contradictorii.
Se scrie o matrice acolo unde se cere un determinant. $det A$ este un număr; un răspuns de forma „ $det A = (\dots)$ " arată o confuzie între tablou și valoarea lui.
Se „demonstrează" cu trei valori. La o cerință cu „pentru orice număr întreg", verificarea pe câteva valori nu e demonstrație: calculul se duce până la o expresie în literă, din care proprietatea se citește.

Aplică acasă

Reconstituie b) din a). Ia din caiet trei probleme cu subpuncte legate, acoperă rezolvarea punctului b) și reconstituie-o folosind numai ce ai scris la a) și enunțul comun. Unde nu reușești, notează ce anume îți lipsește: o valoare, o matrice rescrisă sau o propoziție pe care n-ai scris-o.
Proba care scoate greșeli. Ia trei ecuații matriceale rezolvate mai demult și fă-le proba prin înmulțire înapoi. Notează la câte dintre ele proba a scos o greșeală — la matrice, răspunsul greșit arată la fel de bine ca cel corect.
Două numere, un verdict. Deschide culegerea la capitolul de sisteme și, pentru cinci exerciții la rând, scrie doar două lucruri: câte necunoscute are sistemul și ce ordin are determinantul. Din perechea asta se citește dacă exercițiul intră în programa ta de examen sau abia în cea din 2030.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri: dacă elevul citește enunțul comun înainte de a începe calculul, dacă transformă o egalitate de matrice în egalități de numere și dacă deosebește o verificare pe cazuri de o demonstrație.

Întrebări de control: „Ce înseamnă $a I_{2}$ ?"; „De ce contează partea de care înmulțești cu inversa?"; „De ce se calculează $Δ$ înaintea celorlalți determinanți?"; „Ce lipsește unei rezolvări care verifică o propoziție pentru $m = 1$ , $m = 2$ și $m = 3$ ?".

Semne că a înțeles: rescrie matricea la fiecare subpunct; face proba fără să i se ceară; se oprește când $Δ$ iese nul, în loc să continue mecanic.

Programa și examenul. Tema aparține trunchiului comun al ambelor generații, dar cu plafoane diferite. Pentru sesiunile 2027, 2028 și 2029 se dă programa de examen aprobată prin OMEN 4430/2014, care cere determinanți „de ordin cel mult 3" și „Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute", plus ecuațiile matriceale și metoda Cramer. Programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) urcă determinantul la ordinul $4$ și adaugă rangul unei matrice, iar acestea intră în evaluare abia la proba MAT_P2, din 2030; exercițiile de aici marcate — MAT_P2 2030. sunt exact cele de deasupra plafoanelor din 2014. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

La ce subiect al probei de Bacalaureat M2 apar matricele și sistemele? La Subiectul al II-lea, care are două probleme: calculul matriceal e tema primei, a doua e lucrată în Subiectul al II-lea: structuri și polinoame. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, prima problemă are trei cerințe de câte $5$ puncte, pe același enunț. Celelalte subiecte: cerințe scurte la Subiectul I și analiză matematică la al III-lea.

Ce este diferit față de mate-info (M1) la această problemă? Plafonul. Programa de examen M1 cere și puterile unei matrice, și determinanți de ordin mai mare, iar materia e desfăcută pe mai multe lecții. Programa M2 din 2014 se oprește la determinantul de ordin cel mult $3$ și la sistemele cu cel mult trei necunoscute, fără puteri de matrice. Comparația se vede în versiunea pentru mate-info (M1).

Pot rezolva b) dacă n-am reușit a)? Da, în multe cazuri. Cerințele sunt legate prin enunțul comun, nu printr-un lanț obligatoriu: dacă b) cere o valoare pe care a) nu ți-a dat-o, o poți calcula direct din enunț. Citește b) înainte de a renunța și vezi dacă în el apare ceva ce ai calculat deja.

Cum îmi dau seama dacă un exercițiu depășește programa mea de examen? Te uiți la două numere: câte necunoscute are sistemul și ce ordin are determinantul. Programa din 2014 cere cel mult trei necunoscute și determinanți de ordin cel mult $3$ . Un sistem cu patru necunoscute, un determinant de ordinul $4$ sau o cerință despre rang trec dincolo de ea și poartă marcajul — MAT_P2 2030..

De ce se cere proba, dacă rezultatul pare corect? Fiindcă la matrice greșelile de semn nu se văd în forma răspunsului: o matrice greșită arată la fel de bine ca una corectă. Înmulțirea înapoi durează sub un minut și compară ce ai obținut cu ce scrie în enunț. E singura verificare care nu repetă drumul pe care ai greșit.

Ce scriu dacă $Δ$ iese zero la un sistem cu parametru? Scrii că pentru acea valoare sistemul nu e de tip Cramer și cercetezi cazul separat, înlocuind valoarea în sistem. Nu împărți la $Δ$ și nu simplifica fracții prin expresii care se anulează tocmai acolo — e greșeala din Exemplul 5, invizibilă în rezultatul final.