Cum rezolv ecuația 2x= 5 în ℤ₉?

Înmulțești cu inversul lui 2, care este 5, fiindcă 10 dă restul 1 la împărțirea cu 9. Rezultă x= 25= 7. Verificare: 2·7=14, cu restul 5. În ℤ₉ nu orice clasă are invers, dar 2 are, fiindcă 2 și 9 nu au divizori comuni.

Cum aflu restul la un polinom de gradul 2?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Structuri și polinoame

Restul are gradul cel mult $1$ , deci forma $a X + b$ , iar dacă împărțitorul are rădăcini, valorile lui $f$ în ele dau un sistem. Exemplu: $f = X^{3} + 2 X + 1$ împărțit la $X^{2} - 3 X + 2 = (X - 1) (X - 2)$ . Din $f (1) = 4 = a + b$ și $f (2) = 13 = 2 a + b$ rezultă $a = 9$ , $b = - 5$ , deci restul este $9 X - 5$ . Împărțirea în coloană dă același rezultat, cu câtul $X + 3$ .

Cea de-a doua problemă din Subiectul al II-lea pornește de la unul dintre două tipare, recunoscute din primul rând: fie o operație dată printr-o formulă, fie un polinom în care un coeficient este o literă. Lecția aparține suplimentului: temele stau în programa de examen din 2014 și se dau în sesiunile 2027–2029, iar din 2030 ies cu totul din probă.

La primul tipar, cerințele urcă în trei trepte — un calcul numeric, o ecuație, o proprietate — și toate se scurtează dacă legea e adusă din capul locului la o formă de produs: scrisă ca $(x - a) (y - a) + a$ , ea dă elementul neutru $a + 1$ și simetricul $a + \frac{1}{x - a}$ , iar numărul $a$ se vede că trebuie scos din mulțime, fiindcă el face produsul nul. Aceeași căutare merge și la legile care seamănă cu adunarea sau cu înmulțirea obișnuită. Clasele de resturi aduc aritmetica pe cerc: opusul clasei $\overset{a}{^}$ este $n - a$ , iar într-un corp $Z_{p}$ ecuația $\overset{a}{^} x = \hat{b}$ se rezolvă înmulțind cu inversul, nu împărțind.

La al doilea tipar, prima treaptă cere o valoare, a doua o condiție asupra rădăcinilor, tradusă cu relațiile lui Viète până la gradul $4$ , iar a treia o divizibilitate sau un rest. Gradul împărțitorului spune, încă dinainte de orice calcul, cum arată restul, iar litera poate primi valori diferite de la un subpunct la altul: fiecare cerință vine cu ipoteza ei.

De reținut

restul la un polinom de gradul $2$ are forma $a X + b$
legea $(x - a) (y - a) + a$ : neutrul $a + 1$ , simetricul $a + \frac{1}{x - a}$
„ $f$ se divide cu $X - α$ ” înseamnă $f (α) = 0$

Greșeala tipică

Se face împărțirea în coloană la $X^{2} - 3 X + 2$ și se greșește un semn; restul are forma $a X + b$ și se află mai sigur din valorile în rădăcinile $1$ și $2$ ale împărțitorului.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $(0, + \infty)$ se consideră legea $x * y = \frac{x y}{9}$ . Cât este $6 * 15$ ?
- a) $90$
- b) $10$
- c) $\frac{7}{3}$
- d) $18$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

Înlocuim direct: $\frac{6 \cdot 15}{9} = \frac{90}{9} = 10$ . Varianta a) se oprește la produsul celor două numere; c) adună numerele și le împarte la $9$ ; d) împarte numai unul dintre factori.
Care este elementul neutru al legii $x * y = \frac{x y}{9}$ pe $(0, + \infty)$ ?
- a) $1$
- b) $\frac{1}{9}$
- c) $9$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $9$

Din $\frac{x e}{9} = x$ , cu $x$ nenul, rezultă $e = 9$ . Proba: $x * 9 = \frac{9 x}{9} = x$ pentru orice $x$ pozitiv. Varianta a) dă $\frac{x}{9}$ ; b) dă $\frac{x}{81}$ ; d) dă $\frac{x}{3}$ — niciuna nu lasă elementul neschimbat.
În grupul $(Z_{15}, +)$ , care este opusul clasei $11$ ?
- a) $\hat{4}$
- b) $11$
- c) $\hat{0}$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\hat{4}$

Opusul clasei $\overset{a}{^}$ în $(Z_{n}, +)$ este $n - a$ , deci aici $15 - 11 = \hat{4}$ ; proba: $11 + \hat{4} = 15 = \hat{0}$ . Varianta b) confundă opusul cu clasa însăși; c) dă elementul neutru; d) dă opusul clasei $\hat{1}$ .

Întrebări conexe

Cum aduc legea $x y - 4 x - 4 y + 20$ la forma factorizată?

Grupezi: $x y - 4 x - 4 y + 16 + 4 = (x - 4) (y - 4) + 4$ . Din această formă se citesc elementul neutru, $5$ , și elementul $4$ , care compus cu orice dă $4$ . Verificare: $5 * y = (1) (y - 4) + 4 = y$ . Forma factorizată se scrie înaintea primei cerințe, pentru că toate celelalte se sprijină pe ea.

Cum aflu simetricul lui $6$ la legea $(x - 4) (y - 4) + 4$ ?

Ceri ca $6 * y$ să fie neutrul $5$ : $2 (y - 4) + 4 = 5$ , deci $y = 4, 5$ . Verificare: $(6 - 4) (4, 5 - 4) + 4 = 1 + 4 = 5$ . Formula generală a simetricului este $4 + \frac{1}{x - 4}$ , valabilă pentru orice $x \neq = 4$ ; elementul $4$ nu are simetric.

Cum folosesc relațiile lui Viète într-o condiție pusă pe rădăcini?

Exprimi condiția prin $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ . Pentru $X^{3} - 3 X^{2} + m X + 1$ , cu $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 5$ : $S_{1} = 3$ și $S_{2} = m$ , deci $9 - 2 m = 5$ și $m = 2$ . Rădăcinile nu trebuie aflate: relația $S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ transformă condiția într-o ecuație de gradul întâi în $m$ .

Cum rezolv ecuația $\hat{2} x = \hat{5}$ în $Z_{9}$ ?

Înmulțești cu inversul lui $\hat{2}$ , care este $\hat{5}$ , fiindcă $10$ dă restul $1$ la împărțirea cu $9$ . Rezultă $x = 25 = \hat{7}$ . Verificare: $2 \cdot 7 = 14$ , cu restul $5$ . În $Z_{9}$ nu orice clasă are invers, dar $\hat{2}$ are, fiindcă $2$ și $9$ nu au divizori comuni.

Cum folosesc ipoteza că $X - 2$ divide un polinom?

O traduci imediat prin $f (2) = 0$ . Pentru $X^{3} + a X^{2} - 4$ , condiția este $8 + 4 a - 4 = 0$ , deci $a = - 1$ . Apoi polinomul $X^{3} - X^{2} - 4$ se împarte la $X - 2$ cu schema lui Horner, iar câtul este $X^{2} + X + 2$ .

Oamenii mai întreabă și: restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea · restul la X pătrat minus 3X plus 2 · restul aX plus b · cum aflu restul fără împărțire

Cum aflu restul la un polinom de gradul 2?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum aduc legea xy−4x−4y+20 la forma factorizată?

Cum aflu simetricul lui 6 la legea (x−4)(y−4)+4?

Cum folosesc relațiile lui Viète într-o condiție pusă pe rădăcini?

Cum rezolv ecuația 2^x=5^ în Z9​?

Cum folosesc ipoteza că X−2 divide un polinom?

Continuă cu

Cum aduc legea $x y - 4 x - 4 y + 20$ la forma factorizată?

Cum aflu simetricul lui $6$ la legea $(x - 4) (y - 4) + 4$ ?

Cum rezolv ecuația $\hat{2} x = \hat{5}$ în $Z_{9}$ ?

Cum folosesc ipoteza că $X - 2$ divide un polinom?