Subiectul al II-lea: structuri și polinoame (M2, științe ale naturii)

La Subiectul al II-lea, problema a doua începe, ca și prima, cu un obiect și o literă: fie o operație scrisă printr-o formulă, de tipul $x\ast y=\dots$, fie un polinom în care unul dintre coeficienți e o literă. Sub obiect stau trei cerințe, a), b) și c), de câte $5$ puncte. Lecția aceasta, din unitatea de pregătire a clasei a XII-a de la științe ale naturii (M2), ia cele două tipare pe rând și arată ce gest se face la fiecare literă; prima problemă a aceluiași subiect, cu matrice și sisteme, e în Subiectul al II-lea: matrice și sisteme.

Lecția aparține suplimentului pentru Bacalaureatul M2. Structurile algebrice și polinoamele studiate la clasa a XII-a se află în programa de examen aprobată prin OMEN 4430/2014, după care se dau sesiunile 2027, 2028 și 2029, dar nu mai figurează în programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28). Dacă dai examenul în una dintre cele trei sesiuni, problema aceasta îți poate cere exact ce se află aici; dacă ești pe programa nouă, tema iese cu totul din probă odată cu MAT_P2, iar ce o înlocuiește se citește în Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști, din prima privire, care dintre cele două tipare e în fața ta: legea dată prin formulă sau polinomul cu parametru.
• Vei ști să aduci o lege de forma $xy-ax-ay+a^2+a$ la forma factorizată și să citești din ea elementul neutru și simetricul.
• Vei ști să lucrezi cerințele din ${\mathbb{Z}}_n$: opusul, inversul, ecuația de gradul întâi.
• Vei ști să folosești relațiile lui Viète până la gradul $4$ și să determini parametrul dintr-o condiție pusă asupra rădăcinilor.
• Vei ști să determini restul împărțirii unui polinom la un polinom de gradul al doilea, fără să faci împărțirea în coloană.

Hai să descoperim împreună

1. Ce cere problema a doua a Subiectului al II-lea?

Programa de examen din 2014 pune în același capitol de algebră două materii care par îndepărtate: structurile (legi de compoziție, grupuri, inele, corpuri) și polinoamele peste un corp. Cerințele lor se scriu la fel — un obiect cu o literă și trei întrebări legate —, iar problema a doua e construită pe una dintre ele.

Punctul de plecare al primului tipar se scrie o singură dată, în forma pe care o știi din lecția despre legea de compoziție:

Legea de compoziție internă pe o mulțime nevidă $M$ este o regulă care asociază fiecărei perechi ordonate $(x,y)$ de elemente din $M$ un singur element $x\ast y$, aflat tot în $M$.

Cele trei condiții contează toate. „Fiecărei perechi" spune că regula nu are voie să lase perechi neacoperite. „Un singur element" o face operație, nu alegere. Iar „tot în $M$" e condiția care se pierde ușor din vedere: o formulă poate fi perfect scrisă și să iasă totuși din mulțime.

Despre model, cinstit: în modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, sesiunea 2026, problema a doua a acestui subiect este despre un polinom — se dă $f=X^3+a{X}^2-2X+2$, cu $a$ număr real, iar cele trei cerințe cer o valoare, o condiție asupra rădăcinilor și un rest. În acel model, structurile algebrice nu apar. Ele sunt însă în programa de examen din 2014, cu rândurile „Lege de compoziție internă, tabla operației", „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$", „Inel, exemple" și „Corp, exemple", așa că lecția tratează amândouă tiparele.

2. Tiparul I: legea dată prin formulă, în trei gesturi

Când enunțul dă o lege printr-o formulă, lecția o ia în trei trepte, de la calcul spre proprietate.

Primul gest e un calcul numeric: calculezi $2\ast 4$ sau $7\ast 7$. Se înlocuiește direct în formulă, cu atenție la semne. Al doilea gest e o ecuație: $x\ast x=c$ sau $x\ast 0=c$. Aici formula se rescrie, iar ecuația devine una de gradul întâi sau al doilea. Al treilea gest e o proprietate: elementul neutru, simetricul unui element, apartenența la mulțime.

Ordinea aceasta e a lecției: primul gest îți dă încredere în formulă, al doilea te obligă s-o rescrii, iar al treilea folosește rescrierea. De aceea merită să faci rescrierea o dată, la început, oricare ar fi prima cerință.

3. De ce se caută forma factorizată?

Legile acestui tipar ascund o formă de produs. Pentru un număr $a$ fixat,

$$xy-ax-ay+a^2+a=(x-a)(y-a)+a.$$

Verificarea se face desfăcând paranteza: $(x-a)(y-a)+a=xy-ax-ay+a^2+a$. Câștigul e că toate întrebările devin întrebări despre produsul $(x-a)(y-a)$.

Elementul neutru: din $(x-a)(e-a)+a=x$ obținem $(x-a)(e-a)=x-a$, deci $e-a=1$, adică $e=a+1$. Simetricul lui $x$: din $(x-a)(x^{\prime }-a)=1$ obținem $x^{\prime }-a=\frac{1}{x-a}$, deci $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$ — o scriere care are sens pentru orice $x\ne a$. Iar de aici se citește și de ce numărul $a$ trebuie scos din mulțime când vrei o structură de grup: pentru $x=a$ produsul e nul, deci $x\ast y=a$ oricare ar fi $y$, și un astfel de element nu poate avea simetric.

Aceeași idee merge și la legi scrise altfel: $x\ast y=x+y-c$ se rescrie $(x-c)+(y-c)+c$, iar $x\ast y=\frac{xy}{c}$ se citește prin împărțirea la $c$. Regula generală: caută forma în care legea seamănă cu adunarea sau cu înmulțirea obișnuită.

4. Tiparul II: polinomul cu parametru

Al doilea tipar dă un polinom în care un coeficient e o literă. Cerințele lui se așază tot pe trei trepte.

Prima e o valoare: $f(0)$, $f(1)$ sau $f(-1)$. Aici parametrul se poate simplifica de la sine — de exemplu, într-un polinom în care litera stă pe termenul de gradul al doilea, valoarea în $0$ nu depinde deloc de ea. A doua treaptă e o condiție asupra rădăcinilor, care se traduce cu relațiile lui Viète. Pentru polinomul monic de gradul al treilea $X^3+p{X}^2+qX+r$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$, ele se scriu

$$x_1+x_2+x_3=-p,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=q,x_1{x}_2{x}_3=-r,$$

iar la gradul al patrulea se adaugă un rând, cu semnele alternând la fel. Programa de examen din 2014 le cere prin rândul „Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 4": gradul $5$ nu se dă.

A treia treaptă e o cerință de divizibilitate sau de rest. Ipoteza „polinomul $f$ se divide cu $X-\alpha$" înseamnă, prin teorema lui Bézout, $f(\alpha )=0$ — o ecuație în parametru.

Reține un lucru care derutează la prima citire: fiecare cerință își pune propria condiție asupra literei. Condiția care vine din Viète la b) și condiția care vine din divizibilitate la c) sunt independente una de alta și pot da valori diferite ale parametrului. Litera e aceeași, numărul nu.

5. Cum se află un rest fără să faci împărțirea?

Teorema împărțirii cu rest spune că, pentru $f$ și $g\ne 0$, există și sunt unice polinoamele $q$ și $r$ cu $f=gq+r$ și $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$. Din condiția de grad se citește forma restului, înainte de orice calcul: la un împărțitor de gradul întâi, restul e un număr; la unul de gradul al doilea, restul e de forma $mX+n$, cu $m$ și $n$ numere.

De aici, o metodă scurtă. Scrii $f=(X^2-c)q+mX+n$ și dai lui $X$ valori care anulează împărțitorul, ori compari coeficienții după ce ai făcut o singură împărțire. Când împărțitorul e de forma $X-\alpha$, drumul cel mai scurt e schema lui Horner, reluată peste un corp la Împărțirea polinoamelor și schema lui Horner.

Proba costă un rând și se face înmulțind înapoi: $gq+r$ trebuie să dea coeficient cu coeficient polinomul de la care ai plecat.

6. Ce aduc în plus clasele de resturi și corpurile?

Rândul de programă „grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$" cere aritmetica pe cerc: suma a două clase e tot o clasă, elementul neutru e $\hat{0}$, iar opusul clasei $\hat{a}$ este $\widehat{n-a}$. Cerințele sunt scurte și se rezolvă reducând la una dintre cele $n$ clase.

La corpuri se adaugă înmulțirea și inversul. Într-un ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim, orice clasă nenulă are invers, iar o ecuație de forma $\hat{a}x=\hat{b}$ se rezolvă înmulțind cu inversul lui $\hat{a}$ — exact ca la numere raționale, doar că tabla e finită. Când $n$ nu e prim, unele clase nenule nu au invers, iar ecuația poate să nu aibă soluție. Detaliile sunt în Corpuri și în Grupul claselor de resturi.

Notația se ține strâns: clasele se scriu $\hat{a}$, iar modulul se anunță o singură dată, la începutul rezolvării.

7. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Aici distincția de calendar e mai tare decât la celelalte lecții ale unității, fiindcă tema dispare. Pentru sesiunile 2027, 2028 și 2029, sursa e programa de examen din 2014, cu rândurile citate mai sus: legea de compoziție și tabla operației, grupul, inelul, corpul, forma algebrică a polinoamelor, teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner, teorema lui Bézout, relațiile lui Viète pentru grad cel mult $4$, ecuațiile algebrice cu coeficienți în $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, ecuațiile binome, bipătrate și reciproce.

Despre forma probei se poate spune ce se vede în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii: Subiectul al II-lea are două probleme de câte trei cerințe a $5$ puncte, iar a doua problemă a acelui model e pe polinomul amintit la §1, cu cerințele a) o valoare a polinomului, b) determinarea parametrului dintr-o relație între rădăcini și c) restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea, sub ipoteza unei divizibilități. Cerințele din lecție sunt construite pe temele din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Pentru generația care va da MAT_P2 în 2030, nimic din capitolul acesta nu mai e materie de examen: structurile și polinoamele de clasa a XII-a nu figurează în programa nouă. Lecția rămâne atunci lectură utilă — aritmetica modulară și polinoamele se folosesc mai departe —, nu materie de probă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cele trei gesturi, pe o lege dată prin formulă

Reluare, exercițiul 15 din Proprietățile legilor de compoziție: pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy-2x-2y+6$. a) Calculează $4\ast 4$. b) Determină numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=6$. c) Determină simetricul lui $-2$.

Rezolvare. Rescriem întâi legea, după §3, cu $a=2$: $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$.

a) Direct din formulă: $4\ast 4=16-8-8+6=6$. Cu forma factorizată iese la fel: $(4-2)(4-2)+2=6$.

b) Ecuația $x\ast x=6$ devine $(x-2{)}^2+2=6$, adică $(x-2{)}^2=4$, deci $x-2=\pm 2$ și $x\in \{0,4\}$. Verificare pentru $x=0$: $0\ast 0=0-0-0+6=6$.

c) Elementul neutru este $e=a+1=3$. Simetricul lui $-2$ se află din $(-2)\ast x^{\prime }=3$: $(-2-2)(x^{\prime }-2)=1$, deci $x^{\prime }-2=-\frac{1}{4}$ și $x^{\prime }=\frac{7}{4}$.

Exemplul 2 — De ce se scoate un element din mulțime

Reluare, exercițiul 12 din Grupuri: pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy-3x-3y+12$. a) Calculează $2\ast 4$. b) Arată că $3\ast y=3$ pentru orice $y$ real. c) Deduce de ce numărul $3$ trebuie scos din mulțime ca $\ast$ să determine un grup.

Rezolvare. a) $2\ast 4=8-6-12+12=2$.

b) $3\ast y=3y-9-3y+12=3$, oricare ar fi $y$ real. Cu forma factorizată se vede imediat de ce: $(3-3)(y-3)+3=3$, fiindcă primul factor e nul.

c) Elementul neutru al legii este $4$. Dacă $3$ ar rămâne în mulțime, el ar trebui să aibă un simetric, adică un $y$ cu $3\ast y=4$; dar b) arată că $3\ast y=3$ pentru orice $y$, iar $3\ne 4$. Condiția „orice element are simetric" cade din cauza unui singur element; scoțându-l, mulțimea rămasă devine grup.

Exemplul 3 — O ecuație într-un corp finit

Reluare, exercițiul 8 din Corpuri: se consideră corpul ${\mathbb{Z}}_5$. a) Rezolvă ecuația $\hat{3}x=\hat{2}$. b) Arată că ecuația $\hat{0}\cdot x=\hat{2}$ nu are soluție. c) Explică de ce ecuația de la a) are soluție unică.

Rezolvare. a) Căutăm inversul lui $\hat{3}$: $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{6}=\hat{1}$, deci inversul e $\hat{2}$. Înmulțind ecuația cu el, $x=\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$. Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{2}$.

b) Produsul $\hat{0}\cdot x$ este $\hat{0}$ pentru orice clasă $x$, iar $\hat{0}\ne \hat{2}$: ecuația nu are soluție.

c) Pentru că ${\mathbb{Z}}_5$ e corp și $\hat{3}\ne \hat{0}$: dacă două clase ar fi soluții, înmulțind egalitatea lor cu inversul lui $\hat{3}$ am obține că sunt egale. Punctul b) arată exact cazul în care argumentul nu se poate folosi.

Exemplul 4 — Valoare, cât și probă la un polinom

Reluare, exercițiul 15 din Împărțirea polinoamelor și schema lui Horner: se consideră $f=7X^3-4X^2+9$ din $\mathbb{Q}[X]$. a) Calculează $f(2)$. b) Determină câtul împărțirii lui $f$ la $X-2$. c) Fă proba înmulțind înapoi.

Rezolvare. a) $f(2)=7\cdot 8-4\cdot 4+9=56-16+9=49$.

b) Coeficienții sunt $7$, $-4$, $0$, $9$ — atenție la zeroul de pe locul gradului întâi, care se scrie chiar dacă nu apare în enunț. Schema lui Horner cu $\alpha =2$ dă rândul $7$; $-4+14=10$; $0+20=20$; $9+40=49$. Ultima celulă este restul și confirmă punctul a), iar câtul este $7X^2+10X+20$.

c) $(X-2)(7X^2+10X+20)=7X^3-4X^2-40$, iar adunând restul $49$ obținem $7X^3-4X^2+9$, adică polinomul de la care am plecat.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: semnele din relațiile lui Viète

Reluare, exercițiul 9 din Relațiile lui Viète: pentru $f=X^4+5X^3+5X^2-5X-6$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, un elev scrie: „$S_1=5$, $S_3=-5$, deci suma inverselor este $\frac{S_3}{S_4}=\frac{-5}{-6}=\frac{5}{6}$." Găsește greșeala și scrie răspunsul corect.

Rezolvare. Elevul a copiat coeficienții cu semnul din polinom, uitând că relațiile lui Viète alternează semnele. Pentru polinomul monic de gradul al patrulea, $S_1$ este opusul coeficientului lui $X^3$, deci $S_1=-5$; $S_2$ este coeficientul lui $X^2$, deci $S_2=5$; $S_3$ este opusul coeficientului lui $X$, deci $S_3=5$; iar $S_4$ este termenul liber, adică $-6$.

Suma inverselor se scrie $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{S_3}{S_4}$, fiindcă la numărător se adună produsele câte trei. Cum $S_4=-6\ne 0$, rezultatul corect este $\frac{5}{-6}=-\frac{5}{6}$.

Greșeala are un semn de recunoaștere: două valori consecutive ale lui $S$ cu același semn ca al coeficienților corespunzători. Un control rapid — $S_1$ trebuie să aibă semn opus coeficientului lui $X^3$ — l-ar fi oprit din primul rând.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Cerințele de mai jos sunt cele publicate în modelul oficial pentru proba actuală de la științe ale naturii, sesiunea 2026, a doua problemă a Subiectului al II-lea; rezolvarea este a noastră.)

Se consideră polinomul $f=X^3+a{X}^2-2X+2$, unde $a$ este număr real. a) Arătați că $f(0)=2$, pentru orice număr real $a$. b) Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1{x}_2{x}_3(1+x_1+x_2+x_3)=4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$. c) Știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$, determinați restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X^2-2$.

Rezolvare. a) Înlocuim: $f(0)=0+a\cdot 0-0+2=2$. Parametrul înmulțește $X^2$, iar $0^2=0$, deci valoarea nu depinde de $a$ — exact ce cere enunțul.

b) Polinomul fiind monic, relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=-a$ și $x_1{x}_2{x}_3=-2$. Condiția din enunț devine $-2\cdot (1-a)=4$, adică $1-a=-2$, deci $a=3$. Control: pentru $a=3$, suma rădăcinilor este $-3$, iar $-2\cdot (1-3)=4$.

c) Ipoteza „$f$ este divizibil cu $X+1$" înseamnă, prin teorema lui Bézout, $f(-1)=0$: $-1+a+2+2=0$, deci $a=-3$ și $f=X^3-3X^2-2X+2$.

Restul împărțirii la $X^2-2$ are gradul cel mult $1$, deci se scrie $mX+n$. Facem împărțirea: $X^3-3X^2-2X+2=(X^2-2)(X-3)+r$, fiindcă $(X^2-2)(X-3)=X^3-3X^2-2X+6$. Scăzând, $r=2-6=-4$. Restul este, prin urmare, polinomul constant $-4$.

Compară b) cu c): la b) parametrul a ieșit $3$, la c) a ieșit $-3$. Nu e o contradicție — sunt două cerințe diferite, fiecare cu ipoteza ei, iar valoarea găsită la una nu se transportă la cealaltă.

Să exersăm

La legi, scrie forma factorizată înainte de orice întrebare; la polinoame, numără coeficienții și pune zerourile lipsă; la clasele de resturi, anunță modulul o singură dată.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 8 din Proprietățile legilor de compoziție: pentru $x\ast y=xy-2x-2y+6$, calculează $6\ast (-2)$ și rezolvă ecuația $x\ast 0=4$.

2. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 16 din aceeași lecție Proprietățile legilor de compoziție: arată că $x\ast y=2xy+4x+4y+6$ se scrie $2(x+2)(y+2)-2$ și determină elementul neutru pe $\mathbb{R}$.

3. Reluare, exercițiul 6 din Grupuri: pe $G=\mathbb{R}\setminus \{3\}$, cu $x\ast y=xy-3x-3y+12$, calculează $7\ast 7$ și simetricul lui $7$.

4. Reluare, exercițiul 2 din aceeași lecție Grupuri: arată că $(\mathbb{R},\ast )$, cu $x\ast y=x+y-8$, este grup comutativ și determină elementul neutru și simetricul lui $x$.

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 11 din Grupul claselor de resturi: în $({\mathbb{Z}}_{24},+)$: a) calculează $\widehat{16}+\widehat{21}$; b) determină opusul clasei $\widehat{16}$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 8 din aceeași lecție Grupul claselor de resturi: arată că $({\mathbb{Z}}_{20},+)$ este grup comutativ, parcurgând cele patru condiții, și precizează elementul neutru și opusul clasei $\hat{7}$.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 12 din Morfisme și izomorfisme de grupuri: pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\circ y=x+y-13$ și funcția $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},\circ )$, $f(x)=x+13$. a) Calculează $4\circ 9$. b) Arată că $f$ este morfism. c) Arată că $f$ este izomorfism, scriind funcția inversă.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 16 din aceeași lecție Morfisme și izomorfisme de grupuri: fie $f:((0,+\infty ),\cdot )\to ((0,+\infty ),\cdot )$ un morfism de grupuri pentru care $f(5)=20$. a) Calculează $f(1)$. b) Calculează $f(25)$. c) Calculează $f\left(\frac{1}{5}\right)$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 4 din Corpuri: rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ ecuația $\hat{6}x=\hat{5}$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă produsul rădăcinilor unui polinom de gradul al treilea cu coeficienți reali este $0$, atunci termenul liber al polinomului este $0$."

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 3 din Împărțirea polinoamelor și schema lui Horner: în $\mathbb{Q}[X]$, determină câtul și restul împărțirii lui $5X^3+8X^2-3$ la $X+2$, cu schema lui Horner.

12. Reluare, exercițiul 5 din aceeași lecție Împărțirea polinoamelor și schema lui Horner: în $\mathbb{Q}[X]$, determină câtul și restul împărțirii lui $X^3-4X^2+9X-7$ la $X^2+7$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 8 din Divizibilitate și teorema lui Bézout: în $\mathbb{Q}[X]$, arată că $2X^3+5X^2-28X-15$ se divide cu $X-3$ și scrie câtul.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 5 din Relațiile lui Viète: se consideră $f=X^3+2X^2-29X-30$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$. a) Calculează $x_1+x_2+x_3$. b) Calculează $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. c) Calculează $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.

15. (Problemă aplicată.) Reluare, exercițiul 11 din aceeași lecție Relațiile lui Viète: trei rezistoare legate în paralel au rezistențele $x_1$, $x_2$, $x_3$ ohmi, iar ele sunt rădăcinile polinomului $f=X^3-11X^2+34X-24$, toate pozitive. Rezistența echivalentă $R$ verifică $\frac{1}{R}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$. Calculează $R$ folosind relațiile lui Viète.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 7 din Ecuații algebrice cu coeficienți întregi: se consideră $f=3X^3-17X^2-27X-7$. a) Calculează $f(-1)$. b) Arată că $7$ este rădăcină a lui $f$. c) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f(x)=0$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare, exercițiul 17 din Relațiile lui Viète: se consideră $f=X^4+6X^3+7X^2-6X-8$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. a) Calculează $S_1$ și $S_2$. b) Calculează $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$. c) Arată că produsul rădăcinilor este negativ și explică ce spune asta despre semnele lor.

18. (Provocare.) Reluare, exercițiul 18 din Ecuații algebrice cu coeficienți întregi: fie ecuația $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, cu coeficienți întregi și $a\ne 0$, $d\ne 0$. a) Arată că, dacă $a+b+c+d=0$, atunci $1$ este soluție. b) Formulează și demonstrează un criteriu asemănător pentru soluția $-1$. c) Aplică ambele criterii ecuației $2x^3+9x^2+3x-14=0$ și rezolv-o complet.

Răspunsuri și explicații

1. $6\ast (-2)=-12-12+4+6=-14$. Ecuația $x\ast 0=4$ se scrie $(x-2)(0-2)+2=4$, adică $-2(x-2)=2$, deci $x-2=-1$ și $x=1$. Verificare: $1\ast 0=0-2-0+6=4$.

2. Desfacem: $2(x+2)(y+2)-2=2(xy+2x+2y+4)-2=2xy+4x+4y+6$, adică formula dată. Elementul neutru: din $2(x+2)(e+2)-2=x$ obținem $2(x+2)(e+2)=x+2$, deci, pentru $x\ne -2$, $e+2=\frac{1}{2}$ și $e=-\frac{3}{2}$. Verificare: $2(x+2)\cdot \frac{1}{2}-2=x$.

3. Direct din formulă, $7\ast 7=49-21-21+12=19$; cu forma factorizată, $(7-3{)}^2+3=19$. Simetricul lui $7$: din $(7-3)(x^{\prime }-3)=1$ obținem $x^{\prime }-3=\frac{1}{4}$, deci $x^{\prime }=\frac{13}{4}$. Verificare: $7\ast \frac{13}{4}=4\cdot \frac{1}{4}+3=4$, adică elementul neutru.

4. Legea e internă pe $\mathbb{R}$ și asociativă: ambele grupări dau $x+y+z-16$. E comutativă, formula fiind simetrică. Din $x+e-8=x$ rezultă $e=8$, iar din $x+x^{\prime }-8=8$ rezultă $x^{\prime }=16-x$, număr real pentru orice $x$. Toate condițiile sunt îndeplinite, deci $(\mathbb{R},\ast )$ e grup comutativ.

5. a) $\widehat{16}+\widehat{21}=\widehat{37}$, iar $37=24+13$, deci rezultatul este $\widehat{13}$. b) Opusul este $\widehat{24-16}=\hat{8}$; proba: $16+8=24$.

6. Suma a două clase modulo $20$ e tot o clasă modulo $20$; asociativitatea se moștenește de la adunarea numerelor întregi; $\hat{a}+\hat{0}=\hat{a}$, deci $e=\hat{0}$; orice clasă $\hat{a}$ are opusul $\widehat{20-a}$. Comutativitatea vine din $\widehat{a+b}=\widehat{b+a}$. Deci $({\mathbb{Z}}_{20},+)$ e grup comutativ, cu $e=\hat{0}$ și $-\hat{7}=\widehat{13}$; proba: $7+13=20$.

7. a) $4\circ 9=4+9-13=0$. b) Membrul stâng: $f(x+y)=x+y+13$. Membrul drept: $f(x)\circ f(y)=(x+13)+(y+13)-13=x+y+13$. Sunt egale, deci $f$ e morfism. c) Inversa este $u\mapsto u-13$, definită pe tot $\mathbb{R}$, deci $f$ e bijectivă și izomorfism.

8. a) Elementul neutru al ambelor grupuri este $1$, iar orice morfism îl duce în el însuși: $f(1)=1$. b) Din $25=5\cdot 5$, $f(25)=f(5)\cdot f(5)=20\cdot 20=400$. c) $\frac{1}{5}$ este simetricul lui $5$, deci imaginea lui este simetricul lui $20$, adică $\frac{1}{20}$.

9. Inversul lui $\hat{6}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ este $\hat{6}$, fiindcă $\hat{6}\cdot \hat{6}=\widehat{36}=\hat{1}$. Înmulțim: $x=\hat{6}\cdot \hat{5}=\widehat{30}=\hat{2}$. Verificare: $\hat{6}\cdot \hat{2}=\widehat{12}=\hat{5}$.

10. Adevărat. Pentru un polinom de gradul al treilea $a_3{X}^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$, cu $a_3\ne 0$, relațiile lui Viète dau $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{a_0}{a_3}$. Dacă produsul e $0$, atunci $-\frac{a_0}{a_3}=0$, iar o fracție cu numitorul nenul e nulă numai când numărătorul e nul, deci $a_0=0$. Reciproc se vede și mai repede: dacă termenul liber e nul, atunci $0$ e rădăcină.

11. Coeficienții sunt $5$, $8$, $0$, $-3$, iar $\alpha =-2$. Rândul: $5$; $8-10=-2$; $0+4=4$; $-3-8=-11$. Deci $q=5X^2-2X+4$ și $r=-11$. Control: $5\cdot (-8)+8\cdot 4-3=-40+32-3=-11$.

12. Împărțitorul are gradul al doilea, deci restul are gradul cel mult $1$. Prima rundă: $X^3:X^2=X$, iar $X(X^2+7)=X^3+7X$; rămâne $-4X^2+2X-7$. A doua rundă: $-4$, iar $-4(X^2+7)=-4X^2-28$; rămâne $2X+21$. Deci $q=X-4$ și $r=2X+21$. Proba: $(X^2+7)(X-4)+2X+21=X^3-4X^2+9X-7$.

13. Evaluăm în $3$: $54+45-84-15=0$, deci $X-3$ divide polinomul, prin teorema lui Bézout. Schema lui Horner cu $\alpha =3$ pe coeficienții $2$, $5$, $-28$, $-15$ dă $2$; $5+6=11$; $-28+33=5$; $-15+15=0$. Câtul este $2X^2+11X+5$.

14. a) Polinomul e monic, deci $x_1+x_2+x_3=-2$. b) Cu $S_2=-29$, suma pătratelor este $S_1^2-2S_2=4+58=62$. c) $S_3=30\ne 0$, deci suma inverselor este $\frac{S_2}{S_3}=-\frac{29}{30}$.

15. $S_2=34$ și $S_3=24\ne 0$, deci $\frac{1}{R}=\frac{S_2}{S_3}=\frac{34}{24}=\frac{17}{12}$, de unde $R=\frac{12}{17}\approx 0,71$ ohmi. Rezistența echivalentă iese mai mică decât cea mai mică dintre cele trei, cum trebuie la o legare în paralel.

16. a) $f(-1)=-3-17+27-7=0$. b) $f(7)=1029-833-189-7=0$, deci $7$ e rădăcină. c) Schema lui Horner cu $\alpha =7$ pe $3$, $-17$, $-27$, $-7$ dă rândul $3$, $4$, $1$, $0$, deci rămâne $3x^2+4x+1=0$, cu $\Delta =4$ și $x=\frac{-4\pm 2}{6}$, adică $-\frac{1}{3}$ și $-1$. Soluții: $\left\{-1,-\frac{1}{3},7\right\}$.

17. a) $S_1=-6$ și $S_2=7$. b) $S_1^2-2S_2=36-14=22$. c) $S_4=-8<0$; rădăcinile acestui polinom fiind toate reale, produsul lor negativ arată că printre ele se află un număr impar de valori negative, adică una sau trei.

18. a) Valoarea polinomului în $1$ este chiar suma coeficienților, $a+b+c+d$; dacă ea e nulă, $1$ e soluție. b) Valoarea în $-1$ este $-a+b-c+d$, deci criteriul e: $-1$ e soluție exact când $b+d=a+c$. c) Pentru $2x^3+9x^2+3x-14=0$: suma coeficienților e $2+9+3-14=0$, deci $1$ e soluție; în schimb $b+d=9-14=-5$ și $a+c=2+3=5$, deci $-1$ nu e. Horner cu $\alpha =1$ pe $2$, $9$, $3$, $-14$ dă rândul $2$, $11$, $14$, $0$, deci rămâne $2x^2+11x+14=0$, cu $\Delta =9$ și $x=\frac{-11\pm 3}{4}$, adică $-2$ și $-\frac{7}{2}$.

De reținut

• Cele două tipare ale problemei se recunosc din primul rând: o formulă cu $\ast$ sau un polinom cu o literă printre coeficienți.
• La o lege dată prin formulă, forma factorizată se scrie înainte de prima cerință: din ea ies și elementul neutru, și simetricul.
• Un element care face produsul nul „înghite" legea: el nu are simetric și se scoate din mulțime când se cere structura de grup.
• La polinoame, semnele relațiilor lui Viète alternează; controlul rapid e că $S_1$ are semn opus coeficientului dominant următor.
• Ipoteza „$f$ se divide cu $X-\alpha$" se traduce imediat prin $f(\alpha )=0$, iar forma restului se citește din gradul împărțitorului, înaintea oricărui calcul.

Greșeli frecvente

• Se desface paranteza greșit la forma factorizată. Din $(x-a)(y-a)+a$ iese termenul liber $a^2+a$, nu $a^2$; verificarea se face desfăcând, nu din memorie.
• Se caută simetricul unui element care nu-l are. Înainte de a rezolva $x\ast x^{\prime }=e$, se verifică dacă $x$ este chiar elementul care anulează produsul; acolo ecuația nu are soluție.
• Se uită coeficienții nuli la schema lui Horner. Un polinom de gradul al treilea are patru coeficienți; dacă în enunț lipsește un termen, în rândul de sus se scrie $0$ pe locul lui.
• Se copiază coeficienții în relațiile lui Viète fără să se alterneze semnele. E greșeala din Exemplul 5: rezultatul iese cu semn schimbat, iar calculul pare corect.
• Se rezolvă în ${\mathbb{Z}}_n$ cu împărțire. În clasele de resturi nu se împarte: se înmulțește cu inversul, iar inversul există numai pentru anumite clase.

Aplică acasă

1. Sortează culegerea. Deschide capitolul de algebră al unei culegeri și pune pe fiecare problemă, fără s-o rezolvi, una dintre două etichete: „lege" sau „polinom". Apoi, numai pentru primele cinci, scrie primul gest pe care l-ai face — rescrierea legii sau valoarea polinomului într-un punct.

2. Atelierul de factorizări. Ia cinci legi din caiet și adu-le la forma factorizată, notând lângă fiecare elementul neutru obținut. Verifică apoi neutrul prin calcul direct, pe un element ales de tine.

3. Trei polinoame, trei probe. Alege trei împărțiri de polinoame făcute la clasă și verifică-le pe toate prin înmulțire înapoi, coeficient cu coeficient. Notează la câte dintre ele proba a scos o nepotrivire și unde anume se afla ea în calcul.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri: dacă elevul recunoaște tiparul problemei înainte de a calcula, dacă aduce o lege la forma factorizată din proprie inițiativă și dacă știe că o ipoteză de divizibilitate se traduce printr-o valoare nulă a polinomului.

Întrebări de control: „Ce înseamnă că o lege e internă?"; „De unde se citește elementul neutru al unei legi factorizate?"; „Ce formă are restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea și de ce?"; „De ce nu se împarte în clasele de resturi?".

Semne că a înțeles: scrie forma factorizată fără să i se ceară; pune zerourile lipsă în schema lui Horner; face proba la fiecare împărțire; nu transportă valoarea parametrului de la o cerință la alta.

Programa și examenul. Tema aparține suplimentului: ea se află în programa de examen pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) aprobată prin OMEN 4430/2014, la domeniul de algebră, cu rândurile „Lege de compoziție internă, tabla operației", „Grup, exemple", „Inel, exemple", „Corp, exemple" și cele despre inele de polinoame peste un corp comutativ, și se dă în sesiunile 2027, 2028 și 2029. Programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu o mai cuprinde la clasa a XII-a, iar la proba MAT_P2 din 2030 tema nu figurează în programa de examen: pentru acea generație lecția rămâne lectură suplimentară, nu materie de probă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

La ce subiect al probei de Bacalaureat M2 apar structurile algebrice și polinoamele? La Subiectul al II-lea, ca a doua problemă, cu trei cerințe de câte $5$ puncte. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, acea problemă este despre un polinom; structurile algebrice nu apar în acel model, deși programa de examen din 2014 le conține. Cerințele scurte pe aceleași teme pot cădea și la Subiectul I.

Ce este diferit față de mate-info (M1) la structuri algebrice? Materia e mult mai scurtă la M2. Programa din 2014 pentru științe ale naturii cere legea de compoziție, grupul, inelul și corpul cu exemple, atât; la mate-info se adaugă un întreg strat de rezultate suplimentare, desfășurat acolo pe mai multe lecții. Comparația se vede în versiunea pentru mate-info (M1).

De ce tema aceasta dispare din 2030? Fiindcă programa nouă de la științe ale naturii nu mai cuprinde structurile algebrice și polinoamele de clasa a XII-a, iar programa de examen MAT_P2 e construită pe ea. Elevii care dau examenul în 2027, 2028 sau 2029 sunt însă pe programa veche, deci pentru ei tema rămâne materie de probă.

Cum îmi dau seama repede dacă o lege are element neutru? Adu legea la forma factorizată. Dacă ea se scrie $(x-a)(y-a)+a$, elementul neutru este $a+1$, obținut din $e-a=1$. Dacă legea nu se lasă scrisă așa, rezolvi direct ecuația $x\ast e=x$ și verifici că soluția nu depinde de $x$ — altfel legea nu are element neutru.

Ce fac dacă nu găsesc nicio rădăcină a polinomului? Cauți printre divizorii termenului liber, iar dacă și coeficientul dominant e diferit de $1$, printre fracțiile formate cu divizorii celor doi. Metoda completă e la Ecuații algebrice cu coeficienți întregi. Dacă niciun candidat nu anulează polinomul, ecuația nu are soluții raționale.

Pot folosi relațiile lui Viète fără să știu rădăcinile? Da, și tocmai de aceea sunt utile: ele leagă sumele și produsele rădăcinilor de coeficienți, fără să ceară rezolvarea ecuației. Din ele se calculează suma pătratelor, suma inverselor sau semnul produsului. Programa de examen din 2014 le cere pentru polinoame de grad cel mult $4$.