Ce arată semnul derivatei (x+1)²e^(x)?

Ambii factori sunt nenegativi, iar derivata se anulează doar în -1. Prin urmare funcția (x²+1)e^(x) este crescătoare pe tot ℝ, iar -1 nu este punct de extrem.

Cum arăt că derivata are forma din enunț?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Derivate și integrale

Derivezi funcția cu regula potrivită, apoi aduci rezultatul la forma cerută, de obicei prin factor comun. Exemplu: pentru $f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$ , regula produsului dă $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} + 1) e^{x} = (x^{2} + 2 x + 1) e^{x}$ . Dacă enunțul cere $f^{'} (x) = (x + 1)^{2} e^{x}$ , mai recunoști pătratul: $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ . Nu pornești de la rezultat spre funcție, ci de la funcție spre rezultat.

Ultima parte a probei adună toată analiza matematică: la fiecare dintre cele două probleme, trei cerințe de cinci puncte se construiesc pe aceeași funcție, scrisă o dată deasupra. La problema de derivate cerințele urcă — derivata, o limită în care ea apare, apoi o proprietate a funcției pe tot domeniul — și toate trei se sprijină pe primul rezultat; de aceea o derivată care nu coincide cu ținta din enunț se reia, nu se duce mai departe.

O cerință de tipul „Arătați că derivata este…" se rezolvă pornind de la funcție: recunoști felul expresiei — produs, cât, funcție compusă, sumă — și scrii regula potrivită, pas cu pas; când apare o exponențială înmulțită cu un polinom, ultima mișcare e factorul comun. Dacă cele două forme arată diferit, se calculează amândouă într-un punct comod.

La problema de integrale, primul gest e o simplificare algebrică: desfaci parantezele, împarți fiecare termen la numitor, reduci fracția. Abia apoi se caută rândul potrivit din tabelul primitivelor, adunat aici, o singură dată în toată clasa, cu cele paisprezece rânduri și cu intervalele lor — coloana intervalelor nu e decor. Metoda se alege după formă: tabel și liniaritate; integrare prin părți la un produs de funcții de naturi diferite; schimbare de variabilă când derivata unei expresii apare ca factor. Volumul corpului de rotație cere pătratul funcției.

De reținut

„Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ”: se pornește de la funcție și se ajunge la forma dată
înainte de tabel, expresia de sub integrală se simplifică algebric
volumul de rotație: $π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ , verificat pe corpurile cunoscute

Greșeala tipică

La o cerință „Arătați că $f^{'} (x) = (x + 1)^{2} e^{x}$ ” se derivează corect, dar rezultatul $(x^{2} + 2 x + 1) e^{x}$ se lasă așa; cerința e îndeplinită abia după ce se recunoaște pătratul $(x + 1)^{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f : R ∖ {- 5} \to R$ , $f (x) = \frac{3 x - 2}{x + 5}$ . Care este $f^{'} (x)$ ?
- a) $\frac{- 17}{( x + 5 ) ^{2}}$
- b) $\frac{3}{( x + 5 ) ^{2}}$
- c) $\frac{17}{( x + 5 ) ^{2}}$
- d) $\frac{13}{( x + 5 ) ^{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{17}{( x + 5 ) ^{2}}$

Cu regula câtului, numărătorul derivatei este $3 (x + 5) - (3 x - 2) \cdot 1 = 3 x + 15 - 3 x + 2 = 17$ , iar numitorul $(x + 5)^{2}$ . Varianta a) scade în ordinea inversă; b) derivează separat numărătorul și numitorul; d) scade $2$ din $15$ în loc să-l adune.
Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 48 x + 7$ , are derivata $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 48$ . Pe ce interval este $f$ strict descrescătoare?
- a) $(- \infty, - 4]$
- b) $[- 4, 4]$
- c) $[4, + \infty)$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[- 4, 4]$

Derivata se scrie $3 (x - 4) (x + 4)$ și este negativă exact între rădăcini, adică pentru $x \in (- 4, 4)$ ; funcția este deci strict descrescătoare pe $[- 4, 4]$ . Pe celelalte două intervale derivata este pozitivă, deci funcția crește, iar varianta d) ar cere o derivată de semn constant.
Calculează $\int_{1}^{2} (12 x^{2} - 6 x + 5) d x$ .
- a) $30$
- b) $36$
- c) $18$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $24$

O primitivă este $4 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$ . Valoarea ei în $2$ este $32 - 12 + 10 = 30$ , iar în $1$ este $4 - 3 + 5 = 6$ , deci integrala este $30 - 6 = 24$ . Varianta a) oprește calculul la capătul de sus; b) adună cele două valori; c) scade greșit termenul de gradul al doilea.

Întrebări conexe

Cum simplific expresia de sub integrală înainte de tabel?

Împarți, desfaci sau reduci până rămân rânduri din tabel. La $\int_{1}^{2} \frac{x ^{2} + 3 x}{x} d x$ , pentru $x > 0$ , fracția devine $x + 3$ , iar integrala este $(\frac{x ^{2}}{2} + 3 x)_{1}^{2} = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$ . Simplificarea cu $x$ este permisă, fiindcă intervalul $[1, 2]$ nu conține zero.

Cum calculez o limită cu derivata calculată înainte?

O limită de forma $lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ este chiar $f^{'} (a)$ . Pentru $f (x) = x^{3}$ și $a = 2$ , derivata $3 x^{2}$ dă $12$ , fără alt calcul. De aceea o derivată greșită la prima cerință strică și cerința următoare.

Cum verific un volum de rotație cu formula din gimnaziu?

La un profil simplu, corpul este unul cunoscut. Pentru $f (x) = 3$ pe $[0, 2]$ , integrala dă $π \int_{0}^{2} 9 d x = 18 π$ , iar cilindrul cu raza $3$ și înălțimea $2$ are tot $π \cdot 9 \cdot 2 = 18 π$ .

Ce arată semnul derivatei $(x + 1)^{2} e^{x}$ ?

Ambii factori sunt nenegativi, iar derivata se anulează doar în $- 1$ . Prin urmare funcția $(x^{2} + 1) e^{x}$ este crescătoare pe tot $R$ , iar $- 1$ nu este punct de extrem.

Cum verific o primitivă găsită la o problemă cu integrale?

O derivezi și compari cu funcția de sub integrală. Pentru $F (x) = (x - 1) e^{x}$ , $F^{'} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ , deci $F$ este o primitivă a lui $x e^{x}$ . Proba durează mai puțin decât rezolvarea.

Oamenii mai întreabă și: arătați că f prim de x este egal cu · cum demonstrez derivata dată în enunț · derivata cu factor comun e la x · cerința cu derivata la subiectul 3