Subiectul al III-lea: derivate și integrale (M2, științe ale naturii)

Un inginer care proiectează un rezervor are nevoie de două numere care par fără legătură: cât de repede crește nivelul apei într-o clipă și cât lichid încape în vas. Primul se citește dintr-o derivată, al doilea dintr-o integrală, iar cele două operații sunt inverse. Ultima pagină a probei de matematică de la Bacalaureatul M2, proba pe care o dai la finalul clasei a XII-a, pune exact aceste două întrebări, în această ordine: o problemă despre derivate și una despre integrale, fiecare cu trei cerințe legate între ele.

Lecția aceasta de clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), este singura recapitulare de analiză matematică a clasei — la mate-info partea aceasta ocupă șapte lecții, aici încape într-una singură, fiindcă programa de analiză a profilului este mai scurtă: fără șiruri, fără teorema lui Rolle, fără sume Riemann. Tot aici este adunat, o singură dată în toată clasa, tabelul complet al primitivelor, cu cele paisprezece rânduri. La Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029, analiza matematică se dă la Subiectul al III-lea, singurul subiect care o conține; conținuturile ei sunt în programa de examen din 2014, iar din 2030 rămân în probă, la domeniul Analiză matematică al programei MAT_P2.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști cele trei trepte ale problemei de derivate: derivata, o limită, o proprietate globală a funcției.
• Vei ști să redactezi o cerință „Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$" pornind de la funcție și ajungând exact la expresia dată.
• Vei ști să simplifici algebric expresia de sub integrală înainte de a căuta un rând în tabel.
• Vei ști să folosești tabelul complet al primitivelor, cu intervalele lui, și să faci proba fiecărui rând prin derivare.
• Vei ști să alegi între tabel, integrare prin părți și schimbare de variabilă după forma integrandului.
• Vei ști să calculezi volumul unui corp de rotație și să-l verifici cu formula cunoscută din gimnaziu.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este Subiectul al III-lea?

Subiectul al III-lea este partea de analiză matematică a probei: două probleme, fiecare cu trei cerințe de câte $5$ puncte, deci $30$ de puncte în total. Deosebirea față de prima pagină: cele trei cerințe ale unei probleme pleacă de la aceeași funcție, scrisă o singură dată, deasupra. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, prima problemă este despre derivate, a doua despre integrale. La cea de derivate, b) folosește chiar derivata calculată la a), iar c) se sprijină tot pe ea; la cea de integrale, integralele de la a) și b) se calculează una fără alta, iar ce le leagă e funcția comună și aceeași simplificare algebrică.

Consecința practică: la problema de derivate, prima cerință e și cea mai simplă, și cea mai importantă, fiindcă pe ea se sprijină celelalte două. În modelul oficial, ea este o cerință „Arătați că", deci cu ținta scrisă în enunț.

2. Cele trei trepte ale problemei de derivate

Prima problemă urcă, la fiecare subpunct, un nivel — tiparul acesta descrie un singur model publicat, nu o regulă a probei. Treapta întâi cere derivata, cu ținta scrisă: aplici regulile de derivare și aduci rezultatul la forma din enunț. Treapta a doua cere o limită în care apar funcția și derivata ei — o nedeterminare $\frac{0}{0}$, ridicată fie cu regula lui l'Hôspital, fie recunoscând în ea definiția unei derivate. Treapta a treia cere o proprietate globală: monotonia, un punct de extrem, o inegalitate pe o parte a domeniului.

Cele trei trepte se sprijină pe același obiect: derivata calculată la a). De aceea, dacă ea nu coincide cu expresia din enunț, nu mergi mai departe, ci reiei calculul. Uneltele sunt cele din clasa a XI-a: Reguli de derivare, Tabelul derivatelor, Monotonia cu derivata și Puncte de extrem.

3. Cum arăți că $f^{\prime }(x)=\dots$?

Pornești de la funcție, nu de la ținta din enunț: identifici structura — produs, cât, compunere, sumă — și aplici regula potrivită, scriind fiecare pas. La produsele cu exponențială, ultimul gest e același: dai factor comun $e^x$ și grupezi restul într-o paranteză.

Când nu ajungi la forma din enunț, verifică în ordine: semnul din regula câtului (la numărător stă $f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$, nu invers), factorul adus de derivata interiorului la funcțiile compuse, aducerea la același numitor. Dacă expresia ta și cea din enunț arată diferit, calculează-le pe amândouă într-un punct comod: două expresii egale dau același număr.

4. De ce începe problema de integrale cu o simplificare algebrică?

Fiindcă expresia de sub integrală e împachetată: o fracție cu numitor simplu, un pătrat nedesfăcut, o diferență care se reduce, un raport cu numărătorul egal cu derivata numitorului. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, primele două cerințe ale problemei de integrale încep amândouă cu o astfel de simplificare.

Gestul e recunoașterea din Primitive: cum recunoști funcția. Întrebi, în ordine: se desface o paranteză? se împarte termen cu termen? se simplifică o fracție? se sparge o sumă? Abia după ce răspunsul e „nu" la toate, cauți rândul din tabel; ordinea inversă costă timp.

5. Tabelul complet al primitivelor

Tabelul de mai jos nu aduce nimic nou: este reluarea, într-un singur loc, a celor paisprezece rânduri construite în Tabelul primitivelor: puteri și radicali, Primitive cu exponențială și logaritm și Primitive trigonometrice și cu arctangentă. Sunt adunate aici pentru prima și singura dată; deducerile rămân acolo.

Trei observații care se pierd ușor. Coloana a patra nu e decor: rândurile $2$, $6$, $11$ și $12$ au domeniul întrerupt, iar o primitivă se scrie pe un interval, nu pe o reuniune; rândurile $3$, $4$, $5$ și $14$ cer un interval anume, iar celelalte sunt pe $\mathbb{R}$. Rândul $8$ acoperă și exponențialele cu exponent multiplu de $x$: $e^{kx}$ se citește ca ${\left(e^k\right)}^x$, adică rândul $8$ cu baza $e^k$ — o proprietate a puterilor, nu o metodă de integrare. Rândul $6$ se scrie cu modul, iar modulul dispare doar când intervalul de lucru e cuprins în $(0,+\infty )$.

Proba oricărui rând e aceeași și durează câteva secunde: derivezi coloana a treia și trebuie să obții coloana a doua. Tabelul primitivelor este, de fapt, tabelul derivatelor de la clasa a XI-a citit de la dreapta la stânga.

6. Care dintre cele trei metode?

Alegerea se face după forma integrandului, iar arborele de decizie complet este în Cum alegi metoda de integrare. Pe scurt: dacă expresia simplificată este un rând din tabel sau o combinație liniară de rânduri, se integrează direct. Dacă este un produs între două funcții de naturi diferite — un polinom cu o exponențială, un polinom cu un logaritm —, se integrează prin părți, o dată sau de două ori: Integrarea prin părți și forma ei repetată. Dacă se vede înăuntru o expresie a cărei derivată apare, până la un factor numeric, ca factor în afară, se face schimbare de variabilă.

Semnalul cel mai clar la ultimul tip e o fracție cu numărătorul egal cu derivata numitorului: integrala e atunci logaritmul numitorului. Un $x$ singur lângă o expresie în $x^2$ e același semnal, cu factorul $\frac{1}{2}$ în față.

7. Volumul corpului de rotație și proba lui

Formula este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ — cu pătratul funcției, nu cu funcția; fără pătrat, expresia nu are nicio semnificație geometrică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, ultima cerință a problemei de integrale nu cere volumul de-a dreptul: ea dă volumul corpului obținut prin rotirea graficului unei funcții în jurul axei $Ox$ ca multiplu de $\frac{\pi }{3}$ și cere numărul real cu care se înmulțește. Volumul se calculează la fel, dar se și pune într-o egalitate.

Avantajul cerinței e că are o probă independentă: un profil constant dă un cilindru, unul de gradul întâi și pozitiv dă un trunchi de con, iar un semicerc dă o sferă. Rezultatul integralei se confruntă cu formula din gimnaziu — vezi Volumele corpurilor de rotație —, iar dacă cele două numere nu coincid, greșeala e în calcul, nu în geometrie.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Aici trebuie făcută o distincție de calendar, pentru că cele două generații de elevi dau examene diferite. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, la elementele de analiză matematică, rândurile „Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale", „Definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz-Newton", „Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare", „Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă", „Aria unei suprafețe plane" și „Volumului unui corp de rotație". Sunt exact uneltele din lecția de față.

Merită spus și cum arată proba, din sursa cea mai apropiată: modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Subiectul al III-lea are două probleme, fiecare cu trei cerințe de câte $5$ puncte; prima problemă este despre derivate, a doua despre integrale, iar ultima cerință a celei de-a doua cere numărul real pentru care volumul unui corp de rotație are o valoare dată. Cerințele din lecție sunt construite pe temele din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Prima treaptă: derivata unui produs cu exponențială

Reluare: exercițiul 13 din Reguli de derivare, adus aici ca subpunct a) al unei probleme de Subiectul al III-lea. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f\left(x\right)=\left(x^2+2\right)e^x$. Arată că $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x+2\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Funcția e un produs, deci se derivează cu regula produsului: $f^{\prime }(x)={\left(x^2+2\right)}^{\prime }{e}^x+\left(x^2+2\right){\left(e^x\right)}^{\prime }=2x{e}^x+\left(x^2+2\right)e^x$. Dăm factor comun $e^x$ și grupăm: $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x+2\right)$, adică exact expresia din enunț. Proba într-un punct: pentru $x=0$ avem $f^{\prime }(0)=1\cdot 2=2$, iar din prima formă $0+2=2$.

Exemplul 2 — A doua treaptă: o limită cu nedeterminare

Reluare: exercițiul 13 din Regula lui l'Hôspital. Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$. Arată că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=1$.

Rezolvare. Întâi se constată nedeterminarea, altfel regula nu se poate aplica: $f(1)=1\cdot \ln 1=0$ și numitorul tinde tot la $0$, deci cazul este $\frac{0}{0}$. Derivăm separat numărătorul și numitorul: $(x\ln x{)}^{\prime }=\ln x+1$ și $(x-1{)}^{\prime }=1$. Raportul derivatelor tinde la $\ln 1+1=1$, deci limita cerută este $1$. Se putea și altfel: raportul este chiar $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$, adică definiția derivatei lui $f$ în punctul $1$, iar $f^{\prime }(1)=\ln 1+1=1$.

Exemplul 3 — A treia treaptă: monotonia din semnul derivatei

Reluare: exercițiul 13 din Monotonia cu derivata. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{-4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determină intervalele de monotonie ale funcției $f$.

Rezolvare. a) Cu regula câtului, numărătorul derivatei este $2x\left(x^2+1\right)-\left(x^2+3\right)\cdot 2x=2x^3+2x-2x^3-6x=-4x$, iar numitorul e ${\left(x^2+1\right)}^2$; deci $f^{\prime }(x)=\frac{-4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$. b) Numitorul este strict pozitiv pentru orice $x$ real, așa că semnul derivatei este semnul lui $-4x$: pozitiv pentru $x<0$, negativ pentru $x>0$. Funcția este deci strict crescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict descrescătoare pe $[0,+\infty )$, cu valoarea maximă $f(0)=3$.

Exemplul 4 — Prima cerință a problemei de integrale

Reluare: exercițiul 11 din Formula Leibniz-Newton. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x+7$. a) Arată că $F(x)=\frac{x^3}{3}+2x^2+7x$ este o primitivă a lui $f$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$. c) Calculează ${\int }_{-3}^{0}f(x)dx$.

Rezolvare. a) Cerința se rezolvă derivând, nu integrând: $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=x^2+4x+7=f(x)$, ceea ce trebuia arătat. b) Formula Leibniz-Newton dă ${\int }_0^{3}f(x)dx=F(3)-F(0)=(9+18+21)-0=48$. c) La fel, ${\int }_{-3}^{0}f(x)dx=F(0)-F(-3)=0-(-9+18-21)=12$. Observă că cele două numere diferă, deși intervalele au aceeași lungime: funcția nu e simetrică față de axa $Oy$.

Exemplul 5 — A doua cerință: simplificare, apoi substituție

Reluare: exercițiul 8 din Schimbarea de variabilă. Arată că ${\int }_0^1\frac{2x+5}{x^2+5x+6}dx=\ln 2$.

Rezolvare. Prima privire e la numărător: ${\left(x^2+5x+6\right)}^{\prime }=2x+5$, adică exact numărătorul. Semnalul acesta cere schimbarea de variabilă $t=x^2+5x+6$, cu $dt=(2x+5)dx$. Limitele se schimbă odată cu variabila: pentru $x=0$ avem $t=6$, iar pentru $x=1$ avem $t=12$. Integrala devine ${\int }_6^{12}\frac{dt}{t}$, care este rândul $6$ din tabel; numitorul e strict pozitiv pe $[0,1]$, deci modulul se poate lăsa deoparte. Obținem $\ln 12-\ln 6=\ln \frac{12}{6}=\ln 2$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Reluare: exercițiul 11 din Volumul corpului de rotație. Se consideră $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă. b) Calculează $\mathcal{V}(C_f)$. c) Recunoaște corpul obținut și verifică rezultatul cu formula din gimnaziu.

Rezolvare. a) Funcția e polinomială, deci continuă pe $[0,2]$; fiind strict crescătoare, cea mai mică valoare a ei e $f(0)=1>0$, deci e pozitivă pe tot intervalul. b) $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^2(3x+1{)}^{2}dx$. O primitivă a lui $(3x+1{)}^2$ este $\frac{(3x+1{)}^3}{9}$, deci integrala valorează $\frac{343-1}{9}=38$ și $\mathcal{V}(C_f)=38\pi$. c) Rotind un segment oblic care nu atinge axa se obține un trunchi de con, cu razele bazelor $f(0)=1$ și $f(2)=7$ și înălțimea $2$. Formula din gimnaziu dă $\frac{\pi \cdot 2}{3}\left(49+7+1\right)=\frac{2\pi \cdot 57}{3}=38\pi$ — aceeași valoare.

Să exersăm

Cele optsprezece cerințe de mai jos sunt reluate, cu numărul lor, din lecțiile de analiză ale claselor a XI-a și a XII-a; primele nouă țin de problema de derivate, celelalte de problema de integrale.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare: exercițiul 14 din Reguli de derivare. Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$. Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

2. Reluare: exercițiul 15 din Reguli de derivare. Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-3}{x+1}$. Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{4}{(x+1{)}^2}$.

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare: exercițiul 13 din Derivarea funcțiilor compuse. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{2x}-2x$. Arată că $f^{\prime }(x)=2\left(e^{2x}-1\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

4. Reluare: exercițiul 12 din Regula lui l'Hôspital. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{3x}-3x-1$. Arată că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\frac{9}{2}$.

5. Reluare: exercițiul 14 din Regula lui l'Hôspital. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x^2-7x+4$. Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Reluare: exercițiul 8 din Regula lui l'Hôspital. „Regula lui l'Hôspital se poate aplica oricărui raport de funcții derivabile."

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare: exercițiul 12 din Monotonia cu derivata. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x+5$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și determină intervalele de monotonie ale funcției $f$.

8. Reluare: exercițiul 13 din Puncte de extrem. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-3{)}^2{e}^x$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\left(x^2-4x+3\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determină punctele de extrem ale funcției $f$.

9. Reluare: exercițiul 14 din Monotonia cu derivata. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2+6x-1$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

10. Reluare: exercițiul 7 din Formula Leibniz-Newton. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2+19$. a) Arată că $F(x)=2x^3+19x$ este o primitivă a lui $f$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare: exercițiul 15 din Proprietățile integralei definite. Funcția $f$ este continuă pe $[1,5]$ și se cunosc ${\int }_1^{5}f(x)dx=9$, ${\int }_1^{2}f(x)dx=2$ și ${\int }_4^{5}f(x)dx=3$. Calculează ${\int }_2^{4}f(x)dx$.

12. Reluare: exercițiul 15 din Formula Leibniz-Newton. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^2+6x+5$. a) Arată că funcția $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)=\frac{4x^3}{3}+6x^2+5x$, nu este o primitivă a lui $f$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$.

13. Reluare: exercițiul 14 din Integrarea prin părți. Calculează ${\int }_1^3(x-1)e^{x}dx$.

14. Reluare: exercițiul 16 din Schimbarea de variabilă. Se consideră funcția $g:[0,4]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{4x+9}$. a) Arată că ${\int }_0^{4}g(x)dx=\frac{49}{3}$. b) Arată că ${\int }_0^4\frac{dx}{g(x)}=1$.

15. (Problemă aplicată.) Reluare: exercițiul 14 din Schimbarea de variabilă. O tijă metalică lungă de $3$ cm are densitatea liniară $\rho (x)=\frac{12x}{x^2+3}$ grame pe centimetru, unde $x$ este distanța de la un capăt, în centimetri. Calculează masa tijei, știind că ea este ${\int }_0^3\rho (x)dx$.

16. Reluare: exercițiul 16 din Volumul corpului de rotație. Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=12-2x$, și precizează razele bazelor corpului.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Reluare: exercițiul 14 din Volumele corpurilor de rotație. Arată că bila de rază $6$ are volumul de opt ori mai mare decât bila de rază $3$, și explică de unde vine factorul $8$.

18. (Provocare.) Reluare: exercițiul 18 din Schimbarea de variabilă. Calculează ${\int }_1^e\frac{dx}{x\left({\ln }^{2}x+1\right)}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}$, iar aducerea la același numitor dă $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x}$, pentru $x>0$. Forma cerută e cea cu un singur numitor, deci pasul de adunare a fracțiilor face parte din rezolvare.

2. Cu regula câtului, numărătorul este $1\cdot (x+1)-(x-3)\cdot 1=x+1-x+3=4$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{4}{(x+1{)}^2}$. Numărătorul fiind constant și pozitiv, funcția e strict crescătoare pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului.

3. Derivata lui $e^{2x}$ cere regula lanțului: interiorul $2x$ are derivata $2$, deci ${\left(e^{2x}\right)}^{\prime }=2e^{2x}$. Atunci $f^{\prime }(x)=2e^{2x}-2=2\left(e^{2x}-1\right)$, ceea ce trebuia arătat.

4. Cazul este $\frac{0}{0}$, fiindcă $f(0)=1-0-1=0$. Prima aplicare dă $\frac{3e^{3x}-3}{2x}$, tot $\frac{0}{0}$; a doua dă $\frac{9e^{3x}}{2}$, care tinde la $\frac{9}{2}$.

5. Cazul este $\frac{0}{0}$. Prima aplicare dă $\frac{3x^2+4x-7}{2(x-1)}$, tot $\frac{0}{0}$; a doua dă $\frac{6x+4}{2}=3x+2$, care tinde la $5$. Control fără derivare: $x^3+2x^2-7x+4=(x-1{)}^2(x+4)$, iar $x+4$ tinde la $5$.

6. Fals. Prima condiție a regulii este existența nedeterminării. Contraexemplu: pentru $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2}{x+1}$ răspunsul corect este $\frac{3}{2}$, obținut prin înlocuire, în timp ce raportul derivatelor, $\frac{2x}{1}$, ar da $2$. Aplicată unde nu e cazul, regula produce un rezultat fals.

7. $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $2$; semnele sunt plus, minus, plus. Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$, strict descrescătoare pe $[-2,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$; în punctele de despărțire, $f(-2)=21$ și $f(2)=-11$.

8. a) Cu regula produsului, $f^{\prime }(x)=2(x-3)e^x+(x-3{)}^2{e}^x=e^x(x-3)(2+x-3)=e^x\left(x^2-4x+3\right)$. b) Cum $e^x>0$, semnul derivatei e al trinomului, cu rădăcinile $1$ și $3$: plus, minus, plus. Punct de maxim local $x=1$, cu valoarea $4e$; punct de minim local $x=3$, cu valoarea $0$.

9. $f^{\prime }(x)=3x^2+6x+6=3\left(x^2+2x+2\right)=3\left((x+1{)}^2+1\right)$, sumă dintre un pătrat și un număr strict pozitiv, deci $f^{\prime }(x)\ge 3>0$ pentru orice $x$ real. Domeniul fiind interval, funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

10. a) $F$ e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=6x^2+19=f(x)$. b) ${\int }_0^{3}f(x)dx=F(3)-F(0)=(54+57)-0=111$.

11. Aditivitatea în raport cu intervalul de integrare leagă cele trei bucăți lipite $[1,2]$, $[2,4]$ și $[4,5]$: ${\int }_1^{5}f(x)dx={\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{4}f(x)dx+{\int }_4^{5}f(x)dx$. Prin urmare ${\int }_2^{4}f(x)dx=9-2-3=4$. Nu e nevoie de formula lui $f$: proprietatea lucrează cu valorile integralelor.

12. a) Se derivează: $G^{\prime }(x)=4x^2+12x+5$. În $x=1$ avem $G^{\prime }(1)=21$, iar $f(1)=15$, deci cele două funcții nu coincid — la integrarea termenului $6x$ s-a scris $6x^2$ în loc de $3x^2$. b) O primitivă corectă este $\frac{4x^3}{3}+3x^2+5x$, deci integrala valorează $36+27+15=78$.

13. Produs între un polinom și o exponențială, deci integrare prin părți: se derivează $x-1$ și se integrează $e^x$. Obținem $(x-1)e^x{|}_1^3-{\int }_1^3{e}^{x}dx=2e^3-\left(e^3-e\right)=e^3+e$. Alegerea inversă a factorilor ar fi urcat gradul polinomului, nu l-ar fi coborât.

14. Cu $t=4x+9$ și $dx=\frac{dt}{4}$, limitele devin $9$ și $25$ la amândouă punctele. a) $\frac{1}{4}{\int }_9^{25}\sqrt{t}dt=\frac{1}{4}\cdot \frac{2t\sqrt{t}}{3}{|}_9^{25}=\frac{125-27}{6}=\frac{49}{3}$. b) $\frac{1}{4}{\int }_9^{25}\frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{t}{|}_9^{25}=\frac{5-3}{2}=1$.

15. Cu $t=x^2+3$ avem $12xdx=6dt$, iar limitele devin $3$ și $12$. Masa este $6{\int }_3^{12}\frac{dt}{t}=6\ln \frac{12}{3}=6\ln 4=12\ln 2\approx 8,32$ grame. Valoarea e plauzibilă: densitatea e pozitivă pe tot intervalul, iar tija are doar trei centimetri.

16. Cu $t=12-2x$ și $dx=-\frac{dt}{2}$, limitele devin $10$ și $2$, deci ${\int }_1^5(12-2x{)}^{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_2^{10}{t}^{2}dt=\frac{1000-8}{6}=\frac{496}{3}$ și $\mathcal{V}(C_f)=\frac{496\pi }{3}$. Razele bazelor sunt $f(1)=10$ și $f(5)=2$; proba cu formula trunchiului de con, de înălțime $4$, dă $\frac{\pi \cdot 4}{3}\left(100+20+4\right)=\frac{496\pi }{3}$.

17. Volumul bilei de rază $R$ este $\frac{4\pi R^3}{3}$, deci pentru $R=6$ obținem $288\pi$, iar pentru $R=3$ obținem $36\pi$; raportul lor este $8$. Factorul vine din faptul că volumul depinde de cubul razei: dublând raza, volumul se înmulțește cu $2^3=8$.

18. Cu $t=\ln x$ limitele devin $0$ și $1$, iar integrala devine ${\int }_0^1\frac{dt}{t^2+1}=\mathrm{arctg}t{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$. E rândul $13$ din tabel, cu $a=1$ — singurul loc din capitol unde răspunsul unei integrale este un număr cu $\pi$ fără să fi apărut vreo rotație.

De reținut

• Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe pe aceeași funcție; la problema de derivate, b) folosește derivata calculată la a), iar c) se sprijină tot pe ea.
• O cerință „Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$" se rezolvă derivând și aducând rezultatul la forma din enunț; la produsele cu exponențială, ultimul gest e factorul comun $e^x$.
• Înainte de a căuta un rând din tabel, simplifici algebric expresia de sub integrală.
• Tabelul primitivelor are paisprezece rânduri, fiecare cu intervalul lui, iar proba fiecăruia este o derivare.
• Volumul corpului de rotație este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ — cu pătratul funcției — și se verifică, la profilurile simple, cu formula din gimnaziu.

Greșeli frecvente

• Se merge mai departe cu o derivată care nu coincide cu ținta. La problema de derivate, subpunctele b) și c) se sprijină pe a), deci o expresie greșită acolo golește de sens toate cele cincisprezece puncte ale problemei.
• Se aplică regula lui l'Hôspital fără a verifica nedeterminarea. Dacă raportul are limită prin înlocuire, derivarea separată a numărătorului și a numitorului dă un număr fals.
• Se citește tabelul primitivelor fără coloana intervalelor. Rândurile $2$, $6$, $11$ și $12$ au domeniul întrerupt, iar rândurile $3$, $4$, $5$ și $14$ cer un interval anume; o formulă corectă, scrisă pe un domeniu unde funcția nu există, rămâne un răspuns fals.
• Se uită schimbarea limitelor la substituția dintr-o integrală definită. Odată cu variabila se schimbă și capetele; păstrarea vechilor capete dă un rezultat fără legătură cu problema.
• Se răspunde cu aria la o cerință de volum. Amândouă pleacă din formula Leibniz-Newton, dar volumul cere $\pi$ și pătratul, iar aria niciunul; enunțul decide, nu obișnuința cu capitolul.

Aplică acasă

1. Scrie pe o singură foaie cele paisprezece rânduri ale tabelului, din memorie, apoi verifică-le derivând coloana a treia. Marchează rândurile la care ai greșit intervalul: acolo e pierderea.
2. Ia trei funcții pe care le-ai derivat și calculează, pentru fiecare, integrala derivatei pe un interval la alegere. Compară rezultatul cu diferența valorilor funcției în capete și explică, în două rânduri, de ce coincid.
3. Alege un obiect de rotație din casă — un pahar, o lumânare — și aproximează-i profilul cu o funcție de gradul întâi. Calculează volumul cu integrala, apoi măsoară-l umplându-l cu apă și compară cele două numere, cu unitatea de măsură scrisă.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul duce o cerință „Arătați că" până la forma exactă din enunț, dacă simplifică expresia de sub integrală înainte de a căuta o formulă și dacă folosește tabelul primitivelor cu intervalele lui. Primele două sunt deprinderi de redactare; a treia e singura care cere memorare, și e memorare puțină.

Dificultatea reală nu e calculul, ci legătura dintre subpuncte: o greșeală la a) compromite restul problemei de derivate, iar elevul obișnuit cu exerciții independente merge mai departe cu ea. Antrenamentul util e oprirea deliberată după primul subpunct, cu verificarea rezultatului față de enunț.

Întrebări de control: „Cum arăți că o funcție este primitiva alteia?", „De ce nu se poate aplica regula lui l'Hôspital oricărui raport?", „Ce se schimbă la substituție într-o integrală definită?", „De ce apare pătratul în formula volumului?". Semnele că a înțeles: începe orice cerință „arătați că $F$ e primitivă" derivând, scrie intervalul lângă primitivă și verifică volumele simple cu formula din gimnaziu.

Programa și examenul. Lecția pregătește Subiectul al III-lea al probei E.c) Matematică M_șt-nat, susținută în sesiunile 2027, 2028 și 2029 după programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde conținuturile de analiză sunt primitivele și integrala nedefinită, formula Leibniz-Newton, proprietățile integralei definite, integrarea prin părți și prin schimbare de variabilă, aria unei suprafețe plane și volumul unui corp de rotație. Descrierea probei — trei ore, trei subiecte de câte $30$ de puncte, zece puncte din oficiu, Subiectul al III-lea cu două probleme de câte trei cerințe — este cea din modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026. Pentru generația care va susține proba MAT_P2 din 2030 (programa aprobată prin OMEC 5077/2026, construită pe anexa 28 a OMEC 6930/2025), analiza matematică rămâne unul dintre cele patru domenii evaluabile, dar structura subiectelor nu a fost încă publicată; ce intră și ce iese e descris în Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce conține Subiectul al III-lea la Bacalaureatul M2?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al III-lea are două probleme, fiecare cu trei cerințe de câte $5$ puncte: prima despre derivate, a doua despre integrale. Cerințele unei probleme sunt legate între ele, spre deosebire de cele de la Subiectul I, care sunt independente. Este singurul subiect care conține analiză matematică.

Câte formule de primitive trebuie să știu?

Paisprezece, cele din tabelul de la subsecțiunea $5$. Nu se învață ca o listă: fiecare rând este un rând din tabelul derivatelor de la clasa a XI-a, citit invers, iar proba lui e o derivare de câteva secunde. Ce trebuie reținut cu adevărat e coloana intervalelor, fiindcă acolo se pierd rezultatele corecte scrise pe un domeniu greșit.

De ce se schimbă capetele la substituția dintr-o integrală definită?

Pentru că integrala definită se calculează în noua variabilă, iar capetele ei sunt valorile pe care le ia substituția în capetele vechi. Dacă $t=u(x)$, integrala pe $[a,b]$ devine o integrală pe $[u(a),u(b)]$. Avantajul e că nu mai trebuie să revii la $x$ la sfârșit, cum se face la integrala nedefinită.

Ce leagă între ele cele trei cerințe ale unei probleme?

Înainte de toate, funcția: e scrisă o singură dată, deasupra, și e aceeași la a), b) și c). La problema de derivate legătura e mai strânsă — derivata de la a) e chiar cea folosită la b) și la c). La cea de integrale din modelul oficial, integralele de la a) și b) se calculează independent; comun le rămâne funcția și gestul de simplificare.

Cu ce se deosebește partea aceasta de Subiectul al III-lea de la mate-info (M1)?

La mate-info analiza ocupă șapte lecții de recapitulare, fiindcă programa M1 conține în plus șiruri de integrale, teorema de medie, inegalități cu integrale și arii mărginite de conice. Pentru comparație, lecția despre partea de derivate de la mate-info (M1): Subiectul al III-lea la mate-info (M1): derivate, monotonie, extreme. La M2 toată analiza de examen încape într-o singură recapitulare.

Ce fac dacă derivata nu-mi iese ca în enunț?

Nu treci mai departe. Verifică, în ordine, semnul de la regula câtului, factorul adus de derivata interiorului la funcțiile compuse și aducerea la același numitor. Dacă tot nu se potrivește, calculează ambele expresii într-un punct comod, de pildă $x=0$: dacă numerele diferă, greșeala e în calculul tău.

Se cere aria la Subiectul al III-lea, nu doar volumul?

Aria unei suprafețe plane este în programa de examen din 2014, alături de volumul corpului de rotație, deci ambele sunt conținuturi evaluabile. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, ultima cerință a problemei de integrale se sprijină pe un volum de rotație: cere numărul real pentru care volumul are o valoare dată. Pregătirea le acoperă pe amândouă, cu atât mai mult cu cât aria se calculează cu aceeași formulă Leibniz-Newton, doar fără pătrat și fără $\pi$.