Cum integrez (3x-1)⁵ fără să desfac paranteza?

Notezi t=3x-1, cu dx= dt/3. Pe [0,1] limitele devin -1 și 2, deci integrala este 1/3∫₋₁²t⁵ dt= 1/3· (64-1)/6= 7/2. Desfacerea puterii a cincea ar cere mult mai mult calcul.

Când notez t=x²+a la o integrală?

Când un x liber stă lângă o expresie în x²+a. La ∫₀¹ x/(x²+1) dx, cu t=x²+1 și x dx= dt/2, limitele devin 1 și 2, iar rezultatul este 1/2ln2.

Ce substituție se potrivește la e^(x)/(e^(x)+1)?

Numărătorul este derivata numitorului, deci notezi t=e^(x)+1, cu dt=e^(x) dx. Pe [0,1] limitele devin 2 și e+1, iar integrala este ln (e+1)/2≈0,62. Tiparul e general: când numărătorul este derivata numitorului, rezultatul este logaritmul numitorului.

Când notez t = ln x la o integrală?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Cele cinci substituții

Când în integrand apar împreună $ln x$ și factorul $\frac{1}{x}$ , adică derivata logaritmului. Atunci $d t = \frac{d x}{x}$ și nu trebuie reparat nimic. Exemplu: $\int_{1}^{e^{2}} \frac{( l n x ) ^{2}}{x} d x$ . Limitele devin $ln 1 = 0$ și $ln e^{2} = 2$ , iar integrala se reduce la $\int_{0}^{2} t^{2} d t = \frac{8}{3}$ . Semnul de recunoaștere este un $x$ la numitor lângă un logaritm.

Egalitatea din lecția precedentă arată mecanismul; aici se află răspunsul la singura întrebare practică: ce primește litera $t$ ? Rândurile tabelului fiind puține, iar dintre expresiile care pot sta înăuntru doar câteva având derivata tot un rând de tabel, lista se închide repede: $t = ln x$ , $t = sin x$ , $t = x^{2} + a$ , $t = a x + b$ și $t = cos x$ .

Ordinea lor măsoară efortul. Primele două nu cer nicio corectură — la logaritm factorul $\frac{1}{x}$ e deja acolo, la sinus e $cos x$ . A treia cere $\frac{1}{2}$ : derivata lui $x^{2} + a$ e $2 x$ , iar afară a rămas un singur $x$ . A patra cere $\frac{1}{a}$ , pentru că acolo derivata expresiei dinăuntru este o constantă, care nu se vede nicăieri și se obține prin împărțire. A cincea cere minusul din derivata cosinusului.

Semnul se calculează de fiecare dată. Pentru $5 - cos x$ derivata iese $+ sin x$ , deci nu mai rămâne nimic de corectat, deși cosinusul e la vedere.

Proba raportului taie discuția în câteva clipe: împărțirea factorului liber la derivata expresiei alese dă fie o constantă — și atunci tiparul ține —, fie ceva ce mai conține $x$ , și atunci nu. Două forme rămân pe dinafară: $e^{k x}$ , care e rând de tabel, și produsele de feluri deosebite, care merg la cealaltă tehnică.

De reținut

$\frac{1}{x}$ lângă $ln x$ : $t = ln x$ ; $cos x$ lângă $sin x$ : $t = sin x$
$x$ liber lângă $x^{2} + a$ : $t = x^{2} + a$ , cu factorul $\frac{1}{2}$
$a x + b$ sub o putere: $t = a x + b$ , cu factorul $\frac{1}{a}$

Greșeala tipică

La $\int (3 x - 1)^{5} d x$ cu $t = 3 x - 1$ se uită factorul $\frac{1}{3}$ , ca și cum $d t$ ar fi egal cu $d x$ ; derivata lui $3 x - 1$ este $3$ , deci $d x = \frac{d t}{3}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $\int_{0}^{3} (7 - 2 x)^{2} d x$ ?
- a) $57$
- b) $114$
- c) $- 57$
- d) $\frac{343}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $57$

Tiparul al patrulea, cu $a = - 2$ : din $t = 7 - 2 x$ rezultă $d x = - \frac{d t}{2}$ , iar limitele devin $7$ și $1$ . Atunci $- \frac{1}{2} \int_{7}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{2} \int_{1}^{7} t^{2} d t = \frac{343 - 1}{6} = 57$ . Varianta b) uită împărțirea la $2$ , c) inversează capetele fără să schimbe semnul, iar d) sare peste valoarea din capătul de jos.
Cât este $\int_{0}^{π /6} cos x sin^{2} x d x$ ?
- a) $\frac{1}{24}$
- b) $\frac{1}{8}$
- c) $- \frac{1}{24}$
- d) $\frac{π ^{3}}{648}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{24}$

Tiparul al doilea, nimic de reparat: cu $t = sin x$ avem $d t = cos x d x$ , iar limitele devin $0$ și $\frac{1}{2}$ . Rezultă $\int_{0}^{1/2} t^{2} d t = \frac{t ^{3}}{3}_{0}^{1/2} = \frac{1}{24}$ . Varianta b) uită împărțirea la $3$ din primitiva puterii, c) scoate un semn minus care nu există, fiindcă derivata sinusului este $+ cos x$ , iar d) păstrează limitele vechi.
Cât este $\int_{0}^{4} \frac{x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} d x$ ?
- a) $\frac{4}{9}$
- b) $\frac{2}{9}$
- c) $\frac{1}{2} ln 9$
- d) $- \frac{2}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{2}{9}$

Tiparul al treilea, de reparat factorul $\frac{1}{2}$ : cu $t = x^{2} + 2$ limitele devin $2$ și $18$ , iar $\frac{1}{2} \int_{2}^{18} \frac{d t}{t ^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{18}) = \frac{2}{9}$ . Varianta a) uită factorul, c) cade pe rândul logaritmului, deși la numitor stă un pătrat, iar d) scade valorile primitivei în ordine inversă.

Întrebări conexe

Când notez $t = sin x$ la o integrală?

Când lângă o expresie în $sin x$ apare factorul $cos x$ , derivata sinusului. De exemplu, $\int_{0}^{π /2} cos x e^{s i n x} d x$ devine, cu limitele $0$ și $1$ , $\int_{0}^{1} e^{t} d t = e - 1$ . Fără factorul $cos x$ , substituția nu ar funcționa, pentru că $d x$ nu ar avea cu ce să fie înlocuit.

Cum integrez $sin x cos^{2} x$ de la $0$ la $\frac{π}{2}$ ?

Notezi $t = cos x$ , cu $d t = - sin x d x$ , iar limitele devin $1$ și $0$ . Integrala este $- \int_{1}^{0} t^{2} d t = \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$ . Minusul din derivata cosinusului se compensează prin inversarea limitelor. Același procedeu merge pentru orice putere a cosinusului înmulțită cu $sin x$ .

Cum integrez $(3 x - 1)^{5}$ fără să desfac paranteza?

Notezi $t = 3 x - 1$ , cu $d x = \frac{d t}{3}$ . Pe $[0, 1]$ limitele devin $- 1$ și $2$ , deci integrala este $\frac{1}{3} \int_{- 1}^{2} t^{5} d t = \frac{1}{3} \cdot \frac{64 - 1}{6} = \frac{7}{2}$ . Desfacerea puterii a cincea ar cere mult mai mult calcul.

Când notez $t = x^{2} + a$ la o integrală?

Când un $x$ liber stă lângă o expresie în $x^{2} + a$ . La $\int_{0}^{1} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ , cu $t = x^{2} + 1$ și $x d x = \frac{d t}{2}$ , limitele devin $1$ și $2$ , iar rezultatul este $\frac{1}{2} ln 2$ .

Ce substituție se potrivește la $\frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ ?

Numărătorul este derivata numitorului, deci notezi $t = e^{x} + 1$ , cu $d t = e^{x} d x$ . Pe $[0, 1]$ limitele devin $2$ și $e + 1$ , iar integrala este $ln \frac{e + 1}{2} \approx 0, 62$ . Tiparul e general: când numărătorul este derivata numitorului, rezultatul este logaritmul numitorului.

Oamenii mai întreabă și: substituția t egal ln x · când folosesc t = ln x · integrale cu ln x supra x · schimbare de variabilă cu logaritm

Când notez t = ln x la o integrală?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Când notez t=sinx la o integrală?

Cum integrez sinxcos2x de la 0 la 2π​?

Cum integrez (3x−1)5 fără să desfac paranteza?

Când notez t=x2+a la o integrală?

Ce substituție se potrivește la ex+1ex​?

Continuă cu

Când notez $t = sin x$ la o integrală?

Cum integrez $sin x cos^{2} x$ de la $0$ la $\frac{π}{2}$ ?

Cum integrez $(3 x - 1)^{5}$ fără să desfac paranteza?

Când notez $t = x^{2} + a$ la o integrală?

Ce substituție se potrivește la $\frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ ?