Substituțiile care se dau la examen (M2, științe ale naturii)

Un mecanic bun nu încearcă toate cheile din trusă: se uită la piuliță și întinde mâna direct spre cheia potrivită. La clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), lucrul acesta se învață și la integrale. Lecția anterioară ți-a dat mecanismul schimbării de variabilă, dar nu și răspunsul la singura întrebare care contează în fața unui enunț: ce anume notez cu $t$? Aici primești răspunsul, sub forma a cinci tipare care acoperă ce se cere la bacalaureatul M2, la Subiectul al III-lea, fiecare cu semnul după care se recunoaște dintr-o privire.

Ordinea în care le vei citi nu e întâmplătoare și nici alfabetică. Tiparele sunt așezate după cât ai de reparat după ce ai scris substituția: primele două nu cer nimic, fiindcă derivata expresiei dinăuntru stă deja întreagă în integrand; următoarele două cer un număr scos în față; ultimul cere un semn. Așa se ține minte mai ușor și, mai ales, așa vezi imediat unde poți greși.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi, dintre cinci tipare, pe cel potrivit formei integrandului, fără să încerci la întâmplare.
• Vei ști să deosebești tiparele care nu cer nicio reparație de cele care cer un factor sau un semn.
• Vei ști să faci testul raportului, care spune în câteva secunde dacă substituția aleasă merge sau nu.
• Vei ști să desparți două integrale care arată aproape la fel și se rezolvă prin drumuri diferite.
• Vei ști ce nu se rezolvă prin substituție la profilul tău și de ce, ca să nu pierzi timp.
• Vei ști să folosești tiparele într-un model din chimie, cu unitate de măsură la rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. De ce sunt tiparele puține?

Pentru că formula are o singură formă. Schimbarea de variabilă, așa cum a fost dedusă la Schimbarea de variabilă, cere ca integrandul să arate ca $f(u(x))u^{\prime }(x)$ — adică: o funcție uzuală primește înăuntru o expresie, iar alături stă tocmai derivata expresiei aceleia. Cum funcțiile pe care le poți integra sunt cele din tabelul construit la Tabelul primitivelor: puteri și radicali și în lecțiile care îl completează, iar expresiile care apar la acest nivel sunt și ele puține, combinațiile posibile se numără pe degetele de la o mână.

Un tipar de substituție este o pereche formată dintr-o alegere a expresiei $u(x)$ și din semnul după care se recunoaște în integrand derivata ei. Cele cinci tipare sunt $t=\ln x$, $t=\sin x$, $t=x^2+a$, $t=ax+b$ și $t=\cos x$, în ordinea efortului de reparare.

Mai merită spus de ce cinci și nu șapte sau trei. Numărul nu vine dintr-o numărătoare a subiectelor, ci din ce are voie să apară la acest profil: funcțiile din tabel sunt paisprezece, iar dintre expresiile care se pot afla înăuntrul lor, numai cele cinci de mai jos au derivata la rândul ei o funcție din tabel, deci se pot recunoaște cu ochiul liber. Restul combinațiilor ori nu se pot integra cu ce știi, ori se rezolvă mai simplu altfel. Lista e deci scurtă dintr-un motiv de fond, nu de comoditate.

Am spus „reparare", așa că merită lămurit imediat. După ce ai scris $t=u(x)$ și $dt=u^{\prime }(x)dx$, te uiți ce a rămas lângă funcția compusă. Dacă acolo stă exact $u^{\prime }(x)$, nu ai nimic de făcut. Dacă stă $u^{\prime }(x)$ înmulțit cu un număr, scoți numărul în față prin liniaritate. Dacă stă $-u^{\prime }(x)$, scoți semnul minus — caz particular al celui dinainte, dar cel mai des greșit. Și dacă a rămas altceva, o expresie care mai conține $x$, atunci ai ales prost, iar niciun artificiu nu te salvează.

2. Primul tipar: $t=\ln x$, cu $\frac{1}{x}$ deja la locul lui

Semnul: undeva în integrand apare un $x$ la numitor, iar tot restul e scris cu $\ln x$. Atunci notezi $t=\ln x$, ai $dt=\frac{dx}{x}$ și fracția $\frac{1}{x}$ se transformă întreagă în $dt$, fără niciun factor.

Calculăm ${\int }_1^{e^2}\frac{\sqrt{\ln x}}{x}dx$. Pe intervalul $\left[1,e^2\right]$ avem $\ln x\ge 0$, deci radicalul are sens. Notăm $t=\ln x$, iar limitele devin $\ln 1=0$ și $\ln e^2=2$. Rezultă

$${\int }_1^{e^2}\frac{\sqrt{\ln x}}{x}dx={\int }_0^2\sqrt{t}dt=\frac{2t\sqrt{t}}{3}{|}_0^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$$

Numeric, $\frac{4\sqrt{2}}{3}\approx 1,8856$. Observă că expresia dinăuntru poate fi și ceva construit cu logaritmul, nu doar logaritmul gol: dacă în integrand apare $\ln x+5$ sau $2\ln x+3$, alegerea rămâne aceeași, fiindcă derivata lor este tot $\frac{1}{x}$, înmulțită eventual cu un număr.

3. Al doilea tipar: $t=\sin x$, cu $\cos x$ deja la locul lui

Semnul: un $\cos x$ stă singur, ca factor, iar restul integrandului e scris numai cu $\sin x$. Notezi $t=\sin x$, ai $dt=\cos xdx$ și, din nou, nu e nimic de reparat.

Calculăm ${\int }_0^{\pi /2}\cos x{\sin }^{4}xdx$. Limitele devin $\sin 0=0$ și $\sin \frac{\pi }{2}=1$, deci

$${\int }_0^{\pi /2}\cos x{\sin }^{4}xdx={\int }_0^1{t}^{4}dt=\frac{t^5}{5}{|}_0^1=\frac{1}{5}.$$

Ca și la logaritm, expresia dinăuntru poate fi mai bogată: $1+\sin x$, $4+\sin x$, $3+\sin x$ au toate derivata $\cos x$, deci semnul rămâne același. Ce se schimbă sunt doar capetele, iar ele se calculează la fel — înlocuind $x$ cu valorile din enunț.

4. Al treilea tipar: $t=x^2+a$, cu o constantă de reparat

Semnul: un $x$ singur stă ca factor, iar restul integrandului e scris cu $x^2$. Notezi $t=x^2+a$ și obții $dt=2xdx$ — adică de două ori ce ai în integrand. De aceea apare factorul $\frac{1}{2}$, scos în față.

Calculăm ${\int }_0^2\frac{x}{{\left(x^2+5\right)}^2}dx$. Limitele devin $5$ și $9$, iar $xdx=\frac{dt}{2}$, deci

$${\int }_0^2\frac{x}{{\left(x^2+5\right)}^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_5^9\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{t}\right){|}_5^9=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right)=\frac{2}{45}.$$

Acesta este tiparul care apare în modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii: acolo, la a doua problemă a Subiectului al III-lea, una dintre cerințe are la numitor o expresie de gradul al doilea, iar la numărător exact un $x$ singur.

5. Al patrulea tipar: $t=ax+b$, cu derivata care nu se vede

Semnul: sub o funcție uzuală — o putere, un radical, un logaritm, un sinus — stă o expresie de gradul întâi. Aici derivata dinăuntru este constanta $a$, deci nu are cum să se vadă în integrand: nu o cauți, o fabrici, împărțind la ea.

Calculăm ${\int }_0^2\frac{dx}{(3x+2{)}^2}$. Notăm $t=3x+2$, deci $dt=3dx$ și $dx=\frac{dt}{3}$. Limitele devin $2$ și $8$, iar

$${\int }_0^2\frac{dx}{(3x+2{)}^2}=\frac{1}{3}{\int }_2^8\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}.$$

Tiparul acesta e cel mai comod, dar și cel mai înșelător, fiindcă factorul $\frac{1}{a}$ e ușor de uitat: integrandul arată aproape ca unul din tabel, iar mâna scrie singură rezultatul „ca și cum înăuntru ar fi $x$".

Tot aici intră, ca un caz al aceleiași reguli, funcțiile trigonometrice cu altă frecvență decât $1$. Pentru $\sin (kx)$ sau $\cos (kx)$, cu $k\ne 0$, expresia dinăuntru este $kx$, cu derivata constantă $k$, deci se procedează identic: noile capete sunt $ka$ și $kb$, iar în fața integralei apare $\frac{1}{k}$. Merită reținut, pentru că înainte de lecția aceasta capitolul nu avea cum să integreze decât sinusul și cosinusul „goale", cu frecvența $1$; de acum le ai pe toate.

6. Al cincilea tipar: $t=\cos x$, cu un semn de reparat

Semnul: un $\sin x$ stă singur, ca factor, iar restul integrandului e scris cu $\cos x$. Notezi $t=\cos x$, dar acum $dt=-\sin xdx$, deci $\sin xdx=-dt$: apare un minus care trebuie dus până la capăt.

Calculăm ${\int }_0^{\pi /3}\frac{\sin x}{{\left(\cos x+1\right)}^2}dx$. Notăm $t=\cos x+1$, cu $dt=-\sin xdx$. Limitele devin $\cos 0+1=2$ și $\cos \frac{\pi }{3}+1=\frac{3}{2}$. Deci

$${\int }_0^{\pi /3}\frac{\sin x}{{\left(\cos x+1\right)}^2}dx=-{\int }_2^{3/2}\frac{dt}{t^2}={\int }_{3/2}^2\frac{dt}{t^2}=\left(-\frac{1}{t}\right){|}_{3/2}^2=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}.$$

Cele două schimbări de semn — minusul din $dt$ și inversarea capetelor — s-au anulat una pe alta. Rezultatul iese pozitiv, cum trebuie, fiindcă integrandul e pozitiv pe tot intervalul.

⚠️ Aici stă o capcană pe care merită să o vezi acum: dacă expresia dinăuntru e scrisă cu minus în fața cosinusului, de pildă $5-\cos x$, atunci derivata ei este $+\sin x$, deci nu mai e nimic de reparat. Semnul minus ține de cosinus, nu de felul cum arată integrandul, așa că se calculează de fiecare dată, nu se copiază.

7. Ce nu se rezolvă prin substituție la profilul tău?

Două situații merită numite, ca să nu-ți pierzi timpul cu ele.

Prima: expresiile de forma $e^{kx}$. Ele par funcții compuse, dar la profilul științe ale naturii se citesc altfel — ca o exponențială cu altă bază, fiindcă $e^{kx}={\left(e^k\right)}^x$. Sunt deci chiar un rând al tabelului, cel construit la Primitive cu exponențială și logaritm, și se integrează direct, fără să notezi nimic cu $t$.

A doua: expresiile în care nu se vede nicio derivată dinăuntru, ci un produs de două naturi diferite — un polinom înmulțit cu un sinus, de pildă. Pentru ele există o altă metodă a capitolului, Integrarea prin părți, iar încercarea de a le forța într-un tipar de substituție nu duce nicăieri.

Mai există o situație, mai rară, în care oprirea trebuie făcută din alt motiv: integrandul chiar are forma cerută, dar expresia dinăuntru iese din intervalul pe care funcția exterioară e definită. Un radical din ceva care devine negativ sau un logaritm dintr-o expresie care trece prin zero opresc metoda înainte de primul calcul, oricât de frumos ar arăta tiparul. De aceea intervalul din enunț se citește primul, nu ultimul.

Testul care desparte cele două lumi ține câteva secunde. După ce ai ales candidatul $u$, împarți ce a rămas în integrand la $u^{\prime }(x)$ și te uiți la rezultat: dacă iese un număr, tiparul e bun și numărul acela e chiar factorul de scos în față; dacă iese o expresie în care mai apare $x$, substituția nu se aplică.

8. Cele cinci tipare, într-un singur tabel

Îl parcurgi în ordinea scrisă, rând cu rând, până dai peste semnul pe care îl ai sub ochi în integrand; acolo te oprești. Când niciunul dintre cele cinci semne nu apare, integrandul nu se rezolvă prin substituție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei integrale, trei tipare

Calculați: a) ${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx$; b) ${\int }_0^3\frac{x}{x^2+16}dx$; c) ${\int }_0^1(4x+5{)}^{2}dx$.

Rezolvare. a) Vedem $\cos x$ liber, restul scris cu $\sin x$: tiparul al doilea, $t=\sin x$, nimic de reparat. Limitele devin $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{\pi }{2}=1$, deci ${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx={\int }_{1/2}^1\frac{dt}{t^2}=\left(-\frac{1}{t}\right){|}_{1/2}^1=-1+2=1$.

b) Vedem un $x$ liber lângă $x^2$: tiparul al treilea, $t=x^2+16$, de reparat factorul $\frac{1}{2}$. Limitele devin $16$ și $25$, deci ${\int }_0^3\frac{x}{x^2+16}dx=\frac{1}{2}{\int }_{16}^{25}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{25}{16}=\ln \frac{5}{4}\approx 0,2231$.

c) Vedem gradul întâi sub o putere: tiparul al patrulea, $t=4x+5$, de reparat factorul $\frac{1}{4}$. Limitele devin $5$ și $9$, deci ${\int }_0^1(4x+5{)}^{2}dx=\frac{1}{4}{\int }_5^9{t}^{2}dt=\frac{729-125}{12}=\frac{151}{3}$.

Exemplul 2 — Două care seamănă, două drumuri diferite

Calculați ${\int }_0^5\frac{x}{x^2+25}dx$ și ${\int }_0^5\frac{dx}{x^2+25}$, apoi spuneți ce anume le desparte.

Rezolvare. Numitorul e același, dar numărătorul hotărăște totul. La prima, factorul $x$ de la numărător e jumătate din derivata numitorului, deci avem tiparul al treilea: cu $t=x^2+25$ și limitele $25$ și $50$ obținem $\frac{1}{2}{\int }_{25}^{50}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,3466$.

La a doua nu există niciun $x$ liber, deci niciun tipar nu se potrivește — și nici nu e nevoie: expresia este chiar rândul cu arctangenta din tabel, construit la Primitive trigonometrice și cu arctangentă, cu $a=5$. Prin urmare ${\int }_0^5\frac{dx}{x^2+25}=\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x}{5}{|}_0^5=\frac{1}{5}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{20}\approx 0,1571$.

Ce le desparte este numărătorul, nu numitorul. Un $x$ liber trimite la substituție; lipsa lui trimite la tabel. Și, ca să vezi cât de departe duc cele două drumuri, compară rezultatele: unul conține un logaritm, celălalt un $\pi$. Nu sunt două scrieri ale aceluiași număr, ci două numere care nu au nimic în comun — semn că deosebirea dintre cele două cerințe nu e de nuanță.

Exemplul 3 — Tiparul cu semn

Calculați ${\int }_0^{\pi /4}\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$.

Rezolvare. Vedem $\sin x$ liber, restul scris cu $\cos x$: tiparul al cincilea. Notăm $t=\cos x$, deci $\sin xdx=-dt$. Limitele devin $\cos 0=1$ și $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Atunci

$${\int }_0^{\pi /4}\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx=-{\int }_1^{\sqrt{2}/2}\frac{dt}{t^3}={\int }_{\sqrt{2}/2}^1\frac{dt}{t^3}=\left(-\frac{1}{2t^2}\right){|}_{\sqrt{2}/2}^1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}.$$

La ultimul pas am folosit ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$, deci $\frac{1}{2t^2}$ ia acolo valoarea $1$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev a calculat ${\int }_0^1(5x+2{)}^{2}dx$ astfel: „notez $t=5x+2$, limitele devin $2$ și $7$, deci ${\int }_2^7{t}^{2}dt=\frac{t^3}{3}{|}_2^7=\frac{343-8}{3}=\frac{335}{3}$". Unde a greșit și cât este, de fapt?

Rezolvare. Substituția e potrivită, iar capetele sunt corect calculate — tocmai partea cea mai delicată a metodei e în regulă. Ce lipsește este factorul de reparat: din $t=5x+2$ rezultă $dt=5dx$, deci $dx=\frac{dt}{5}$, iar acel $\frac{1}{5}$ nu apare nicăieri în rezolvarea lui. Corect:

$${\int }_0^1(5x+2{)}^{2}dx=\frac{1}{5}{\int }_2^7{t}^{2}dt=\frac{343-8}{15}=\frac{67}{3}.$$

Rezultatul greșit este exact de cinci ori mai mare decât cel bun. Proba de bun-simț l-ar fi salvat: pe $[0,1]$ integrandul ia valori între $4$ și $49$, deci integrala nu poate depăși $49$, iar $\frac{335}{3}\approx 111,7$ e cu mult peste.

Exemplul 5 — Un model din fizică

La temperaturi joase, capacitatea calorică a unei probe metalice depinde puternic de temperatură; pentru o probă dată ea se descrie prin modelul $C(T)=\frac{8T}{T^2+1}$ jouli pe kelvin, unde $T$ este temperatura probei, în kelvini, cu $T\in [1,3]$. Calculați căldura necesară pentru a încălzi proba de la $1$ K la $3$ K, știind că ea este $Q={\int }_1^{3}C(T)dT$.

Rezolvare. Modelul are sens pe tot intervalul: $C(T)>0$ pentru $T>0$, cum și trebuie să fie o capacitate calorică, iar numitorul nu se anulează. Recunoaștem tiparul al treilea, cu un $T$ liber lângă $T^2$: notăm $s=T^2+1$, deci $ds=2TdT$ și $8TdT=4ds$. Limitele devin $2$ și $10$, iar

$$Q={\int }_1^3\frac{8T}{T^2+1}dT=4{\int }_2^{10}\frac{ds}{s}=4\ln s{|}_2^{10}=4\ln 5\text{J}.$$

Numeric, $4\ln 5\approx 6,44$ jouli. Verificarea de ordin de mărime: pe $[1,3]$ capacitatea calorică ia valori între $2,4$ și $4$ jouli pe kelvin, iar intervalul de temperatură are $2$ kelvini, deci căldura trebuie să fie între $4,8$ și $8$ jouli — iar $6,44$ se încadrează. Observă că aici nu integrăm după timp, ci după temperatură: substituția nu se schimbă cu nimic.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $h:[1,7]\to \mathbb{R}$, $h(x)=\sqrt{x^2+15}$.

a) Arătați că ${\int }_1^7\frac{x}{h(x)}dx=4$.

b) Arătați că ${\int }_1^7\frac{x}{h^2(x)}dx=\frac{1}{2}\ln 4$.

c) Arătați că ${\int }_1^7\frac{x}{{\left(x^2+15\right)}^2}dx=\frac{3}{128}$.

Rezolvare. Toate trei folosesc tiparul al treilea, cu $t=x^2+15$ și $xdx=\frac{dt}{2}$; limitele sunt de fiecare dată $1^2+15=16$ și $7^2+15=64$. Se schimbă numai rândul de tabel pe care cazi după substituție.

a) ${\int }_1^7\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}dx=\frac{1}{2}{\int }_{16}^{64}\frac{dt}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}{|}_{16}^{64}=8-4=4$.

b) Cum $h^2(x)=x^2+15$, avem ${\int }_1^7\frac{x}{x^2+15}dx=\frac{1}{2}{\int }_{16}^{64}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{64}{16}=\frac{1}{2}\ln 4$, adică $\ln 2$.

c) ${\int }_1^7\frac{x}{{\left(x^2+15\right)}^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_{16}^{64}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{64}\right)=\frac{3}{128}$.

Aceeași substituție, aceleași capete, trei rânduri diferite din tabel — iată de ce tiparul se ține minte după semnul din integrand, nu după rezultat. Merită observat și cât de mult diferă cele trei valori între ele, deși cerințele par la fel: forma funcției exterioare, adică rândul de tabel pe care cazi după substituție, hotărăște ordinul de mărime al răspunsului. Un radical la numitor micșorează, un radical la numărător mărește, iar un numitor de gradul al doilea aduce un logaritm, adică un număr mic.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie mai întâi numărul tiparului pe care l-ai recunoscut, apoi ce repari.

1. Calculați ${\int }_0^1\cos (2x-1)dx$.

2. Calculați ${\int }_0^{3}x{\left(x^2+7\right)}^{2}dx$.

3. Calculați ${\int }_e^{e^3}\frac{\ln x-1}{x}dx$.

4. Calculați ${\int }_0^{\pi /6}\frac{\cos x}{{\left(3+\sin x\right)}^2}dx$.

5. Calculați ${\int }_0^{\pi /3}\sin x{\cos }^{4}xdx$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $u$ este derivabilă cu derivată continuă și $u(a)=u(b)$, atunci ${\int }_a^{b}f(u(x))u^{\prime }(x)dx=0$, oricare ar fi funcția continuă $f$.

7. Calculați ${\int }_1^2\frac{dx}{4x-3}$, apoi arătați cu testul raportului că integrala ${\int }_1^2\frac{x}{4x-3}dx$ nu intră în niciunul dintre cele cinci tipare.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\int }_0^2\frac{2x+2}{x^2+2x+4}dx=\ln 3$.

9. Calculați ${\int }_1^{e^4}\frac{dx}{x(\ln x+5)}$.

10. Calculați ${\int }_0^{\pi /2}\cos x\left(4+\sin x\right)dx$.

11. Calculați ${\int }_1^2\sqrt{7x+2}dx$.

12. Calculați ${\int }_0^{1}x{\left(x^2+13\right)}^{2}dx$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\int }_0^2(5-2x{)}^{3}dx=78$.

14. (Problemă aplicată.) Pe o lamă de microscop, numărul de celule pe milimetru la distanța $x$ de marginea probei este $n(x)=\frac{300}{\sqrt{3x+1}}$, cu $x\in [0,5]$ măsurat în milimetri. Calculați numărul total de celule de pe cei cinci milimetri, adică ${\int }_0^{5}n(x)dx$, și spuneți dacă valoarea e plauzibilă.

15. Calculați ${\int }_0^{\pi /3}\frac{\sin x}{{\left(5-\cos x\right)}^2}dx$ și precizați ce repari.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2\ln x+3}{x}$. a) Arătați că ${\int }_1^{e}g(x)dx=4$. b) Arătați că ${\int }_1^{e^2}g(x)dx=10$.

17. Calculați ${\int }_0^{\pi /2}\cos x\sqrt{1+\sin x}dx$.

18. (Provocare.) Calculați ${\int }_1^4\frac{\ln \sqrt{x}}{x}dx$.

Răspunsuri și explicații

1. Tiparul al patrulea, de reparat $\frac{1}{2}$. Cu $t=2x-1$ limitele devin $-1$ și $1$, iar ${\int }_0^1\cos (2x-1)dx=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1\cos tdt=\frac{1}{2}\sin t{|}_{-1}^1=\sin 1\approx 0,8415$, fiindcă $\sin (-1)=-\sin 1$. E cazul frecvenței diferite de $1$, despre care vorbește secțiunea a cincea.

2. Tiparul al treilea, de reparat $\frac{1}{2}$. Cu $t=x^2+7$ limitele devin $7$ și $16$, iar ${\int }_0^{3}x{\left(x^2+7\right)}^{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_7^{16}{t}^{2}dt=\frac{4096-343}{6}=\frac{1251}{2}$.

3. Tiparul întâi, nimic de reparat. Cu $t=\ln x$ limitele devin $1$ și $3$, iar ${\int }_e^{e^3}\frac{\ln x-1}{x}dx={\int }_1^3(t-1)dt=\left(\frac{t^2}{2}-t\right){|}_1^3=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$.

4. Tiparul al doilea, nimic de reparat, fiindcă ${\left(3+\sin x\right)}^{\prime }=\cos x$. Cu $t=3+\sin x$ limitele devin $3$ și $\frac{7}{2}$, iar ${\int }_0^{\pi /6}\frac{\cos x}{{\left(3+\sin x\right)}^2}dx={\int }_3^{7/2}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{3}-\frac{2}{7}=\frac{1}{21}$.

5. Tiparul al cincilea, de reparat semnul. Cu $t=\cos x$ limitele devin $1$ și $\frac{1}{2}$, iar ${\int }_0^{\pi /3}\sin x{\cos }^{4}xdx=-{\int }_1^{1/2}{t}^{4}dt={\int }_{1/2}^1{t}^{4}dt=\frac{t^5}{5}{|}_{1/2}^1=\frac{31}{160}$.

6. Adevărat. După formula schimbării de variabilă, integrala este egală cu ${\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt$; cum $u(a)=u(b)$, cele două capete coincid, iar o integrală cu capete egale este nulă. Nu contează nici ce funcție este $f$, nici dacă $u$ crește sau scade pe interval.

7. Tiparul al patrulea, de reparat $\frac{1}{4}$. Cu $t=4x-3$ limitele devin $1$ și $5$, iar ${\int }_1^2\frac{dx}{4x-3}=\frac{1}{4}{\int }_1^5\frac{dt}{t}=\frac{\ln 5}{4}\approx 0,4024$. Numitorul e strict pozitiv pe $[1,2]$, deci logaritmul se scrie fără modul. La a doua integrală, cu aceeași alegere $t=4x-3$, derivata este $4$, iar liber a rămas $x$: raportul $\frac{x}{4}$ nu e un număr, deci niciun tipar nu se potrivește.

8. Tiparul al treilea, într-o formă în care derivata apare întreagă: ${\left(x^2+2x+4\right)}^{\prime }=2x+2$, adică exact numărătorul, deci nu e nimic de reparat. Cu $t=x^2+2x+4$ limitele devin $4$ și $12$, iar ${\int }_0^2\frac{2x+2}{x^2+2x+4}dx={\int }_4^{12}\frac{dt}{t}=\ln \frac{12}{4}=\ln 3$.

9. Tiparul întâi. Cu $t=\ln x$ limitele devin $0$ și $4$, iar ${\int }_1^{e^4}\frac{dx}{x(\ln x+5)}={\int }_0^4\frac{dt}{t+5}=\ln (t+5){|}_0^4=\ln \frac{9}{5}\approx 0,5878$.

10. Tiparul al doilea. Cu $t=4+\sin x$ limitele devin $4$ și $5$, iar ${\int }_0^{\pi /2}\cos x\left(4+\sin x\right)dx={\int }_4^{5}tdt=\frac{25-16}{2}=\frac{9}{2}$.

11. Tiparul al patrulea, de reparat $\frac{1}{7}$. Cu $t=7x+2$ limitele devin $9$ și $16$, iar ${\int }_1^2\sqrt{7x+2}dx=\frac{1}{7}{\int }_9^{16}\sqrt{t}dt=\frac{2t\sqrt{t}}{21}{|}_9^{16}=\frac{128-54}{21}=\frac{74}{21}\approx 3,5238$.

12. Tiparul al treilea, de reparat $\frac{1}{2}$. Cu $t=x^2+13$ limitele devin $13$ și $14$, iar ${\int }_0^{1}x{\left(x^2+13\right)}^{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_{13}^{14}{t}^{2}dt=\frac{2744-2197}{6}=\frac{547}{6}$.

13. Tiparul al patrulea, cu $a=-2$: de reparat $-\frac{1}{2}$. Cu $t=5-2x$ limitele devin $5$ și $1$, iar ${\int }_0^2(5-2x{)}^{3}dx=-\frac{1}{2}{\int }_5^1{t}^{3}dt=\frac{1}{2}{\int }_1^5{t}^{3}dt=\frac{625-1}{8}=78$. Expresia dinăuntru scade, deci capetele apar în ordine inversă; minusul și inversarea se anulează.

14. Tiparul al patrulea, de reparat $\frac{1}{3}$. Cu $t=3x+1$ limitele devin $1$ și $16$, iar numărul total este ${\int }_0^5\frac{300}{\sqrt{3x+1}}dx=100{\int }_1^{16}\frac{dt}{\sqrt{t}}=200\sqrt{t}{|}_1^{16}=600$ de celule. Valoarea e plauzibilă: densitatea scade de la $300$ la $75$ de celule pe milimetru, deci totalul trebuie să fie între $5\cdot 75=375$ și $5\cdot 300=1500$ de celule, iar $600$ se încadrează.

15. Nu repari nimic. Deși integrandul conține cosinus, expresia dinăuntru este $5-\cos x$, cu derivata ${\left(5-\cos x\right)}^{\prime }=\sin x$, adică exact factorul liber. Cu $t=5-\cos x$ limitele devin $4$ și $\frac{9}{2}$, iar ${\int }_0^{\pi /3}\frac{\sin x}{{\left(5-\cos x\right)}^2}dx={\int }_4^{9/2}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{1}{36}$.

16. Tiparul întâi la amândouă, cu $t=\ln x$ și $dt=\frac{dx}{x}$. a) Limitele devin $0$ și $1$, iar ${\int }_1^e\frac{2\ln x+3}{x}dx={\int }_0^1(2t+3)dt=\left(t^2+3t\right){|}_0^1=4$. b) Limitele devin $0$ și $2$, iar ${\int }_1^{e^2}\frac{2\ln x+3}{x}dx={\int }_0^2(2t+3)dt=\left(t^2+3t\right){|}_0^2=10$.

17. Tiparul al doilea. Cu $t=1+\sin x$ limitele devin $1$ și $2$, iar ${\int }_0^{\pi /2}\cos x\sqrt{1+\sin x}dx={\int }_1^2\sqrt{t}dt=\frac{2t\sqrt{t}}{3}{|}_1^2=\frac{4\sqrt{2}-2}{3}\approx 1,2190$.

18. Înainte de orice tipar, rescrii: $\ln \sqrt{x}=\frac{\ln x}{2}$, pentru $x>0$. Abia apoi recunoști tiparul întâi. Cu $t=\ln x$ limitele devin $0$ și $\ln 4$, iar ${\int }_1^4\frac{\ln \sqrt{x}}{x}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\ln 4}tdt=\frac{t^2}{4}{|}_0^{\ln 4}=\frac{{\ln }^{2}4}{4}={\ln }^{2}2\approx 0,4805$, unde am folosit $\ln 4=2\ln 2$.

De reținut

• Cele cinci tipare sunt $t=\ln x$, $t=\sin x$, $t=x^2+a$, $t=ax+b$ și $t=\cos x$, ordonate după cât ai de reparat: nimic, nimic, un factor, un factor, un semn.
• Semnul se citește în integrand: un $x$ la numitor trimite la logaritm, un $\cos x$ liber la sinus, un $x$ liber la $x^2+a$, gradul întâi sub o funcție la $ax+b$, un $\sin x$ liber la cosinus.
• La tiparul cu $ax+b$ derivata dinăuntru e o constantă, deci nu se caută în integrand, ci se fabrică prin împărțire la $a$.
• Semnul minus aparține cosinusului, nu formei scrise: la $5-\cos x$ derivata este $+\sin x$, deci nu mai e nimic de reparat.
• Testul raportului decide în câteva secunde: împarți ce a rămas la $u^{\prime }(x)$ și, dacă iese un număr, tiparul e bun; dacă iese o expresie cu $x$, nu e.

Greșeli frecvente

• Se alege drept $u$ expresia cea mai vizibilă, nu cea a cărei derivată se vede. La ${\int }_0^5\frac{dx}{x^2+25}$ tentația e să notezi $t=x^2+25$, fiindcă e cea mai complicată bucată; dar acolo nu există niciun $x$ liber, deci integrala e un rând de tabel, nu o substituție.
• Se schimbă tiparul, dar se păstrează factorul de la tiparul anterior. După ce ai lucrat cu $t=x^2+a$, unde apare mereu $\frac{1}{2}$, e ușor să scrii același $\frac{1}{2}$ și la $t=ax+b$, unde factorul corect este $\frac{1}{a}$. Factorul se recalculează la fiecare exercițiu.
• Se scrie semnul minus o dată, dar nu se duce până la capăt. La $t=\cos x$ minusul din $dt=-\sin xdx$ trebuie purtat prin toată rezolvarea; dacă îl scrii pe primul rând și îl uiți la evaluare, rezultatul iese cu semn schimbat.
• Se sare peste rescriere. Un $\ln \sqrt{x}$ sau un $\sin 2x$ nu intră direct în niciun tipar; ele se aduc întâi la o formă cunoscută, cu ce știi din clasele anterioare, și abia apoi se caută semnul.
• Se uită intervalul pe care are sens integrandul. La $\frac{\sqrt{\ln x}}{x}$ e nevoie de $\ln x\ge 0$, la $\frac{1}{4x-3}$ numitorul nu trebuie să se anuleze. Intervalul se citește din enunț înainte de a alege tiparul.

Aplică acasă

1. Întrebarea, nu lista. Ia douăsprezece integrande din lecțiile capitolului și scrie pentru fiecare un singur lucru: ce stă liber lângă funcția compusă — un $x$ la numitor, un $\cos x$, un $x$ singur, nimic. Nu scrie niciun tipar și nu calcula nimic. Abia după ce ai terminat toate cele douăsprezece, treci prin ele a doua oară și pune numărul tiparului; vei vedea că, odată semnul scris, numărul vine singur.

2. Fabricantul de exerciții. Alege o funcție simplă din tabelul primitivelor și o expresie dinăuntru dintre cele cinci. Înmulțește funcția compusă cu derivata expresiei și ai obținut un integrand care se rezolvă sigur prin substituție. Construiește așa cinci integrale definite cu capete întregi mici, schimbă-le cu un coleg și rezolvați-le încrucișat.

3. Vânătoarea de semne. Ia patru integrale în care apare cosinusul: una cu $\cos x$ liber, una cu $\sin x$ liber, una cu $3-\cos x$ dinăuntru și una cu $1+\cos x$ dinăuntru. Scrie pentru fiecare derivata expresiei dinăuntru și hotărăște dacă ai de reparat un semn. Vei vedea că răspunsul nu se ghicește din felul cum arată integrandul.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică un lucru foarte concret: dacă elevul alege substituția în loc să o încerce. Se vede imediat după primul rând al rezolvării — cine scrie direct ce notează cu $t$ și ce repară a recunoscut tiparul; cine începe prin a rescrie integrandul în trei feluri încă bâjbâie. A doua deprindere urmărită este calculul corect al factorului sau al semnului, iar a treia, obiceiul de a se opri la un test scurt înainte de a scrie o pagină.

O observație de metodă, pentru profesori: cele cinci tipare nu se predau ca definiții, ci ca răspunsuri la o întrebare pusă asupra integrandului. Elevul care a învățat lista pe de rost o recită corect și tot nu alege bine, fiindcă întrebarea „ce se vede liber în integrand?" nu i-a devenit reflex. Un minut de antrenament la începutul fiecărei ore, pe trei integrande scrise pe tablă, la care se cere numai numărul tiparului, face mai mult decât o recapitulare lungă.

Dificultatea nu e matematică, ci de memorie de lucru: cele cinci tipare seamănă între ele, iar elevul le amestecă exact atunci când a rezolvat mai multe de același fel la rând. De aceea merită exersate intercalat, nu în serii — trei exerciții din tipare diferite valorează mai mult decât zece din același tipar. Întrebări utile acasă: „Ce ai pus sub litera $t$?", „Cât e derivata expresiei aceleia?", „Se vede ea în integrand sau trebuie fabricată?", „Ai de reparat un număr sau un semn?". Semne că a înțeles: nu mai confundă un $x$ liber cu absența lui; recalculează factorul la fiecare exercițiu; și, pus în fața unui $5-\cos x$, verifică derivata în loc să presupună.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținutul „Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin schimbare de variabilă, integrarea prin părți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține același rând, la capitolul „Integrala definită"; cerințele de analiză stau la Subiectul al III-lea. Tema se dă, așadar, la amândouă generațiile. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Câte substituții trebuie să știu pentru Bacalaureatul M2?

Cinci sunt de ajuns pentru tot ce cere programa de examen la acest profil: $t=\ln x$, $t=\sin x$, $t=x^2+a$, $t=ax+b$ și $t=\cos x$. Ele nu se învață ca o listă, ci împreună cu semnul din integrand care le trădează; dacă știi semnele, alegerea se face din prima privire, fără încercări.

Cum știu dacă am de reparat un factor sau un semn?

Calculezi derivata expresiei pe care ai notat-o cu $t$ și o compari cu ce a rămas liber în integrand. Dacă cele două coincid, nu repari nimic; dacă diferă printr-un număr, scoți numărul în față; dacă diferă prin semn, porți minusul până la capăt. Derivata se calculează de fiecare dată, nu se ghicește din formă.

Ce e testul raportului și la ce ajută?

Este împărțirea dintre ce a rămas liber în integrand și derivata expresiei alese. Dacă rezultatul este un număr, substituția merge și acel număr e chiar factorul de scos în față; dacă rezultatul mai conține $x$, alegerea a fost greșită. Testul durează câteva secunde și te scutește de o pagină de calcule inutile.

De ce nu se face substituție la $e^{5x}$?

Pentru că la profilul științe ale naturii expresia se citește ca o exponențială cu altă bază: $e^{5x}={\left(e^5\right)}^x$, adică unul dintre rândurile tabelului primitivelor. Nu e nevoie de nicio literă nouă, iar drumul e mai scurt. Substituția rămâne pentru situațiile în care derivata expresiei dinăuntru apare efectiv ca factor.

Ce fac dacă niciun tipar nu se potrivește?

Te uiți întâi dacă integrandul nu se rescrie: un logaritm de radical, un produs de paranteze, o fracție cu un singur termen la numitor pot ascunde o formă cunoscută. Dacă nici după rescriere nu apare niciun semn, iar integrandul e un produs de două naturi diferite, metoda potrivită e integrarea prin părți, nu substituția.

Se învață aceleași substituții și la mate-info (M1)?

În mare parte, dar lista e mai lungă acolo și e ordonată altfel: la mate-info se adaugă substituția cu exponențială, cea care raționalizează un radical și o formă în care se înlocuiește chiar $x$ cu o expresie în $t$. Pentru comparație: Substituțiile tipice la mate-info (M1), unde tiparele sunt grupate după expresia dinăuntru.

La ce subiect apar substituțiile la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, în problema de analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, una dintre cerințele acelei probleme are la numitor o expresie de gradul al doilea și la numărător un $x$ singur — tiparul al treilea, într-o variantă în care coeficientul lui $x^2$ nu este $1$; acolo factorul de reparat nu mai este $\frac{1}{2}$, ci se recalculează din derivata numitorului.

Trebuie să scriu explicit ce notez cu $t$?

Da, și e în interesul tău. Rândul „notăm $t=u(x)$, deci $dt=u^{\prime }(x)dx$", urmat imediat de cele două capete noi, arată limpede ce ai făcut și te împiedică să sari peste factorul de reparat. La tiparul cu $ax+b$ mulți elevi trec direct la rezultat; e voie, dar atunci controlul prin derivare devine obligatoriu.