Cât este derivata lui x⁵ și a lui 1/x²?

Cu regula puterii, (x⁵)'=5x⁴. Pentru 1/x²=x⁻², exponentul coboară în față și scade cu 1: derivata este -2x⁻³=- 2/x³, pe ℝ^(*). Scrierea cu exponent negativ evită regula câtului.

Care sunt derivatele lui sin x și cos x?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Tabelul derivatelor

Pe $R$ , $(sin x)^{'} = cos x$ și $(cos x)^{'} = - sin x$ . De exemplu, derivata sinusului în $x = \frac{π}{3}$ este $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , iar derivata cosinusului în $x = \frac{π}{6}$ este $- sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ . Pe grafic, acolo unde sinusul are un vârf, cosinusul este $0$ , deci tangenta la sinusoidă este orizontală. Derivând de două ori sinusul, se obține $- sin x$ , adică funcția cu semnul schimbat.

Un rând din tabelul derivatelor are trei coloane, nu două: funcția, mulțimea pe care derivarea e permisă și formula derivatei. Coloana din mijloc intră în răspuns la fel ca formula — „derivata lui $x$ este $\frac{1}{2 x}$ pe $[0, + \infty)$ " e o afirmație falsă, chiar dacă formula scrisă în ea e corectă.

Tabelul se ține minte pe trei grupe, nu rând cu rând. Puterile și radicalii: exponentul trece în față ca factor și scade o unitate, de unde $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ pe $R$ și $(x^{- n})^{'} = - n x^{- n - 1}$ pe $R^{*}$ — două rânduri despărțite de domeniu, nu de formulă; la exponenți negativi „mai mic cu unu" înseamnă mai departe de zero. Exponențiala și logaritmul se leagă prin același simbol: $ln a$ înmulțește în $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ și împarte în $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}$ ; la numitor stă logaritmul bazei, un număr fix. Trigonometricele: cele al căror nume începe cu „co" poartă semn minus.

Proba care separă o putere de o exponențială ia o secundă: caută unde stă litera $x$ . La bază ai o putere și exponentul coboară; la exponent ai o exponențială și apare factorul $ln a$ . Argumentele funcțiilor trigonometrice se măsoară în radiani, altfel derivata sinusului ar fi $\frac{π}{180} cos x$ . Coloana a doua se citește înaintea oricărei înlocuiri numerice: numărul pus în formulă trebuie să-i aparțină. Funcțiile trigonometrice intră în lista funcțiilor studiate din programa nouă, deci la proba MAT_P2 din 2030; programa de examen din 2014 nu le numește la analiză.

De reținut

$(sin x)^{'} = cos x$ și $(cos x)^{'} = - sin x$ , pe $R$
$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ și $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$
derivata unei constante este $0$

Greșeala tipică

Se scrie $(cos x)^{'} = sin x$ , fără minus; corect este $- sin x$ , lucru care se verifică pe grafic: pe $(0, π)$ cosinusul scade.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 6^{x}$ . Atunci $f^{'} (1)$ este:
- a) $6$
- b) $6 ln 6$
- c) $\frac{6}{ln 6}$
- d) $ln 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6 ln 6$

Variabila stă la exponent, deci se aplică rândul $a^{x}$ : $f^{'} (x) = 6^{x} ln 6$ și $f^{'} (1) = 6 ln 6$ . Varianta a) uită factorul $ln 6$ , care face parte din formulă; c) îl pune la numitor, ca la logaritm; d) uită factorul $6^{1}$ .
Se consideră $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 3 x$ . Atunci $f^{'} (8)$ este:
- a) $\frac{1}{6}$
- b) $\frac{1}{24}$
- c) $\frac{1}{12}$
- d) $\frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{12}$

Din tabel, $f^{'} (x) = \frac{1}{3 3 x ^{2}}$ . Cum $3 8^{2} = 364 = 4$ , rezultă $f^{'} (8) = \frac{1}{12}$ . Varianta a) folosește $38 = 2$ în loc de $3 8^{2}$ ; b) confundă ordinul radicalului și calculează $64 = 8$ în locul lui $364 = 4$ ; d) uită cu totul puterea de la numitor.
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = sin x$ . Atunci $f^{'} (\frac{π}{2})$ este:
- a) $0$
- b) $1$
- c) $- 1$
- d) $\frac{2}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$

$f^{'} (x) = cos x$ , iar $cos \frac{π}{2} = 0$ : în vârful sinusoidei tangenta este orizontală. Varianta b) dă valoarea funcției, $sin \frac{π}{2} = 1$ , nu a derivatei; c) folosește formula cosinusului, $- sin x$ ; d) este valoarea în $\frac{π}{4}$ .

Întrebări conexe

Cât este derivata lui $tg x$ ?

Este $\frac{1}{c o s ^{2} x}$ , în punctele în care $cos x \neq = 0$ . De exemplu, în $x = \frac{π}{4}$ , $cos^{2} \frac{π}{4} = \frac{1}{2}$ , deci derivata este $2$ . Formula se obține și cu regula câtului, din $tg x = \frac{s i n x}{c o s x}$ .

De ce derivata cosinusului are semnul minus?

Pe intervalul $(0, π)$ cosinusul scade, de la $1$ la $- 1$ , deci derivata lui trebuie să fie negativă acolo. Tocmai pe acest interval $sin x > 0$ , așa că $- sin x$ este negativ, cum trebuie. Fără minus, derivata ar indica o creștere care nu există.

Cât este derivata lui $x^{5}$ și a lui $\frac{1}{x ^{2}}$ ?

Cu regula puterii, $(x^{5})^{'} = 5 x^{4}$ . Pentru $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ , exponentul coboară în față și scade cu $1$ : derivata este $- 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x ^{3}}$ , pe $R^{*}$ . Scrierea cu exponent negativ evită regula câtului.

Care este derivata lui $1 0^{x}$ ?

Este $1 0^{x} ln 10$ , din rândul $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ . În $x = 0$ derivata este $ln 10 \approx 2, 30$ . Numai pentru baza $e$ factorul $ln a$ este $1$ , iar funcția coincide cu derivata ei. Pentru baze între $0$ și $1$ , $ln a < 0$ , deci derivata este negativă.

Ce derivată are o constantă?

Derivata oricărei constante este $0$ , fiindcă graficul ei este o dreaptă orizontală. Atenție la constantele scrise cu litere sau simboluri: $π^{2}$ , $ln 5$ sau $sin 1$ sunt numere fixe, deci $(π^{2})^{'} = 0$ , nu $2 π$ . La fel, în $(5 x^{2})^{'}$ constanta $5$ rămâne factor, iar derivata este $10 x$ .

Oamenii mai întreabă și: derivata lui sinus și cosinus · derivata lui sin x · derivata lui cos x · derivatele funcțiilor trigonometrice