Tabelul derivatelor funcțiilor uzuale (M2, științe ale naturii)

Un elev de clasa a XI-a care ar lua definiția de la capăt pentru fiecare derivată ar pierde, la un subiect de examen, jumătate din timp pe pași deja făcuți de altcineva. De aceea analiza matematică își ține rezultatele la vedere, într-o listă scurtă, gata de folosit. La profilul științe ale naturii (M2), programa cere „derivatele de ordinul I și al doilea pentru funcțiile studiate", iar lista aceea este tabelul de față — unealta cu care se începe fiecare problemă de la Subiectul al III-lea al bacalaureatului M2.

Tabelul de astăzi este cel de care ai nevoie tot restul liceului. El se construiește o singură dată, cu definiția din lecțiile derivata unei funcții și panta tangentei și funcție derivabilă și funcția derivată, și se folosește apoi automat. Atenție însă la un lucru pe care elevii îl pierd cel mai des: fiecare rând conține trei informații, nu două — funcția, mulțimea pe care ea este derivabilă și derivata.

Ce vei învăța

• Vei ști pe de rost tabelul derivatelor funcțiilor studiate la M2, cu mulțimea de derivabilitate a fiecăreia.
• Vei ști de unde vin formulele: le vei vedea deduse din definiție pentru puteri și radicali și verificate numeric pentru exponențială, logaritm și funcțiile trigonometrice.
• Vei ști de ce puterea cu exponent pozitiv și cea cu exponent negativ ocupă două rânduri diferite, deși seamănă la scriere.
• Vei ști să deosebești o putere de o exponențială și să nu aplici formula uneia la cealaltă.
• Vei ști să folosești tabelul într-o cerință de tip „Calculați $f^{\prime }(a)$" și să scrii răspunsul cu tot cu unitatea de măsură atunci când problema vine din fizică sau din chimie.
• Vei ști ce nu poți face încă doar cu tabelul și în ce lecție găsești unealta care lipsește.

Hai să descoperim împreună

1. Ce scrie, de fapt, într-un rând de tabel?

Un rând de tabel nu e o formulă memorată, ci o înțelegere în trei părți: numele funcției, mulțimea pe care ea este derivabilă și expresia derivatei. Sări peste partea din mijloc și răspunsul devine fals, chiar dacă formula e corectă.

Exemplul cel mai scurt îl cunoști deja. Funcția radical de ordinul al doilea este definită pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă numai pe $(0,+\infty )$: în $0$, care nici măcar nu este punct interior al domeniului, raportul de variație crește peste orice valoare — motivul e discutat pe larg în lecția precedentă. Un elev care scrie „derivata lui $\sqrt{x}$ este $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $[0,+\infty )$" a scris o propoziție falsă, deși formula din ea e bună.

Pentru rândurile deduse în lecție nu se folosește nimic altceva decât definiția derivatei și algebra din clasele anterioare. Nicio formulă nu se sprijină pe regulile de derivare, pentru că ele vin abia în lecția următoare; altfel raționamentul ar fi circular. Iar acolo unde deducerea cere unelte care nu intră în programa de științe ale naturii — la exponențială, la logaritm și la funcțiile trigonometrice — formula se admite, așa cum admiți și alte rezultate ale analizei, dar se și verifică numeric, ca să vezi că numărul din formulă e chiar acela spre care se îndreaptă raportul.

2. De unde vin formulele pentru puteri?

Pornim de la cele două cazuri banale. Pentru funcția constantă $f(x)=c$, numărătorul raportului de variație este $c-c=0$, deci raportul valorează $0$ oriunde și limita lui este $0$: o mărime care nu se schimbă are ritmul de variație nul. Pentru funcția $f(x)=x$, raportul este $\frac{x-x_0}{x-x_0}=1$, deci derivata este $1$ peste tot — graficul e o dreaptă de pantă $1$.

Puterea cu exponent natural se descurcă tot cu algebră, folosind descompunerea cunoscută din clasa a IX-a:

$$x^n-x_0^n=(x-x_0)\left(x^{n-1}+x^{n-2}{x}_0+\cdots +x{x}_0^{n-2}+x_0^{n-1}\right).$$

Simplificăm cu $x-x_0$ și în paranteză rămân $n$ termeni; fiecare dintre ei se apropie, când $x$ ajunge la $x_0$, de aceeași valoare $x_0^{n-1}$, iar suma lor tinde așadar la $n{x}_0^{n-1}$. Prin urmare ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ pe $\mathbb{R}$, pentru orice $n$ natural nenul. Regula de mână, ușor de reținut: exponentul coboară în față și scade cu unu. Verificare pe cazuri știute: pentru $n=1$ dă $1$, pentru $n=2$ dă $2x$, pentru $n=3$ dă $3x^2$ — exact ce ai obținut prin calcul direct în lecțiile precedente.

Pentru exponent întreg negativ, adică pentru funcțiile de tipul $\frac{1}{x^n}$, drumul e același, cu un pas în plus: cele două fracții de la numărător se aduc la același numitor, apoi se recunoaște diferența de puteri de mai sus. Rezultatul păstrează aceeași formă, ${\left(x^{-n}\right)}^{\prime }=-n{x}^{-n-1}$, dar numai pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, pentru că în $0$ funcția nici nu e definită. Cazul folosit cel mai des, $n=1$, merită reținut separat: derivata lui $\frac{1}{x}$ este $-\frac{1}{x^2}$, iar semnul minus spune că funcția coboară pe fiecare dintre cele două ramuri ale graficului ei.

Cele două rânduri nu se contopesc niciodată într-unul singur, oricât de asemănătoare ar arăta formulele. Motivul e domeniul: puterea cu exponent pozitiv e definită pentru orice număr real, cea cu exponent negativ nu. Când vezi un exponent într-un enunț, prima întrebare nu e „care e formula?", ci „pe ce mulțime lucrez?".

3. Cum se derivează radicalii de ordinul 2 și 3?

La radicalul de ordinul al doilea folosim expresia conjugată, tehnica fixată în lecția despre derivata într-un punct:

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}⟶\frac{1}{2\sqrt{x_0}}.$$

Deci ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$, cu excluderea originii discutată deja.

La radicalul de ordinul al treilea, conjugata nu mai ajută, dar o schimbare de literă rezolvă totul. Notăm $u=\sqrt[3]{x}$ și $v=\sqrt[3]{x_0}$, deci $x=u^3$ și $x_0=v^3$, iar raportul devine

$$\frac{u-v}{u^3-v^3}=\frac{u-v}{(u-v)\left(u^2+uv+v^2\right)}=\frac{1}{u^2+uv+v^2}⟶\frac{1}{3v^2}.$$

Cum $v^2=\sqrt[3]{x_0^2}$, obținem ${\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ pentru orice $x\ne 0$, deci pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Calculul este valabil și la stânga originii: pătratul lui $v$ rămâne pozitiv când $v<0$. Spre deosebire de radicalul de ordinul al doilea, funcția radical de ordin 3 este definită pe tot $\mathbb{R}$. În origine, raportul ei de variație este $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ și tinde la $+\infty$ din ambele părți. Așadar, niciunul dintre cei doi radicali nu are derivată finită în $0$, dar mulțimile lor de derivabilitate sunt diferite.

4. De ce apare $\ln a$ în derivata exponențialei?

Aici drumul din definiție cere limite pe care programa de științe ale naturii nu le are, așa că formulele se admit — dar se pot pune la încercare cu un calculator, iar exercițiul merită făcut o dată în viață. Formula admisă este

$${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a,a>0,a\ne 1,$$

iar pentru $a=e$, cum $\ln e=1$, ea dă ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$: dintre toate funcțiile din tabel, exponențiala naturală — studiată la funcția exponențială — este singura care se reproduce pe sine prin derivare.

Punem formula la încercare în punctul $x_0=0$, unde $3^0=1$ și derivata ar trebui să fie $\ln 3$. Raportul de variație valorează $\frac{3^h-1}{h}$, iar un calculator dă:

Valorile coboară spre $1,0986$, adică exact spre $\ln 3$. Factorul $\ln a$ nu este deci o decorație: el este chiar viteza cu care pornește exponențiala din punctul de plecare.

Logaritmul se comportă simetric. Formulele admise sunt ${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și, pentru o bază oarecare, ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$, ambele pe $(0,+\infty )$, adică exact pe domeniul funcției logaritmice. Cele două se leagă prin formula de schimbare a bazei din clasa a X-a, deci nu trebuie memorate separat: dacă știi prima, o obții pe a doua împărțind la $\ln a$. Reține și înțelesul: derivata logaritmului scade pe măsură ce $x$ crește, ceea ce se vede pe grafic — curba se aplatizează, deși urcă în continuare.

5. Cum arată derivatele funcțiilor trigonometrice?

Și aici formulele se admit, pentru că deducerea lor cere formule de transformare a sumelor în produse, care nu intră în programa profilului. Ele sunt:

$${\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x,{\left(\cos x\right)}^{\prime }=-\sin x,{\left(\mathrm{tg}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x},{\left(\mathrm{ctg}x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$$

Primele două sunt valabile pe tot $\mathbb{R}$; ultimele două, numai acolo unde funcția însăși e definită, adică în afara punctelor în care se anulează numitorul.

Verificarea numerică se face la fel de ușor ca la exponențială. În punctul $x_0=\frac{\pi }{6}$, unde $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, formula anunță derivata $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660$. Raportul de variație dă:

Valorile urcă spre $0,8660$, deci formula rezistă probei.

⚠️ Toate cele patru formule cer ca argumentul să fie măsurat în radiani. Condiția nu e o toană de manual: dacă unghiul s-ar măsura în grade, derivata sinusului ar fi $\frac{\pi }{180}\cos x$, adică de aproape șaizeci de ori mai mică. De aceea, în tot capitolul de analiză, valorile remarcabile se scriu $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, nu $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, iar calculatorul de buzunar se pune pe modul „rad" înainte de orice verificare.

O probă de bun-simț prinde repede o formulă reținută pe dos: în jurul originii graficul sinusului urcă, deci acolo derivata lui nu are voie să fie negativă — iar cosinusul chiar ia valori pozitive în acea zonă. Tot așa, expresia $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ nu coboară niciodată sub zero, ceea ce se potrivește cu graficul tangentei, care urcă pe fiecare ramură a sa.

6. Tabelul derivatelor la profilul științe ale naturii

Acesta este tabelul de referință al lecției. Coloana din mijloc face parte din fiecare formulă, nu e o observație în plus.

Trei observații obligatorii. Prima: cele două rânduri de puteri stau despărțite din pricina domeniilor, iar puterea cu exponent care nu e întreg (de pildă $x^{\sqrt{2}}$) lipsește cu totul, fiindcă nu intră în funcțiile studiate la acest profil. A doua: rândurile cu bază oarecare le cuprind, ca situații particulare, pe cele cu $e$ — dar în subiecte apar și într-o formă, și în cealaltă, așa că sunt scrise amândouă. A treia: aici sunt strânse derivatele de ordinul I; a doua derivată se obține derivând rezultatul încă o dată și îi este dedicată lecția despre derivata a doua.

Cum se învață. Împărțit în trei, nu citit pe verticală. Primul grup, puterile și radicalii, se reține printr-un singur gest: exponentul coboară în față și scade cu unu. Al doilea grup, exponențiala și logaritmul, se reține printr-un singur simbol: $\ln a$, care înmulțește la una și împarte la cealaltă. Al treilea grup, trigonometricele, se reține printr-un singur semn: minusul stă la funcțiile al căror nume începe cu „co". Trei idei, paisprezece rânduri.

7. Ce se cere la bacalaureatul M2 din acest tabel?

Mai mult decât ar părea. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) numește explicit funcțiile pe care se lucrează la analiză: funcția de gradul I, funcția de gradul al doilea, funcția logaritmică, funcția exponențială, funcția putere și funcția radical (ambele cu $n=2$ sau $3$) și raportul a două funcții de grad cel mult $2$. Cu alte cuvinte, primele zece rânduri ale tabelului acoperă lista funcțiilor de la Subiectul al III-lea, iar funcțiile trigonometrice nu apar în ea. La proba MAT_P2 din 2030 lista funcțiilor studiate este cea din programa nouă, deci și trigonometricele intră în discuție.

Două atenționări de folosire, ca să nu ceri tabelului mai mult decât poate da. Prima: un rând se aplică funcției din prima coloană luată ca atare. Pentru o sumă, pentru un produs sau pentru o funcție înmulțită cu un număr ai nevoie de regulile de derivare, iar pentru expresii de tipul $\sin (2x)$ sau $\sqrt{x^2+1}$, de regula de derivare a funcțiilor compuse. A doua: înainte de a înlocui un număr într-o formulă din tabel, verifică dacă numărul aparține mulțimii de derivabilitate. Formula $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ nu se evaluează în $0$, iar $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ nu se evaluează în $\frac{\pi }{2}$ — nu pentru că ar ieși un număr urât, ci pentru că acolo funcția nu e derivabilă, respectiv nici măcar definită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puteri, cu domeniul cu tot

Determinați derivatele funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5$, $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^{-2}$, și $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=2026$, precizând de fiecare dată mulțimea de derivabilitate. Calculați apoi $f^{\prime }(2)$ și $g^{\prime }(2)$.

Rezolvare. Pentru $f$ se aplică rândul $x^n$ cu $n=5$: $f^{\prime }(x)=5x^4$, pe $\mathbb{R}$. Atunci $f^{\prime }(2)=5\cdot 16=80$.

Pentru $g$ se aplică rândul $x^{-n}$ cu $n=2$: $g^{\prime }(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$, pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Atunci $g^{\prime }(2)=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}$.

Pentru $h$, funcția este constantă, deci $h^{\prime }(x)=0$ pe $\mathbb{R}$; nu contează cât de mare e constanta, o mărime care nu se schimbă are derivata nulă.

Exemplul 2 — Radicalul și mulțimea pe care el are derivată

Calculați $f^{\prime }(36)$ și $f^{\prime }(49)$ pentru $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, apoi arătați de ce cerința „calculați $f^{\prime }(0)$" nu are răspuns.

Rezolvare. Din tabel, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, formulă valabilă pe $(0,+\infty )$. Amândouă punctele cerute sunt strict pozitive, deci formula se poate folosi: $f^{\prime }(36)=\frac{1}{2\cdot 6}=\frac{1}{12}$ și $f^{\prime }(49)=\frac{1}{2\cdot 7}=\frac{1}{14}$.

Amândouă valorile sunt pozitive, ceea ce se potrivește cu graficul: funcția radical urcă. A doua e însă mai mică decât prima — urcușul se domolește, iar graficul se aplatizează.

Ultima cerință n-are răspuns, și nu pentru că ar ieși un număr urât. În origine funcția există și ia valoarea zero, dar originea nu aparține mulțimii $(0,+\infty )$ pe care funcția este derivabilă: acolo raportul de variație crește peste orice valoare, iar tangenta se așază pe verticală. Cine înlocuiește orbește în formulă ajunge la o împărțire la zero, în loc să scrie propoziția corectă: funcția nu este derivabilă în origine.

Exemplul 3 — Exponențială și logaritm

Calculați $f^{\prime }(2)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5^x$, $g^{\prime }(10)$ pentru $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\ln x$, și $h^{\prime }(25)$ pentru $h:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)={\log }_{5}x$.

Rezolvare. Din rândul $a^x$ cu $a=5$: $f^{\prime }(x)=5^x\ln 5$, deci $f^{\prime }(2)=25\ln 5$. Răspunsul se lasă în formă exactă; dacă se cere o aproximare, $25\ln 5\approx 40,24$.

Din rândul logaritmului natural: $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, deci $g^{\prime }(10)=\frac{1}{10}$.

Din rândul ${\log }_{a}x$ cu $a=5$: $h^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 5}$, deci $h^{\prime }(25)=\frac{1}{25\ln 5}$. Compară cele două rezultate cu $\ln 5$ în ele: la exponențială factorul înmulțește, la logaritm împarte. Este exact oglinda dintre cele două funcții.

Exemplul 4 — Funcții trigonometrice în puncte remarcabile

Calculați derivatele funcțiilor $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$ în punctele $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{3}$ și, respectiv, $\frac{\pi }{3}$.

Rezolvare. Pentru $f(x)=\sin x$ avem $f^{\prime }(x)=\cos x$, deci $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pentru $g(x)=\cos x$ avem $g^{\prime }(x)=-\sin x$, deci $g^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Semnul minus arată că, în acel punct, cosinusul coboară.

Pentru $h(x)=\mathrm{tg}x$ avem $h^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. Cum $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, rezultă ${\cos }^2\frac{\pi }{3}=\frac{1}{4}$ și $h^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=4$. Punctul $\frac{\pi }{3}$ aparține mulțimii de derivabilitate a tangentei, deci calculul este legitim.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7^x$, exponentul coboară în față și scade cu unu, deci derivata este $x\cdot 7^{x-1}$, iar în punctul $2$ ea valorează $14$." Găsiți greșeala și dați răspunsul corect, cu un control numeric.

Rezolvare. Elevul a luat o exponențială drept putere. La o putere, variabila stă la bază și exponentul este un număr fix; aici variabila stă la exponent, iar baza este numărul $7$, deci rândul din tabel care se aplică este $a^x$, nu $x^n$. Corect,

$$f^{\prime }(x)=7^x\ln 7,x\in \mathbb{R},$$

deci $f^{\prime }(2)=49\ln 7$, adică aproximativ $95,3$ — de aproape șapte ori mai mult decât numărul scris de elev.

Controlul numeric lămurește imediat care dintre cele două valori e cea bună: raportul de variație al funcției între $1,999$ și $2,001$ valorează aproximativ $95,3$, iar nu $14$. Reține proba de recunoaștere, care ia o secundă: caută unde stă litera $x$. Dacă stă la bază, ai o putere, iar formula coboară exponentul în față; dacă stă la exponent, ai o exponențială, iar formula aduce factorul $\ln a$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=3^x\ln 3$, $x\in \mathbb{R}$. b) Calculați $f^{\prime }(1)$. c) Arătați că $f^{\prime }(x)>0$, pentru orice număr real $x$.

Rezolvare.

a) Se aplică rândul $a^x$ din tabel, cu $a=3$, bază admisibilă pentru că $3>0$ și $3\ne 1$. Rezultă $f^{\prime }(x)=3^x\ln 3$, pentru orice $x$ real, funcția fiind derivabilă pe tot $\mathbb{R}$.

b) Înlocuind, $f^{\prime }(1)=3\ln 3$, adică aproximativ $3,30$.

c) Produsul are doi factori. Primul, $3^x$, este strict pozitiv pentru orice $x$ real, pentru că o exponențială cu bază pozitivă nu se anulează și nu ia valori negative. Al doilea, $\ln 3$, este un număr strict pozitiv, fiindcă $3>1$. Un produs de doi factori strict pozitivi este strict pozitiv, deci $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x$ real.

De la examen la lecție. La examen, funcția din enunț poate fi o combinație de funcții din tabel, iar punctul a) se rezolvă atunci cu regulile de derivare din lecțiile următoare. Forma cerinței rămâne însă aceeași — „arătați că", apoi o valoare, apoi o proprietate de semn —, iar tot ce se cere în primul rând este un rând din tabelul de astăzi, folosit corect.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie formula derivatei și mulțimea pe care ea este valabilă, apoi valoarea cerută.

1. Determină funcția derivată a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^8$, și calculează $f^{\prime }(1)$.

2. Determină funcția derivată și mulțimea de derivabilitate pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-5}$, apoi calculează $f^{\prime }(1)$.

3. Calculează $f^{\prime }(100)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

4. Determină funcțiile derivate ale funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$, și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-12$, apoi calculează $f^{\prime }(7)$ și $g^{\prime }(7)$.

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$. Calculează $f^{\prime }(5)$.

6. Calculează $f^{\prime }(9)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{3}x$, lăsând răspunsul în formă exactă.

7. Calculează $f^{\prime }(2)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=10^x$. Calculează $f^{\prime }(1)$.

9. Calculează $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$.

10. Calculează $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$.

11. Calculează $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ pentru $f(x)=\mathrm{tg}x$ și precizează mulțimea de derivabilitate a funcției.

12. Calculează $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$ pentru $f(x)=\mathrm{ctg}x$ și precizează mulțimea de derivabilitate a funcției.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-6}$, are funcția derivată $-6x^{-5}$."

14. (Problemă aplicată.) Dintr-o probă radioactivă rămâne, după $t$ timpi de înjumătățire, fracțiunea $M(t)={\left(\frac{1}{2}\right)}^t$ din masa inițială, $t\ge 0$. Calculează $M^{\prime }(1)$ și explică ce arată semnul rezultatului.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Arată că $f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}$.

16. Latura unui cub de volum $V$ este $l(V)=\sqrt[3]{V}$, unde $V$ se măsoară în centimetri cubi. Calculează $l^{\prime }(64)$ și precizează unitatea de măsură a rezultatului.

17. Calculează $f^{\prime }(2)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, și $g^{\prime }(1)$ pentru $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=e^x$, apoi compară cele două numere.

18. (Provocare.) Determină baza $a>0$, $a\ne 1$, pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a^x$, are derivata egală cu $1$ în punctul $0$, apoi baza pentru care derivata în $0$ este egală cu $2$.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru $f(x)=x^8$, rândul $x^n$ cu $n=8$ dă $f^{\prime }(x)=8x^7$ pe $\mathbb{R}$, deci $f^{\prime }(1)=8$.

2. Pentru $f(x)=x^{-5}$, rândul $x^{-n}$ cu $n=5$ dă $f^{\prime }(x)=-5x^{-6}=-\frac{5}{x^6}$, valabil pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (în $0$ funcția nici nu e definită). Atunci $f^{\prime }(1)=-5$.

3. Pentru $f(x)=\sqrt{x}$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, deci $f^{\prime }(100)=\frac{1}{2\cdot 10}=\frac{1}{20}$.

4. Sunt primele două rânduri ale tabelului. Pentru $f(x)=x$ avem $f^{\prime }(x)=1$ pe $\mathbb{R}$, deci $f^{\prime }(7)=1$: graficul e o dreaptă de pantă $1$, aceeași în orice punct. Pentru $g(x)=-12$, funcția e constantă, deci $g^{\prime }(x)=0$ pe $\mathbb{R}$ și $g^{\prime }(7)=0$; nici semnul, nici mărimea constantei nu schimbă nimic.

5. Pentru $f(x)=\ln x$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$, deci $f^{\prime }(5)=\frac{1}{5}$.

6. Pentru $f(x)={\log }_{3}x$, aceeași funcție ale cărei limite la capete le-ai citit la limitele funcțiilor exponențială și logaritmică, avem $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 3}$, deci $f^{\prime }(9)=\frac{1}{9\ln 3}$. Forma exactă e de preferat; aproximarea $\frac{1}{9\cdot 1,0986}\approx 0,101$ se dă doar dacă enunțul o cere.

7. Pentru $f(x)=e^x$ avem $f^{\prime }(x)=e^x$, deci $f^{\prime }(2)=e^2$, adică aproximativ $7,39$. Este singura funcție din tabel la care derivata repetă funcția.

8. Pentru $f(x)=10^x$ avem $f^{\prime }(x)=10^x\ln 10$, deci $f^{\prime }(1)=10\ln 10$. Factorul $\ln 10$ face parte din răspuns; numărul $10$ singur ar fi greșit.

9. Pentru $f(x)=\sin x$ avem $f^{\prime }(x)=\cos x$, deci $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

10. Pentru $f(x)=\cos x$ avem $f^{\prime }(x)=-\sin x$, deci $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Comparat cu exercițiul precedent: în același punct, sinusul urcă exact cu ritmul cu care cosinusul coboară.

11. Pentru $f(x)=\mathrm{tg}x$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, pe mulțimea numerelor reale din care se scot punctele $\frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k$ întreg. Cum ${\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$, rezultă $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=2$.

12. Pentru $f(x)=\mathrm{ctg}x$ avem $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, pe mulțimea numerelor reale din care se scot punctele $k\pi$, cu $k$ întreg. Cum ${\sin }^2\frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}$, rezultă $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{4}{3}$.

13. Fals. Rândul $x^{-n}$ cere ca exponentul să scadă cu unu, iar la un exponent negativ scăderea îl duce și mai jos: din $-6$ se ajunge la $-7$, nu la $-5$. Corect, $f^{\prime }(x)=-6x^{-7}=-\frac{6}{x^7}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Tiparul de reținut: „mai mic cu unu" înseamnă, la exponenții negativi, mai departe de zero.

14. Pentru $M(t)={\left(\frac{1}{2}\right)}^t$ se aplică rândul $a^t$ cu $a=\frac{1}{2}$: $M^{\prime }(t)={\left(\frac{1}{2}\right)}^t\ln \frac{1}{2}$. Cum $\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$, avem $M^{\prime }(1)=-\frac{\ln 2}{2}\approx -0,347$, exprimat în fracțiuni de masă pe timp de înjumătățire. Semnul negativ arată că masa rămasă scade — corect pentru o dezintegrare —, iar valoarea spune cât de repede scade în acel moment.

15. Pentru $f(x)=\sqrt{x}$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$. Cum $4>0$, formula se poate folosi: $f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$, ceea ce trebuia arătat.

16. Pentru $l(V)=\sqrt[3]{V}$ avem $l^{\prime }(V)=\frac{1}{3\sqrt[3]{V^2}}$. Cum $\sqrt[3]{64^2}=16$, rezultă $l^{\prime }(64)=\frac{1}{48}$, adică aproximativ $0,021$ centimetri pe centimetru cub: la un cub cu volumul de $64$ cm³, un centimetru cub în plus lungește latura cu circa două sutimi de centimetru.

17. Pentru $f(x)=\ln x$ avem $f^{\prime }(2)=\frac{1}{2}$, iar pentru $g(x)=e^x$ avem $g^{\prime }(1)=e\approx 2,718$. Ambele numere sunt pozitive, deci ambele funcții urcă în punctele alese, dar exponențiala urcă de peste cinci ori mai repede — iar diferența se adâncește, pentru că derivata logaritmului scade, în timp ce a exponențialei crește.

18. Din rândul $a^x$, derivata este $a^x\ln a$, iar în $0$ ea valorează $a^0\ln a=\ln a$. Condiția $\ln a=1$ dă $a=e$, iar condiția $\ln a=2$ dă $a=e^2$. Aceasta este proprietatea care face din numărul $e$ baza preferată în analiza matematică: exponențiala în baza $e$ pornește cu viteza $1$.

De reținut

• Un rând de tabel are trei părți: funcția, mulțimea pe care ea e derivabilă și derivata. Partea din mijloc se trece în răspuns de fiecare dată, la fel ca formula.
• Puterile ocupă două rânduri: ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ pe $\mathbb{R}$ și ${\left(x^{-n}\right)}^{\prime }=-n{x}^{-n-1}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$; scrierea seamănă, mulțimile nu.
• Exponențiala și logaritmul se leagă prin $\ln a$: ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$ îl are ca factor, iar ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ îl are ca împărțitor; pentru $a=e$ el devine $1$ și dispare.
• Trigonometricele „cu co-" au un minus în formulă: ${\left(\cos x\right)}^{\prime }=-\sin x$ și ${\left(\mathrm{ctg}x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$. Acest semn scris în față nu decide singur semnul valorii: $\cos x$ și $-\sin x$ pot fi pozitive, nule sau negative; derivatele tangentei și cotangentei au semn constant pe domeniile lor.
• Domeniul depinde de ordinul radicalului: $\sqrt{x}$ se derivează pe $(0,+\infty )$, iar $\sqrt[3]{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Ambele funcții sunt definite în $0$, unde raportul de variație nu are limită finită.

Greșeli frecvente

• Cobori exponentul, dar uiți să-l scazi. Pentru $f(x)=x^5$ derivata este $5x^4$, nu $5x^5$. Proba rapidă: la $f(x)=x$ formula trebuie să dea $1$, adică o constantă, ceea ce se întâmplă numai dacă exponentul scade.
• Derivezi o constantă ca și cum ar fi o variabilă. Derivata funcției $f(x)=2026$ este $0$, nu $2026$ și nici $1$: graficul e o dreaptă orizontală, deci panta tangentei e nulă peste tot.
• Scrii $\ln x$ în loc de $\ln a$ la logaritmul în bază oarecare. Formula corectă este $\frac{1}{x\ln a}$: la numitor apare logaritmul bazei, un număr fix, nu logaritmul variabilei.
• Calculezi funcțiile trigonometrice în grade. Toate formulele din tabel cer radiani; un calculator lăsat pe modul „deg" dă valori care nu au nicio legătură cu derivata, iar greșeala nu se vede în scris, ci abia în rezultatul numeric.
• Citești tabelul de la dreapta la stânga. Rândul spune că derivata lui $\ln x$ este $\frac{1}{x}$; el nu spune nimic despre ce funcție are drept derivată pe $\ln x$. Drumul invers se numește primitivă și se studiază în clasa a XII-a.

Aplică acasă

1. Trei cartonașe, nu cincisprezece rânduri. Scrie pe trei cartonașe separate cele trei grupe din §6 — puteri și radicali, exponențiale și logaritmi, trigonometrice —, fiecare cu funcția, mulțimea și derivata. Cere-i cuiva din familie să-ți arate un cartonaș cu derivata acoperită și cronometrează: o grupă corectă în sub treizeci de secunde înseamnă că tabelul e învățat.

2. Legea din manualul de fizică sau de chimie. Caută în manual o lege scrisă sub forma unui raport, de tipul „mărimea este invers proporțională cu…" (legea lui Boyle, intensitatea luminii, concentrația la diluție). Scrie-o ca funcție de o singură variabilă, derivează-o cu rândul potrivit din tabel și spune în cuvinte ce înseamnă semnul rezultatului.

3. Proba cu calculatorul. Alege două rânduri din tabel și verifică-le numeric, exact ca în §4 și §5: calculează raportul de variație pentru $h=0,01$ și $h=0,001$ într-un punct la alegere și compară cu valoarea dată de formulă. Notează câte zecimale coincid la fiecare pas — vei vedea că fiecare împărțire la zece a lui $h$ aduce, de regulă, o zecimală corectă în plus.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.3 „Derivabilitate" — „derivatele de ordinul I și al doilea pentru funcțiile studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate" și numește funcțiile: gradul I, gradul al doilea, logaritmică, exponențială, putere și radical cu $n\in \{2,3\}$, raport de două funcții de grad cel mult $2$. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Puține lucruri din materia clasei a XI-a se plătesc atât de bine ca acest tabel: paisprezece rânduri învățate temeinic deschid prima cerință a problemei cu derivate, iar fără ele restul rezolvării nici nu poate porni. De aceea merită repetat des și oral, nu doar în scris.

Lecția verifică patru lucruri: (1) reținerea formulelor împreună cu mulțimile; (2) deosebirea dintre putere și exponențială, adică dintre variabila de la bază și cea de la exponent; (3) folosirea corectă a factorului $\ln a$; (4) prudența de a verifica apartenența punctului la mulțimea de derivabilitate înainte de înlocuire. Întrebări de control, de pus oral: „Cât face derivata lui $4^x$?" — răspunsul corect conține factorul $\ln 4$; „Unde are voie să fie înlocuit un număr în formula derivatei radicalului?"; „Ce derivată are o constantă?"; „De ce nu merge tabelul, luat ca atare, la $\sin (3x)$?". Semne că elevul a înțeles: spune mulțimea fără să i se ceară și se oprește singur când funcția din enunț nu e una dintre cele din prima coloană. Continuarea firească este lecția despre regulile de derivare, care arată ce se întâmplă când funcțiile se adună, se înmulțesc sau se împart.

Întrebări frecvente

Tabelul derivatelor e același la M1 și la M2? Formulele sunt aceleași, dar lista e mai scurtă la științe ale naturii: lipsesc puterea cu exponent real și derivatele funcțiilor trigonometrice inverse. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: derivatele funcțiilor uzuale cuprinde și aceste rânduri, împreună cu deducerile lor complete din limitele fundamentale.

La ce subiect apare tabelul derivatelor la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. În modelul oficial al probei, publicat pentru sesiunea 2026, prima cerință a primei probleme este chiar o derivată, iar subpunctele următoare se sprijină pe ea. Tabelul intră în joc ori de câte ori funcția din enunț este una dintre cele din prima coloană sau se construiește din ele cu regulile de derivare.

Trebuie să știu derivatele funcțiilor trigonometrice la profilul științe ale naturii? Da, ele fac parte din funcțiile studiate în programa nouă, deci intră la proba MAT_P2 din 2030. Pentru sesiunile 2027–2029, programa de examen listează la analiză funcțiile polinomiale, raționale, radicalii, exponențiala și logaritmul, deci trigonometricele nu se află pe lista funcțiilor studiate pentru acele sesiuni. Le înveți o dată, sunt patru formule.

De ce apare $\ln a$ în derivata funcției exponențiale? Pentru că $\ln a$ este chiar viteza cu care pornește funcția $a^x$ din punctul de abscisă zero. Se vede numeric: raportul de variație al lui $3^x$ în jurul lui zero se apropie de $1,0986$, adică de $\ln 3$. Pentru bazele mai mari decât $1$ viteza aceasta este pozitivă, iar mărimea ei crește odată cu baza.

Cum reții tabelul derivatelor fără să-l memorezi rând cu rând? Pe grupe, după unealta comună: puterile și radicalii (exponentul coboară și scade cu unu), exponențiala și logaritmul (peste tot apare $\ln a$, o dată înmulțind, o dată împărțind), trigonometricele (cele „cu co-" poartă minus). În fiecare grupă e destul să reții o formulă și legătura dintre ele.

De ce se scrie în tabel și mulțimea pe care funcția e derivabilă? Pentru că fără ea formula poate fi aplicată unde nu are voie. Radicalii nu sunt derivabili în $0$, funcția $\frac{1}{x^n}$ nu e definită în $0$, iar tangenta și cotangenta au puncte excluse din domeniu. Un răspuns care dă formula corectă pe o mulțime greșită este la fel de greșit ca o formulă greșită.

Cum verifici repede o formulă din tabel, dacă ai uitat-o? Calculezi raportul de variație într-un punct, cu un pas mic: alegi $x_0$, apoi $h=0,001$, și compari $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ cu valoarea dată de formulă. Dacă primele trei zecimale coincid, formula e aproape sigur bună; dacă nu, ai reținut altceva. Este exact proba făcută în lecție pentru exponențială și pentru sinus.