Pe $$(0,+\infty)$$, $$\displaystyle\int\frac{1}{x^{12}}\,dx$$ este:

$$-\dfrac{1}{11x^{11}}+\mathcal{C}$$

$$-\dfrac{1}{12x^{11}}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{11x^{11}}+\mathcal{C}$$

$$-\dfrac{1}{11x^{13}}+\mathcal{C}$$

Pe $$(0,+\infty)$$, $$\displaystyle\int\left(6\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\right)dx$$ este:

$$4x\sqrt{x}+8\sqrt{x}+\mathcal{C}$$

$$4\sqrt{x}+8x\sqrt{x}+\mathcal{C}$$

$$9x\sqrt{x}+8\sqrt{x}+\mathcal{C}$$

$$4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}+\mathcal{C}$$

Pe $$(0,+\infty)$$, $$\displaystyle\int\frac{x^{3}+7}{x^{2}}\,dx$$ este:

$$\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{7}{x}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{7}{x}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{7}{2x^{2}}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{x^{4}}{4}+7x+\mathcal{C}$$

Care este primitiva lui ∛x?

Pe (0,+∞), o primitivă este (3x ∛x)/4. Se bănuiește forma kx ∛x și se derivează cu regula produsului: (x ∛x)'= ∛x+ x/(3 ∛x²)= 4/3 ∛x. Ca să rămână doar ∛x, se înmulțește cu 3/4, de unde coeficientul din primitivă.

De ce primitiva lui 1/√x are coeficientul 2?

Pentru că (√x)'= 1/(2 √x): derivata radicalului are un 2 la numitor. Ca să obții 1/(√x) trebuie să înmulțești cu 2, deci primitiva este 2 √x. La fel, ∫ 3/(√x) dx=6 √x+ C.

Cum integrez (x+1)/√x?

Desparți fracția în doi termeni: x/(√x)+ 1/(√x)= √x+ 1/(√x), pentru că x/(√x)= √x. Pe (0,+∞) integrala este (2x √x)/3+2 √x+ C, iar derivata rezultatului dă înapoi exact cei doi termeni de la început.

Care este primitiva lui radical din x?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Tabelul primitivelor: puteri și radicali

Pe $(0, + \infty)$ , o primitivă a lui $x$ este $\frac{2 x x}{3}$ . La profilul științe ale naturii radicalul nu se scrie ca putere cu exponent fracționar, așa că forma se ghicește, apoi se controlează derivând cu regula produsului: $(x x)^{'} = x + \frac{x}{2 x} = \frac{3 x}{2}$ , iar înmulțind cu $\frac{2}{3}$ se obține exact $x$ . Exemplu: $\int 5 x d x = \frac{10 x x}{3} + C$ . Pentru $\frac{1}{x}$ , primitiva este $2 x$ .

Lista primitivelor uzuale iese din formulele de derivare ale clasei a XI-a, parcurse în sens opus; nu conține, deci, nimic de tocit — orice rând se poate reface. La întoarcere trebuie păzite două lucruri: factorul ivit la derivare, care cere o împărțire, și mulțimea pe care egalitatea are sens, parte din răspuns la fel ca expresia.

Blocul de deschidere are cinci rânduri. Puterea cu exponent natural cere gradul ridicat cu o unitate și împărțirea la el. Puterea de sub linie merge doar de la exponentul doi în sus, iar rezultatul poartă un minus ivit chiar din formulă; cifra care ajunge la numitor e cu o unitate sub cea din enunț, nu egală cu ea. La exponentul unu formula s-ar sparge, așa că funcția aceea rămâne pentru blocul următor.

Radicalii nu se prefac în puteri cu exponent fracționar — scrierea aceea lipsește din programa profilului. În locul ei, bănuiești forma primitivei și o pui la probă derivând, cu regula produsului; procedeul merge la orice putere înmulțită cu un radical.

Lista intră în joc la urmă, după prelucrarea algebrică și după liniaritate. Greul stă în pasul dintâi.

De reținut

$\int x d x = \frac{2 x x}{3} + C$ și $\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C$ , pe $(0, + \infty)$
la radicali se bănuiește forma primitivei și se verifică prin derivare
o fracție cu radical la numitor se desparte întâi în termeni

Greșeala tipică

Ca primitivă a lui $x$ se scrie $\frac{1}{2 x}$ , adică derivata lui $x$ ; drumul este invers, iar rezultatul corect, $\frac{2 x x}{3}$ , se verifică derivând.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $(0, + \infty)$ , $\int \frac{1}{x ^{12}} d x$ este:
- a) $- \frac{1}{12 x ^{11}} + C$
- b) $- \frac{1}{11 x ^{11}} + C$
- c) $\frac{1}{11 x ^{11}} + C$
- d) $- \frac{1}{11 x ^{13}} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{1}{11 x ^{11}} + C$

Este rândul puterii de la numitor, cu $n = 12$ : numitorul este $n - 1 = 11$ , iar exponentul rămas este tot $11$ . Rezultă $- \frac{1}{11 x ^{11}} + C$ . Varianta a) pune la numitor exponentul din enunț, c) adaugă încă un minus peste cel din formulă, iar d) urcă exponentul în loc să-l coboare.
Pe $(0, + \infty)$ , $\int (6 x + \frac{4}{x}) d x$ este:
- a) $4 x x + 8 x + C$
- b) $4 x + 8 x x + C$
- c) $9 x x + 8 x + C$
- d) $4 x x + 4 x + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 x x + 8 x + C$

Pentru primul termen folosim $\int x d x = \frac{2 x x}{3} + C$ , deci $6 \cdot \frac{2 x x}{3} = 4 x x$ ; pentru al doilea, $\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C$ , deci $4 \cdot 2 x = 8 x$ . Varianta b) încurcă cele două rânduri între ele, c) uită împărțirea la $3$ , iar d) uită factorul $2$ de la al doilea rând.
Pe $(0, + \infty)$ , $\int \frac{x ^{3} + 7}{x ^{2}} d x$ este:
- a) $\frac{x ^{2}}{2} + \frac{7}{x} + C$
- b) $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{7}{2 x ^{2}} + C$
- c) $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{7}{x} + C$
- d) $\frac{x ^{4}}{4} + 7 x + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{7}{x} + C$

Întâi prelucrarea: $\frac{x ^{3} + 7}{x ^{2}} = x + \frac{7}{x ^{2}}$ . Primul termen dă $\frac{x ^{2}}{2}$ , iar al doilea este rândul puterii de la numitor cu $n = 2$ , cu constanta $7$ în față: $7 \cdot (- \frac{1}{x}) = - \frac{7}{x}$ . Varianta a) pierde minusul din formulă, b) ia $n - 1 = 2$ în loc de $1$ , iar d) integrează numărătorul și uită numitorul.

Întrebări conexe

Care este primitiva lui $3 x$ ?

Pe $(0, + \infty)$ , o primitivă este $\frac{3 x 3 x}{4}$ . Se bănuiește forma $k x 3 x$ și se derivează cu regula produsului: $(x 3 x)^{'} = 3 x + \frac{x}{3 3 x ^{2}} = \frac{4}{3} 3 x$ . Ca să rămână doar $3 x$ , se înmulțește cu $\frac{3}{4}$ , de unde coeficientul din primitivă.

Cum integrez $x x$ fără exponent fracționar?

Bănuiești o primitivă de forma $k x^{2} x$ , cu gradul crescut cu o unitate, și o derivezi cu regula produsului: $(x^{2} x)^{'} = 2 x x + \frac{x ^{2}}{2 x} = \frac{5}{2} x x$ . Ca derivata să fie chiar $x x$ , trebuie $k = \frac{2}{5}$ , deci o primitivă pe $(0, + \infty)$ este $\frac{2 x ^{2} x}{5}$ .

De ce primitiva lui $\frac{1}{x}$ are coeficientul $2$ ?

Pentru că $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ : derivata radicalului are un $2$ la numitor. Ca să obții $\frac{1}{x}$ trebuie să înmulțești cu $2$ , deci primitiva este $2 x$ . La fel, $\int \frac{3}{x} d x = 6 x + C$ .

Cât crește în zilele $1$ – $4$ o plantă cu viteza $3 t$ ?

Dacă înălțimea crește cu viteza de $3 t$ cm pe zi, creșterea dintre două momente este diferența valorilor unei primitive. O primitivă este $2 t t$ , deci între ziua $1$ și ziua $4$ planta crește $2 \cdot 4 \cdot 2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 2 = 14$ cm.

Cum integrez $\frac{x + 1}{x}$ ?

Desparți fracția în doi termeni: $\frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$ , pentru că $\frac{x}{x} = x$ . Pe $(0, + \infty)$ integrala este $\frac{2 x x}{3} + 2 x + C$ , iar derivata rezultatului dă înapoi exact cei doi termeni de la început.

Oamenii mai întreabă și: primitiva lui radical din x · integrala din radical din x · primitiva funcției radical · cât face integrala lui radical x

Care este primitiva lui radical din x?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Care este primitiva lui 3x​?

Cum integrez xx​ fără exponent fracționar?

De ce primitiva lui x​1​ are coeficientul 2?

Cât crește în zilele 1–4 o plantă cu viteza 3t​?

Cum integrez x​x+1​?

Continuă cu

Care este primitiva lui $3 x$ ?

Cum integrez $x x$ fără exponent fracționar?

De ce primitiva lui $\frac{1}{x}$ are coeficientul $2$ ?

Cât crește în zilele $1$ – $4$ o plantă cu viteza $3 t$ ?

Cum integrez $\frac{x + 1}{x}$ ?