Tabelul primitivelor uzuale: puteri și radicali (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un laborant cântărește la fiecare oră stratul de vopsea depus pe o placă și obține un șir de creșteri; un contor de gaz înregistrează cât de repede curge, nu cât a curs. În amândouă situațiile ai la îndemână viteza de schimbare a unei mărimi și îți trebuie mărimea însăși — adică exact drumul invers al derivării, pe care l-ai deschis la Primitive: problema inversă a derivării. Ca drumul acesta să fie practic, nu doar posibil, ai nevoie de o listă scurtă de funcții a căror primitivă se scrie din prima, fără niciun calcul. Lista se numește tabelul primitivelor uzuale și e materia primă a întregii analize de clasa a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2); la bacalaureatul M2 ea stă la temelia problemei de analiză din Subiectul al III-lea.

Tema apare la amândouă examenele pe care le pot da elevii de azi. Programa de examen în vigoare pentru sesiunile 2027, 2028 și 2029 (OMEN 4430/2014) cuprinde, la capitolul de analiză, rândul „Primitive uzuale"; programa nouă, cea după care se dă proba MAT_P2 din 2030, cuprinde la unitatea XII.3 rândul „Tabelul primitivelor uzuale". Nu ai, aici, nicio despărțire între generații: orice ai da, tabelul acesta îți trebuie. Lecția de față îl deschide, cu primele cinci rânduri — puterile și radicalii. Celelalte rânduri se adaugă în lecțiile următoare, fiecare verificat în lecția lui, și niciunul nu se scrie de două ori.

Ce vei învăța

Vei ști să citești invers tabelul derivatelor și să obții din el primitiva unei funcții, împărțind la coeficientul apărut prin derivare.
Vei ști cele cinci rânduri de început ale tabelului: puterea cu exponent natural, puterea de la numitor și cei trei radicali.
Vei ști să faci proba oricărui rând, derivându-l, în loc să te bazezi pe memorie, și să faci asta fără să scrii vreodată un radical ca putere cu exponent fracționar.
Vei ști să precizezi intervalul pe care este valabilă fiecare formulă și de ce el face parte din răspuns.
Vei ști să prelucrezi algebric o fracție sau un produs până când devine o sumă de funcții din tabel.
Vei ști să folosești tabelul într-un model din științe, unde se cunoaște viteza de schimbare a unei mărimi.

Hai să descoperim împreună

1. De ce are nevoie capitolul acesta de un tabel?

Tabelul primitivelor uzuale este lista de perechi $(f, F)$ în care $F$ este o primitivă a lui $f$ pe un interval precizat, adică $F$ este derivabilă acolo și $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x$ din acel interval; el se obține citind de la dreapta la stânga formulele de derivare pe care le ai din clasa a XI-a. Nimic nou de memorat, deci: fiecare rând este o formulă de derivare întoarsă.

Întoarcerea nu se face însă automat, iar cele două locuri în care ea cere atenție se repetă la fiecare rând.

Primul este coeficientul. Derivarea coboară exponentul în față, deci lasă în urmă un factor care nu are ce căuta în rezultat. Din $(x^{4})^{'} = 4 x^{3}$ nu urmează că primitiva lui $x^{3}$ ar fi $x^{4}$ , ci că este $\frac{x ^{4}}{4}$ — se împarte la factorul apărut. Al doilea este intervalul. În tabelul derivatelor, coloana din mijloc spunea unde este derivabilă funcția; aici, aceeași mulțime spune unde are sens formula. Nu e o formalitate de dragul rigorii: o formulă corectă ca expresie poate fi complet falsă dacă e scrisă pe o mulțime greșită.

Convenția de scriere este cea fixată la Mulțimea primitivelor. Integrala nedefinită: în dreapta nu stă o funcție, ci o mulțime întreagă de funcții, așa că fiecare rând se încheie cu $+ C$ .

2. Care este primitiva unei puteri cu exponent natural?

Pornim de la formula de derivare $(x^{n + 1})^{'} = (n + 1) x^{n}$ , valabilă pe $R$ pentru orice $n$ natural. Împărțind la $n + 1$ , care nu se anulează niciodată pentru $n$ natural, obținem primul rând al tabelului:

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, x \in R .$

Verificarea se face pe loc, derivând partea dreaptă: $(\frac{x ^{n + 1}}{n + 1})^{'} = \frac{( n + 1 ) x ^{n}}{n + 1} = x^{n}$ . Reține regula de mână, care e oglinda celei de la derivare: exponentul crește cu unu, iar noul exponent coboară la numitor.

Cazul $n = 0$ nu e o curiozitate, ci formula de care te vei folosi la fiecare polinom: $\int 1 d x = x + C$ . Pentru un exponent mare, cum ar fi $6$ , drumul e la fel de scurt: exponentul devine $7$ , iar rezultatul este $\int x^{6} d x = \frac{x ^{7}}{7} + C$ . Nici aici nu ai voie să scrii direct $x^{7}$ : proba prin derivare ar da $7 x^{6}$ , adică de șapte ori prea mult.

3. Ce se schimbă atunci când puterea stă la numitor?

Funcțiile de tipul $\frac{1}{x ^{n}}$ se scriu, în clasa a XI-a, $x^{- n}$ , iar formula de derivare rămâne aceeași ca formă: $(x^{- n})^{'} = - n x^{- n - 1}$ , dar numai pe $R^{*}$ , fiindcă în $0$ funcția nici nu e definită. Întorcând-o, ajungem la al doilea rând, scris aici în forma fără exponenți negativi, cea pe care o vei recunoaște mai ușor într-un enunț:

$\int \frac{1}{x ^{n}} d x = - \frac{1}{( n - 1 ) x ^{n - 1}} + C, n \in N, n \geq 2.$

Formula se verifică tot prin derivare, cu regula de la exponenți negativi: derivata lui $- \frac{1}{n - 1} \cdot x^{- (n - 1)}$ este $- \frac{1}{n - 1} \cdot (- (n - 1)) x^{- n}$ , adică exact $\frac{1}{x ^{n}}$ .

Pe un exemplu cu cifre, ca să vezi unde se strecoară greșeala: pentru $n = 5$ obținem $\int \frac{1}{x ^{5}} d x = - \frac{1}{4 x ^{4}} + C$ . Observă că la numitor apare $4$ , nu $5$ , și că exponentul rămas este $4$ , nu $6$ . Semnul minus nu se adaugă „de mână": el iese singur din formulă și, dacă îl mai pui o dată, rezultatul devine fals.

Domeniul cere și el atenție. Mulțimea $R^{*}$ nu este un interval, ci reuniunea a două intervale, iar primitivele se definesc pe un interval. De aceea rândul al doilea se citește așa: formula este valabilă pe $(- \infty, 0)$ sau pe $(0, + \infty)$ , iar pe fiecare dintre ele constanta se alege separat. Dacă enunțul precizează intervalul, îl păstrezi ca atare; dacă nu-l precizează, îl scrii tu în răspuns.

4. De ce lipsește un rând din tabel?

Privește încă o dată condiția $n \geq 2$ . La $n = 1$ numitorul $n - 1$ devine zero, iar o împărțire prin zero nu se poate scrie — nu e o scăpare de redactare, ci o imposibilitate. Rămâne astfel pe dinafară funcția $\frac{1}{x}$ , poate cea mai des întâlnită dintre toate.

Ea are, firește, primitive: este continuă pe fiecare dintre cele două bucăți ale domeniului ei, iar regula după care recunoști funcțiile care admit primitive o vei găsi la Ce funcții admit primitive. Primitiva ei nu este însă o putere a lui $x$ , așa că nu are ce căuta în blocul de față; ea deschide blocul următor al tabelului, la Primitive cu exponențială și logaritm. Reține deocamdată doar consecința practică: când vezi la numitor exact $x$ la puterea întâi, oprește-te — rândul de aici nu ți se aplică.

5. Cum se integrează radicalii, dacă nu-i putem scrie ca puteri?

La profilul științe ale naturii, puterea cu exponent care nu este întreg nu face parte din funcțiile studiate — tabelul derivatelor din clasa a XI-a o spune limpede. Prin urmare scrierea $x = x^{\frac{1}{2}}$ îți este închisă, și odată cu ea drumul scurt prin rândul puterilor. Nu e o pierdere: radicalii au propriile lor formule de derivare, iar întoarcerea lor dă rânduri de sine stătătoare.

Din $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ pe $(0, + \infty)$ iese imediat, înmulțind cu $2$ :

$\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C, x \in (0, + \infty) .$

Pentru radicalul însuși, metoda este ghicește tiparul și verifică prin derivare — procedeul pe care îl vei folosi tot anul. Bănuim că primitiva lui $x$ are forma $k x x$ și derivăm cu regula produsului, învățată la Reguli de derivare:

$(x x)^{'} = x + x \cdot \frac{1}{2 x} = x + \frac{x}{2 x} = x + \frac{x}{2} = \frac{3 x}{2} .$

Pasul din mijloc merită privit de două ori: $\frac{x}{2 x}$ se simplifică scriind $x = x \cdot x$ , nu ridicând la o putere fracționară. De aici $k = \frac{2}{3}$ , iar rândul al treilea este $\int x d x = \frac{2 x x}{3} + C$ pe $(0, + \infty)$ .

Același drum, cu $(3 x)^{'} = \frac{1}{3 3 x ^{2}}$ , dă rândul al cincilea. Derivând $x 3 x$ obținem $3 x + \frac{x}{3 3 x ^{2}}$ , iar cum $\frac{x}{3 x ^{2}} = 3 x$ , suma este $\frac{4 3 x}{3}$ ; înmulțind cu $\frac{3}{4}$ ajungem la $\int 3 x d x = \frac{3 x 3 x}{4} + C$ .

Procedeul merge și dincolo de cele două rânduri. Pentru $x^{2} x$ , bănuiala firească este $k x^{3} x$ ; derivata ei este $3 x^{2} x + \frac{x ^{3}}{2 x} = 3 x^{2} x + \frac{x ^{2} x}{2} = \frac{7 x ^{2} x}{2}$ , de unde $\int x^{2} x d x = \frac{2 x ^{3} x}{7} + C$ . Reține procedeul, nu rezultatul: el rezolvă orice produs dintre o putere și un radical, fără nicio formulă nouă.

Iată, adunate, cele cinci rânduri cu care se deschide tabelul. Simbolul $C$ înseamnă peste tot familia constantelor alese pe intervalul scris în coloana a patra.

Nr.	$f (x)$	$\int f (x) d x$	Interval
1	$x^{n}$ , $n$ natural	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	$R$
2	$\frac{1}{x ^{n}}$ , $n$ natural, $n \geq 2$	$- \frac{1}{( n - 1 ) x ^{n - 1}} + C$	$(- \infty, 0)$ sau $(0, + \infty)$
3	$x$	$\frac{2 x x}{3} + C$	$(0, + \infty)$
4	$\frac{1}{x}$	$2 x + C$	$(0, + \infty)$
5	$3 x$	$\frac{3 x 3 x}{4} + C$	$(0, + \infty)$

6. Cum se folosește tabelul într-un calcul?

Se folosește după prelucrarea algebrică, niciodată înainte. Ordinea de lucru are trei pași, iar tabelul intervine abia la al treilea.

Întâi aduci funcția la o sumă de termeni din tabel: scapi de paranteze, spargi fracția după termenii numărătorului, tai ce se simplifică. Apoi aplici liniaritatea integralei nedefinite, dovedită la Liniaritatea integralei nedefinite: integrala unei sume este suma integralelor, iar constantele nenule ies în față. Abia la sfârșit înlocuiești fiecare termen cu primitiva lui din tabel și scrii un singur $+ C$ .

O funcție care nu seamănă cu niciun rând se sparge, aproape de fiecare dată, în două sau trei rânduri. Ia $\frac{x ^{4} - 6}{x ^{2}}$ : fiecare termen al numărătorului se împarte separat la $x^{2}$ și rămâne $x^{2} - \frac{6}{x ^{2}}$ , adică rândul 1 cu $n = 2$ și rândul 2 cu $n = 2$ . Prin urmare

$\int \frac{x ^{4} - 6}{x ^{2}} d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{6}{x} + C, x \in (0, + \infty) .$

Fii atent la semn: minusul din enunț se întâlnește cu minusul din rândul 2 și rezultatul are plus. Verificarea prin derivare o face pe loc, iar dacă nu iese, greșeala e în calculul algebric, nu în tabel.

Partea grea a exercițiilor nu e niciodată rândul din tabel, ci primul pas. Cele mai frecvente prelucrări pe care le vei repeta sunt trei: fracția cu numitor de forma $x^{n}$ , care se împarte termen cu termen; pătratul unui binom cu radical, care se desface; și fracția care se simplifică după ce numărătorul se descompune.

7. La ce folosește tabelul într-un model din științe?

Într-un laborator de chimie, o placă de aluminiu se acoperă cu un strat de oxid a cărui grosime crește tot mai încet, pentru că oxidul deja format frânează pătrunderea oxigenului. Măsurătorile arată că viteza de îngroșare este $d^{'} (t) = \frac{5}{t}$ micrometri pe oră, unde $t$ este timpul scurs de la începutul procesului, măsurat în ore, iar modelul se folosește pentru $t > 0$ .

Grosimea $d$ este atunci o primitivă a acestei viteze. Rândul 4 dă direct $d (t) = 10 t + c$ micrometri, iar din faptul că la începutul procesului placa nu are strat de oxid rezultă $c = 0$ , deci $d (t) = 10 t$ micrometri. Modelul are exact comportarea pe care o vede laborantul: după o oră stratul are $10$ micrometri, după patru ore $20$ de micrometri, deci în prima oră se depune tot atât cât în următoarele trei la un loc. Tehnica prin care constanta se determină dintr-o asemenea condiție este subiectul lecției Primitiva care trece printr-un punct dat; aici ne interesează doar că tabelul a transformat o măsurătoare de viteză într-o lege a grosimii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două rânduri într-un singur calcul

Determină $\int (x^{5} - \frac{8}{x ^{3}}) d x$ pe $(0, + \infty)$ .

Rezolvare. Primul termen este rândul 1 cu $n = 5$ , al doilea este rândul 2 cu $n = 3$ , luat cu constanta $8$ în față. Din rândul 2 obținem $\int \frac{1}{x ^{3}} d x = - \frac{1}{2 x ^{2}} + C$ , deci

$\int (x^{5} - \frac{8}{x ^{3}}) d x = \frac{x ^{6}}{6} + \frac{4}{x ^{2}} + C .$

Semnul din fața lui $8$ și semnul din formulă se înmulțesc și dau plus. Verificare prin derivare: $(\frac{x ^{6}}{6})^{'} = x^{5}$ , iar $(4 x^{- 2})^{'} = - 8 x^{- 3}$ .

Exemplul 2 — Cei doi radicali alături

Determină $\int (3 x + \frac{7}{x}) d x$ pe $(0, + \infty)$ .

Rezolvare. Rândul 3 pentru primul termen, rândul 4 pentru al doilea:

$\int (3 x + \frac{7}{x}) d x = 3 \cdot \frac{2 x x}{3} + 7 \cdot 2 x + C = 2 x x + 14 x + C .$

Intervalul nu e o alegere, ci o obligație: amândouă rândurile folosite îl cer, fiindcă niciuna dintre cele două funcții nu e definită pentru $x \leq 0$ .

Exemplul 3 — Fracție cu numitor putere

Determină $\int \frac{x ^{4} + 5}{x ^{3}} d x$ pe $(0, + \infty)$ .

Rezolvare. Pasul întâi, împărțirea termen cu termen: $\frac{x ^{4} + 5}{x ^{3}} = x + \frac{5}{x ^{3}}$ . Pasul al treilea, rândurile 1 și 2:

$\int \frac{x ^{4} + 5}{x ^{3}} d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{5}{2 x ^{2}} + C .$

Numitorul $2$ din al doilea termen vine din $n - 1 = 2$ , nu din numărul $5$ al enunțului — sunt două cifre diferite care se apropie periculos în scriere.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Din rândul 2 al tabelului, $\int \frac{1}{x ^{6}} d x = - \frac{1}{6 x ^{5}} + C$ ." Unde greșește și care este răspunsul corect?

Rezolvare. Exponentul rămas este corect, $5$ , dar coeficientul de la numitor nu: formula cere $n - 1$ , adică $5$ , nu $n$ . Elevul a scris în numitor chiar exponentul din enunț. Răspunsul corect este $\int \frac{1}{x ^{6}} d x = - \frac{1}{5 x ^{5}} + C$ . Proba, pe care elevul nu a făcut-o, ar fi arătat imediat eroarea: derivând $- \frac{1}{6} x^{- 5}$ se obține $\frac{5}{6} x^{- 6}$ , adică cinci șesimi din funcția cerută.

Exemplul 5 — Un model din chimie

Pentru o cantitate fixată de gaz ținută la temperatură constantă, viteza cu care se schimbă volumul atunci când crește presiunea este $V^{'} (p) = - \frac{24}{p ^{2}}$ litri pe atmosferă, pentru $p > 0$ . a) Determină mulțimea primitivelor lui $V^{'}$ . b) Arată că diferența $V (2) - V (6)$ are aceeași valoare pentru orice primitivă și calculeaz-o.

Rezolvare. a) Rândul 2 cu $n = 2$ dă $\int \frac{1}{p ^{2}} d p = - \frac{1}{p} + C$ , deci $\int - \frac{24}{p ^{2}} d p = \frac{24}{p} + C$ . Toate primitivele au forma $V (p) = \frac{24}{p} + c$ , cu $c$ număr real — regăsim legea lui Boyle, în care produsul dintre presiune și volum este constant, pentru $c = 0$ .

b) Constanta se simplifică în diferență: $V (2) - V (6) = (\frac{24}{2} + c) - (\frac{24}{6} + c) = 12 - 4 = 8$ litri. Semnul pozitiv are înțeles fizic: comprimând gazul de la $2$ la $6$ atmosfere, volumul scade cu $8$ litri.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{( x + 5 ) ^{2}}{x}$ .

a) Arată că $f (x) = x + 10 + \frac{25}{x}$ pentru orice $x \in (0, + \infty)$ .

b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(0, + \infty)$ .

c) Arată că graficul oricărei primitive a lui $f$ are în punctul de abscisă $1$ tangenta de pantă $36$ .

Rezolvare. a) Desfacem pătratul: $(x + 5)^{2} = x + 10 x + 25$ . Împărțim termen cu termen la $x$ , folosind $\frac{x}{x} = x$ :

$\frac{x + 10 x + 25}{x} = x + 10 + \frac{25}{x} .$

b) Rândurile 3, 1 (cu $n = 0$ ) și 4:

$\int f (x) d x = \frac{2 x x}{3} + 10 x + 50 x + C, x \in (0, + \infty) .$

c) Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ , atunci $F^{'} (x) = f (x)$ , iar panta tangentei în punctul de abscisă $1$ este chiar $F^{'} (1) = f (1)$ — legătura dintre derivată și pantă e cea de la Tangenta la graficul unei funcții. Calculăm $f (1) = 1 + 10 + 25 = 36$ . Cum constanta nu schimbă derivata, panta este $36$ pentru orice primitivă.

Să exersăm

1. Determină $\int x^{8} d x$ pe $R$ .

2. Determină $\int \frac{1}{x ^{7}} d x$ pe $(0, + \infty)$ .

3. Determină $\int (3 x + x) d x$ pe $(0, + \infty)$ .

4. Determină $\int (2 x^{4} + \frac{5}{x}) d x$ pe $(0, + \infty)$ .

5. Determină $\int (6 x - \frac{3}{x ^{2}}) d x$ pe $(0, + \infty)$ .

6. Determină $\int \frac{x ^{5} + 2}{x ^{4}} d x$ pe $(0, + \infty)$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Integrala $\int \frac{x ^{2} + 9}{x ^{3}} d x$ se poate duce la capăt cu cele cinci rânduri din lecția aceasta."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $(0, + \infty)$ are loc egalitatea $\int x d x = \frac{2 x}{3} + C$ ."

9. Determină $\int \frac{3 x ^{2} - x}{x} d x$ pe $(0, + \infty)$ .

10. (Problemă aplicată.) Într-un bazin de creștere, masa unui pui de crap crește cu viteza $m^{'} (t) = \frac{3 t ^{2} + 8}{t ^{2}}$ grame pe săptămână, unde $t$ este timpul în săptămâni, $t \geq 1$ . Știind că la sfârșitul primei săptămâni puiul avea $20$ de grame, determină legea $m (t)$ și masa lui la sfârșitul săptămânii a patra.

11. Determină $\int \frac{2}{x ^{3}} d x$ pe $(- \infty, 0)$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x}{x}$ . a) Arată că $f (x) = x + \frac{4}{x}$ . b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(0, + \infty)$ .

13. Determină $\int (\frac{9}{x ^{4}} - 3 x) d x$ pe $(0, + \infty)$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcția $F (x) = \frac{a}{x ^{2}} + b x$ este o primitivă a funcției $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{10}{x ^{3}}$ pe $(0, + \infty)$ .

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $F (x) = \frac{x ^{3} + 2}{x}$ este o primitivă a funcției $f (x) = 2 x - \frac{2}{x ^{2}}$ pe $(0, + \infty)$ ."

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină $\int \frac{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}{x ^{2}} d x$ pe $(0, + \infty)$ .

17. Folosind procedeul din subsecțiunea 5 — bănuiești forma primitivei și o verifici prin derivare, cu regula produsului —, determină $\int x^{3} 3 x d x$ pe $(0, + \infty)$ .

18. (Provocare.) Determină $\int \frac{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}{x ^{4}} d x$ pe $(0, + \infty)$ .

Răspunsuri și explicații

1. Rândul 1 cu $n = 8$ : $\int x^{8} d x = \frac{x ^{9}}{9} + C$ .

2. Rândul 2 cu $n = 7$ , deci la numitor apare $6$ : $\int \frac{1}{x ^{7}} d x = - \frac{1}{6 x ^{6}} + C$ .

3. Rândurile 5 și 3, aplicate termen cu termen: $\int (3 x + x) d x = \frac{3 x 3 x}{4} + \frac{2 x x}{3} + C$ .

4. Rândurile 1 și 4: $\int (2 x^{4} + \frac{5}{x}) d x = \frac{2 x ^{5}}{5} + 10 x + C$ .

5. Rândurile 3 și 2: $\int (6 x - \frac{3}{x ^{2}}) d x = 4 x x + \frac{3}{x} + C$ . Al doilea termen are plus, fiindcă minusul din enunț se înmulțește cu minusul din formulă.

6. Împărțire termen cu termen: $\frac{x ^{5} + 2}{x ^{4}} = x + \frac{2}{x ^{4}}$ , deci $\int \frac{x ^{5} + 2}{x ^{4}} d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{2}{3 x ^{3}} + C$ .

7. Fals. Împărțind termen cu termen, $\frac{x ^{2} + 9}{x ^{3}} = \frac{1}{x} + \frac{9}{x ^{3}}$ . Al doilea termen este rândul 2 cu $n = 3$ și dă $- \frac{9}{2 x ^{2}}$ , dar primul este chiar funcția lăsată în afara blocului: rândul 2 cere $n \geq 2$ . Calculul se oprește aici și se încheie abia cu rândul din lecția următoare.

8. Fals. Lipsește factorul $x$ : derivând $\frac{2 x}{3}$ se obține $\frac{1}{3 x}$ , care nu este $x$ . Corect este $\int x d x = \frac{2 x x}{3} + C$ .

9. Împărțim termen cu termen și folosim $\frac{x}{x} = \frac{1}{x}$ : integrandul devine $3 x - \frac{1}{x}$ , deci $\int \frac{3 x ^{2} - x}{x} d x = \frac{3 x ^{2}}{2} - 2 x + C$ .

10. Prelucrăm: $\frac{3 t ^{2} + 8}{t ^{2}} = 3 + \frac{8}{t ^{2}}$ , iar $\int (3 + \frac{8}{t ^{2}}) d t = 3 t - \frac{8}{t} + C$ . Din condiția $m (1) = 20$ obținem $3 - 8 + c = 20$ , deci $c = 25$ și $m (t) = 3 t - \frac{8}{t} + 25$ grame. La sfârșitul săptămânii a patra, $m (4) = 12 - 2 + 25 = 35$ de grame. Modelul e corect fizic pe $t \geq 1$ : viteza $3 + \frac{8}{t ^{2}}$ este pozitivă, deci masa crește.

11. Rândul 2 cu $n = 3$ , pe ramura negativă: $\int \frac{2}{x ^{3}} d x = - \frac{1}{x ^{2}} + C$ . Formula e aceeași pe ambele intervale, dar constanta se alege separat pe fiecare.

12. a) $\frac{x ^{2}}{x} = x$ , iar $\frac{4 x}{x} = \frac{4}{x}$ , deci $f (x) = x + \frac{4}{x}$ . b) $\int f (x) d x = \frac{x ^{2}}{2} + 8 x + C$ , pe $(0, + \infty)$ .

13. Rândurile 2 și 5: $\int (\frac{9}{x ^{4}} - 3 x) d x = - \frac{3}{x ^{3}} - \frac{3 x 3 x}{4} + C$ .

14. Derivăm: $F^{'} (x) = - \frac{2 a}{x ^{3}} + \frac{b}{2 x}$ . Identificând cu $\frac{1}{x} - \frac{10}{x ^{3}}$ obținem $- 2 a = - 10$ și $\frac{b}{2} = 1$ , deci $a = 5$ și $b = 2$ . Verificare: $F (x) = \frac{5}{x ^{2}} + 2 x$ are într-adevăr derivata cerută.

15. Adevărat. Împărțim întâi termen cu termen: $\frac{x ^{3} + 2}{x} = x^{2} + \frac{2}{x}$ . Derivând, $(x^{2})^{'} = 2 x$ , iar $(\frac{2}{x})^{'} = - \frac{2}{x ^{2}}$ , deci derivata lui $F$ este $2 x - \frac{2}{x ^{2}}$ , adică exact funcția din enunț.

16. Desfacem pătratul și împărțim: $\frac{x ^{4} + 6 x ^{2} + 9}{x ^{2}} = x^{2} + 6 + \frac{9}{x ^{2}}$ . Rezultă $\int \frac{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}{x ^{2}} d x = \frac{x ^{3}}{3} + 6 x - \frac{9}{x} + C$ .

17. Bănuim forma $k x^{4} 3 x$ și derivăm cu regula produsului: $(x^{4} 3 x)^{'} = 4 x^{3} 3 x + \frac{x ^{4}}{3 3 x ^{2}}$ . Cum $\frac{x ^{4}}{3 x ^{2}} = x^{3} 3 x$ , suma este $\frac{13 x ^{3} 3 x}{3}$ , deci $k = \frac{3}{13}$ și $\int x^{3} 3 x d x = \frac{3 x ^{4} 3 x}{13} + C$ . Coeficientul iese din derivare, nu din memorie.

18. Desfacem pătratul și împărțim fiecare termen la $x^{4}$ : $\frac{x ^{4} - 8 x ^{2} + 16}{x ^{4}} = 1 - \frac{8}{x ^{2}} + \frac{16}{x ^{4}}$ . Cu rândurile 1 (pentru $n = 0$ ) și 2 obținem $\int \frac{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}{x ^{4}} d x = x + \frac{8}{x} - \frac{16}{3 x ^{3}} + C$ .

De reținut

Fiecare rând al tabelului iese dintr-o egalitate de derivare întoarsă, urmată de o împărțire la factorul scos în față de derivare; de aceea rândurile se pot reconstrui oricând și nu are rost să fie tocite.
Fiecare rând vine la pachet cu o mulțime de lucru, iar un rezultat dat fără ea poate fi greșit chiar atunci când toate cifrele din el sunt bune.
Rândul puterii de la numitor cere $n \geq 2$ și duce la $- \frac{1}{( n - 1 ) x ^{n - 1}} + C$ : numitorul e cu unu mai mic decât exponentul din enunț, iar minusul iese singur din formulă.
La acest profil radicalii nu se scriu ca puteri cu exponent fracționar: primitiva lor se ghicește după tipar și se verifică prin derivare, cu regula produsului.
Tabelul se folosește abia după prelucrarea algebrică și după aplicarea liniarității; timpul se pierde la primul pas, nu la ultimul.

Greșeli frecvente

Împarți la exponentul din enunț, nu la cel din rezultat. La rândul 1, numitorul este $n + 1$ , nu $n$ ; la rândul 2 este $n - 1$ , nu $n$ . Ambele greșeli se prind cu o singură derivare.
Adaugi încă un minus la rândul 2. Formula îl conține deja. Dacă îl mai scrii o dată, rezultatul are semn greșit, deși toate cifrele sunt bune.
Simplifici radicalul trecând prin exponent fracționar. Scrierea $x x = x^{\frac{3}{2}}$ nu face parte din funcțiile studiate la acest profil. Simplificarea corectă folosește $x = x \cdot x$ și rămâne în limba radicalilor.
Scrii rezultatul fără interval. La radicali și la puterile de la numitor, intervalul e parte din răspuns: fără el nu se știe pe care dintre ramuri se alege constanta.
Cauți rândul înainte de a prelucra. O fracție nu se caută în tabel ca atare; întâi se împarte termen cu termen, se desfac parantezele și se simplifică. Cine sare peste pasul acesta ajunge la concluzia greșită că exercițiul nu se poate face.

Aplică acasă

Harta rândurilor. Desenează pe o foaie, în stânga, cele cinci rânduri de aici și, în dreapta, rândurile din tabelul derivatelor de clasa a XI-a din care provin; unește-le cu săgeți și scrie pe fiecare săgeată ce s-a schimbat la trecere (un exponent mărit, o împărțire, o înmulțire). Lasă loc gol dedesubt: acolo vei adăuga, în lecțiile următoare, săgețile celorlalte nouă rânduri.
Cronometrează proba. Alege șase rezultate din secțiunea de răspunsuri, acoperă enunțurile și derivează fiecare rezultat, măsurându-ți timpul cu ceasul telefonului. Notează timpii într-un tabel de șase rânduri. Scopul nu e viteza, ci transformarea probei într-un gest automat: la a treia repetare vei coborî sub zece secunde pe rezultat, iar atunci nu vei mai preda niciodată o lucrare necontrolată.
Caută modelul în manualul de fizică sau de chimie. Găsește o mărime despre care manualul dă viteza de schimbare sub forma unei puteri sau a unui radical — grosimea unui strat, adâncimea de pătrundere, volumul unui gaz comprimat. Scrie primitiva corespunzătoare, pune unitatea de măsură la rezultat și verifică dacă legea obținută crește sau scade așa cum spune textul.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide partea cea mai practică a analizei de clasa a XII-a: lista de formule pe care elevul o va folosi la fiecare exercițiu de primitive, de integrale și de arii, până la sfârșitul anului. Ea nu dă lista de-a gata, ci o deduce, rând cu rând, din formulele de derivare pe care elevul le are deja — așa cere și programa, iar efectul practic este că un elev care uită o formulă o poate reface singur, în loc să se blocheze.

Ce verifică lecția, concret: dacă elevul împarte la coeficientul corect, dacă precizează intervalul odată cu formula, dacă prelucrează algebric înainte de a căuta în tabel și dacă își face proba prin derivare. Deosebirea față de manualele de matematică-informatică este una de metodă și merită știută: acolo radicalii se integrează scriindu-i ca puteri cu exponent fracționar, scriere care nu face parte din programa de științe ale naturii; aici ei primesc rânduri proprii, iar primitivele lor se obțin prin derivarea unui produs.

De pus acasă, cu voce tare: „Ce exponent are rezultatul, față de cel din enunț?"; „De unde iese cifra așezată la numitor, când integrezi o fracție cu $x$ la o putere?"; „Pe ce mulțime are sens ce ai scris?"; „Cum îți dovedești singur că răspunsul e bun?". Semne că a înțeles: scrie mulțimea înaintea formulei, își controlează din proprie inițiativă rezultatul și, pus în fața unei fracții, o desface în termeni fără să i se ceară.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Tabelul primitivelor uzuale". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde, la capitolul Primitive, rândul „Primitive uzuale" — deci tema se cere la amândouă examenele, iar exercițiile poartă marcajul simplu. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce cuprinde tabelul primitivelor uzuale la științe ale naturii?

Tabelul are patrusprezece rânduri, împărțite în trei blocuri. Lecția aceasta dă primele cinci: puterea cu exponent natural, puterea de la numitor și cei trei radicali. Urmează blocul cu $\frac{1}{x}$ , exponențiala naturală și exponențiala în bază oarecare, apoi blocul trigonometric, împreună cu rândurile care duc la arctangentă și la arcsinus.

De unde iese fiecare rând al tabelului?

Dintr-o egalitate de derivare citită de la dreapta spre stânga, urmată de o împărțire la factorul pe care derivarea l-a scos în față. Pornind, de pildă, de la $(x^{n + 1})^{'} = (n + 1) x^{n}$ și împărțind cu $n + 1$ , ajungi la primitiva lui $x^{n}$ . Controlul e la fel de scurt: derivezi ce ai obținut și compari cu funcția din enunț; dacă nu se potrivesc, greșeala stă în calcul.

De ce nu scriem radicalul ca putere cu exponent fracționar?

Pentru că puterea cu exponent care nu este întreg nu face parte din funcțiile studiate la profilul științe ale naturii; ea nu apare nici în tabelul derivatelor de clasa a XI-a. În locul ei, primitiva radicalului se obține ghicind forma $k x x$ și derivând cu regula produsului, ceea ce dă $k = \frac{2}{3}$ . Metoda e la fel de scurtă și rămâne în interiorul programei.

Care este primitiva lui $\frac{1}{x ^{n}}$ ?

Pentru $n$ natural, $n \geq 2$ , este $- \frac{1}{( n - 1 ) x ^{n - 1}} + C$ , pe $(- \infty, 0)$ sau pe $(0, + \infty)$ . Numitorul este cu unu mai mic decât exponentul din enunț, iar semnul minus face parte din formulă și nu se mai adaugă o dată. Pentru $n = 1$ formula nici nu se poate scrie, fiindcă numitorul ei se anulează, iar funcția respectivă intră în blocul următor de rânduri.

De ce trebuie precizat intervalul la fiecare primitivă?

Pentru că primitivele se definesc pe un interval, iar afirmația că două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă este adevărată numai acolo. Funcția $\frac{1}{x ^{3}}$ , de pildă, are domeniul format din două intervale, pe care constantele se pot alege independent. Un răspuns care nu spune pe ce interval lucrează este incomplet.

Prin ce diferă tabelul acesta de cel de la mate-info (M1)?

La mate-info tabelul are un rând unic pentru puterea cu exponent real oarecare, din care se obțin și radicalii, și puterile de la numitor; la științe ale naturii acel rând nu există, iar locul lui e luat de patru rânduri concrete. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale.

La ce subiect apare tabelul primitivelor la bacalaureatul M2?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală, materia de analiză stă la Subiectul al III-lea, care are două probleme: prima despre derivate, a doua despre integrale. Acolo, primele două cerințe de integrale încep amândouă cu o prelucrare algebrică a expresiei de sub integrală, iar un rând din tabel intră în calcul abia după ea. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă subiecte publicate, ci doar programa, care așază tema în domeniul Analiză matematică.

E nevoie să memorez cele cinci rânduri?

Mai util decât memorarea este să le poți reconstrui în câteva secunde, pornind de la formulele de derivare, și să faci proba pe rezultatul obținut. Un elev care face proba nu greșește nici cifra de la numitor, nici semnul de la fracțiile cu $x$ la o putere. Ce se învață fără control se uită tocmai în ziua tezei sau a examenului.