Cum duc o tangentă dintr-un punct exterior?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuația tangentei

Nu cunoști punctul de tangență, deci îl notezi cu abscisa $a$ . Scrii tangenta în el, $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ , și ceri să treacă prin punctul dat. Pentru $f (x) = x^{2}$ și $P (1, - 3)$ : $- 3 - a^{2} = 2 a (1 - a)$ , adică $a^{2} - 2 a - 3 = 0$ , cu $a = 3$ sau $a = - 1$ . Tangentele sunt $y = 6 x - 9$ și $y = - 2 x - 1$ ; amândouă trec prin $P$ , fiindcă $6 - 9 = - 3$ și $- 2 - 1 = - 3$ .

O dreaptă este determinată de un punct și o pantă, iar tangenta le are pe amândouă: trece prin $(x_{0}, f (x_{0}))$ și are panta $f^{'} (x_{0})$ . De aici, formula punct-pantă din clasa a IX-a dă direct $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ . În ea intră două numere diferite, calculate separat: $f (x_{0})$ așază punctul pe verticală, $f^{'} (x_{0})$ dă înclinarea. Condiția de existență se verifică prima — $x_{0}$ trebuie să fie punct interior al domeniului, iar $f$ derivabilă acolo.

Ordinea de lucru are trei pași: valoarea, panta, ecuația adusă la forma $y = m x + n$ . În ecuația finală $x$ și $y$ rămân litere, iar tot ce ține de punctul de tangență trebuie să fie deja număr; un $x^{2}$ sau un $x_{0}$ rămas arată o înlocuire uitată. Proba durează două secunde: pui $x = x_{0}$ în ecuația obținută și trebuie să iasă exact $f (x_{0})$ .

Trei tipare se deosebesc după cum e formulat enunțul. „În punctul de abscisă $x_{0}$ " dă totul prin calcul direct. „Paralelă cu dreapta $d$ de pantă $m$ " schimbă necunoscuta: se rezolvă $f^{'} (x_{0}) = m$ , ecuație care poate avea mai multe soluții, deci mai multe tangente. „Care trece prin punctul $P$ ", cu $P$ în afara graficului, lasă abscisa punctului de atingere nedeterminată; o notezi $x_{0}$ și impui ca $P$ să verifice ecuația. Tangenta orizontală apare acolo unde $f^{'} (x) = 0$ , iar panta este tangenta unghiului făcut cu axa $O x$ , nu unghiul însuși.

De reținut

tangenta în $a$ : $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$
dintr-un punct exterior, abscisa de tangență $a$ este necunoscuta
lângă punct: $f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

Greșeala tipică

Se scrie tangenta direct în punctul exterior, luând $x_{0} = 1$ pentru $P (1, - 3)$ ; punctul nu este pe grafic, deci punctul de tangență trebuie aflat.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația tangentei la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 2 x - 9$ , în punctul de abscisă $x_{0} = 2$ , este:
- a) $y = 6 x - 11$
- b) $y = 6 x - 13$
- c) $y = 6 x - 10$
- d) $y = - x + 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y = 6 x - 13$

$f (2) = 4 + 4 - 9 = - 1$ și $f^{'} (x) = 2 x + 2$ , deci $f^{'} (2) = 6$ . Tangenta este $y + 1 = 6 (x - 2)$ , adică $y = 6 x - 13$ . Proba: pentru $x = 2$ se obține $- 1 = f (2)$ . Varianta a) greșește semnul valorii funcției, c) folosește abscisa $2$ în locul valorii $- 1$ , iar d) schimbă între ele rolurile lui $f (x_{0})$ și $f^{'} (x_{0})$ .
Pe graficul unei funcții $f$ s-a trasat tangenta în punctul de abscisă $5$ ; ea trece prin nodurile de caroiaj $(1, 8)$ și $(9, 0)$ . Atunci:
- a) $f^{'} (5) = - 1$ și $f (5) = 4$
- b) $f^{'} (5) = 1$ și $f (5) = 4$
- c) $f^{'} (5) = - 1$ și $f (5) = 5$
- d) $f^{'} (5) = - 8$ și $f (5) = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f^{'} (5) = - 1$ și $f (5) = 4$

Panta se citește din cele două noduri: $m = \frac{0 - 8}{9 - 1} = - 1$ , iar acest număr este chiar $f^{'} (5)$ . Ecuația tangentei este $y - 8 = - (x - 1)$ , adică $y = - x + 9$ , iar pentru $x = 5$ dă $4$ ; cum tangenta și curba au același punct acolo, $f (5) = 4$ . Varianta b) greșește semnul pantei, c) citește greșit ordonata, iar d) ia doar diferența ordonatelor, fără să împartă la diferența absciselor.
Abscisele punctelor în care tangenta la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2}$ , este paralelă cu dreapta $d : y = 24 x + 1$ sunt:
- a) ${1}$
- b) ${- 1, 4}$
- c) ${- 4, 1}$
- d) ${4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${- 4, 1}$

Condiția de paralelism este $f^{'} (x_{0}) = 24$ . Cum $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 18 x$ , ecuația $6 x_{0}^{2} + 18 x_{0} - 24 = 0$ se reduce la $x_{0}^{2} + 3 x_{0} - 4 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $- 4$ : două puncte, deci două tangente. Variantele a) și d) se opresc la o singură soluție, iar b) schimbă semnele rădăcinilor.

Întrebări conexe

Unde mai taie tangenta graficul unei funcții de gradul 3?

Egalezi funcția cu ecuația tangentei; punctul de tangență apare ca rădăcină dublă. Pentru $f (x) = x^{3}$ în $x_{0} = 1$ , tangenta este $y = 3 x - 2$ , iar $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = 0$ . Pe lângă $x = 1$ , dublă, rezultă $x = - 2$ , deci tangenta taie graficul și în $(- 2, - 8)$ .

Câte tangente se pot duce dintr-un punct la o parabolă?

Pentru $y = x^{2}$ : două, dacă punctul este sub parabolă, una, dacă punctul este pe parabolă, și niciuna, dacă este deasupra. Numărul corespunde soluțiilor reale ale ecuației de gradul al doilea în $a$ obținute din condiția de trecere: discriminant pozitiv, nul sau negativ.

Ce ecuație are tangenta în vârful unei parabole?

În vârf derivata este $0$ , deci tangenta este orizontală. Pentru $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ , $f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0$ dă $x = 2$ , iar $f (2) = - 3$ , deci tangenta este $y = - 3$ . Ea atinge parabola doar în vârf, iar restul graficului stă deasupra ei, fiindcă parabola se deschide în sus.

Ce aproximare dă tangenta pentru valori apropiate de punct?

Lângă $x_{0}$ , graficul se confundă aproape cu tangenta: $f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ . Pentru $x$ în $x_{0} = 4$ : $4, 1 \approx 2 + \frac{0 , 1}{4} = 2, 025$ , iar valoarea exactă este aproximativ $2, 0248$ . Aproximarea e cu atât mai bună cu cât $x$ e mai aproape de $x_{0}$ .

Cum verific dacă o dreaptă dată este tangentă la grafic?

Cauți un punct în care dreapta și graficul au aceeași valoare și aceeași pantă. Pentru $y = 2 x - 1$ și $f (x) = x^{2}$ : $x^{2} = 2 x - 1$ dă $(x - 1)^{2} = 0$ , iar $f^{'} (1) = 2$ este chiar panta dreptei. Deci dreapta este tangentă în $(1, 1)$ .

Oamenii mai întreabă și: tangenta dusă dintr-un punct exterior graficului · tangentă printr-un punct care nu e pe grafic · tangente dintr-un punct exterior la parabolă · ecuația tangentei care trece printr-un punct dat