Ecuația tangentei la graficul unei funcții (M2, științe ale naturii)

Pe hârtia unui înregistrator de laborator, curba cu care se termină o determinare nu are nicio formulă scrisă pe ea. Ca să afle cât de repede se schimbă mărimea măsurată într-un moment anume, tehnicianul face un gest vechi de două sute de ani: pune rigla pe curbă, o rotește până se lipește de ea în punctul care îl interesează, trage o linie și îi măsoară înclinarea. Linia aceea este tangenta, iar în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), ea nu se mai trasează cu rigla, ci se scrie cu o singură formulă. Tema se dă la ambele examene de care ai auzit: la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 și, pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 — la ambele, cerințele de analiză matematică stau la Subiectul al III-lea.

Din lecția despre derivata unei funcții și panta tangentei știi deja lucrul esențial: numărul $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $x_0$. Ce lipsește este ultimul pas, cel pe care îl cere cerința: de la o pantă și un punct la o ecuație. Pasul acesta nu are nimic nou în el — formula punct-pantă din geometria analitică a clasei a IX-a face toată treaba. Lecția de azi le pune cap la cap și te învață să recunoști, după felul în care e formulată cerința, care dintre cele trei variante de problemă ți se dă.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct de abscisă dată, în trei pași, în ordinea pe care o cere redactarea.
• Vei ști să verifici singur, în zece secunde, dacă ecuația obținută este cea corectă.
• Vei ști să citești panta și punctul de tangență direct de pe un grafic, fără să ai formula funcției — situația obișnuită la laborator.
• Vei ști să determini punctul în care tangenta este paralelă cu o dreaptă dată și să nu pierzi niciuna dintre soluții.
• Vei ști să scrii tangentele duse dintr-un punct din afara graficului, unde punctul de tangență este necunoscuta problemei.
• Vei ști să recunoști tangenta orizontală și să spui ce înseamnă ea pentru mărimea pe care funcția o descrie.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este ecuația tangentei la graficul unei funcții?

Ai două informații despre tangentă și ele sunt exact cele două de care are nevoie o dreaptă ca să fie determinată. Prima: tangenta trece prin punctul de pe grafic, adică prin $A(x_0,f(x_0))$. A doua: panta ei este $f^{\prime }(x_0)$. Mai departe totul este geometrie analitică de clasa a IX-a, unde ai învățat formula punct-pantă: o dreaptă neverticală este determinată de un punct al ei $A(x_0,y_0)$ împreună cu panta $m$, iar relația dintre coordonatele punctelor ei se scrie $y-y_0=m(x-x_0)$. Înlocuiești $y_0$ cu $f(x_0)$ și $m$ cu $f^{\prime }(x_0)$ și ai obținut formula pe care o vei folosi toată clasa a XI-a.

Tangenta la graficul unei funcții $f$ în punctul $x_0$ este dreapta care trece prin punctul $(x_0,f(x_0))$ al graficului și are panta $f^{\prime }(x_0)$, definită atunci când $x_0$ este punct interior al domeniului, iar $f$ este derivabilă acolo; ecuația ei este

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$

Citește formula ca pe o propoziție, nu ca pe un șir de litere: ordonata minus valoarea funcției în punct, egal derivata în punct ori abscisa minus abscisa punctului. În ea intră două numere diferite, care se calculează separat și care se confundă ușor: $f(x_0)$ spune cât de sus se află punctul, iar $f^{\prime }(x_0)$ spune cât de înclinată e curba acolo. Condiția de existență e scrisă în definiție și nu se sare peste ea: funcția trebuie să fie derivabilă în $x_0$, deci $x_0$ trebuie să fie în primul rând în domeniul ei. Nu are sens să ceri tangenta în punctul de abscisă $0$ la graficul funcției $\ln$, oricâte formule ai ști.

2. Cum scrii ecuația tangentei în trei pași?

Ordinea de lucru este întotdeauna aceeași, iar respectarea ei îți scurtează rezolvarea și te ferește de greșeala cea mai frecventă.

1. Valoarea: calculezi $f(x_0)$, adică ordonata punctului de tangență.
2. Panta: calculezi funcția derivată $f^{\prime }$, cu tabelul derivatelor funcțiilor uzuale și cu regulile de derivare, apoi înlocuiești $x$ cu $x_0$ și obții numărul $f^{\prime }(x_0)$.
3. Ecuația: pui cele două numere în formulă și aduci rezultatul la forma $y=mx+n$.

Al treilea pas merită o precizare. În formula punct-pantă, $x$ și $y$ rămân litere — ele sunt coordonatele punctului curent de pe dreaptă. Tot ce ține de punctul de tangență, adică $x_0$, $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$, trebuie să fie deja numere când scrii ecuația. Dacă în ecuația finală ți-a rămas un $x^2$ sau un $x_0$, înseamnă că ai uitat o înlocuire, iar ce ai scris nu mai este o dreaptă.

Proba se face în două secunde și o merită fiecare rezolvare: înlocuiește $x$ cu $x_0$ în ecuația obținută. Trebuie să obții exact $f(x_0)$, pentru că tangenta trece prin punctul de tangență. Dacă nu iese, greșeala este în calcule, nu în formulă.

3. Cum citești tangenta de pe un grafic?

La profilul științe ale naturii întâlnești des situația inversă celei de la ora de matematică: ai desenul și nu ai formula. Programa cere explicit lectura grafică, iar procedeul e simplu, cu condiția să alegi bine punctele. Tangenta e o dreaptă, așa că panta ei se obține ca orice pantă, din două creșteri împărțite, măsurate între două puncte ale ei. Alege pe tangentă două puncte care cad în colțuri de caroiaj, nu unul lângă altul și, mai ales, nu punctul de tangență împreună cu un punct apropiat: cu cât cele două puncte sunt mai depărtate, cu atât eroarea de citire e mai mică.

Dacă tangenta trasată la grafic în punctul de abscisă $x_0$ trece prin punctele $(a,p)$ și $(b,q)$, atunci panta ei este $\frac{q-p}{b-a}$, iar acest număr este chiar $f^{\prime }(x_0)$. Ordonata punctului de tangență, $f(x_0)$, se citește tot de pe tangentă, pentru că tangenta și curba au același punct acolo. Cu cele două numere, ecuația se scrie ca la §2.

4. Ce înseamnă o tangentă orizontală?

Orizontală înseamnă pantă nulă: când $f^{\prime }(x_0)=0$, formula dă $y=f(x_0)$, adică o paralelă la axa $Ox$ dusă prin punctul de tangență (iar dacă $f(x_0)=0$, chiar axa $Ox$). Reciproc, punctele în care graficul are tangentă orizontală se găsesc rezolvând ecuația $f^{\prime }(x)=0$: fiecare soluție dă un punct, deci pot fi mai multe, nu doar unul.

Pentru un elev de la științe ale naturii, tangenta orizontală este mai mult decât un caz particular. Dacă funcția descrie o mărime care variază în timp, panta tangentei este rata de variație, iar o tangentă orizontală spune că, în clipa aceea, mărimea nu se mai schimbă: concentrația și-a atins valoarea de vârf, populația a încetat să mai crească, temperatura a ajuns la palier. Nu întâmplător exact aceste puncte devin, în lecțiile următoare, punctele de extrem.

Mai reține legătura cu unghiul, pentru că apare în enunțuri: numărul $f^{\prime }(x_0)$ este și tangenta unghiului $\alpha$ format de tangentă cu semiaxa pozitivă $Ox$, adică $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$. Când un enunț spune că tangenta la grafic face un unghi de $45^{\circ }$ cu axa $Ox$, condiția pe care o pui este $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, nu $f^{\prime }(x_0)=45$.

5. Cum găsești tangenta paralelă cu o dreaptă dată?

Aici se schimbă necunoscuta. Nu ți se mai dă punctul și nu ți se cere panta: ți se dă panta și se cere punctul. Două drepte neverticale sunt paralele când au aceeași pantă, deci dacă dreapta din enunț este $d:y=mx+n$, condiția este $f^{\prime }(x_0)=m$. Rezolvi ecuația aceasta în $x_0$, apoi, pentru fiecare soluție, calculezi $f(x_0)$ și scrii ecuația tangentei ca la §2.

Atenție la un lucru pe care mulți elevi îl ratează: ecuația $f^{\prime }(x_0)=m$ poate avea mai multe soluții. La o funcție polinomială de gradul al treilea, derivata este de gradul al doilea, deci ecuația poate avea două rădăcini, iar răspunsul complet conține două tangente, nu una. Regula practică: rezolvă ecuația până la capăt, scrie toate soluțiile și apoi construiește câte o tangentă pentru fiecare.

O situație înrudită, care apare la examen în aceeași formă: „tangenta are panta $2$" sau „tangenta este paralelă cu prima bisectoare". Toate se reduc la aceeași ecuație $f^{\prime }(x_0)=m$, cu $m$ citit din enunț — $2$ în primul caz, $1$ în al doilea, pentru că prima bisectoare este dreapta $y=x$.

6. Cum scrii tangenta dusă dintr-un punct din afara graficului?

Enunțul sună aproape la fel, dar problema e alta: se dă un punct $P(p,q)$ prin care tangentele trebuie să treacă, iar $P$ nu se află pe grafic. Prima verificare e obligatorie: dacă $q\ne f(p)$, punctul nu e pe curbă, deci nu poți scrie $f^{\prime }(p)$ — abscisa lui $P$ nu are nicio legătură cu punctul de tangență.

Metoda are un singur truc: tratezi abscisa punctului de atingere ca pe o necunoscută, o botezi $x_0$ și scrii ecuația ca de obicei, cu $x_0$ litera care rămâne. Obții o familie de drepte, câte una pentru fiecare valoare a lui $x_0$. Apoi impui condiția care selectează din familie tangentele căutate: punctul $P$ trebuie să verifice ecuația, adică

$$q-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(p-x_0).$$

Ecuația aceasta are ca necunoscută pe $x_0$, iar fiecare rădăcină a ei înseamnă o tangentă. Dintr-un punct din afara curbei pornesc, după caz, două tangente, una singură sau niciuna; numărul lor iese din numărul rădăcinilor, nu se ghicește.

7. La ce folosește tangenta, dincolo de examen?

Tangenta este dreapta care se confundă cel mai bine cu graficul în jurul punctului de tangență: pe o porțiune mică din jurul lui $A$, curba și dreapta aproape nu se deosebesc. De aici vine utilitatea ei practică. Când un aparat înregistrează o curbă și ai nevoie de ritmul dintr-o clipă, tragi tangenta și îi măsori panta; când vrei să spui ce s-ar întâmpla dacă mărimea ar continua să se schimbe în același ritm, prelungești tangenta. Iar unitatea de măsură a pantei este întotdeauna unitatea mărimii de pe verticală împărțită la unitatea celei de pe orizontală: grame pe minut, grade pe secundă, indivizi pe zi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tangenta într-un punct, pas cu pas

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+8x+3$, în punctul de abscisă $x_0=2$.

Rezolvare. Valoarea: $f(2)=8-24+16+3=3$, deci punctul de tangență este $(2,3)$.

Panta: $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+8$, deci $f^{\prime }(2)=12-24+8=-4$.

Ecuația: $y-3=-4(x-2)$, adică $y=-4x+11$.

Proba. Pentru $x=2$ ecuația dă $y=-8+11=3$, exact $f(2)$. Panta negativă se potrivește cu desenul: în punctul acela graficul coboară.

Exemplul 2 — Tangenta citită de pe grafic

O cultură de bacterii este urmărită opt ore, iar aparatul înregistrează numărul de celule, în mii pe mililitru. Pe grafic s-a trasat tangenta la curbă în punctul de abscisă $t_0=3$; ea trece prin punctele de coordonate $(1,1)$ și $(4,7)$ ale caroiajului. Determinați ritmul de creștere la momentul $t_0=3$, ordonata punctului de tangență și ecuația tangentei.

Rezolvare. Panta tangentei se calculează din cele două puncte citite pe ea:

$$m=\frac{7-1}{4-1}=2.$$

Prin urmare ritmul de creștere la momentul $t_0=3$ este de $2$ mii de celule pe mililitru pe oră. Ecuația tangentei se scrie direct, cu formula punct-pantă aplicată în punctul $(1,1)$: $y-1=2(t-1)$, adică $y=2t-1$. Ordonata punctului de tangență se obține înlocuind $t=3$: $y=5$, deci curba trece prin punctul $(3,5)$ și la momentul $t_0=3$ sunt $5$ mii de celule pe mililitru.

Observă ce am făcut și ce nu: am citit două numere de pe desen — panta și valoarea — și nu am avut nevoie de nicio formulă a funcției. Alegerea punctelor $(1,1)$ și $(4,7)$ nu e întâmplătoare: sunt colțuri de caroiaj, depărtate unul de altul, deci eroarea de citire a pantei este mică.

Exemplul 3 — O tangentă orizontală, în punctul cel mai de jos

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+12}{x-2}$. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0=6$ și interpretați rezultatul.

Rezolvare. Valoarea: $f(6)=\frac{36+12}{4}=12$.

Panta: cu regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-2)-\left(x^2+12\right)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-12}{(x-2{)}^2}$, deci $f^{\prime }(6)=\frac{36-24-12}{16}=0$.

Ecuația: $y-12=0\cdot (x-6)$, adică $y=12$.

Tangenta este orizontală, deci graficul „stă pe loc" în punctul de abscisă $6$: acolo funcția nu crește și nu scade. Într-adevăr, numărătorul derivatei se scrie $(x-6)(x+2)$, iar pe domeniul dat el este negativ pentru $x<6$ și pozitiv pentru $x>6$, deci punctul $(6,12)$ este cel mai de jos punct al graficului. Reține și forma ecuației: la o tangentă orizontală nu mai apare deloc $x$.

Exemplul 4 — Tangenta paralelă cu o dreaptă dată

Determinați ecuațiile tangentelor la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2$, care sunt paralele cu dreapta $d:y=9x+2$.

Rezolvare. Panta dreptei $d$ este $9$, deci condiția de paralelism este $f^{\prime }(x_0)=9$. Cum $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$, ecuația devine

$$3x_0^2-6x_0=9⟺x_0^2-2x_0-3=0,$$

cu soluțiile $x_0=3$ și $x_0=-1$. Sunt două puncte, deci vor fi două tangente.

Pentru $x_0=3$: $f(3)=27-27=0$, iar tangenta este $y-0=9(x-3)$, adică $y=9x-27$.

Pentru $x_0=-1$: $f(-1)=-1-3=-4$, iar tangenta este $y+4=9(x+1)$, adică $y=9x+5$.

Amândouă au panta $9$, deci sunt paralele cu $d$, și niciuna nu coincide cu $d$, pentru că termenii liberi sunt $-27$ și $5$, nu $2$. Dacă te-ai fi oprit la prima soluție a ecuației de gradul al doilea, ai fi pierdut jumătate din răspuns.

Exemplul 5 — Tangentele duse dintr-un punct exterior

Scrieți ecuațiile tangentelor la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$, care trec prin punctul $P(0,-3)$.

Rezolvare. Verificăm întâi că $P$ nu e pe grafic: $f(0)=1\ne -3$. Deci abscisa punctului de tangență este necunoscută; o notăm $x_0$.

Cum $f^{\prime }(x)=2x$, tangenta în punctul de abscisă $x_0$ are ecuația $y-(x_0^2+1)=2x_0(x-x_0)$, adică $y=2x_{0}x-x_0^2+1$.

Impunem ca $P(0,-3)$ să verifice ecuația: $-3=2x_0\cdot 0-x_0^2+1$, deci $x_0^2=4$ și $x_0\in \{2,-2\}$.

Pentru $x_0=2$ obținem $y=4x-3$, iar pentru $x_0=-2$ obținem $y=-4x-3$. Proba: ambele drepte trec prin $P$, pentru că, înlocuind $x=0$, fiecare dă ordonata $-3$. Sunt, deci, două tangente duse din $P$, simetrice față de axa $Oy$ — ceea ce era de așteptat, pentru că și parabola, și punctul $P$ sunt simetrice față de această axă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x-1$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=3x^2+3$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$. c) Arătați că graficul funcției $f$ nu are nicio tangentă paralelă cu axa $Ox$.

Rezolvare.

a) Derivăm termen cu termen, cu regula sumei: derivata lui $x^3$ este $3x^2$, derivata lui $3x$ este $3$, iar derivata constantei $-1$ este $0$. Prin urmare $f^{\prime }(x)=3x^2+3$, pentru orice număr real $x$.

b) $f(1)=1+3-1=3$ și $f^{\prime }(1)=3+3=6$, deci tangenta are ecuația $y-3=6(x-1)$, adică $y=6x-3$. Proba: pentru $x=1$ obținem $y=3=f(1)$.

c) O tangentă paralelă cu axa $Ox$ ar avea panta $0$, deci ar trebui să existe un număr real $x_0$ cu $f^{\prime }(x_0)=0$. Dar $3x_0^2+3\ge 3$ pentru orice $x_0$ real, pentru că $3x_0^2\ge 0$. Ecuația $f^{\prime }(x_0)=0$ nu are soluții reale, deci graficul nu are nicio tangentă orizontală.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe sunt scrise în forma din modelul oficial al probei de matematică M_șt-nat: primul subpunct cere verificarea unei formule a derivatei, iar celelalte două se sprijină pe ea. Subiectul al III-lea este singurul care conține analiză matematică, iar în modelul publicat pentru sesiunea 2026 prima problemă are exact această structură — o formulă de derivată, apoi două cerințe care o folosesc. Redactarea de la punctul c) merită reținută: o afirmație de tipul „nu există" se dovedește arătând că ecuația corespunzătoare nu are soluții.

Să exersăm

Ordinea de redactare: valoarea funcției în punct, derivata și valoarea ei în punct, apoi ecuația adusă la forma $y=mx+n$.

1. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+1$, în punctul de abscisă $x_0=1$.

2. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x^2+2x$, în punctul de abscisă $x_0=-1$.

3. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x+3}{x-1}$, în punctul de abscisă $x_0=2$.

4. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:[-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+3}$, în punctul de abscisă $x_0=1$.

5. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$, în punctul de abscisă $x_0=0$.

6. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x+x^2$, în punctul de abscisă $x_0=1$.

7. Determină punctele în care graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x$, are tangentă orizontală și scrie ecuațiile acelor tangente.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0$ este paralelă cu axa $Ox$, atunci $f(x_0)=0$."

9. Determină ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x$, care este paralelă cu dreapta $d:y=-x+5$.

10. (Problemă aplicată.) Într-o reacție de precipitare, masa de precipitat obținută după $t$ minute este $m(t)=\frac{12t}{t+2}$ grame, $t\ge 0$. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $m$ în punctul de abscisă $t_0=2$ și spune ce reprezintă panta ei.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+2$. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\ln x$. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+x$, unde $a$ este număr real. Determină $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $1$ are panta $5$.

14. Scrie ecuațiile tangentelor la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, care trec prin punctul $P(1,-3)$.

15. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{8}{x}$, în punctul de abscisă $x_0=4$, apoi determină punctele în care această tangentă taie axele de coordonate.

16. Un elev scrie tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-7x+4$, în punctul de abscisă $x_0=2$ astfel: „$y-2=f^{\prime }(2)(x-2)$, adică $y-2=-3(x-2)$". Găsește greșeala și scrie ecuația corectă.

17. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx$, în punctul de abscisă $1$, este dreapta $d:y=3x-2$.

18. (Provocare.) Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$. Arată că tangenta la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0$ taie axa $Oy$ în punctul de ordonată $\ln x_0-1$, apoi determină valoarea lui $x_0$ pentru care tangenta trece prin origine.

Răspunsuri și explicații

1. $f(1)=1-4+1=-2$; $f^{\prime }(x)=2x-4$, deci $f^{\prime }(1)=-2$. Tangenta: $y+2=-2(x-1)$, adică $y=-2x$. Proba: pentru $x=1$ iese $-2$.

2. $f(-1)=-1-1-2=-4$; $f^{\prime }(x)=3x^2-2x+2$, deci $f^{\prime }(-1)=7$. Tangenta: $y+4=7(x+1)$, adică $y=7x+3$. Atenție la semnul din paranteză: $x-(-1)=x+1$.

3. $f(2)=\frac{11}{1}=11$; $f^{\prime }(x)=\frac{4(x-1)-(4x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-7}{(x-1{)}^2}$, deci $f^{\prime }(2)=-7$. Tangenta: $y-11=-7(x-2)$, adică $y=-7x+25$.

4. $f(1)=\sqrt{4}=2$; $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$, deci $f^{\prime }(1)=\frac{1}{4}$. Tangenta: $y-2=\frac{1}{4}(x-1)$, adică $y=\frac{x}{4}+\frac{7}{4}$.

5. $f(0)=0$; $f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x$, deci $f^{\prime }(0)=1$. Tangenta: $y-0=1\cdot (x-0)$, adică $y=x$. În jurul originii, graficul funcției $x{e}^x$ se confundă cu prima bisectoare.

6. $f(1)=\ln 1+1=1$; $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+2x$, deci $f^{\prime }(1)=3$. Tangenta: $y-1=3(x-1)$, adică $y=3x-2$.

7. $f^{\prime }(x)=3x^2-12$, iar $f^{\prime }(x)=0$ dă $x^2=4$, deci $x\in \{2,-2\}$. Cum $f(2)=8-24=-16$ și $f(-2)=-8+24=16$, punctele sunt $(2,-16)$ și $(-2,16)$, iar tangentele sunt $y=-16$ și $y=16$.

8. Fals. Paralelismul cu axa $Ox$ înseamnă $f^{\prime }(x_0)=0$, adică o condiție asupra derivatei, nu asupra valorii funcției. Contraexemplu: pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+5$ și $x_0=0$ avem $f^{\prime }(0)=0$, deci tangenta $y=5$ este paralelă cu $Ox$, dar $f(0)=5\ne 0$.

9. Panta lui $d$ este $-1$, deci punem $f^{\prime }(x_0)=-1$. Cum $f^{\prime }(x)=2x-3$, obținem $2x_0-3=-1$, deci $x_0=1$. Atunci $f(1)=1-3=-2$, iar tangenta este $y+2=-(x-1)$, adică $y=-x-1$.

10. $m(2)=\frac{24}{4}=6$; $m^{\prime }(t)=\frac{12(t+2)-12t}{(t+2{)}^2}=\frac{24}{(t+2{)}^2}$, deci $m^{\prime }(2)=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$. Tangenta: $y-6=\frac{3}{2}(t-2)$, adică $y=\frac{3}{2}t+3$. Panta $\frac{3}{2}$ este viteza de formare a precipitatului la minutul $2$, adică $1,5$ grame pe minut.

11. $f(1)=1-3+2=0$; $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$, deci $f^{\prime }(1)=-3$. Tangenta: $y-0=-3(x-1)$, adică $y=-3x+3$.

12. $f(1)=1+\ln 1=1$; $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(1)=2$. Tangenta: $y-1=2(x-1)$, adică $y=2x-1$.

13. $f^{\prime }(x)=2ax+1$, deci panta cerută este $f^{\prime }(1)=2a+1$. Din $2a+1=5$ obținem $a=2$. Verificare: pentru $a=2$, $f^{\prime }(x)=4x+1$ și într-adevăr $f^{\prime }(1)=5$.

14. $f(1)=1\ne -3$, deci $P$ nu e pe grafic. Tangenta în punctul de abscisă $x_0$ este $y=2x_{0}x-x_0^2$. Punând condiția ca $P(1,-3)$ să o verifice: $-3=2x_0-x_0^2$, adică $x_0^2-2x_0-3=0$, cu soluțiile $x_0=3$ și $x_0=-1$. Tangentele sunt $y=6x-9$ și $y=-2x-1$; ambele trec prin $P$.

15. $f(4)=2$; $f^{\prime }(x)=-\frac{8}{x^2}$, deci $f^{\prime }(4)=-\frac{1}{2}$. Tangenta: $y-2=-\frac{1}{2}(x-4)$, adică $y=-\frac{x}{2}+4$. Tangenta taie axa $Ox$ în punctul $(8,0)$ și axa $Oy$ în punctul $(0,4)$, cum se vede înlocuind pe rând ordonata, apoi abscisa, cu zero.

16. În membrul stâng al formulei stă valoarea funcției în punct, nu abscisa punctului: $f(2)=4-14+4=-6$, nu $2$. Panta este calculată corect, pentru că $f^{\prime }(x)=2x-7$ dă $f^{\prime }(2)=-3$. Ecuația corectă este $y+6=-3(x-2)$, adică $y=-3x$. Proba arată imediat greșeala: ecuația elevului dă, pentru $x=2$, valoarea $2$, în loc de $-6$.

17. Două condiții, două ecuații. Punctul de tangență este pe dreapta $d$, deci $f(1)=3\cdot 1-2=1$, adică $a+b=1$. Panta tangentei este panta lui $d$, deci $f^{\prime }(1)=3$; cum $f^{\prime }(x)=2ax+b$, obținem $2a+b=3$. Scăzând prima ecuație din a doua: $a=2$, deci $b=-1$. Funcția este $f(x)=2x^2-x$, iar tangenta ei în punctul de abscisă $1$ este într-adevăr $y=3x-2$.

18. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, deci tangenta în punctul de abscisă $x_0$ are ecuația $y-\ln x_0=\frac{1}{x_0}(x-x_0)$, adică $y=\frac{x}{x_0}+\ln x_0-1$. Înlocuind $x=0$ obținem ordonata $\ln x_0-1$, deci tangenta taie axa $Oy$ în punctul de ordonată $\ln x_0-1$, oricare ar fi $x_0>0$. Tangenta trece prin origine când $\ln x_0-1=0$, adică pentru $x_0=e$; atunci ecuația ei este $y=\frac{x}{e}$.

De reținut

• Formula de bază, $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, conține două numere care se calculează separat: valoarea $f(x_0)$, care așază punctul, și panta $f^{\prime }(x_0)$, care dă înclinarea.
• Punctul $x_0$ trebuie să fie în domeniul funcției și funcția trebuie să fie derivabilă acolo; altfel cerința nu are răspuns, oricât de corect ai aplica formula.
• Proba se face înlocuind $x$ cu $x_0$ în ecuația finală: rezultatul trebuie să fie exact $f(x_0)$, pentru că tangenta trece prin punctul de tangență.
• „Tangentă paralelă cu o dreaptă dată" înseamnă $f^{\prime }(x_0)=m$, unde $m$ este panta dreptei; ecuația aceasta poate avea mai multe soluții, iar răspunsul complet le conține pe toate.
• Când punctul din enunț nu se află pe grafic, abscisa punctului de tangență devine necunoscuta $x_0$, iar condiția care o determină este că punctul dat verifică ecuația tangentei.

Greșeli frecvente

• Lași litere acolo unde trebuie numere. O ecuație de tangentă în care a rămas $x^2$ sau $x_0$ nu mai este ecuația unei drepte. Tot ce ține de punctul de tangență se înlocuiește cu valori numerice înainte de a scrie forma finală.
• Confunzi condiția de paralelism cu apartenența la dreaptă. Când enunțul cere tangenta paralelă cu $d:y=mx+n$, condiția este $f^{\prime }(x_0)=m$; nu se pune $f(x_0)=m{x}_0+n$ și nu se rezolvă niciun sistem.
• Te oprești la prima soluție a ecuației $f^{\prime }(x_0)=m$. La funcțiile polinomiale de gradul al treilea ecuația este de gradul al doilea și are, de regulă, două rădăcini: două puncte, două tangente. Jumătate de răspuns înseamnă jumătate din problemă.
• Greșești semnul parantezei când $x_0$ este negativ. Pentru $x_0=-1$, paranteza este $x-(-1)=x+1$, nu $x-1$. Este cea mai frecventă greșeală de calcul la acest tip de cerință.
• Confunzi panta cu unghiul. Dacă tangenta face un unghi de $60^{\circ }$ cu axa $Ox$, panta ei nu este $60$, ci $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$. Panta este tangenta unghiului, nu unghiul.

Aplică acasă

1. Cât de bună e tangenta? Ia funcția $f(x)=x^3-6x^2+8x+3$ și tangenta ei în punctul de abscisă $2$, dreapta $y=-4x+11$ din Exemplul 1. Într-o foaie de calcul, scrie pe o coloană valorile $x=1,9$; $1,99$; $2$; $2,01$; $2,1$; $3$, pe a doua $f(x)$, pe a treia valoarea tangentei, iar pe a patra diferența dintre ele. Vei vedea diferența scăzând foarte repede spre zero în apropierea lui $2$ și crescând departe de el: exact asta înseamnă „tangenta se confundă cu graficul în jurul punctului".

2. Vânătoarea de pantă cu rigla. Desenează pe hârtie graficul funcției $f(x)=x^3-3x^2$ pentru $x\in [-2,4]$, apoi ia o riglă transparentă, ține-o înclinată cu panta $9$ (adică urcând $9$ pătrățele la $1$ pătrățel spre dreapta, pe un caroiaj potrivit) și plimb-o peste desen până atinge curba fără să o taie. Marchează punctele de atingere și compară-le cu soluțiile găsite la Exemplul 4.

3. Două ritmuri pe același grafic. Caută într-un manual de biologie sau de chimie un grafic de creștere — populație, masă de produs, volum de gaz. Alege două momente diferite, trage tangenta cu rigla în fiecare și calculează-le pantele citind câte două puncte de pe fiecare tangentă. Scrie rezultatele cu unitatea de măsură potrivită și spune în care dintre cele două momente mărimea creștea mai repede.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la unitatea „Derivabilitate" — „tangenta la o curbă și derivata unei funcții într-un punct". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde „tangenta la o curbă" este trecută explicit în programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul despre derivate; cerințele de analiză matematică se dau la Subiectul al III-lea, singurul care conține această materie. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Ce verifică lecția, dincolo de formulă: (1) că elevul calculează separat $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$ și nu le amestecă; (2) că știe să traducă un enunț în condiția potrivită — „în punctul de abscisă", „paralelă cu", „dusă din punctul"; (3) că face proba; (4) că poate citi o pantă de pe un desen, competență cerută explicit de programă și rar exersată la clasă.

Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce reprezintă, pe desen, fiecare dintre cele două numere din formulă?"; „Cum verifici, fără să refaci calculul, că ecuația ta e corectă?"; „Ce condiție pui când ți se cere o tangentă paralelă cu o dreaptă dată?"; „De unde știi că punctul din enunț este pe grafic?". Semne că elevul a înțeles: începe cu $f(x_0)$, scrie derivata ca funcție înainte de a o evalua și verifică la final. Continuarea firească este lecția despre normala la graficul unei funcții, iar antrenamentul pe tiparele de subiect se face în lecția despre tangente și normale, ca la examen.

Întrebări frecvente

Cum scriu ecuația tangentei dacă am doar graficul, nu și formula funcției? Citești două numere de pe desen. Panta tangentei se calculează alegând două puncte de pe dreapta tangentă, de preferat în colțuri de caroiaj și cât mai depărtate, și împărțind diferența ordonatelor la diferența absciselor. Al doilea număr este ordonata punctului de tangență, citită tot de pe tangentă. Cu panta și un punct, scrii ecuația cu formula punct-pantă.

Cum găsesc tangenta paralelă cu o dreaptă dată? Pui condiția ca panta tangentei să fie egală cu panta dreptei: $f^{\prime }(x_0)=m$. Rezolvi ecuația obținută, care poate avea mai multe soluții, iar pentru fiecare soluție calculezi $f(x_0)$ și scrii ecuația tangentei. La sfârșit verifici că niciuna dintre tangentele găsite nu coincide cu dreapta din enunț.

Cum verific în câteva secunde că ecuația tangentei e corectă? Înlocuiești $x$ cu $x_0$ în ecuația finală și trebuie să obții $f(x_0)$, pentru că tangenta trece prin punctul de tangență. Verifici apoi coeficientul lui $x$: el trebuie să fie exact numărul $f^{\prime }(x_0)$. Cele două controale prind aproape toate greșelile de calcul și de semn, în mai puțin de zece secunde.

Ecuația tangentei se dă la fel la mate-info (M1) și la științe ale naturii (M2)? Formula este aceeași, dar contextul diferă. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții adaugă tangenta verticală și discuția despre punctele în care funcția nu este derivabilă, teme care nu intră în programa de științe ale naturii. La M2 accentul cade pe calcul, pe lectura grafică și pe tipul de cerință care apare în subiecte.

La ce subiect apare ecuația tangentei la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică: două probleme, fiecare cu trei cerințe de câte cinci puncte. Prima cerință a unei probleme de acest fel este, în modelul oficial al probei, verificarea unei formule a derivatei; ecuația tangentei se sprijină direct pe ea, de aceea calculul derivatei trebuie scris impecabil.

Ce fac dacă punctul de abscisă $x_0$ nu este în domeniul funcției? Cerința nu are răspuns și așa trebuie spus. Tangenta se definește doar într-un punct în care funcția există și este derivabilă, deci prima verificare, înainte de orice calcul, este apartenența lui $x_0$ la domeniu. La funcțiile cu logaritm, cu radical sau cu numitor, capătul domeniului este exact locul unde apar enunțurile-capcană.

Cum scriu ecuația tangentei la o funcție cu logaritm sau cu exponențială? Exact la fel ca la una polinomială: valoarea, panta, ecuația. Singura deosebire e la pasul al doilea, unde folosești derivatele $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ din tabelul derivatelor. Valorile speciale te ajută: $\ln 1=0$ și $e^0=1$, motiv pentru care punctele de abscisă $1$, respectiv $0$, apar atât de des în enunțuri.