Formula pentru aflarea unghiului $$A$$ dintr-un triunghi cu laturile $$a,b,c$$ cunoscute este:

$$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

$$\cos A=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$

$$\cos A=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

$$\cos A=\dfrac{b^2+c^2+a^2}{2bc}$$

Acasă · Învață ușor · clasa a X-a · Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor (LLL)

Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor (LLL): pe scurt

Teorema cosinusului funcționează și invers: din cele trei laturi ale unui triunghi poți afla toate cele trei unghiuri, fără raportor. Situația se numește cazul LLL și este exact ce cere programa clasei a X-a.

Forma de lucru, cu cosinusul izolat: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , unde $a$ este latura opusă unghiului căutat; analog pentru $cos B$ și $cos C$ . Cum numitorul $2 b c$ este mereu pozitiv, semnul rezultatului este dat de numărător și spune imediat tipul unghiului: pozitiv — ascuțit, zero — drept, negativ — obtuz.

De la valoarea cosinusului la măsura unghiului se ajunge cu tasta $cos^{- 1}$ a unui instrument digital (pe modul DEG) sau cu tabelul trigonometric; la valori negative se lucrează cu suplementul. Verificarea gratuită: suma celor trei unghiuri trebuie să dea $18 0^{\circ}$ , cu o mică abatere admisă din rotunjiri.

La LLL se folosește cosinusul, nu sinusul, pentru că un cosinus determină un singur unghi din $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , în timp ce un sinus lasă două posibilități. Greșelile tipice: latura greșită scăzută la numărător, numitorul greșit (trebuie dublul produsului celorlalte două laturi) și ignorarea semnului la citirea unghiului din cosinus negativ.

Exerciții din această mini-lecție

Formula pentru aflarea unghiului $A$ dintr-un triunghi cu laturile $a, b, c$ cunoscute este:
- a) $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
- b) $cos A = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}$
- c) $cos A = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
- d) $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} + a ^{2}}{2 b c}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

Formula corectă pentru $cos A$ are la numărător suma pătratelor celorlalte două laturi minus pătratul laturii opuse ( $a$ ), iar la numitor dublul produsului lor.
Dacă într-un triunghi $cos A = - 0, 25$ , ce natură are unghiul $A$ ?
- a) drept
- b) obtuz
- c) nu se poate determina
- d) ascuțit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) obtuz

Cosinus negativ înseamnă întotdeauna unghi obtuz, indiferent de valoarea exactă.
La calculul lui $cos B$ într-un triunghi cu laturile $a, b, c$ , la numărător se scade pătratul laturii:
- a) oricare dintre ele
- b) $a$
- c) $b$
- d) $c$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $b$

La numărător se scade întotdeauna pătratul laturii opuse unghiului căutat — pentru $cos B$ , aceasta este chiar $b$ .

Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor (LLL): pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu