Acasă · Lecții · clasa a X-a · Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor din laturi

Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor din laturi

Un inginer topograf primește planul unui teren triunghiular cu laturile de $20$ m, $30$ m și $40$ m. Nu are niciun unghi trecut pe plan și nici nu poate merge pe teren cu raportorul — proprietatea e împrejmuită. Și totuși, în cinci minute, el scrie pe hârtie măsurile tuturor celor trei colțuri, cu o precizie de un grad. Cum?

Răspunsul stă tot în teorema cosinusului, dar folosită invers. În lecția anterioară ai calculat o latură pornind de la un unghi; acum facem drumul în sens opus: pornim de la trei lungimi și obținem trei unghiuri. Situația se numește, pe scurt, cazul LLL (latură – latură – latură) și este exact ceea ce cere programa clasei a X-a: determinarea măsurii unghiurilor unui triunghi cunoscând lungimile laturilor lui, folosind tabele sau instrumente digitale. Este, în același timp, cea mai frecventă întrebare practică din topografie, construcții și navigație — pentru că lungimile se măsoară ușor, unghiurile mult mai greu.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii teorema cosinusului în varianta cu cosinusul izolat și să o folosești pentru fiecare dintre cele trei unghiuri.
Vei ști să calculezi $cos A$ dintr-un triunghi cu toate laturile cunoscute și să citești din semnul rezultatului dacă unghiul e ascuțit sau obtuz.
Vei ști să treci de la valoarea cosinusului la măsura unghiului, folosind tabelul trigonometric sau un instrument digital.
Vei ști să determini toate cele trei unghiuri ale unui triunghi și să îți verifici rezultatul cu suma de $18 0^{\circ}$ .
Vei ști să aplici metoda în probleme practice: terenuri, trasee, poziții relative pe hartă.
Vei ști să interpretezi corect rotunjirile și să explici de ce uneori suma unghiurilor rotunjite iese $17 9^{\circ}$ sau $18 1^{\circ}$ .

Hai să descoperim împreună

1. Aceeași teoremă, citită în sens invers

Pornim de la formula pe care o cunoști din lecția despre teorema cosinusului:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A .$

Până acum, necunoscuta era $a$ . Ce se întâmplă dacă toate cele trei laturi sunt cunoscute, iar necunoscuta este chiar $cos A$ ? Îl izolăm, ca pe orice necunoscută dintr-o ecuație. Trecem termenul cu cosinusul într-o parte și pe $a^{2}$ în cealaltă:

$2 b c cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2},$

apoi împărțim la $2 b c$ , care este un număr strict pozitiv, fiind produs de lungimi:

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

Prin rotirea rolurilor obținem formulele pentru celelalte două unghiuri:

$cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}, cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} .$

Reține tiparul, ca să nu le înveți pe de rost: la numărător stă suma pătratelor celorlalte două laturi minus pătratul laturii opuse unghiului căutat; la numitor stă dublul produsului celorlalte două laturi. Latura „vinovată", cea care apare cu minus, este întotdeauna cea opusă unghiului pe care îl calculezi.

✏️Ilustrație: triunghi ABC cu laturile a, b, c etichetate; alături, formula cos A = (b² + c² − a²)/(2bc), cu latura a și unghiul A colorate identic, iar laturile b și c colorate la fel între ele, pentru a arăta ce apare la numitor

2. Semnul cosinusului spune imediat ce fel de unghi ai

Numitorul $2 b c$ este mereu pozitiv. Prin urmare semnul lui $cos A$ este exact semnul numărătorului $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ . Iar semnul cosinusului, pe intervalul $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , este o etichetă pentru tipul unghiului — ai văzut asta în lecția despre sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze:

$cos A > 0 \Rightarrow A$ este ascuțit;
$cos A = 0 \Rightarrow A$ este drept;
$cos A < 0 \Rightarrow A$ este obtuz.

Asta înseamnă că, înainte de a căuta valoarea unghiului, știi deja unde să îl aștepți. E o verificare pe care o faci din ochi: dacă îți iese $cos A = - 0, 25$ și apoi scrii $A = 7 5^{\circ}$ , ceva e greșit — un cosinus negativ nu poate da un unghi ascuțit.

Ordinea unghiurilor se citește tot de aici: unghiul cel mai mare este cel opus laturii celei mai lungi, iar cosinusul lui este cel mai mic dintre cele trei. Dacă vrei să afli doar unghiul cel mai mare al unui triunghi, calculează cosinusul laturii celei mai mari și te-ai oprit. (Criteriul complet prin care decizi forma triunghiului doar din laturi, fără să calculezi niciun unghi, îl vei găsi în lecția despre natura unui triunghi.)

3. De la valoarea cosinusului la măsura unghiului

Odată calculat $cos A$ , mai rămâne un pas: găsirea unghiului. Ai două căi, ambele acceptate de programă.

Cu instrumentul digital. Pe un calculator științific apeși tasta $cos^{- 1}$ (uneori scrisă acos sau arccos), introduci valoarea — cu semn, dacă e negativă — și citești unghiul. Verifică întâi că aparatul e pe modul DEG. Este calea cea mai rapidă și cea recomandată de programă pentru acest tip de problemă.

Cu tabelul trigonometric. Dacă valoarea e pozitivă, o cauți direct în coloana cosinusului. Dacă e negativă, ignori semnul, cauți valoarea absolută și apoi iei suplementul unghiului găsit — procedeul din lecția despre unghiuri obtuze.

Ca să ai totul la îndemână, iată un extras de referință din coloana cosinusului, care acoperă toate valorile ce apar în exemplele și în exercițiile lecției. Unghiurile sunt rotunjite la grade întregi:

$cos$	Unghi	$cos$	Unghi
$0, 9286$	$2 2^{\circ}$	$0, 0000$	$9 0^{\circ}$
$0, 8750$	$2 9^{\circ}$	$- 0, 0861$	$9 5^{\circ}$
$0, 7857$	$3 8^{\circ}$	$- 0, 1375$	$9 8^{\circ}$
$0, 7143$	$4 4^{\circ}$	$- 0, 2000$	$10 2^{\circ}$
$0, 6875$	$4 7^{\circ}$	$- 0, 2273$	$10 3^{\circ}$
$0, 6000$	$5 3^{\circ}$	$- 0, 2500$	$10 4^{\circ}$
$0, 5000$	$6 0^{\circ}$	$- 0, 2727$	$10 6^{\circ}$
$0, 2800$	$7 4^{\circ}$	$- 0, 3333$	$10 9^{\circ}$
$0, 2500$	$7 6^{\circ}$	$- 0, 3714$	$11 2^{\circ}$
$0, 2000$	$7 8^{\circ}$	$- 0, 4583$	$11 7^{\circ}$
$0, 1429$	$8 2^{\circ}$	$- 0, 5000$	$12 0^{\circ}$
		$- 0, 6000$	$12 7^{\circ}$

Observă ce se vede din tabel: pe măsură ce cosinusul scade de la $1$ spre $- 1$ , unghiul crește de la $0^{\circ}$ spre $18 0^{\circ}$ . Cosinusul și unghiul „merg în sens invers" — de aceea latura mare (cu numărător mic sau negativ) atrage după sine unghi mare.

4. Rețeta în cinci pași

Notează laturile. Scrie $a$ , $b$ , $c$ în dreptul laturilor, respectând regula „latura mică în fața vârfului mare".
Alege unghiul pe care îl vrei și identifică latura opusă lui: aceea intră cu minus la numărător.
Calculează fracția $\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ și simplific-o, dacă se poate. Fracțiile simple, ca $\frac{1}{2}$ sau $- \frac{1}{4}$ , sunt un semn bun că problema a fost construită cu numere alese.
Citește semnul și anunță tipul unghiului: pozitiv — ascuțit, zero — drept, negativ — obtuz.
Găsește unghiul cu instrumentul digital sau cu tabelul și rotunjește la grade întregi.

Un exemplu scurt, pe triunghiul cu laturile $5$ , $6$ , $7$ . Vrem unghiul opus laturii de $7$ , adică pe cel mai mare:

$cos = \frac{5 ^{2} + 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0, 2.$

Cosinusul e pozitiv, deci unghiul e ascuțit; din tabel, $0, 2$ corespunde unghiului de $7 8^{\circ}$ .

5. Toate cele trei unghiuri, cu verificare

Când problema cere rezolvarea completă, aplici formula de trei ori — o dată pentru fiecare unghi — și ai la final o verificare gratuită: suma celor trei unghiuri trebuie să dea $18 0^{\circ}$ .

Ia triunghiul cu laturile $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 8$ :

$cos A = \frac{49 + 64 - 25}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \approx 0, 7857 \Rightarrow A \approx 3 8^{\circ},$

$cos B = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \Rightarrow B = 6 0^{\circ},$

$cos C = \frac{25 + 49 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \approx 0, 1429 \Rightarrow C \approx 8 2^{\circ} .$

Verificare: $3 8^{\circ} + 6 0^{\circ} + 8 2^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ✓. Observă și coerența internă: cel mai mic unghi ( $3 8^{\circ}$ ) stă în fața celei mai mici laturi ( $5$ ), iar cel mai mare ( $8 2^{\circ}$ ) în fața celei mai mari ( $8$ ).

Un truc de economie de timp: după ce ai calculat două unghiuri, pe al treilea îl poți obține prin scădere din $18 0^{\circ}$ . Metoda e corectă și rapidă, dar renunți la verificare — de aceea, la teze și examene, merită să calculezi toate trei cu formula și să folosești suma drept control.

✏️Ilustrație: triunghi cu laturile 5, 7 și 8 desenat la scară, cu unghiurile marcate 38°, 60° și 82°, și cu o casetă în colț care arată adunarea 38 + 60 + 82 = 180

6. Când numerele nu ies rotunde: despre rotunjiri

Uneori suma unghiurilor rotunjite nu dă exact $18 0^{\circ}$ . Ia triunghiul cu laturile $5$ , $6$ , $7$ : unghiurile lui exacte sunt aproximativ $44, 4 2^{\circ}$ , $57, 1 2^{\circ}$ și $78, 4 6^{\circ}$ , iar suma lor este chiar $18 0^{\circ}$ . Dar dacă le rotunjești pe fiecare la grade întregi, obții $4 4^{\circ} + 5 7^{\circ} + 7 8^{\circ} = 17 9^{\circ}$ .

Nu e o greșeală și nu trebuie „reparat" niciun număr. Fiecare rotunjire poate scădea până la o jumătate de grad, iar trei rotunjiri în aceeași direcție dau un grad diferență. Cum procedezi corect:

Scrie rezultatele cu semnul $\approx$ , ca să fie clar că sunt aproximări.
Dacă ai nevoie de sumă exactă, păstrează o zecimală la fiecare unghi.
Nu modifica un unghi doar ca să iasă suma. Asta ar introduce o eroare adevărată în locul uneia aparente.

7. De ce metoda aceasta e preferată în practică

Într-un triunghi, unghiurile se pot afla și cu teorema sinusurilor, pe care o vom studia în lecțiile următoare. Există însă un motiv serios pentru care, la cazul LLL, teorema cosinusului este alegerea corectă: cosinusul determină unghiul fără ambiguitate.

Cum ai văzut în lecția despre unghiuri obtuze, o valoare a sinusului corespunde la două unghiuri suplementare — $sin 4 0^{\circ} = sin 14 0^{\circ}$ — deci nu poți ști pe care să îl alegi. Cosinusul, în schimb, are semne diferite pentru unghiuri ascuțite și obtuze, așa că fiecărei valori îi corespunde un singur unghi între $0^{\circ}$ și $18 0^{\circ}$ . Când ai trei laturi și vrei unghiuri sigure, formula din această lecție e drumul cel mai scurt și cel mai sigur.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghiul opus celei mai mari laturi

Într-un triunghi cu laturile $5$ , $6$ și $7$ , calculați cosinusul unghiului opus laturii de $7$ și măsura acestui unghi.

Rezolvare. Notăm $a = 7$ latura opusă unghiului căutat, iar $b = 5$ și $c = 6$ celelalte două:

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 36 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0, 2.$

Cosinusul e pozitiv, deci unghiul este ascuțit. Din tabel, $0, 2$ corespunde unui unghi de $7 8^{\circ}$ , deci $m (∠ A) \approx 7 8^{\circ}$ . Verificarea inegalității triunghiului: $5 + 6 = 11 > 7$ ✓, deci triunghiul chiar există. $■$

Exemplul 2 — Toate cele trei unghiuri

Determinați măsurile unghiurilor triunghiului cu laturile $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 8$ .

Rezolvare. Aplicăm formula de trei ori:

$cos A = \frac{49 + 64 - 25}{112} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \approx 0, 7857 \Rightarrow A \approx 3 8^{\circ};$

$cos B = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \Rightarrow B = 6 0^{\circ};$

$cos C = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \approx 0, 1429 \Rightarrow C \approx 8 2^{\circ} .$

Verificare: $38 + 60 + 82 = 180$ ✓. Toate cele trei cosinusuri sunt pozitive, deci toate unghiurile sunt ascuțite. $■$

Exemplul 3 — Un unghi obtuz, cu valoare exactă

Într-un triunghi cu laturile $3$ , $5$ și $7$ , calculați măsura unghiului opus laturii de $7$ .

Rezolvare. Cu $a = 7$ , $b = 3$ , $c = 5$ :

$cos A = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{- 15}{30} = - \frac{1}{2} .$

Cosinusul este negativ, deci unghiul este obtuz. Valoarea $- \frac{1}{2}$ este una remarcabilă: îi corespunde exact $12 0^{\circ}$ . Deci $m (∠ A) = 12 0^{\circ}$ , fără nicio aproximare.

Verificare de existență: $3 + 5 = 8 > 7$ ✓ — triunghiul e valid, deși „subțire". $■$

Exemplul 4 — Când cosinusul iese zero

Într-un triunghi cu laturile $8$ , $15$ și $17$ , calculați măsura unghiului opus laturii de $17$ .

Rezolvare. Cu $a = 17$ , $b = 8$ , $c = 15$ :

$cos A = \frac{64 + 225 - 289}{2 \cdot 8 \cdot 15} = \frac{0}{240} = 0.$

Singurul unghi din intervalul $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ cu cosinusul zero este $9 0^{\circ}$ , deci $m (∠ A) = 9 0^{\circ}$ : triunghiul este dreptunghic. Am regăsit, pe această cale, reciproca teoremei lui Pitagora — într-adevăr, $64 + 225 = 289$ . $■$

Exemplul 5 — Terenul topografului

Un teren triunghiular are laturile de $20$ m, $30$ m și $40$ m. Determinați măsurile celor trei colțuri.

Rezolvare. Notăm $a = 20$ , $b = 30$ , $c = 40$ .

$cos A = \frac{900 + 1600 - 400}{2 \cdot 30 \cdot 40} = \frac{2100}{2400} = \frac{7}{8} = 0, 875 \Rightarrow A \approx 2 9^{\circ};$

$cos B = \frac{400 + 1600 - 900}{2 \cdot 20 \cdot 40} = \frac{1100}{1600} = \frac{11}{16} = 0, 6875 \Rightarrow B \approx 4 7^{\circ};$

$cos C = \frac{400 + 900 - 1600}{2 \cdot 20 \cdot 30} = \frac{- 300}{1200} = - \frac{1}{4} = - 0, 25 \Rightarrow C \approx 10 4^{\circ} .$

Verificare: $29 + 47 + 104 = 180$ ✓. Terenul are un colț obtuz, cel din fața laturii de $40$ m — exact ce ne așteptam, fiindcă $4 0^{2} = 1600$ depășește $400 + 900 = 1300$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 16$ , $A C = 5$ și $B C = 19$ . Arătați că $m (∠ A) = 12 0^{\circ}$ .

Rezolvare. Unghiul $A$ este opus laturii $B C = 19$ , iar laturile care îl formează sunt $A B = 16$ și $A C = 5$ :

$cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{256 + 25 - 361}{2 \cdot 16 \cdot 5} = \frac{- 80}{160} = - \frac{1}{2} .$

Singurul unghi din intervalul $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ cu cosinusul $- \frac{1}{2}$ este $12 0^{\circ}$ , deci $m (∠ A) = 12 0^{\circ}$ .

Verificare prealabilă de existență: $16 + 5 = 21 > 19$ ✓. Acesta este tiparul cel mai frecvent de subiect: se dau trei laturi „potrivite" și se cere demonstrarea unei măsuri remarcabile. Cheia e să identifici corect care latură intră cu minus. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, verifică întâi inegalitatea triunghiului, apoi scrie fracția, simplific-o și abia la final citește unghiul din tabelul lecției sau cu un instrument digital. Rotunjește unghiurile la grade întregi și marchează aproximarea cu $\approx$ .

1. Într-un triunghi cu laturile $5$ , $6$ și $9$ , calculează cosinusul unghiului opus laturii de $9$ și măsura lui.

2. Într-un triunghi cu laturile $6$ , $7$ și $8$ , calculează cosinusul unghiului opus laturii de $8$ și măsura lui.

3. Într-un triunghi cu laturile $8$ , $11$ și $15$ , calculează măsura unghiului opus laturii de $15$ .

4. Într-un triunghi cu laturile $10$ , $24$ și $26$ , calculează măsura unghiului opus laturii de $26$ . Ce fel de triunghi ai obținut?

5. Într-un triunghi cu laturile $9$ , $10$ și $17$ , calculează măsura unghiului opus laturii de $17$ .

6. Într-un triunghi echilateral cu latura $9$ , calculează cosinusul unui unghi folosind formula. Ce valoare obții și de ce era de așteptat?

7. Într-un triunghi isoscel cu laturile $5$ , $5$ și $6$ , calculează măsurile tuturor celor trei unghiuri și verifică suma lor.

8. Într-un triunghi cu laturile $7$ , $24$ și $25$ , calculează măsura unghiului opus laturii de $25$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un triunghi, cosinusul unghiului opus celei mai mici laturi este cel mai mare dintre cele trei cosinusuri."

10. Arată că, într-un triunghi cu laturile $8$ , $13$ și $15$ , unghiul opus laturii de $13$ are exact $6 0^{\circ}$ .

11. (Problemă aplicată.) Un teren triunghiular are laturile de $30$ m, $40$ m și $60$ m. Calculează măsura celui mai mare colț al lui.

12. (Problemă aplicată.) Trei orașe $A$ , $B$ , $C$ sunt legate prin șosele drepte: $A B = 120$ km, $B C = 150$ km și $A C = 200$ km. Ce unghi formează, în orașul $B$ , direcțiile spre celelalte două orașe?

13. Într-un triunghi cu laturile $9$ , $11$ și $16$ , calculează măsura unghiului opus laturii de $16$ .

14. (Problemă aplicată.) Un parc are forma unui triunghi cu laturile de $25$ m, $35$ m și $50$ m. Calculează măsura celui mai mare unghi al parcului.

15. Într-un triunghi cu laturile $5$ , $6$ și $7$ , calculează măsura unghiului opus laturii de $5$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 4$ , $A C = 5$ și $B C = 7$ . Calculează $cos A$ și precizează ce fel de unghi este $A$ .

17. Într-un triunghi cu laturile $5$ , $8$ și $10$ , calculează măsura unghiului opus laturii de $10$ .

18. (Provocare.) Un triunghi are laturile $n$ , $n + 1$ și $n + 2$ , unde $n$ este un număr natural, $n \geq 2$ . Arată că cosinusul unghiului opus celei mai mari laturi este $\frac{n - 3}{2 n}$ și folosește rezultatul pentru a spune ce fel de triunghi obții la $n = 2$ , la $n = 3$ și la $n = 4$ .

Răspunsuri și explicații

1. Verificare: $5 + 6 = 11 > 9$ ✓. $cos = \frac{25 + 36 - 81}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{- 20}{60} = - \frac{1}{3} \approx - 0, 3333$ . Cosinusul e negativ, deci unghiul e obtuz: $\approx 10 9^{\circ}$ .

2. $cos = \frac{36 + 49 - 64}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4} = 0, 25$ , deci unghiul este ascuțit, de aproximativ $7 6^{\circ}$ .

3. Verificare: $8 + 11 = 19 > 15$ ✓. $cos = \frac{64 + 121 - 225}{2 \cdot 8 \cdot 11} = \frac{- 40}{176} = - \frac{5}{22} \approx - 0, 2273$ , deci unghiul e obtuz: $\approx 10 3^{\circ}$ .

4. $cos = \frac{100 + 576 - 676}{2 \cdot 10 \cdot 24} = \frac{0}{480} = 0$ , deci unghiul are $9 0^{\circ}$ : triunghiul este dreptunghic. Într-adevăr, $100 + 576 = 676$ .

5. $cos = \frac{81 + 100 - 289}{2 \cdot 9 \cdot 10} = \frac{- 108}{180} = - \frac{3}{5} = - 0, 6$ , deci unghiul e obtuz: $\approx 12 7^{\circ}$ .

6. Cu toate laturile egale cu $9$ : $cos = \frac{81 + 81 - 81}{2 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{81}{162} = \frac{1}{2}$ , deci unghiul are $6 0^{\circ}$ . Era de așteptat: într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt de $6 0^{\circ}$ , iar formula confirmă acest lucru pentru orice lungime a laturii — numărătorul și numitorul se simplifică la fel.

7. Unghiul dintre laturile egale (opus bazei de $6$ ): $cos = \frac{25 + 25 - 36}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} = 0, 28 \Rightarrow\approx 7 4^{\circ}$ . Fiecare unghi de la bază (opus unei laturi de $5$ ): $cos = \frac{25 + 36 - 25}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0, 6 \Rightarrow\approx 5 3^{\circ}$ . Verificare: $74 + 53 + 53 = 180$ ✓. Cele două unghiuri de la bază au ieșit egale, exact cum trebuie într-un triunghi isoscel.

8. $cos = \frac{49 + 576 - 625}{2 \cdot 7 \cdot 24} = \frac{0}{336} = 0$ , deci unghiul are $9 0^{\circ}$ . Triunghiul $7$ , $24$ , $25$ este dreptunghic.

9. Adevărat. Cea mai mică latură se află în fața celui mai mic unghi. Cum pe intervalul $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ cosinusul scade atunci când unghiul crește, celui mai mic unghi îi corespunde cel mai mare cosinus. Se vede și din formulă: latura opusă apare cu minus la numărător, deci o latură mică lasă numărătorul mare.

10. $cos = \frac{64 + 225 - 169}{2 \cdot 8 \cdot 15} = \frac{120}{240} = \frac{1}{2}$ , iar singurul unghi din $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ cu cosinusul $\frac{1}{2}$ este $6 0^{\circ}$ . Verificare de existență: $8 + 13 = 21 > 15$ ✓.

11. Cel mai mare unghi este cel opus laturii de $60$ m. Verificare: $30 + 40 = 70 > 60$ ✓. $cos = \frac{900 + 1600 - 3600}{2 \cdot 30 \cdot 40} = \frac{- 1100}{2400} = - \frac{11}{24} \approx - 0, 4583$ , deci unghiul e obtuz: $\approx 11 7^{\circ}$ .

12. Unghiul din $B$ este opus laturii $A C = 200$ km, iar laturile care îl formează sunt $B A = 120$ și $B C = 150$ : $cos B = \frac{14 400 + 22 500 - 40 000}{2 \cdot 120 \cdot 150} = \frac{- 3100}{36 000} = - \frac{31}{360} \approx - 0, 0861$ . Unghiul e obtuz, foarte aproape de drept: $\approx 9 5^{\circ}$ .

13. Verificare: $9 + 11 = 20 > 16$ ✓. $cos = \frac{81 + 121 - 256}{2 \cdot 9 \cdot 11} = \frac{- 54}{198} = - \frac{3}{11} \approx - 0, 2727$ , deci unghiul are $\approx 10 6^{\circ}$ .

14. Cel mai mare unghi e opus laturii de $50$ m. Verificare: $25 + 35 = 60 > 50$ ✓. $cos = \frac{625 + 1225 - 2500}{2 \cdot 25 \cdot 35} = \frac{- 650}{1750} = - \frac{13}{35} \approx - 0, 3714$ , deci unghiul are $\approx 11 2^{\circ}$ .

15. $cos = \frac{36 + 49 - 25}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7} \approx 0, 7143$ , deci unghiul are $\approx 4 4^{\circ}$ . Este cel mai mic unghi al triunghiului, fiind opus celei mai mici laturi.

16. Unghiul $A$ este opus laturii $B C = 7$ : $cos A = \frac{16 + 25 - 49}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{- 8}{40} = - \frac{1}{5} = - 0, 2$ . Cosinusul fiind negativ, unghiul $A$ este obtuz, de aproximativ $10 2^{\circ}$ . Verificare de existență: $4 + 5 = 9 > 7$ ✓.

17. Verificare: $5 + 8 = 13 > 10$ ✓. $cos = \frac{25 + 64 - 100}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{- 11}{80} = - 0, 1375$ , deci unghiul e obtuz: $\approx 9 8^{\circ}$ .

18. Latura cea mai mare este $n + 2$ , iar laturile care formează unghiul opus ei sunt $n$ și $n + 1$ :

$cos = \frac{n ^{2} + ( n + 1 ) ^{2} - ( n + 2 ) ^{2}}{2 n ( n + 1 )} = \frac{n ^{2} + n ^{2} + 2 n + 1 - n ^{2} - 4 n - 4}{2 n ( n + 1 )} = \frac{n ^{2} - 2 n - 3}{2 n ( n + 1 )} .$

Numărătorul se descompune: $n^{2} - 2 n - 3 = (n - 3) (n + 1)$ , iar factorul $n + 1$ se simplifică cu cel de la numitor, rămânând

$cos = \frac{n - 3}{2 n} .$

Rezultatul se citește imediat: la $n = 2$ (laturile $2$ , $3$ , $4$ ) cosinusul este $- \frac{1}{4}$ , deci unghiul e obtuz; la $n = 3$ (laturile $3$ , $4$ , $5$ ) cosinusul este $0$ , deci unghiul e drept — regăsim celebrul triunghi dreptunghic; la $n = 4$ (laturile $4$ , $5$ , $6$ ) cosinusul este $\frac{1}{8}$ , pozitiv, deci unghiul e ascuțit. Cu cât $n$ crește, cu atât triunghiul devine „mai ascuțit", pentru că fracția $\frac{n - 3}{2 n}$ crește spre $\frac{1}{2}$ .

De reținut

Formula de lucru: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , unde $a$ este latura opusă unghiului căutat. Analog pentru $cos B$ și $cos C$ .
Semnul rezultatului îți spune tipul unghiului: pozitiv — ascuțit, zero — drept, negativ — obtuz. Numitorul $2 b c$ este mereu pozitiv, deci semnul e dat de numărător.
Trecerea de la cosinus la unghi se face cu tasta $cos^{- 1}$ a unui instrument digital (pe modul DEG) sau cu tabelul trigonometric; la valori negative se lucrează cu suplementul.
Verificarea gratuită: suma celor trei unghiuri trebuie să dea $18 0^{\circ}$ . Din cauza rotunjirilor, poate ieși $17 9^{\circ}$ sau $18 1^{\circ}$ — se semnalează, nu se „corectează".
La cazul LLL se folosește cosinusul, nu sinusul, pentru că un cosinus determină un singur unghi din $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , în timp ce un sinus lasă două posibilități.

Greșeli frecvente

Latura greșită pusă cu minus. La numărător se scade întotdeauna pătratul laturii opuse unghiului căutat. Dacă vrei $cos A$ , latura $a$ intră cu minus; celelalte două, cu plus.
Numitorul greșit. La numitor stă $2 b c$ , adică dublul produsului celorlalte două laturi, nu al tuturor trei și nici al laturii opuse.
Semnul ignorat la citirea unghiului. Din $cos A = - 0, 25$ nu se citește $7 6^{\circ}$ , ci $10 4^{\circ}$ . Un cosinus negativ dă întotdeauna un unghi obtuz.
Confuzia dintre cosinus și unghi. $cos A = \frac{1}{2}$ nu înseamnă că unghiul are $\frac{1}{2}$ dintr-un grad; înseamnă că are $6 0^{\circ}$ . Fracția este valoarea funcției, nu măsura unghiului.
Sărirea peste verificarea existenței. Dacă lungimile date nu respectă inegalitatea triunghiului, formula va produce un cosinus mai mare decât $1$ sau mai mic decât $- 1$ — o valoare imposibilă, semn că triunghiul nu există.

Aplică acasă

Triunghiul din curte. Alege trei repere din curtea școlii sau din cartier (un stâlp, un copac, un colț de clădire) și măsoară cu pasul sau cu o ruletă cele trei distanțe dintre ele. Calculează apoi toate cele trei unghiuri ale triunghiului format și verifică dacă suma lor dă $18 0^{\circ}$ . Compară un unghi cu măsurătoarea făcută cu o aplicație de tip raportor de pe telefon.
Rețeaua de prieteni pe hartă. Pe o hartă digitală, marchează casele a trei colegi și citește distanțele dintre ele. Calculează unghiurile triunghiului format și desenează-l la scară pe caiet, cu raportorul. Se potrivește desenul tău cu forma de pe hartă?
Foaia de calcul care rezolvă orice triunghi. Într-o foaie de calcul digitală, pune pe primele trei celule laturile $a$ , $b$ , $c$ și scrie formule care calculează automat cele trei unghiuri, în grade. Adaugă o celulă care afișează suma lor. Testează instrumentul pe triunghiurile din lecție și apoi inventează trei triunghiuri noi.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă direct una dintre activitățile de învățare prevăzute explicit de programa de trunchi comun a clasei a X-a: determinarea măsurii unghiurilor unui triunghi, cunoscând lungimile laturilor acestuia, folosind instrumente digitale (competența X.CS.2.1), împreună cu aplicarea teoremei pentru determinarea unor măsuri (competența X.CS.3.1). Este cazul LLL din rezolvarea triunghiurilor oarecare și, în practică, cel mai frecvent: distanțele se măsoară ușor, unghiurile nu.

Accentul cade pe trei deprinderi: identificarea corectă a laturii care intră cu semnul minus, citirea tipului de unghi din semnul cosinusului și verificarea prin suma de $18 0^{\circ}$ . Întrebări bune de control: „Care latură apare cu minus când calculezi $cos B$ ?" (latura $b$ , cea opusă lui $B$ ); „Ce înseamnă un cosinus negativ?" (unghi obtuz); „Cum verifici că ai calculat bine toate trei?" (suma dă $18 0^{\circ}$ ); „De ce nu folosim sinusul aici?" (o valoare a sinusului corespunde la două unghiuri). Semne că a înțeles: verifică inegalitatea triunghiului înainte de a calcula, simplifică fracția și anunță tipul unghiului înainte de a-i citi măsura.

La Bacalaureat, tiparul cel mai frecvent este cel din Exemplul 6: se dau trei laturi alese astfel încât cosinusul să iasă o valoare remarcabilă ( $\frac{1}{2}$ , $0$ sau $- \frac{1}{2}$ ), iar cerința este demonstrarea unei măsuri de $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ sau $12 0^{\circ}$ . Exercițiile 10 și 16 reproduc exact acest tipar și merită exersate până devin reflex. Continuarea firească este lecția despre natura unui triunghi, unde același raționament se face fără a mai calcula efectiv vreun unghi.

Întrebări frecvente

Cum aflu unghiurile unui triunghi dacă știu doar laturile? Folosești teorema cosinusului scrisă pentru cosinus: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , unde $a$ este latura opusă unghiului căutat. Repeți calculul pentru fiecare unghi și verifici că suma celor trei dă $18 0^{\circ}$ .

Ce înseamnă dacă îmi iese cosinusul negativ? Înseamnă că unghiul este obtuz, adică are între $9 0^{\circ}$ și $18 0^{\circ}$ . Este o informație utilă chiar înainte de a afla măsura exactă, pentru că îți spune imediat unde să aștepți rezultatul.

Care latură se scade la numărător? Întotdeauna pătratul laturii opuse unghiului pe care îl calculezi. Celelalte două laturi apar cu plus la numărător și tot ele formează produsul de la numitor.

Cum trec de la valoarea cosinusului la măsura unghiului? Cu tasta $cos^{- 1}$ a unui calculator științific aflat pe modul DEG, sau căutând valoarea în coloana cosinusului dintr-un tabel trigonometric. Dacă valoarea e negativă, cauți valoarea fără semn și iei apoi suplementul unghiului găsit.

De ce nu îmi dă suma unghiurilor exact $18 0^{\circ}$ ? Pentru că fiecare unghi a fost rotunjit la grade întregi, iar rotunjirile se pot aduna. O sumă de $17 9^{\circ}$ sau $18 1^{\circ}$ este normală; dacă vrei sumă exactă, păstrează o zecimală la fiecare unghi. Nu modifica un rezultat doar ca să iasă suma.

Pot afla unghiurile cu teorema sinusurilor în loc de teorema cosinusului? Se poate, dar e riscant: o valoare a sinusului corespunde la două unghiuri suplementare, deci nu știi pe care să îl alegi. Cosinusul determină un singur unghi din intervalul $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , așa că la cazul LLL este alegerea sigură.

Ce se întâmplă dacă îmi iese un cosinus mai mare decât $1$ ? Înseamnă că datele problemei nu formează un triunghi: lungimile date nu respectă inegalitatea triunghiului. Verifică enunțul și, înainte de orice calcul, condiția ca fiecare latură să fie mai mică decât suma celorlalte două.

Unde se folosește în practică aflarea unghiurilor din laturi? În topografie (ridicarea planului unui teren din distanțe măsurate), în construcții (verificarea colțurilor unei fundații), în navigație și în cartografie, dar și în grafică pe calculator, unde poziția obiectelor e dată prin coordonate din care se calculează întâi distanțe, apoi unghiuri.