Ce unghi dă relația a² = b² + c² + bc?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Unghiurile din laturi

Din teorema cosinusului, $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ . Relația dată înseamnă $b^{2} + c^{2} - a^{2} = - b c$ , deci $cos A = - \frac{b c}{2 b c} = - \frac{1}{2}$ și $A = \frac{2 π}{3}$ . Verificare pe un triunghi concret: laturile $3$ , $5$ , $7$ au $49 = 9 + 25 + 15$ , deci unghiul opus laturii $7$ are $12 0^{\circ}$ . În general, $a^{2} = b^{2} + c^{2} + k \cdot b c$ dă $cos A = - \frac{k}{2}$ ; pentru $k = 0$ se regăsește unghiul drept, iar pentru $k = - 1$ unghiul de $6 0^{\circ}$ .

Din $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ se izolează cosinusul: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ . La numărător se scade pătratul laturii aflate în fața unghiului căutat, iar numitorul este de două ori produsul celorlalte două laturi.

Numitorul este pozitiv, așa că semnul cosinusului e cel al numărătorului: pozitiv pentru un unghi ascuțit, zero pentru unul drept, negativ pentru unul obtuz. Merită calculat întâi unghiul opus celei mai lungi laturi: dacă triunghiul are un unghi obtuz, acela este.

Pentru valorile de bază ale cosinusului, unghiul se scrie exact, în radiani: $\frac{1}{2}$ dă $\frac{π}{3}$ , iar $- \frac{1}{2}$ dă $\frac{2 π}{3}$ . Pentru celelalte, calculatorul primește fracția exactă și întoarce unghiul, care se rotunjește abia după aceea.

Din cosinus găsești imediat și sinusul, prin formula fundamentală, luat cu semnul plus, fără să afli măsura. O relație între laturi de forma $a^{2} = b^{2} + c^{2} + k \cdot b c$ , cu $k$ un număr fixat, fixează unghiul: raportul dintre $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ și $2 b c$ nu mai conține litere și dă $cos A = - \frac{k}{2}$ . Un triunghi mărit sau micșorat de același număr de ori își păstrează unghiurile, pentru că factorul comun se reduce în fracție; de aceea laturile $12$ , $16$ , $20$ dau aceleași unghiuri ca $3$ , $4$ , $5$ .

De reținut

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} + k b c \Rightarrow cos A = - \frac{k}{2}$
$cos A = \frac{1}{2}$ : $A = \frac{π}{3}$ ; $cos A = - \frac{1}{2}$ : $A = \frac{2 π}{3}$

Greșeala tipică

Se scrie $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} + a ^{2}}{2 b c}$ , adunând pătratul laturii opuse; la numărător pătratul laturii din fața unghiului se scade.

Exerciții din această mini-lecție

Un triunghi are laturile $1$ , $3$ și $7$ . Cât este unghiul opus laturii de $7$ ?
- a) $\frac{2 π}{3}$
- b) $\frac{π}{6}$
- c) $\frac{3 π}{4}$
- d) $\frac{5 π}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{5 π}{6}$

Cosinusul este $\frac{1 + 3 - 7}{2 \cdot 1 \cdot 3} = - \frac{3}{2 3} = - \frac{3}{2}$ , deci unghiul are $\frac{5 π}{6}$ .
Un triunghi are laturile $40$ , $51$ și $79$ . Cât este unghiul opus laturii de $79$ ?
- a) $\frac{2 π}{3}$
- b) $\frac{3 π}{4}$
- c) $\frac{π}{3}$
- d) $\frac{5 π}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2 π}{3}$

$cos = \frac{1600 + 2601 - 6241}{2 \cdot 40 \cdot 51} = \frac{- 2040}{4080} = - \frac{1}{2}$ , deci unghiul are $\frac{2 π}{3}$ .
Laturile triunghiului $A B C$ verifică $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c$ . Cât este $A$ ?
- a) $\frac{3 π}{4}$
- b) $\frac{π}{6}$
- c) $\frac{π}{3}$
- d) $\frac{π}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{π}{4}$

Din relație, $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c$ , deci $cos A = \frac{2}{2}$ și $A = \frac{π}{4}$ .

Întrebări conexe

Sub ce unghi se vede o poartă de fotbal?

Dacă stâlpii sunt la $20$ m și $25$ m de jucător, iar poarta are $7, 32$ m, unghiul $θ$ verifică $cos θ = \frac{400 + 625 - 7 , 3 2 ^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 25} \approx 0, 971$ . Calculatorul dă $θ \approx 13, 7^{\circ}$ . Latura opusă unghiului căutat este lățimea porții.

Cum calculez unghiul genunchiului din trei lungimi?

Cu coapsa de $45$ cm, gamba de $40$ cm și distanța șold–gleznă de $60$ cm, unghiul din genunchi are $cos = \frac{2025 + 1600 - 3600}{2 \cdot 45 \cdot 40} = \frac{25}{3600} \approx 0, 007$ . Unghiul este de circa $89, 6^{\circ}$ , aproape drept.

Care unghi al triunghiului cu laturile $5$ , $7$ , $8$ are o măsură exactă?

Unghiul opus laturii $7$ : $cos = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$ , deci are $\frac{π}{3}$ . Celelalte două unghiuri au cosinusuri care nu sunt valori de bază și se află doar aproximativ, cu calculatorul.

Ce unghiuri are un triunghi echilateral, verificat cu teorema cosinusului?

Cu toate laturile egale cu $a$ , $cos A = \frac{a ^{2} + a ^{2} - a ^{2}}{2 a \cdot a} = \frac{1}{2}$ , deci fiecare unghi are $\frac{π}{3}$ . Latura $a$ se simplifică, așa că rezultatul nu depinde de mărimea triunghiului. Aceeași concluzie vine din faptul că trei unghiuri egale au suma $π$ .

Cât are unghiul cel mai mare al triunghiului cu laturile $7$ , $8$ , $13$ ?

Unghiul cel mai mare se opune laturii $13$ : $cos = \frac{49 + 64 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{- 56}{112} = - \frac{1}{2}$ . Unghiul are $\frac{2 π}{3}$ , deci triunghiul este obtuzunghic. Laturile verifică $13 < 7 + 8$ , deci triunghiul există, iar celelalte două unghiuri sunt sigur ascuțite.

Oamenii mai întreabă și: a pătrat egal b pătrat plus c pătrat plus bc · unghiul din relația dintre laturi · relație între laturi și unghi de 120 de grade · cos A din relația laturilor