Teorema cosinusului: cazul LUL: pe scurt

Teorema lui Pitagora funcționează doar în triunghiuri dreptunghice. Teorema cosinusului este generalizarea ei pentru orice triunghi: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, și analoagele pentru $b$ și $c$. Latura din stânga și unghiul din formulă sunt mereu opuse; cele două laturi ridicate la pătrat sunt cele care formează unghiul respectiv.

Cazul de aplicare directă este LUL: cunoști două laturi și unghiul dintre ele, calculezi a treia latură. Programa cere teorema fără demonstrație — o folosim ca instrument gata construit.

Când $A=90^{\circ }$, $\cos A=0$, termenul de corecție dispare, iar formula devine chiar $a^2=b^2+c^2$: teorema lui Pitagora este cazul particular al teoremei cosinusului. La unghiuri ascuțite, latura calculată iese mai scurtă decât ar da Pitagora; la unghiuri obtuze, cosinusul este negativ, deci $-2bc\cos A$ devine pozitiv și latura iese mai lungă.

Greșelile tipice: perechea latură–unghi greșită (unghiul din formulă trebuie să fie exact opusul laturii calculate), uitarea factorului $2$, pierderea semnului minus al cosinusului la unghiuri obtuze și oprirea la $a^2$ în loc de a extrage rădăcina. Verificarea gratuită, de făcut mereu: latura găsită trebuie să respecte inegalitatea triunghiului față de celelalte două.

Exerciții din această mini-lecție

1. În teorema cosinusului $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, unghiul $A$ este:

   • a) opus laturii $a$, cuprins între laturile $b$ și $c$
   • b) alăturat laturii $a$
   • c) cuprins între laturile $a$ și $b$
   • d) opus laturii $b$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) opus laturii $a$, cuprins între laturile $b$ și $c$

   Unghiul din formulă este mereu opus laturii calculate din stânga și este cuprins exact între cele două laturi ridicate la pătrat, $b$ și $c$.

2. Pentru ce valoare a unghiului $A$ teorema cosinusului devine teorema lui Pitagora?

   • a) $180^{\circ }$
   • b) $90^{\circ }$
   • c) $0^{\circ }$
   • d) $60^{\circ }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $90^{\circ }$

   La $A=90^{\circ }$, $\cos A=0$, termenul de corecție $-2bc\cos A$ dispare și rămâne $a^2=b^2+c^2$.

3. Într-un triunghi cu $b=5$, $c=7$ și unghiul dintre ele $A=120^{\circ }$, termenul $-2bc\cos A$ este:

   • a) $-35$
   • b) $-70$
   • c) $+35$
   • d) $+70$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $+35$

   $-2bc\cos A=-2\cdot 5\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=+35$. Cosinusul negativ la unghi obtuz transformă scăderea într-o adunare.