Teorema cosinusului: enunț și primele aplicații

Doi prieteni pleacă din aceeași intersecție pe două drumuri care se despart. Unul merge $40$ km, celălalt $65$ km, iar unghiul dintre drumuri, măsurat pe hartă, este de $52^{\circ }$. Cât de departe sunt unul de altul, în linie dreaptă? Dacă unghiul ar fi fost de exact $90^{\circ }$, ai fi scos imediat teorema lui Pitagora și ai fi terminat în două rânduri. Dar la $52^{\circ }$ Pitagora tace: teorema lui funcționează doar în triunghiuri dreptunghice, iar aici nu există niciun unghi drept.

Situația aceasta se repetă peste tot: terenuri cu colțuri oarecare, brațe de macara, traiectorii de nave, structuri metalice, distanțe peste un lac. Ai nevoie de o formulă care să funcționeze în orice triunghi, nu doar în cele dreptunghice. Ea există, se numește teorema cosinusului și este, fără exagerare, cea mai folosită unealtă din toată geometria clasei a X-a. Ideea ei e frumoasă și simplă: teorema lui Pitagora, plus un „termen de corecție" care ține cont de cât de deschis e unghiul. Când unghiul e drept, corecția dispare și regăsim exact Pitagora.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema cosinusului pentru fiecare latură a unui triunghi și să identifici corect perechea „latură — unghi opus".
• Vei ști să calculezi a treia latură a unui triunghi când cunoști două laturi și unghiul dintre ele (cazul LUL).
• Vei ști să explici de ce teorema lui Pitagora este un caz particular al teoremei cosinusului.
• Vei ști să folosești valori din tabele sau de la un instrument digital pentru unghiuri care nu sunt remarcabile.
• Vei ști să tratezi corect unghiurile obtuze, unde cosinusul negativ mărește latura opusă.
• Vei ști să modelezi probleme practice de distanțe inaccesibile și să îți verifici singur rezultatul.

Hai să descoperim împreună

1. Convenția de notație: fiecare latură în fața vârfului ei

Într-un triunghi $ABC$ notăm, prin tradiție, laturile cu litera mică a vârfului opus:

$$a=BC(\text{opusa˘ lui }A),b=AC(\text{opusa˘ lui }B),c=AB(\text{opusa˘ lui }C).$$

Ține minte imaginea: latura $a$ „stă în fața" vârfului $A$, fără să îl atingă. Aproape toate greșelile la teorema cosinusului vin din împerecherea greșită a laturii cu unghiul, așa că merită să desenezi triunghiul și să scrii literele mici lângă laturi înainte de orice calcul.

Mai avem nevoie de un lucru, învățat în lecția despre sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze: unghiurile unui triunghi sunt cuprinse între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, iar pe acest interval cosinusul își schimbă semnul — pozitiv la unghi ascuțit, zero la $90^{\circ }$, negativ la unghi obtuz. Semnul acesta va purta toată inteligența formulei.

2. Enunțul teoremei

Teorema cosinusului. În orice triunghi $ABC$ are loc egalitatea

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$

Prin rotirea rolurilor, formula se scrie la fel pentru fiecare dintre celelalte două laturi:

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Citirea în cuvinte, care merită învățată ca atare: pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, minus dublul produsului lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele. Structura e mereu aceeași — latura din stânga și unghiul din dreapta sunt „față în față", iar cele două laturi care apar la pătrat sunt exact cele care formează unghiul.

Programa de trunchi comun prevede teorema fără demonstrație: o folosim ca pe un instrument gata verificat, exact așa cum folosești teorema lui Pitagora fără să o redemonstrezi la fiecare exercițiu. În secțiunea următoare o verificăm pe cazuri particulare, ca să vezi cu ochii tăi că funcționează; cine vrea și demonstrația completă o găsește în lecția de teorema cosinusului de la clasa a IX-a, scrisă pentru profilul de matematică-informatică.

3. Trei verificări care ne conving că formula e adevărată

Verificarea 1: unghiul drept. Punem $A=90^{\circ }$, deci $\cos A=0$. Termenul $-2bc\cos A$ se anulează și rămâne

$$a^2=b^2+c^2.$$

Adică exact teorema lui Pitagora. Concret, cu $b=3$, $c=4$ și $A=90^{\circ }$: $a^2=9+16-0=25$, deci $a=5$ ✓ — triunghiul $3$, $4$, $5$, pe care îl știi din gimnaziu.

Verificarea 2: triunghiul echilateral. Într-un triunghi echilateral toate unghiurile au $60^{\circ }$. Luăm $b=c=6$ și $A=60^{\circ }$, cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$:

$$a^2=36+36-2\cdot 6\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=72-36=36\Rightarrow a=6.$$

Formula „știe" singură că un triunghi cu două laturi egale și cu $60^{\circ }$ între ele este echilateral ✓.

Verificarea 3: cazurile extreme. Dacă unghiul $A$ s-ar apropia de $0^{\circ }$, cosinusul s-ar apropia de $1$ și am obține $a^2\to b^2-2bc+c^2=(b-c{)}^2$, adică $a\to |b-c|$: triunghiul se turtește, iar latura opusă devine diferența celorlalte două. Dacă $A$ s-ar apropia de $180^{\circ }$, cosinusul s-ar apropia de $-1$ și am obține $a\to b+c$: laturile se așază în prelungire. Între aceste două extreme, formula parcurge exact toate valorile permise de inegalitatea triunghiului — un semn foarte bun că enunțul e corect.

4. Pitagora cu termen de corecție

Privește formula ca pe un „Pitagora reglabil":

$$a^2=\underset{\text{partea lui Pitagora}}{\underbrace{b^2+c^2}}\underset{\text{corecția}}{\underbrace{-2bc\cos A}}.$$

Corecția depinde numai de semnul cosinusului, deci numai de tipul unghiului:

• $A$ ascuțit $\Rightarrow \cos A>0\Rightarrow$ corecția este negativă $\Rightarrow a^2<b^2+c^2$: latura opusă iese mai scurtă decât ar spune Pitagora.
• $A$ drept $\Rightarrow \cos A=0\Rightarrow$ corecția dispare: regăsim Pitagora.
• $A$ obtuz $\Rightarrow \cos A<0\Rightarrow$ corecția este pozitivă (minus ori minus dă plus) $\Rightarrow a^2>b^2+c^2$: latura opusă iese mai lungă.

Imaginea mentală care ajută cel mai mult: un compas cu brațele de lungimi $b$ și $c$. Cu cât îl deschizi mai mult, cu atât distanța dintre vârfuri crește. Teorema cosinusului este formula exactă a acestei creșteri. Citit invers, același mecanism îți permite să decizi forma unui triunghi doar din lungimile laturilor — dar asta e subiectul lecției despre natura unui triunghi, peste două lecții.

5. Cazul LUL: rețeta în patru pași

Situația în care teorema se aplică direct se numește, pe scurt, LUL: latură – unghi – latură, adică știi două laturi și unghiul cuprins între ele, iar necunoscuta este a treia latură. Rețeta:

1. Desenează și notează. Marchează cele două laturi cunoscute și unghiul dintre ele. Latura necunoscută este cea opusă acestui unghi.
2. Scrie formula cu litere, în varianta potrivită: latura necunoscută la stânga, unghiul cunoscut la dreapta.
3. Înlocuiește valorile. Dacă unghiul e remarcabil, folosește valoarea exactă; dacă nu, ia-o din tabel sau de la un instrument digital, cu patru zecimale.
4. Extrage rădăcina pătrată și verifică. Rezultatul trebuie să respecte inegalitatea triunghiului: latura găsită e mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor.

Pasul 4 nu e o formalitate, ci detectorul tău gratuit de erori. Dacă din laturile $6$ și $10$ îți iese o a treia latură de $18$, știi imediat că ai greșit ceva: $18>6+10$, deci triunghiul nu ar exista.

6. Unghiuri obtuze: minusul care adună

Cazul care produce cele mai multe greșeli merită tratat separat. Fie $b=7$, $c=8$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Cosinusul este negativ: $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Înlocuim cu atenție, păstrând parantezele:

$$a^2=49+64-2\cdot 7\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=113+56=169\Rightarrow a=13.$$

Observă mecanismul: termenul de corecție a mărit suma pătratelor, pentru că unghiul obtuz „deschide" triunghiul. Compară cu ce ar fi dat Pitagora: $\sqrt{49+64}=\sqrt{113}\approx 10,63$, mult mai puțin decât $13$. Iar verificarea trece: $13<7+8=15$ ✓.

Sfat de scriere: pune întotdeauna valoarea negativă a cosinusului în paranteză. Cele mai multe erori de semn apar când elevul scrie direct $-2\cdot 7\cdot 8\cdot -\frac{1}{2}$ și pierde șirul minusurilor.

7. Distanțe pe care nu le poți măsura

Aici se vede puterea practică a teoremei: ea transformă măsurători accesibile — două distanțe de la un punct comun și unghiul dintre direcții — într-o distanță inaccesibilă, cea dintre capete. Exact problema prietenilor din deschidere.

Cele două drumuri au $40$ km și $65$ km, iar unghiul dintre ele este $52^{\circ }$. Din tabel, $\cos 52^{\circ }=0,6157$. Notăm cu $d$ distanța căutată, care este latura opusă unghiului:

$$d^2=40^2+65^2-2\cdot 40\cdot 65\cdot 0,6157=5825-3201,64=2623,36,$$

de unde $d=\sqrt{2623,36}\approx 51,22$ km. Verificare: $51,22<40+65$ și $51,22>65-40$ ✓, iar rezultatul e cuprins între $40$ și $65$, plauzibil pentru un unghi puțin mai mic decât drept.

Așa se calculează distanțe peste lacuri și râpe, între nave sau drone, lungimi de diagonale în structuri metalice, deschideri de brațe de macara — oriunde poți măsura „din vârf", dar nu „de-a curmezișul".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cazul LUL cu unghi de $60^{\circ }$

În triunghiul $ABC$ se cunosc $b=AC=3$, $c=AB=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculați $a=BC$.

Rezolvare. Unghiul cunoscut este cuprins între laturile cunoscute, deci aplicăm direct formula pentru latura opusă lui $A$, cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$:

$$a^2=9+64-2\cdot 3\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=73-24=49\Rightarrow a=7.$$

Verificare: $7<3+8$ și $7>8-3$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Cazul LUL cu unghi obtuz

În triunghiul $ABC$, $b=7$, $c=8$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculați $a$.

Rezolvare. Cu $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, scris în paranteză:

$$a^2=49+64-2\cdot 7\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=113+56=169\Rightarrow a=13.$$

Latura opusă unghiului obtuz este cea mai lungă din triunghi — firesc, în fața unghiului mare stă latura mare. Verificare: $13<7+8$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Un unghi de $45^{\circ }$ și radicali în date

În triunghiul $ABC$, $b=7$, $c=4\sqrt{2}$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. Calculați $a$.

Rezolvare. Cu $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$a^2=49+32-2\cdot 7\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=81-56=25\Rightarrow a=5.$$

Am folosit ${\left(4\sqrt{2}\right)}^2=16\cdot 2=32$ și $2\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\cdot 2=8$, deci termenul de corecție a fost $7\cdot 8=56$. Verificare: $4\sqrt{2}\approx 5,66$, iar $5<7+5,66$ și $5>7-5,66$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Formula regăsește Pitagora

Verificați teorema cosinusului pe un triunghi dreptunghic cu catetele $3$ și $4$, apoi pe un triunghi echilateral de latură $6$.

Rezolvare. Pentru triunghiul dreptunghic luăm $b=3$, $c=4$ și $A=90^{\circ }$, deci $\cos A=0$:

$$a^2=9+16-0=25\Rightarrow a=5,$$

adică exact ipotenuza dată de teorema lui Pitagora. Pentru triunghiul echilateral luăm $b=c=6$ și $A=60^{\circ }$:

$$a^2=36+36-2\cdot 36\cdot \frac{1}{2}=36\Rightarrow a=6,$$

adică tot latura triunghiului ✓. Cele două verificări arată că teorema cosinusului conține teorema lui Pitagora ca un caz particular și că se potrivește cu figurile pe care le cunoști.

Exemplul 5 — Distanța dintre două nave

Două nave pleacă în același timp din același port, pe direcții care formează un unghi de $40^{\circ }$. După o oră, prima a parcurs $25$ km, iar a doua $18$ km. La ce distanță se află una de alta?

Rezolvare. Triunghiul are laturile $25$ și $18$ cu unghiul de $40^{\circ }$ între ele, iar distanța $d$ este latura opusă. Din tabel, $\cos 40^{\circ }=0,7660$:

$$d^2=625+324-2\cdot 25\cdot 18\cdot 0,7660=949-689,40=259,60,$$

deci $d=\sqrt{259,60}\approx 16,11$ km. Verificare: $16,11<25+18$ și $16,11>25-18=7$ ✓. Unghiul fiind ascuțit, distanța a ieșit mai mică decât diagonala unui dreptunghi cu aceleași laturi ($\sqrt{949}\approx 30,81$), exact cum prezice corecția negativă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Un teren are forma unui triunghi $ABC$ cu $AB=60$ m, $AC=80$ m și $m(\angle A)=75^{\circ }$. a) Calculați lungimea laturii $BC$. b) Calculați perimetrul terenului.

Rezolvare. a) Unghiul $A$ este cuprins între laturile cunoscute, deci $BC$ este latura opusă lui. Din tabel, $\cos 75^{\circ }=0,2588$:

$$B{C}^2=60^2+80^2-2\cdot 60\cdot 80\cdot 0,2588=10000-2484,48=7515,52,$$

de unde $BC=\sqrt{7515,52}\approx 86,69$ m.

b) Perimetrul: $P=60+80+86,69=226,69$ m.

Control final: $86,69<60+80=140$ și $86,69>80-60=20$ ✓. În plus, unghiul de $75^{\circ }$ fiind ascuțit, latura $BC$ trebuie să fie mai scurtă decât ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu aceleași catete, adică decât $\sqrt{10000}=100$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Desenează de fiecare dată triunghiul, marchează perechea „latură necunoscută — unghi opus" și abia apoi înlocuiește în formulă. Valorile negative ale cosinusului se scriu în paranteză. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă, cu aproximarea trecută în paranteză; unde se folosesc valori din tabel, rotunjește la două zecimale.

1. În triunghiul $ABC$, $b=8$, $c=15$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculează $a$.

2. În triunghiul $ABC$, $b=4$, $c=6$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculează $a$.

3. În triunghiul $ABC$, $b=2$, $c=3$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$.

4. În triunghiul $ABC$, $b=6$, $c=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$.

5. În triunghiul $ABC$, $b=3$, $c=4$ și $m(\angle A)=90^{\circ }$. Calculează $a$ cu teorema cosinusului și explică de ce rezultatul coincide cu cel dat de teorema lui Pitagora.

6. Verifică teorema cosinusului pe un triunghi echilateral de latură $6$: calculează $a$ din formulă, folosind $b=c=6$ și $A=60^{\circ }$.

7. În triunghiul $ABC$, $b=c=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$.

8. În triunghiul $ABC$, $b=5$, $c=16$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$.

9. În triunghiul $ABC$, $b=6$, $c=5\sqrt{2}$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. Calculează $a$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă păstrăm două laturi ale unui triunghi și mărim unghiul dintre ele, latura opusă se mărește și ea."

11. (Problemă aplicată.) Două nave pleacă din același port pe direcții care fac între ele un unghi de $40^{\circ }$. Prima parcurge $25$ km, a doua $18$ km. La ce distanță se află una de alta? (Folosește $\cos 40^{\circ }=0,7660$.)

12. Un paralelogram $ABCD$ are $AB=8$, $BC=3$ și $m(\angle B)=60^{\circ }$. Calculează diagonala $AC$.

13. (Problemă aplicată.) Din vârful unui deal se văd două sate, la $100$ m și la $140$ m, sub un unghi de $62^{\circ }$ între direcții. Ce distanță este între sate? (Folosește $\cos 62^{\circ }=0,4695$.)

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $AC=3$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Arată că $BC=7$. b) Compară $BC$ cu $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$ și explică rezultatul.

15. În triunghiul $ABC$, $b=9$, $c=5$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$ și verifică inegalitatea triunghiului.

16. (Problemă aplicată.) Două turnuri de telecomunicații se văd dintr-un punct de observație la $300$ m și, respectiv, $400$ m, sub un unghi de $65^{\circ }$. Ce distanță este între turnuri? (Folosește $\cos 65^{\circ }=0,4226$.)

17. În triunghiul $ABC$, $b=12$ și $c=5$, iar $m(\angle A)=90^{\circ }$. Calculează $a$ și spune ce triunghi cunoscut ai obținut.

18. (Provocare.) Două laturi ale unui triunghi au lungimile $6$ și $10$, iar unghiul dintre ele poate lua orice valoare din intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$. Între ce limite variază lungimea celei de-a treia laturi? Ce inegalitate cunoscută regăsești?

Răspunsuri și explicații

1. $a^2=64+225-2\cdot 8\cdot 15\cdot \frac{1}{2}=289-120=169$, deci $a=13$. Verificare: $13<8+15$ ✓.

2. $a^2=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=52-24=28$, deci $a=2\sqrt{7}\approx 5,29$. Verificare: $5,29<4+6$ și $5,29>2$ ✓.

3. $a^2=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=13+6=19$, deci $a=\sqrt{19}\approx 4,36$. Verificare: $4,36<2+3=5$ ✓ — la limită, dar valabil, pentru că unghiul e foarte deschis.

4. $a^2=36+100+60=196$, deci $a=14$. Verificare: $14<6+10=16$ ✓.

5. $a^2=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 90^{\circ }=25-0=25$, deci $a=5$. Cum $\cos 90^{\circ }=0$, termenul de corecție dispare și formula devine chiar $a^2=b^2+c^2$: teorema lui Pitagora este cazul particular al teoremei cosinusului pentru unghi drept.

6. $a^2=36+36-2\cdot 36\cdot \frac{1}{2}=72-36=36$, deci $a=6$ — chiar latura triunghiului echilateral. Formula recunoaște singură că două laturi egale cu $60^{\circ }$ între ele dau un triunghi echilateral.

7. $a^2=100+100-2\cdot 100\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=200+100=300$, deci $a=10\sqrt{3}\approx 17,32$. Verificare: $17,32<20$ ✓.

8. $a^2=25+256+80=361$, deci $a=19$. Verificare: $19<5+16=21$ ✓.

9. ${\left(5\sqrt{2}\right)}^2=50$, iar termenul de corecție este $2\cdot 6\cdot 5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\cdot 10=60$. Deci $a^2=36+50-60=26$ și $a=\sqrt{26}\approx 5,10$.

10. Adevărat. Când unghiul crește de la $0^{\circ }$ spre $180^{\circ }$, cosinusul lui scade de la $1$ spre $-1$. În formula $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, laturile $b$ și $c$ fiind fixate, scăderea lui $\cos A$ face ca termenul $-2bc\cos A$ să crească, deci $a^2$ crește și, odată cu el, $a$. Este exact imaginea compasului care se deschide.

11. $d^2=625+324-2\cdot 25\cdot 18\cdot 0,7660=949-689,40=259,60$, deci $d\approx 16,11$ km. Verificare: $16,11$ este între $25-18=7$ și $25+18=43$ ✓.

12. În triunghiul $ABC$, laturile $AB=8$ și $BC=3$ formează unghiul $B$, iar $AC$ este latura opusă lui:

$$A{C}^2=64+9-2\cdot 8\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=73-24=49\Rightarrow AC=7.$$

13. $d^2=10000+19600-2\cdot 100\cdot 140\cdot 0,4695=29600-13146=16454$, deci $d\approx 128,27$ m. Verificare: $128,27$ este între $40$ și $240$ ✓.

14. a) $B{C}^2=25+9-2\cdot 5\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49$, deci $BC=7$. b) $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{34}\approx 5,83<7$. Explicația: unghiul de $120^{\circ }$ fiind obtuz, cosinusul lui e negativ, corecția se adună și latura opusă iese mai lungă decât ar da teorema lui Pitagora pentru aceleași două laturi.

15. $a^2=81+25-2\cdot 9\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=106+45=151$, deci $a=\sqrt{151}\approx 12,29$. Verificare: $12,29<9+5=14$ și $12,29>9-5=4$ ✓.

16. $d^2=90000+160000-2\cdot 300\cdot 400\cdot 0,4226=250000-101424=148576$, deci $d\approx 385,46$ m. Verificare: $385,46$ este între $100$ și $700$ ✓.

17. $a^2=144+25-0=169$, deci $a=13$. Ai obținut triunghiul dreptunghic cu laturile $5$, $12$, $13$ — unul dintre cele mai cunoscute triunghiuri cu laturi numere întregi.

18. Cu $b=6$ și $c=10$, formula dă $a^2=36+100-120\cos A=136-120\cos A$. Când $A$ parcurge intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, cosinusul parcurge intervalul $(-1,1)$, deci $a^2$ ia toate valorile din intervalul $(136-120,136+120)=(16,256)$, adică $a\in (4,16)$. Regăsim exact inegalitatea triunghiului: a treia latură este mai mare decât diferența celorlalte două ($10-6=4$) și mai mică decât suma lor ($10+6=16$). Teorema cosinusului nu doar că respectă inegalitatea triunghiului — o și explică.

De reținut

• Teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, plus analoagele pentru $b$ și $c$. Latura calculată și unghiul din formulă sunt mereu opuse, iar cele două laturi de la pătrat sunt cele care formează unghiul.
• Cazul de aplicare directă este LUL: două laturi și unghiul dintre ele $\to$ a treia latură. Programa cere teorema fără demonstrație; o folosim ca instrument.
• Pitagora este cazul particular $A=90^{\circ }$: cosinusul se anulează, corecția dispare, formula devine $a^2=b^2+c^2$.
• Semnul cosinusului decide totul: la unghi ascuțit latura opusă iese mai scurtă decât la Pitagora, la unghi obtuz mai lungă. Valorile negative se scriu în paranteză.
• Verifică mereu cu inegalitatea triunghiului: latura găsită trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor.

Greșeli frecvente

• Perechea greșită latură–unghi. Se scrie $a^2=b^2+c^2-2bc\cos B$, cu un unghi care nu e opus laturii calculate. Formula cere unghiul dintre cele două laturi din dreapta, adică exact opusul laturii din stânga.
• Semnul cosinusului la unghiuri obtuze. Se înlocuiește $\cos 120^{\circ }$ cu $+\frac{1}{2}$, iar corecția scade în loc să adune. Reține: unghi obtuz $\Rightarrow$ cosinus negativ $\Rightarrow$ latura opusă mai lungă.
• Uitarea factorului $2$ din termenul $2bc\cos A$. Recitește structura formulei înainte de a calcula, mai ales la examen.
• Oprirea la $a^2$. Formula dă pătratul laturii, nu latura. Se întâmplă des ca răspunsul să fie scris $a=49$ în loc de $a=7$. Ultimul pas este întotdeauna rădăcina pătrată.
• Rezultat neverificat. O latură „calculată" mai mare decât suma celorlalte două trădează o greșeală de semn sau de pereche. Inegalitatea triunghiului te costă zece secunde și îți salvează exercițiul.

Aplică acasă

1. Compasul care se deschide. Ia un compas (sau două rigle prinse cu o piuneză) cu brațele de lungimi cunoscute, de exemplu $10$ cm și $15$ cm. Deschide-l pe rând la $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$, $120^{\circ }$ și $150^{\circ }$, măsurate cu raportorul. Pentru fiecare deschidere, calculează distanța dintre vârfuri cu teorema cosinusului, apoi măsoar-o cu rigla. Fă un tabel cu cele două coloane și vezi cât de bine se potrivesc.

2. Harta cartierului. Alege pe o hartă digitală trei locuri: casa ta, școala și un magazin. Măsoară cu instrumentul de măsurare al aplicației distanțele de la casă la celelalte două și estimează unghiul dintre direcții. Calculează distanța școală–magazin cu teorema cosinusului, apoi compar-o cu cea măsurată direct pe hartă.

3. Acoperișul. Măsoară (sau estimează din fotografii) cele două pante ale unui acoperiș în două ape și unghiul dintre ele, la coamă. Calculează deschiderea acoperișului, adică lățimea casei la nivelul streșinilor. Verifică rezultatul comparându-l cu o măsurătoare aproximativă a lățimii clădirii.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima dintre cele două teoreme fundamentale ale unității „Aplicații ale trigonometriei în geometrie" din programa de trunchi comun a clasei a X-a. Programa prevede explicit teorema cosinusului fără demonstrație, iar valorile funcțiilor trigonometrice se pot obține din tabele sau cu instrumente digitale — de aceea lecția insistă pe utilizarea corectă a formulei și pe verificarea rezultatului, nu pe deducerea ei. Competențele vizate sunt X.CS.3.1 (aplicarea unei teoreme pentru determinarea unor măsuri) și X.CS.6.1 (modelarea unor probleme practice).

Întrebări bune de control: „Ce unghi intră în formulă atunci când calculezi latura $a$?" (cel opus, adică cel dintre $b$ și $c$); „Ce se întâmplă cu formula la $90^{\circ }$?" (devine teorema lui Pitagora); „De ce la $120^{\circ }$ latura opusă iese mai lungă decât ar da Pitagora?" (cosinusul e negativ, corecția se adună); „Cum verifici că rezultatul e plauzibil?" (inegalitatea triunghiului). Semne că a înțeles: desenează figura și marchează perechea latură–unghi înainte de a scrie formula, pune parantezele la cosinusul negativ și își verifică singur rezultatul.

La Bacalaureat, teorema cosinusului apare constant la subiectele de geometrie și trigonometrie, cel mai des exact în forma din Exemplul 6: se dau două laturi și unghiul dintre ele și se cere a treia latură, uneori urmată de perimetru sau de arie. Este un punctaj sigur, cu condiția ca elevul să nu greșească perechea și semnul. Continuarea firească este lecția următoare, în care aceeași formulă se folosește invers, pentru a afla măsurile unghiurilor dintr-un triunghi cu toate laturile cunoscute.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema cosinusului, pe scurt? În orice triunghi, pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, minus dublul produsului lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Latura din stânga și unghiul din formulă sunt opuse.

Când folosesc teorema cosinusului? Când cunoști două laturi și unghiul cuprins între ele și vrei a treia latură — cazul LUL. Aceeași formulă, scrisă altfel, se folosește și când cunoști toate cele trei laturi și vrei un unghi, dar acela este subiectul lecției următoare.

Care este legătura dintre teorema cosinusului și teorema lui Pitagora? Teorema lui Pitagora este cazul particular pentru unghi drept: la $90^{\circ }$ cosinusul este zero, termenul de corecție dispare și rămâne $a^2=b^2+c^2$. De aceea teorema cosinusului se mai numește „teorema lui Pitagora generalizată".

De ce apare semnul minus în formulă dacă la unghiuri obtuze latura crește? Pentru că la unghiuri obtuze cosinusul însuși este negativ, iar minus înmulțit cu minus dă plus: termenul $-2bc\cos A$ devine pozitiv și se adună. Formula rămâne aceeași pentru orice unghi — semnul cosinusului face automat diferența.

Ce fac dacă unghiul nu este $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $120^{\circ }$, $135^{\circ }$ sau $150^{\circ }$? Iei valoarea cosinusului din tabelul trigonometric sau de la un instrument digital, cu patru zecimale, și continui calculul normal. Programa permite explicit acest lucru, iar problemele practice chiar îl cer.

Cum îmi verific rezultatul? Cu inegalitatea triunghiului: latura găsită trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor. În plus, dacă unghiul e ascuțit, latura opusă trebuie să iasă mai mică decât $\sqrt{b^2+c^2}$; dacă e obtuz, mai mare.

Trebuie să știu demonstrația teoremei cosinusului? La trunchi comun, nu: programa prevede teorema fără demonstrație. Trebuie să știi enunțul, să înțelegi de ce este o generalizare a teoremei lui Pitagora și să o aplici corect. Demonstrația completă există și o poți citi în lecția de clasa a IX-a de la profilul de matematică-informatică.

Unde se folosește teorema cosinusului în viața reală? Oriunde se calculează o distanță care nu poate fi măsurată direct, dar se cunosc două distanțe dintr-un punct comun și unghiul dintre direcții: topografie, navigație maritimă și aeriană, construcții, robotică, grafică pe calculator, proiectarea structurilor metalice.