În triunghiul $$PQR$$, care este forma corectă a teoremei cosinusului pentru latura $$QR$$?

$$QR^2=PQ^2+PR^2-2\cdot PQ\cdot PR\cdot\cos P$$

$$QR^2=PQ^2+PR^2-2\cdot PQ\cdot PR\cdot\cos Q$$

$$QR^2=PQ^2+PR^2+2\cdot PQ\cdot PR\cdot\cos P$$

$$QR^2=PQ^2-PR^2-2\cdot PQ\cdot PR\cdot\cos R$$

Ce distanță e între două flori văzute din stup?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema cosinusului

Distanța dintre două flori se află cu teorema cosinusului, $a = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ . Aici $b$ și $c$ sunt distanțele de la stup la flori, iar $A$ este unghiul dintre direcțiile spre ele. Exemplu: $b = 300$ m, $c = 800$ m și $A = \frac{π}{3}$ dau $a^{2} = 90000 + 640000 - 240000 = 490000$ , deci $a = 700$ m. Rezultatul se află între $800 - 300$ și $800 + 300$ , cum trebuie.

Teorema cosinusului exprimă, într-un triunghi oarecare, o latură prin celelalte două și prin unghiul dintre ele: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , unde latura $a$ se află în fața unghiului $A$ , iar $b$ și $c$ sunt laturile care îl formează. Pentru celelalte laturi se rotesc rolurile.

Formula iese din coordonate: cu $A$ în origine, $B (c, 0)$ și $C (b cos A, b sin A)$ , formula distanței și relația $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ o dau direct, fără să tratezi separat unghiul obtuz.

Când unghiul este drept, termenul cu cosinus dispare și regăsești teorema lui Pitagora. Un unghi ascuțit face latura opusă mai scurtă decât în cazul drept, iar unul obtuz o face mai lungă, pentru că cosinusul lui negativ, scris în paranteză, transformă scăderea în adunare.

Rezultatul se verifică: latura calculată se află între diferența și suma celorlalte două. Într-un paralelogram, diagonalele sunt opuse unor unghiuri suplementare, deci suma pătratelor lor este dublul sumei pătratelor laturilor. Pentru unghiuri din afara valorilor de bază, cosinusul vine din tabel sau de la calculator, cu patru zecimale, iar rotunjirea se face abia la final.

De reținut

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$∣ b - c ∣ < a < b + c$
pentru unghi obtuz, $cos A < 0$ și latura opusă crește

Greșeala tipică

Se pune în formulă unghiul dintr-un alt vârf decât cel dintre laturile cunoscute; unghiul folosit trebuie să fie cel format chiar de laturile $b$ și $c$ , adică cel opus laturii căutate.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $P QR$ , care este forma corectă a teoremei cosinusului pentru latura $QR$ ?
- a) $Q R^{2} = P Q^{2} + P R^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot cos P$
- b) $Q R^{2} = P Q^{2} + P R^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot cos Q$
- c) $Q R^{2} = P Q^{2} + P R^{2} + 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot cos P$
- d) $Q R^{2} = P Q^{2} - P R^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot cos R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $Q R^{2} = P Q^{2} + P R^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot cos P$

Latura $QR$ nu trece prin vârful $P$ , deci se scrie cu unghiul $P$ , format de laturile $P Q$ și $P R$ .
În triunghiul $A B C$ , $b = 35$ , $c = 48$ și $A = \frac{π}{3}$ . Cât este $a$ ?
- a) $53$
- b) $43$
- c) $47$
- d) $37$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $43$

$a^{2} = 1225 + 2304 - 2 \cdot 35 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} = 3529 - 1680 = 1849$ , deci $a = 43$ .
În triunghiul $A B C$ , $b = 6$ , $c = 42$ și $A = \frac{3 π}{4}$ . Cât este $a$ ?
- a) $25$
- b) $68$
- c) $229$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $229$

Cu $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}$ : $a^{2} = 36 + 32 + 2 \cdot 6 \cdot 42 \cdot \frac{2}{2} = 68 + 48 = 116$ , deci $a = 229$ .

Întrebări conexe

Cât mai are de parcurs o minge de golf lovită strâmb?

Gaura este la $160$ m, iar mingea zboară $100$ m pe o direcție deviată cu $\frac{π}{3}$ . Distanța rămasă este $10 0^{2} + 16 0^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 160 \cdot \frac{1}{2} = 19600 = 140$ m. Unghiul folosit este cel dintre cele două direcții, cu vârful în punctul de lovire.

Cum verific dacă latura calculată cu teorema cosinusului este plauzibilă?

Latura trebuie să fie între diferența și suma celorlalte două. Pentru $300$ m și $800$ m, orice rezultat trebuie să fie între $500$ m și $1100$ m. În plus, un unghi ascuțit dă o latură mai scurtă decât ipotenuza cazului drept, iar unul obtuz una mai lungă.

Cum se obține teorema cosinusului cu ajutorul coordonatelor?

Așezi $A$ în origine, $B (c, 0)$ și $C (b cos A, b sin A)$ . Distanța $B C$ verifică $a^{2} = (b cos A - c)^{2} + b^{2} sin^{2} A = b^{2} - 2 b c cos A + c^{2}$ , folosind $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ . Calculul este același pentru unghi ascuțit sau obtuz, iar pentru unghiul drept dă teorema lui Pitagora, fiindcă $cos \frac{π}{2} = 0$ .

Cât este rezultanta a două forțe care fac un unghi între ele?

Pentru forțele $F_{1}$ și $F_{2}$ care fac unghiul $α$ , $R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$ ; semnul plus apare fiindcă unghiul din paralelogramul forțelor este suplementul lui $α$ . Pentru $3$ N, $5$ N și $α = \frac{π}{3}$ : $R^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ , deci $R = 7$ N.

Cum aflu diagonalele unui romb cu teorema cosinusului?

Într-un romb cu latura $6$ și unghiul $\frac{π}{3}$ , diagonala mică se opune acestui unghi: $36 + 36 - 2 \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 36$ , deci are $6$ . Diagonala mare se opune unghiului $\frac{2 π}{3}$ : $36 + 36 + 36 = 108$ , deci are $63$ .

Oamenii mai întreabă și: distanța dintre două puncte cu teorema cosinusului · teorema cosinusului în probleme practice · latura a treia din două laturi și unghi · distanța dintre două flori