Teorema sinusurilor: enunț și aplicații: pe scurt

Când datele unei probleme sunt o latură și unghiul din fața ei, teorema cosinusului nu ajută — ea are nevoie de două laturi. Unealta potrivită este teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, valabilă în orice triunghi, cu latura și unghiul dintr-un raport mereu opuse. Programa cere teorema fără demonstrație.

Ca să pornești ai nevoie de o pereche completă: o latură plus unghiul din fața ei. Dacă știi doar două unghiuri, al treilea se află imediat din suma de $180^{\circ }$. De aici rezultă cele două formule de lucru: latura necunoscută $b=\frac{a\sin B}{\sin A}$, respectiv sinusul unui unghi necunoscut $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$.

O consecință utilă: laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse, deci laturii mai mari i se opune întotdeauna unghiul mai mare.

Capcana principală: când afli un unghi prin sinusul lui, există în general două soluții posibile, $B$ și $180^{\circ }-B$, pentru că $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$. Dacă latura opusă unghiului cunoscut este cea mai mare din triunghi, varianta e unică; altfel trebuie verificat dacă suma cu celelalte unghiuri rămâne sub $180^{\circ }$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Teorema sinusurilor afirmă că, într-un triunghi oarecare:

   • a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
   • b) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
   • c) $\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}$
   • d) $a\cdot \sin A=b\cdot \sin B=c\cdot \sin C$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

   Aceasta este forma teoremei sinusurilor. Formula $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, aflată printre variante, este teorema cosinusului, o teoremă diferită.

2. Ca să pornești o rezolvare cu teorema sinusurilor ai nevoie de o pereche completă, adică:

   • a) trei unghiuri
   • b) o latură și unghiul opus ei
   • c) două laturi și unghiul dintre ele
   • d) trei laturi
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) o latură și unghiul opus ei

   Teorema sinusurilor leagă o latură de sinusul unghiului din fața ei — ai nevoie de măcar o astfel de pereche completă ca să calculezi raportul comun.

3. Dacă $\sin B=0,5$ și $B$ este un unghi al unui triunghi, valorile posibile pentru $B$ sunt:

   • a) doar $30^{\circ }$
   • b) $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$
   • c) $30^{\circ }$ sau $150^{\circ }$
   • d) doar $150^{\circ }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $30^{\circ }$ sau $150^{\circ }$

   Ecuația $\sin B=0,5$ are, în $(0^{\circ },180^{\circ })$, exact două soluții suplementare: $30^{\circ }$ și $150^{\circ }$. Contextul problemei decide care se păstrează.