Teorema sinusurilor: enunț și aplicații

Un pompier privește de la baza unei scări mecanice către fereastra de la care trebuie scos un om. Știe lungimea brațului scării, dar nu poate măsura direct distanța până la fereastră. În schimb, colegul lui, aflat la $18$ metri mai încolo, vede aceeași fereastră sub un alt unghi. Cei doi au acum o latură — distanța dintre ei — și două unghiuri. Nu au două laturi, deci teorema cosinusului nu îi ajută: ea are nevoie de două lungimi ca să pornească.

Le trebuie o altă relație, una care să lege o latură direct de unghiul din fața ei. Aceasta este teorema sinusurilor, a doua unealtă de bază a unității. Cu ea vei afla laturi pornind de la unghiuri, vei afla unghiuri pornind de la laturi și vei rezolva probleme în care singurul lucru măsurabil pe teren sunt direcțiile. Programa cere teorema fără demonstrație: ne interesează enunțul, motivul pentru care e credibilă și, mai ales, felul în care se folosește corect.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema sinusurilor sub forma $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.
• Vei ști să verifici teorema pe cazuri particulare simple: triunghiul dreptunghic și cel echilateral.
• Vei ști să recunoști perechea completă — o latură împreună cu unghiul opus ei — de care ai nevoie ca să poți porni.
• Vei ști să calculezi o latură necunoscută când cunoști o latură și două unghiuri.
• Vei ști să calculezi sinusul unui unghi necunoscut când cunoști două laturi și un unghi.
• Vei ști să folosești tabelele trigonometrice sau un instrument digital pentru a trece de la sinus la unghi și invers, cu rotunjiri corecte.

Hai să descoperim împreună

1. Ce nu poate face teorema cosinusului

Păstrăm notațiile obișnuite: în triunghiul $ABC$, fiecare latură poartă litera mică a vârfului opus, adică $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Regula „latura stă în fața vârfului cu aceeași literă" este cheia întregii lecții; dacă o încurci, tot restul se prăbușește.

Teorema cosinusului, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, leagă trei laturi și un unghi. Ca s-o folosești ai nevoie fie de trei laturi, fie de două laturi și unghiul dintre ele. Dar un triunghi poate fi determinat și altfel: de exemplu, de o latură și două unghiuri. În pofida faptului că datele sunt suficiente pentru a construi triunghiul cu rigla și raportorul, teorema cosinusului rămâne blocată — îi lipsește a doua lungime.

Ne trebuie o relație în care apar laturi și unghiuri opuse lor, nu laturi și unghiuri dintre ele.

2. Enunțul

Teorema sinusurilor. În orice triunghi $ABC$, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este același pentru toate cele trei laturi:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

Teorema este valabilă în orice triunghi: ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic. Motivul este că sinusul rămâne pozitiv pe tot intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, deci niciunul dintre numitori nu se anulează și nu-și schimbă semnul — spre deosebire de cosinus, care devine negativ după $90^{\circ }$.

3. De ce este credibilă: trei verificări

Programa cere teorema fără demonstrație, dar nu-ți cere să o crezi orbește. O verificăm pe cazuri în care putem calcula totul singuri.

Verificarea 1 — triunghiul dreptunghic. Fie $m(\angle C)=90^{\circ }$, deci $c$ este ipotenuza. Din definițiile din triunghiul dreptunghic, $\sin A=\frac{a}{c}$ și $\sin B=\frac{b}{c}$. Atunci

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{a}{a/c}=c,\frac{b}{\sin B}=\frac{b}{b/c}=c,\frac{c}{\sin C}=\frac{c}{1}=c.$$

Toate trei rapoartele dau exact ipotenuza. Teorema se verifică perfect, iar valoarea comună capătă și un înțeles geometric — la care ne întoarcem în lecția următoare.

Verificarea 2 — triunghiul echilateral. Aici $a=b=c$ și $A=B=C=60^{\circ }$, deci toate cele trei rapoarte sunt același număr, $\frac{a}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Egalitatea e evidentă.

Verificarea 3 — un triunghi oarecare, cu numere. Luăm triunghiul cu laturile $5$, $7$, $8$. Cu teorema cosinusului am afla unghiurile: $m(\angle A)\approx 38,21^{\circ }$ (opus laturii $5$), $m(\angle B)=60^{\circ }$ (opus laturii $7$), $m(\angle C)\approx 81,79^{\circ }$ (opus laturii $8$). Citim sinusurile cu un instrument digital: $\sin 38,21^{\circ }\approx 0,6186$, $\sin 60^{\circ }\approx 0,8660$, $\sin 81,79^{\circ }\approx 0,9897$. Atunci

$$\frac{5}{0,6186}\approx 8,08,\frac{7}{0,8660}\approx 8,08,\frac{8}{0,9897}\approx 8,08.$$

Trei rapoarte, aceeași valoare. Diferențele minuscule vin doar din rotunjiri.

De unde vine relația? Pe un desen se vede repede: dacă duci înălțimea din $C$ pe latura $AB$, aceeași înălțime $h$ se poate citi în două feluri, din triunghiul dreptunghic de la stânga și din cel de la dreapta: $h=b\sin A$ și $h=a\sin B$. Egalând, $b\sin A=a\sin B$, adică exact $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$. Aceasta nu este o demonstrație completă — cazul în care unul dintre unghiuri e obtuz cere o discuție separată, iar legătura cu cercul circumscris încă lipsește — dar arată de unde iese relația. Demonstrația riguroasă, cu toate cazurile, se găsește în lecția de clasa a IX-a despre teorema sinusurilor.

4. Regula de pornire: perechea completă

Teorema leagă patru mărimi într-o proporție: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$. Ca într-orice proporție, trei mărimi cunoscute o dau pe a patra. De aici regula practică:

Ca să folosești teorema sinusurilor, ai nevoie de o pereche completă: o latură împreună cu unghiul opus ei. Ea îți dă valoarea comună a rapoartelor; după aceea, orice altă latură sau unghi se obține dintr-un singur pas.

Dacă printre date nu există nicio pereche completă — de exemplu ai două laturi și unghiul dintre ele — teorema sinusurilor nu poate porni. Acolo se începe cu teorema cosinusului.

Uneori perechea nu e completă la prima vedere, dar se completează gratuit: dacă știi două unghiuri, al treilea iese imediat din

$$m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180^{\circ }.$$

5. Cum afli o latură necunoscută

Ai perechea $(a,A)$ și mai știi un unghi, $B$. Atunci, din $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, izolezi latura căutată:

$$b=\frac{a\cdot \sin B}{\sin A}.$$

Reține forma: latura cunoscută, înmulțită cu sinusul unghiului din fața laturii căutate, împărțită la sinusul unghiului din fața laturii cunoscute.

Exemplu. $a=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$, $m(\angle B)=45^{\circ }$. Atunci

$$b=\frac{10\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{2}\approx 14,14.$$

Control de bun-simț: $B>A$, deci trebuie ca $b>a$. Într-adevăr, $14,14>10$ ✓.

6. Cum afli sinusul unui unghi necunoscut

Ai perechea $(a,A)$ și mai știi o latură, $b$. Atunci

$$\sin B=\frac{b\cdot \sin A}{a}.$$

Exemplu. $a=7$, $b=5$, $m(\angle A)=60^{\circ }$. Atunci

$$\sin B=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\approx 0,6186,$$

iar cu un instrument digital obținem $m(\angle B)\approx 38,2^{\circ }$.

Atenție, aici este singura capcană serioasă a teoremei. Ecuația $\sin B=k$, cu $k$ între $0$ și $1$, are două soluții în intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$: unghiul găsit de calculator și suplementul lui. În exemplul de mai sus, $\sin 141,8^{\circ }$ este tot aproximativ $0,6186$. Care dintre ele e bună? În cazul de față, cea ascuțită: cum $b<a$, unghiul $B$ trebuie să fie mai mic decât $A=60^{\circ }$, deci varianta obtuză se elimină.

Regula rapidă: dacă latura opusă unghiului cunoscut este cea mai mare dintre cele două, soluția e unică. Când nu este, apare o discuție întreagă, pe care o facem în lecția despre rezolvarea triunghiului în cazurile ULU și LLU.

7. Laturile sunt proporționale cu sinusurile

Scrisă altfel, teorema spune că șirul laturilor și șirul sinusurilor sunt proporționale:

$$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C.$$

Consecința cea mai folositoare: dacă știi cele trei unghiuri, știi forma triunghiului, adică raportul laturilor, chiar dacă nu-i știi dimensiunile. Un triunghi cu unghiurile $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ are laturile în raportul

$$\sin 30^{\circ }:\sin 60^{\circ }:\sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1=1:\sqrt{3}:2,$$

exact proporția cunoscută din gimnaziu.

De aici se recuperează și o proprietate veche: latura mai mare se opune unghiului mai mare. Într-un triunghi, dacă $A>B$, atunci $\sin A>\sin B$ (verifică singur: dacă $A\le 90^{\circ }$, sinusul crește; dacă $A>90^{\circ }$, atunci $B<180^{\circ }-A$ și folosești $\sin A=\sin (180^{\circ }-A)$), deci $a>b$. Folosește această proprietate ca test de plauzibilitate la fiecare rezultat.

8. Lucrul cu tabelul și cu instrumentul digital

Programa spune limpede că valorile funcțiilor trigonometrice se pot obține din tabele sau cu instrumente digitale. În problemele practice unghiurile nu sunt niciodată frumoase, așa că vei citi valori de tipul $\sin 35^{\circ }\approx 0,5736$ și vei scrie rezultatele cu două zecimale.

Trei reguli de igienă a calculului:

• Rotunjește la final, nu la fiecare pas. Dacă rotunjești pe parcurs, erorile se adună.
• Scrie aproximările cu semnul $\approx$, nu cu $=$. $\sin 35^{\circ }$ nu este $0,5736$; este aproximativ atât.
• Verifică modul calculatorului. Trebuie să fie pe grade (DEG), nu pe radiani. Un $\sin 30$ care nu iese $0,5$ este semnalul că modul e greșit.

Exemplu cu tabel. $a=15$, $m(\angle A)=35^{\circ }$, $m(\angle B)=55^{\circ }$. Citim $\sin 35^{\circ }\approx 0,5736$ și $\sin 55^{\circ }\approx 0,8192$, deci

$$b=\frac{15\cdot 0,8192}{0,5736}\approx 21,42.$$

Control: al treilea unghi are $180^{\circ }-35^{\circ }-55^{\circ }=90^{\circ }$, deci triunghiul e dreptunghic cu catetele $15$ și $21,42$; ipotenuza ar trebui să fie $\frac{15}{0,5736}\approx 26,15$, iar $15^2+21,42^2\approx 683,8\approx 26,15^2$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O latură din două unghiuri

În triunghiul $ABC$, $a=6$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=90^{\circ }$. Calculați $b$.

Rezolvare. Perechea completă este $(a,A)$. Aplicăm teorema:

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\cdot \sin 90^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6\cdot 1}{\frac{1}{2}}=12.$$

Latura $b$ este ipotenuza (fiind opusă unghiului drept), iar $12=2\cdot 6$ — regăsim proprietatea că, într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$, cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză. $■$

Exemplul 2 — Perechea se completează din suma unghiurilor

În triunghiul $ABC$, $b=12$, $m(\angle B)=60^{\circ }$ și $m(\angle C)=45^{\circ }$. Calculați $c$.

Rezolvare. Perechea $(b,B)$ este completă, deci putem porni direct:

$$c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{6}\approx 9,80.$$

Control: $C<B$, deci trebuie ca $c<b$; într-adevăr $9,80<12$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Sinusul unui unghi, cu discuția eliminată

În triunghiul $ABC$, $a=5$, $b=8$ și $m(\angle B)=120^{\circ }$. Calculați $\sin A$ și apoi $m(\angle A)$.

Rezolvare. Perechea completă este $(b,B)$. Atunci

$$\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8}=\frac{5\sqrt{3}}{16}\approx 0,5413.$$

Cu un instrument digital, $m(\angle A)\approx 32,8^{\circ }$. Varianta obtuză, $\approx 147,2^{\circ }$, se respinge imediat: unghiul $B$ are deja $120^{\circ }$, iar suma ar depăși $180^{\circ }$. De altfel, într-un triunghi există cel mult un unghi obtuz, iar acela e deja ocupat de $B$. $■$

Exemplul 4 — Un calcul cu valori citite din tabel

Într-un triunghi, $b=20$, $m(\angle B)=110^{\circ }$ și $m(\angle A)=25^{\circ }$. Calculați $a$.

Rezolvare. Din tabel: $\sin 110^{\circ }\approx 0,9397$ și $\sin 25^{\circ }\approx 0,4226$. Perechea completă este $(b,B)$, deci

$$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{20\cdot 0,4226}{0,9397}\approx 8,99.$$

Control: $A$ este mult mai mic decât $B$, deci $a$ trebuie să fie mult mai mic decât $b$ — și este, aproape de două ori și jumătate. Observație utilă: $\sin 110^{\circ }=\sin 70^{\circ }$, pentru că unghiurile suplementare au același sinus; dacă tabelul tău merge doar până la $90^{\circ }$, folosești această egalitate. $■$

Exemplul 5 — Forma triunghiului, fără dimensiuni

Unghiurile unui triunghi au măsurile $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $105^{\circ }$. Determinați raportul laturilor.

Rezolvare. Laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse:

$$a:b:c=\sin 30^{\circ }:\sin 45^{\circ }:\sin 105^{\circ }\approx 0,5:0,7071:0,9659.$$

Împărțind totul la $0,5$, obținem $1:1,41:1,93$. Deci, oricât de mare ar fi triunghiul, latura din fața unghiului de $105^{\circ }$ este de aproape două ori latura din fața celui de $30^{\circ }$. Ordinea laturilor respectă ordinea unghiurilor, cum era de așteptat. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se știe că $BC=6$, $m(\angle A)=45^{\circ }$ și $m(\angle B)=30^{\circ }$. Calculați lungimea laturii $AC$.

Rezolvare. Traducem enunțul în notațiile cu litere mici: $a=BC=6$ este latura opusă unghiului $A$, iar $AC=b$ este latura opusă unghiului $B$. Perechea completă $(a,A)$ există, deci

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3\cdot 2}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\approx 4,24.$$

Deci $AC=3\sqrt{2}$. Control: $B<A$, deci $b<a$, adică $4,24<6$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, identifică mai întâi perechea completă (latură + unghiul opus ei); dacă nu o ai, caut-o prin suma unghiurilor. Rezultatele iraționale se lasă în formă exactă, iar cele cu valori din tabel se dau cu două zecimale.

1. În triunghiul $ABC$, $a=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculează $b$.

2. În triunghiul $ABC$, $a=6$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=90^{\circ }$. Calculează $b$.

3. În triunghiul $ABC$, $b=12$, $m(\angle B)=60^{\circ }$ și $m(\angle C)=45^{\circ }$. Calculează $c$.

4. În triunghiul $ABC$, $a=12$, $m(\angle A)=120^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculează $b$.

5. În triunghiul $ABC$, $a=7$, $b=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculează $\sin B$.

6. În triunghiul $ABC$, $a=15$, $m(\angle A)=35^{\circ }$ și $m(\angle B)=55^{\circ }$. Calculează $b$, folosind $\sin 35^{\circ }\approx 0,5736$ și $\sin 55^{\circ }\approx 0,8192$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare."

8. Unghiurile unui triunghi au măsurile $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ și $90^{\circ }$. Arată că laturile sunt proporționale cu $1$, $\sqrt{3}$ și $2$.

9. În triunghiul $ABC$, $a=9$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle C)=105^{\circ }$. Calculează $c$, folosind $\sin 105^{\circ }\approx 0,9659$.

10. În triunghiul $ABC$, $b=20$, $m(\angle B)=110^{\circ }$ și $m(\angle A)=25^{\circ }$. Calculează $a$ ($\sin 110^{\circ }\approx 0,9397$, $\sin 25^{\circ }\approx 0,4226$).

11. În triunghiul $ABC$, $a=5$, $b=8$ și $m(\angle B)=120^{\circ }$. Calculează $\sin A$ și explică de ce unghiul $A$ nu poate fi obtuz.

12. În triunghiul $ABC$, $c=14$, $m(\angle C)=45^{\circ }$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculează $a$.

13. În triunghiul $ABC$, $a=4$, $b=6$ și $c=8$. Arată, fără să calculezi niciun unghi, că $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{2}{3}$.

14. (Problemă aplicată.) O velă triunghiulară are latura $BC=4$ m, iar unghiurile $m(\angle A)=40^{\circ }$ și $m(\angle B)=65^{\circ }$. Cât măsoară latura $AC$? ($\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$, $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$.)

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $BC=6$, $m(\angle A)=45^{\circ }$ și $m(\angle B)=30^{\circ }$. Calculați $AC$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=10$, $m(\angle C)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculați $AC$.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-un triunghi $\sin A=\sin B$, atunci triunghiul este isoscel."

18. (Provocare.) Notând cu $k$ valoarea comună a rapoartelor din teorema sinusurilor, arată că

$$\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=k.$$

Răspunsuri și explicații

1. $b=\frac{10\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{2}\approx 14,14$. Cum $B>A$, era de așteptat $b>a$ ✓.

2. $b=\frac{6\cdot 1}{\frac{1}{2}}=12$. Latura $b$ este ipotenuza, iar cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ea.

3. $c=\frac{12\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{6}\approx 9,80$.

4. $b=\frac{12\sin 45^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{6}\approx 9,80$. Rezultatul coincide cu cel de la exercițiul $3$, pentru că $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }$.

5. $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\approx 0,6186$, deci $m(\angle B)\approx 38,2^{\circ }$. Varianta obtuză se respinge: $b<a$, deci $B<A=60^{\circ }$.

6. $b=\frac{15\cdot 0,8192}{0,5736}\approx 21,42$.

7. Adevărat. Din teorema sinusurilor, $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$. Dacă $A>B$, atunci: fie $A\le 90^{\circ }$ și, sinusul fiind crescător pe $(0^{\circ },90^{\circ }]$, avem $\sin A>\sin B$; fie $A>90^{\circ }$, caz în care $B<180^{\circ }-A<90^{\circ }$ și $\sin B<\sin (180^{\circ }-A)=\sin A$. În ambele situații $\sin A>\sin B$, deci $a>b$.

8. $a:b:c=\sin 30^{\circ }:\sin 60^{\circ }:\sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1$. Înmulțind toți termenii cu $2$, raportul devine $1:\sqrt{3}:2$.

9. $c=\frac{9\cdot 0,9659}{0,5}\approx 17,39$. (Al treilea unghi are $45^{\circ }$, iar latura $b$ ar fi $9\sqrt{2}\approx 12,73$; ordinea $9<12,73<17,39$ respectă ordinea unghiurilor $30^{\circ }<45^{\circ }<105^{\circ }$ ✓.)

10. $a=\frac{20\cdot 0,4226}{0,9397}\approx 8,99$.

11. $\sin A=\frac{5\sin 120^{\circ }}{8}=\frac{5\sqrt{3}}{16}\approx 0,5413$, deci $m(\angle A)\approx 32,8^{\circ }$. Unghiul $A$ nu poate fi obtuz, pentru că într-un triunghi există cel mult un unghi obtuz, iar acesta este deja $B=120^{\circ }$; altfel suma unghiurilor ar depăși $180^{\circ }$.

12. $a=\frac{14\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{14\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=7\sqrt{6}\approx 17,15$.

13. Din teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, de unde $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{a}{b}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Raportul sinusurilor este raportul laturilor opuse; unghiurile nu au fost necesare.

14. Latura $BC=a=4$ este opusă unghiului $A=40^{\circ }$, iar $AC=b$ este opusă unghiului $B=65^{\circ }$:

$$b=\frac{4\cdot 0,9063}{0,6428}\approx 5,64\text{m}.$$

15. $AC=b=\frac{6\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\approx 4,24$.

16. $AB=c=10$ este opusă unghiului $C=30^{\circ }$, iar $AC=b$ este opusă unghiului $B=45^{\circ }$:

$$b=\frac{10\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{2}\approx 14,14.$$

17. Adevărat. Din $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ și $\sin A=\sin B$ rezultă imediat $a=b$, deci triunghiul este isoscel. Observație: în general, $\sin A=\sin B$ nu obligă la $A=B$ (poate fi $B=180^{\circ }-A$), dar într-un triunghi acest al doilea caz ar da $A+B=180^{\circ }$, imposibil.

18. Notăm $k$ valoarea comună, deci $a=k\sin A$, $b=k\sin B$, $c=k\sin C$. Adunând,

$$a+b+c=k(\sin A+\sin B+\sin C),$$

iar suma sinusurilor este strict pozitivă (toate cele trei sinusuri sunt pozitive), deci putem împărți:

$$\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=k.■$$

Este proprietatea „șirului de rapoarte egale": dacă mai multe fracții sunt egale, raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor are aceeași valoare.

De reținut

• Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, valabilă în orice triunghi. Latura și unghiul dintr-un raport sunt mereu opuse.
• Ca să pornești ai nevoie de o pereche completă: o latură plus unghiul din fața ei. Dacă știi două unghiuri, al treilea se află din suma de $180^{\circ }$.
• Latura necunoscută: $b=\frac{a\sin B}{\sin A}$. Sinusul unghiului necunoscut: $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$.
• Laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse, deci ordinea laturilor este aceeași cu ordinea unghiurilor: laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.
• Când afli un unghi prin sinusul lui, ține minte că $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$: pot exista două variante. Dacă latura opusă unghiului cunoscut este cea mai mare, varianta e unică.

Greșeli frecvente

• Se pun în același raport o latură și un unghi alăturat. Se scrie $\frac{a}{\sin B}$ în loc de $\frac{a}{\sin A}$. Verifică de fiecare dată că litera mare și litera mică din raport sunt aceeași literă.
• Se aplică teorema sinusurilor la date de tip „două laturi și unghiul dintre ele". Acolo nu există pereche completă; se pornește cu teorema cosinusului.
• Se uită al treilea unghi. Când datele sunt o latură și două unghiuri, dar unghiul opus laturii cunoscute nu e printre ele, primul pas este suma de $180^{\circ }$, nu teorema.
• Se ia doar soluția ascuțită a ecuației $\sin B=k$. Calculatorul dă întotdeauna unghiul ascuțit; suplementul lui poate fi la fel de valabil. Verifică dacă suma cu celelalte unghiuri rămâne sub $180^{\circ }$.
• Se amestecă gradele cu radianii. Dacă $\sin 30$ nu iese $0,5$ pe calculator, ești pe radiani și toate rezultatele vor fi greșite.

Aplică acasă

1. Măsoară un obiect inaccesibil. Alege un copac sau un stâlp de care nu te poți apropia. Marchează pe sol două puncte $A$ și $B$ la o distanță cunoscută (numără pași și măsoară un pas cu ruleta) și, cu o aplicație de raportor din telefon, măsoară din fiecare punct unghiul dintre direcția $AB$ și direcția către obiect. Află al treilea unghi din suma de $180^{\circ }$, apoi calculează distanțele cu teorema sinusurilor.

2. Verifică teorema pe desenul tău. Desenează un triunghi oarecare pe o coală, măsoară cu rigla cele trei laturi și cu raportorul cele trei unghiuri. Calculează cele trei rapoarte $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$, $\frac{c}{\sin C}$ și compară-le. Cât de mari sunt diferențele și de unde crezi că vin?

3. Tabelul de buzunar. Fă-ți un mic tabel cu sinusurile unghiurilor din $5$ în $5$ grade, de la $5^{\circ }$ la $175^{\circ }$, folosind și proprietatea $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$ ca să nu scrii de două ori aceleași valori. Ține-l în penar și rezolvă cu el, fără calculator, exercițiile $6$, $9$, $10$ și $14$ din lecție.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a doua relație fundamentală a unității „Aplicații ale trigonometriei în geometrie". Programa de trunchi comun cere teorema fără demonstrație, motiv pentru care textul insistă pe enunț, pe verificarea lui în cazuri particulare (triunghi dreptunghic, triunghi echilateral, un exemplu numeric) și pe folosirea corectă, nu pe raționamentul cu unghiuri înscrise. Elevii care vor demonstrația completă o găsesc, cu link, în lecția corespunzătoare de clasa a IX-a.

Întrebări bune de control: „Ce trebuie să știu ca să pot porni cu teorema sinusurilor?" (o latură și unghiul opus ei); „Ce fac dacă am două laturi și unghiul dintre ele?" (folosesc teorema cosinusului); „De ce laturii mai mari i se opune unghiul mai mare?" (laturile sunt proporționale cu sinusurile, iar în triunghi unghiul mai mare are sinusul mai mare); „Când $\sin B=0,5$, cât are unghiul $B$?" (poate fi $30^{\circ }$ sau $150^{\circ }$ — trebuie discuție). Semne că a înțeles: identifică din reflex perechea latură–unghi opus, verifică plauzibilitatea rezultatului comparând ordinea laturilor cu ordinea unghiurilor și nu confundă niciodată litera mică cu litera mare din același raport.

La Bacalaureat, cerințele tipice sunt „calculați lungimea laturii $AC$" sau „calculați $\sin B$", pornind de la o latură și unul-două unghiuri. Punctajul se dă pe scrierea corectă a proporției, nu doar pe rezultat, așa că merită exersat scrisul complet: raportul, înlocuirea valorilor, calculul. Lecția se continuă direct cu teorema sinusurilor și raza cercului circumscris, unde valoarea comună a rapoartelor primește un nume geometric.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema sinusurilor? În orice triunghi, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este același pentru toate cele trei laturi: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

Când folosesc teorema sinusurilor și când teorema cosinusului? Teorema sinusurilor, când printre date există o latură împreună cu unghiul opus ei. Teorema cosinusului, când ai trei laturi sau două laturi și unghiul dintre ele.

Cum aflu o latură dacă știu doar o latură și două unghiuri? Dacă unghiul opus laturii cunoscute este printre cele date, aplici direct $b=\frac{a\sin B}{\sin A}$. Dacă nu, afli întâi al treilea unghi din suma de $180^{\circ }$ și abia apoi aplici teorema.

De ce teorema funcționează și în triunghiul obtuzunghic? Pentru că sinusul este pozitiv pe tot intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$: chiar dacă un unghi trece de $90^{\circ }$, sinusul lui rămâne un număr pozitiv, deci raportul are sens și își păstrează valoarea.

De ce ecuația $\sin B=0,6$ poate da două unghiuri? Pentru că unghiurile suplementare au același sinus: $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$. Calculatorul îți dă doar varianta ascuțită; pe cea obtuză trebuie s-o iei în calcul singur și s-o accepți sau s-o respingi după suma unghiurilor.

Cum obțin valorile sinusului dacă unghiul nu e „frumos"? Din tabelele trigonometrice sau cu un instrument digital (calculator științific, foaie de calcul, telefon). Programa permite explicit acest lucru; important este să lucrezi în grade și să rotunjești doar la final.

Teorema sinusurilor se poate folosi ca să aflu aria unui triunghi? Nu direct — pentru arie există o formulă proprie, cu sinusul unghiului dintre două laturi, pe care o vei studia în lecția despre aria triunghiului. Teorema sinusurilor te ajută însă să afli mai întâi laturile sau unghiurile care lipsesc din formula ariei.

Unde se folosește teorema sinusurilor în viața reală? În topografie și cartografie (măsurarea distanțelor inaccesibile prin triangulație), în navigație maritimă și aeriană, în astronomie și în orice situație în care poți măsura direcții, dar nu poți întinde ruleta.