Cum aflu raportul laturilor din unghiuri?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema sinusurilor

Din teorema sinusurilor, laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse: $a : b : c = sin A : sin B : sin C$ . Exemplu: unghiurile $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{3}$ și $\frac{π}{2}$ au sinusurile $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{2}$ și $1$ , deci laturile sunt în raportul $1 : 3 : 2$ . Laturile nu sunt proporționale cu unghiurile înseși, care aici sunt în raportul $1 : 2 : 3$ .

Teorema sinusurilor spune că, în orice triunghi $A B C$ , rapoartele $\frac{a}{sin A}$ , $\frac{b}{sin B}$ și $\frac{c}{sin C}$ sunt egale. Fiecare raport pune o latură lângă unghiul care o privește din vârful opus, iar valoarea lor comună este o lungime.

Relația pornește de la o latură cunoscută împreună cu unghiul cunoscut din fața ei. Dacă enunțul dă o latură și două unghiuri oarecare, afli întâi al treilea unghi din suma lor, egală cu $π$ . Dacă dă două laturi și unghiul cuprins între ele, pornești cu teorema cosinusului.

Pentru o latură necunoscută scrii proporția și izolezi termenul lipsă; în numărător apar latura dată și sinusul unghiului opus laturii căutate. Când afli un unghi prin sinusul lui, verifici că răspunsul e unic: se întâmplă dacă unghiul se opune laturii mai scurte din pereche ori dacă alt unghi al triunghiului e deja obtuz.

Unghiurile de $1 5^{\circ}$ , $7 5^{\circ}$ sau $10 5^{\circ}$ nu au la profilul de științe valori exacte, deci le iei din tabel. Controlul final: ordinea laturilor trebuie să fie ordinea unghiurilor opuse.

De reținut

$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$
$a : b : c = sin A : sin B : sin C$
latura mai mare stă în fața unghiului mai mare

Greșeala tipică

Se scrie că laturile sunt proporționale cu unghiurile, $a : b : c = 1 : 2 : 3$ pentru unghiurile $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{2}$ ; proporționalitatea este cu sinusurile, deci $1 : 3 : 2$ .

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ , care raport este egal cu $\frac{A C}{sin B}$ ?
- a) $\frac{A B}{sin B}$
- b) $\frac{A B}{sin C}$
- c) $\frac{B C}{sin C}$
- d) $\frac{A C}{sin A}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{A B}{sin C}$

Latura $A B$ stă în fața unghiului $C$ , deci $\frac{A B}{sin C}$ este tot un raport al teoremei.
În triunghiul $A B C$ , $B C = 7$ , $A = \frac{π}{4}$ și $B = \frac{π}{2}$ . Cât este $A C$ ?
- a) $\frac{7 2}{2}$
- b) $7$
- c) $14$
- d) $72$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $72$

$A C = \frac{B C sin B}{sin A} = \frac{7 \cdot 1}{\frac{2}{2}} = 72$ : latura din fața unghiului drept este ipotenuza.
În triunghiul $A B C$ , $a = 9$ , $b = 6$ și $A = \frac{5 π}{6}$ . Cât este $sin B$ ?
- a) $\frac{1}{3}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{2}{3}$
- d) $\frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{3}$

$sin B = \frac{b sin A}{a} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{9} = \frac{1}{3}$ ; unghiul $A$ fiind obtuz, $B$ este ascuțit.

Întrebări conexe

Cât de departe este o insulă văzută din două puncte ale țărmului?

Punctele $A$ și $B$ sunt la $1$ km unul de altul, iar insula se vede sub $6 0^{\circ}$ din $A$ și $7 5^{\circ}$ din $B$ . Unghiul din insulă are $4 5^{\circ}$ . Distanța de la $A$ este $\frac{1 \cdot s i n 7 5 ^{\circ}}{s i n 4 5 ^{\circ}} \approx \frac{0 , 9659}{0 , 7071} \approx 1, 37$ km.

Cum aflu un unghi cu teorema sinusurilor când știu două laturi?

Pentru $a = 10$ , $b = 6$ și $A = \frac{π}{3}$ , $sin B = \frac{6 \cdot \frac{3}{2}}{10} \approx 0, 520$ , deci $B \approx 31, 3^{\circ}$ . Varianta obtuză este exclusă, pentru că $b < a$ și unghiul $B$ trebuie să fie mai mic decât $A$ .

Cum aflu perimetrul unui triunghi dacă știu unghiurile și o latură?

Cu $A = \frac{π}{6}$ , $B = \frac{π}{3}$ , $C = \frac{π}{2}$ și $a = 5$ , raportul comun este $\frac{5}{s i n \frac{π}{6}} = 10$ . Atunci $b = 10 \cdot \frac{3}{2} = 53$ și $c = 10$ . Perimetrul este $15 + 53 \approx 23, 66$ . Verificare: $5^{2} + (53)^{2} = 25 + 75 = 100 = c^{2}$ , cum cere unghiul drept. Latura cea mai lungă, $10$ , stă în fața unghiului cel mai mare.

Ce latură rezultă dacă unghiurile sunt date în radiani, ca $\frac{π}{4}$ și $\frac{π}{3}$ ?

Teorema se aplică la fel, fiindcă sinusul are aceeași valoare pentru un unghi exprimat în grade sau în radiani. Cu $a = 4$ opus lui $\frac{π}{4}$ , latura opusă lui $\frac{π}{3}$ este $b = \frac{4 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2}{2}} = 26 \approx 4, 90$ .

Cum arăt că $\frac{a}{b} = \frac{s i n A}{s i n B}$ într-un triunghi?

Pornești de la egalitatea $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ din teorema sinusurilor și înmulțești în cruce: $a sin B = b sin A$ . Împarți apoi la $b sin B$ , nenul într-un triunghi, și obții $\frac{a}{b} = \frac{s i n A}{s i n B}$ . Relația scurtează calculele cu rapoarte de laturi din triunghiurile oarecare.

Oamenii mai întreabă și: laturile proporționale cu sinusurile · raportul laturilor unui triunghi · a supra b egal sin A supra sin B · laturi și unghiuri opuse