Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris: pe scurt

Valoarea comună a celor trei rapoarte din teorema sinusurilor nu este un număr oarecare: este exact diametrul cercului circumscris triunghiului. Forma completă a teoremei este $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, unde $R$ este raza cercului care trece prin cele trei vârfuri.

De aici rezultă direct $R=\frac{a}{2\sin A}$: raza se calculează dintr-o singură pereche latură–unghi opus, fără să construiești centrul cercului cu mediatoare. Drumul invers, $a=2R\sin A$, dă o consecință utilă — nicio latură a triunghiului nu poate depăși diametrul, $a\le 2R$.

Două cazuri particulare merită reținute: în triunghiul dreptunghic, ipotenuza este chiar diametrul, deci $R=\frac{\text{ipotenuza˘}}{2}$; în triunghiul echilateral cu latura $\ell$, $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$.

Greșeala cea mai frecventă este confuzia dintre $R$ și $2R$ — se scrie $R=\frac{a}{\sin A}$, iar rezultatul iese dublu față de cel corect; verifică mereu cu $a\le 2R$. Altă capcană: la extragerea lui $\sin A$ din formula fundamentală, se păstrează doar valoarea pozitivă, pentru că sinusul unui unghi de triunghi este întotdeauna pozitiv.

Exerciții din această mini-lecție

1. Forma completă a teoremei sinusurilor este:

   • a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
   • b) $a\cdot \sin A=2R$
   • c) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=R$
   • d) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{R}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

   Raportul comun din teorema sinusurilor este egal cu diametrul cercului circumscris, $2R$, nu cu raza.

2. Într-un triunghi dreptunghic, raza cercului circumscris este:

   • a) egală cu ipotenuza
   • b) jumătate din ipotenuză
   • c) o treime din ipotenuză
   • d) egală cu o catetă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) jumătate din ipotenuză

   Ipotenuza este diametrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic, deci raza este jumătate din ipotenuză.

3. Care este consecința relației $a\le 2R$ pentru laturile unui triunghi?

   • a) diametrul este mai mic decât orice latură
   • b) toate laturile sunt egale cu raza
   • c) nicio latură nu poate depăși diametrul cercului circumscris
   • d) raza este mai mare decât orice latură
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nicio latură nu poate depăși diametrul cercului circumscris

   Din $a=2R\sin A$ și $\sin A\le 1$, rezultă $a\le 2R$ pentru orice latură a triunghiului.