Cum aflu raza unui crater din trei puncte?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Raza cercului circumscris

Trei repere de pe marginea craterului formează un triunghi, iar marginea este cercul lui circumscris, cu raza $R = \frac{a}{2 s i n A}$ . Dacă știi doar laturile, afli întâi cosinusul unui unghi, apoi sinusul lui. Exemplu: reperele sunt la $13$ , $14$ și $15$ m unul de altul. Unghiul opus laturii $13$ are $cos A = \frac{196 + 225 - 169}{420} = \frac{3}{5}$ , deci $sin A = \frac{4}{5}$ și $R = \frac{13}{2 \cdot \frac{4}{5}} = 8, 125$ m.

Prin cele trei vârfuri ale oricărui triunghi trece un singur cerc, numit cerc circumscris; centrul se găsește acolo unde se întâlnesc mediatoarele laturilor, iar raza se notează $R$ . Forma completă a teoremei sinusurilor arată că valoarea comună a rapoartelor este diametrul: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ . Factorul $2$ vine din unghiul la centru, care este dublul unghiului înscris ce privește aceeași coardă.

Din o singură pereche latură–unghi opus afli raza cu $R = \frac{a}{2 sin A}$ și, invers, o latură cu $a = 2 R sin A$ . Când cunoști doar laturile, afli cosinusul unui unghi, apoi sinusul lui pozitiv din formula fundamentală și abia după aceea raza.

Două controale scurte prind aproape toate greșelile: nicio latură nu depășește diametrul, iar egalitatea $a = 2 R$ apare doar în fața unui unghi drept; două perechi diferite trebuie să dea aceeași rază. La profilul de științe, programa cere și verificarea razei cu un program de geometrie: desenezi cercul prin trei puncte și citești raza din ecuația lui, ca rădăcină a numărului din dreapta.

De reținut

$\frac{a}{s i n A} = 2 R$ , deci $R = \frac{a}{2 s i n A}$
din trei laturi: $cos A$ , apoi $sin A > 0$ , apoi $R$
nicio latură nu depășește diametrul $2 R$

Greșeala tipică

Se scrie $R = \frac{a}{s i n A}$ , uitând factorul $2$ ; valoarea comună a rapoartelor este diametrul, deci raza este jumătate din ea.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un triunghi, $a = 14$ și $sin A = 0, 7$ . Cât este raza cercului circumscris?
- a) $20$
- b) $10$
- c) $5$
- d) $9, 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

$R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{14}{1 , 4} = 10$ .
Cercul circumscris triunghiului $A B C$ are $R = 5$ , iar $B = \frac{2 π}{3}$ . Cât este $b$ ?
- a) $5$
- b) $103$
- c) $\frac{5 3}{2}$
- d) $53$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $53$

$b = 2 R sin B = 10 \cdot \frac{3}{2} = 53$ .
Un program de geometrie afișează, pentru cercul prin vârfurile unui triunghi, ecuația $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 18$ . Cât este raza cercului circumscris?
- a) $32$
- b) $18$
- c) $9$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $32$

Numărul din dreapta este $R^{2}$ , deci $R = 18 = 32$ .

Întrebări conexe

Ce rază are cercul prin punctele $A (1, 1)$ , $B (7, 1)$ și $C (1, 9)$ ?

Laturile $A B$ și $A C$ sunt paralele cu axele, deci unghiul din $A$ este drept. Ipotenuza $B C = 36 + 64 = 10$ este diametru, așa că $R = 5$ , iar centrul este mijlocul lui $B C$ , punctul $(4, 5)$ . Verificare: distanța de la $(4, 5)$ la $A$ este $9 + 16 = 5$ .

Poate o latură a triunghiului să fie mai lungă decât diametrul cercului circumscris?

Nu. Din $a = 2 R sin A$ și $sin A \leq 1$ rezultă $a \leq 2 R$ , cu egalitate doar când unghiul opus este drept. Dacă un calcul dă o latură mai mare decât diametrul, raza sau latura sunt greșite. În modelul de bacalaureat M2 pentru 2026, Subiectul I cere o catetă dintr-un triunghi dreptunghic cu raza cercului circumscris dată.

Ce rază are cercul circumscris unui triunghi echilateral cu latura $6$ ?

Toate unghiurile au $\frac{π}{3}$ , deci $R = \frac{6}{2 s i n \frac{π}{3}} = \frac{6}{3} = 23 \approx 3, 46$ . Aceeași valoare rezultă din faptul că centrul este la două treimi din înălțime: $\frac{2}{3} \cdot 33 = 23$ . În triunghiul echilateral, centrul cercului circumscris coincide cu centrul de greutate.

De ce apare factorul $2$ în $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ ?

Unghiul la centru care privește coarda $B C$ este dublul unghiului înscris $A$ . În triunghiul isoscel format de centru cu $B$ și $C$ , jumătatea coardei este $R sin A$ , deci $a = 2 R sin A$ . De exemplu, pentru $A = \frac{π}{6}$ coarda este egală cu raza.

Ce rază are cercul circumscris dacă $a = 10$ și unghiul opus are $cos A = - \frac{3}{5}$ ?

Chiar dacă unghiul depășește $9 0^{\circ}$ , sinusul rămâne pozitiv: $sin A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ . Atunci $R = \frac{10}{2 \cdot \frac{4}{5}} = 6, 25$ . Semnul cosinusului nu schimbă raza; arată doar că centrul cercului cade în afara triunghiului.

Oamenii mai întreabă și: raza unui crater din trei puncte de pe margine · raza cercului prin trei puncte · cercul determinat de trei puncte · diametrul unui crater măsurat pe teren

Cum aflu raza unui crater din trei puncte?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce rază are cercul prin punctele A(1,1), B(7,1) și C(1,9)?

Poate o latură a triunghiului să fie mai lungă decât diametrul cercului circumscris?

Ce rază are cercul circumscris unui triunghi echilateral cu latura 6?

De ce apare factorul 2 în sinAa​=2R?

Ce rază are cercul circumscris dacă a=10 și unghiul opus are cosA=−53​?

Continuă cu

Ce rază are cercul prin punctele $A (1, 1)$ , $B (7, 1)$ și $C (1, 9)$ ?

Ce rază are cercul circumscris unui triunghi echilateral cu latura $6$ ?

De ce apare factorul $2$ în $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ ?

Ce rază are cercul circumscris dacă $a = 10$ și unghiul opus are $cos A = - \frac{3}{5}$ ?