Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris

Un arhitect proiectează o rotondă: o clădire circulară în jurul căreia trebuie așezate trei coloane, în pozițiile marcate deja pe teren. Coloanele nu formează un triunghi echilateral și nici măcar unul isoscel, dar cercul care trece prin toate trei există și este unic. Ca să comande cofrajul, arhitectul are nevoie de raza lui. Metoda clasică — să traseze mediatoarele a două laturi, să găsească centrul și să măsoare — cere spațiu, sfoară și răbdare pe un șantier plin de moloz.

Există o scurtătură, și ea vine tot din teorema sinusurilor. Valoarea comună a celor trei rapoarte, pe care în lecția trecută am folosit-o doar ca „număr de legătură", nu este un număr oarecare: este exact diametrul cercului circumscris triunghiului. Cu o singură latură și unghiul din fața ei, arhitectul află raza dintr-o împărțire — fără mediatoare, fără centru, fără sfoară.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este cercul circumscris unui triunghi și de ce orice triunghi are unul singur.
• Vei ști să enunți forma completă a teoremei sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
• Vei ști să verifici relația în triunghiul dreptunghic și în cel echilateral, unde poți calcula totul singur.
• Vei ști să calculezi raza cercului circumscris cu formula $R=\frac{a}{2\sin A}$, dintr-o singură pereche latură–unghi opus.
• Vei ști să calculezi o latură din rază și unghiul opus, cu $a=2R\sin A$.
• Vei ști să folosești consecința $a\le 2R$: nicio latură nu poate depăși diametrul.

Hai să descoperim împreună

1. Cercul circumscris: definiție și existență

Cercul circumscris unui triunghi este cercul care trece prin cele trei vârfuri ale lui. Centrul lui se notează de obicei cu $O$, iar raza cu $R$.

De ce există întotdeauna și de ce este unic? Pentru că centrul trebuie să fie egal depărtat de cele trei vârfuri. Punctele egal depărtate de $A$ și $B$ formează mediatoarea segmentului $AB$; cele egal depărtate de $B$ și $C$ formează mediatoarea lui $BC$. Cele două mediatoare se intersectează într-un singur punct, iar acela este egal depărtat de toate trei vârfurile — deci este centrul căutat, și e unul singur.

Poziția centrului depinde de natura triunghiului, exact aceea pe care ai învățat s-o citești din laturi în lecția despre natura unui triunghi:

• în triunghiul ascuțitunghic, $O$ este în interiorul triunghiului;
• în triunghiul dreptunghic, $O$ este chiar mijlocul ipotenuzei;
• în triunghiul obtuzunghic, $O$ este în exteriorul triunghiului.

2. Enunțul complet

Teorema sinusurilor (forma completă). În orice triunghi $ABC$, notând cu $R$ raza cercului circumscris:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Reține cu litere roșii: raportul este egal cu $2R$, adică diametrul, nu cu raza. Aceasta este, an de an, greșeala numărul unu la această lecție.

Ca și în lecția precedentă, programa cere teorema fără demonstrație. O luăm deci așa: enunț, verificare pe cazuri în care putem calcula independent și, la sfârșit, motivul intuitiv pentru care nu putea ieși altfel.

3. Verificarea în triunghiul dreptunghic

Este cazul în care totul se vede cu ochiul liber. Fie triunghiul $ABC$ cu $m(\angle C)=90^{\circ }$, deci $c$ este ipotenuza.

Din teorema lui Thales despre unghiul înscris în semicerc știm că un unghi drept „stă" pe un diametru: ipotenuza este chiar diametrul cercului circumscris, iar centrul $O$ este mijlocul ei. Prin urmare $c=2R$.

Pe de altă parte, în lecția precedentă am calculat, folosind definițiile din triunghiul dreptunghic, că toate cele trei rapoarte sunt egale cu $c$. Punând cap la cap:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=c=2R.$$

Relația se verifică exact. Concret, pentru un triunghi cu catetele $6$ și $8$: ipotenuza este $10$, deci $R=5$. Verificăm și cu o altă pereche: $\sin A=\frac{6}{10}=0,6$, iar $\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{0,6}=10=2R$ ✓.

4. Verificarea în triunghiul echilateral

Fie triunghiul echilateral de latură $\ell$; toate unghiurile au $60^{\circ }$. Teorema ar da

$$2R=\frac{\ell }{\sin 60^{\circ }}=\frac{\ell }{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\ell }{\sqrt{3}}\Rightarrow R=\frac{\ell }{\sqrt{3}}=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}.$$

Verificăm independent, cu geometria din gimnaziu: în triunghiul echilateral centrul cercului circumscris coincide cu centrul de greutate, care se află pe fiecare mediană la $\frac{2}{3}$ de vârf. Cum mediana este și înălțime, are lungimea $\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$, deci

$$R=\frac{2}{3}\cdot \frac{\ell \sqrt{3}}{2}=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}.$$

Aceeași valoare, pe două drumuri complet diferite. Pentru $\ell =6$: $R=2\sqrt{3}\approx 3,46$.

5. O verificare numerică, pe un triunghi oarecare

Luăm triunghiul cu laturile $13$, $14$, $15$ și calculăm $R$ din două perechi diferite. Cu teorema cosinusului, pentru unghiul $A$ opus laturii $a=13$:

$$\cos A=\frac{14^2+15^2-13^2}{2\cdot 14\cdot 15}=\frac{196+225-169}{420}=\frac{252}{420}=\frac{3}{5}.$$

Cum unghiul unui triunghi are sinusul pozitiv, din formula fundamentală obținem $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Atunci

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{13}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{65}{8}=8,125.$$

Repetăm pentru unghiul $C$, opus laturii $c=15$: $\cos C=\frac{169+196-225}{2\cdot 13\cdot 14}=\frac{140}{364}=\frac{5}{13}$, deci $\sin C=\frac{12}{13}$ și

$$R=\frac{15}{2\cdot \frac{12}{13}}=\frac{15\cdot 13}{24}=\frac{65}{8}=8,125.$$

Exact aceeași valoare. Orice pereche latură–unghi opus duce la același cerc — ceea ce era de așteptat, pentru că cercul circumscris este unic.

6. De ce nu putea ieși altfel

Iată motivul intuitiv, în două idei.

Prima idee: unghiul nu depinde de vârf. Fixează coarda $BC$ a unui cerc și plimbă punctul $A$ pe arcul mare. Unghiul $\angle BAC$ nu se schimbă — este proprietatea unghiului înscris, cunoscută din gimnaziu. Dacă unghiul rămâne același în timp ce latura $a=BC$ rămâne și ea aceeași, atunci raportul $\frac{a}{\sin A}$ nu are cum să depindă de poziția vârfului: el este o caracteristică a cercului, nu a triunghiului.

A doua idee: cazul cel mai comod. Dintre toate pozițiile lui $A$ pe arc, există una specială — cea în care latura $AB$ trece prin centru și devine diametru. Atunci triunghiul are un unghi drept, iar din verificarea de la punctul $3$ știm că raportul este egal cu diametrul, adică $2R$. Cum raportul nu depinde de poziția lui $A$, valoarea $2R$ se păstrează pentru toate celelalte poziții.

Acestea sunt indicii, nu o demonstrație: raționamentul riguros cere discuția separată a cazurilor (unghi ascuțit, drept, obtuz) și se găsește, scris complet, în lecția de clasa a IX-a despre teorema sinusurilor.

7. Trei forme, trei întrebări

Aceeași relație se rescrie după ce cauți:

• raza izolată — $R=\frac{a}{2\sin A}$: îți trebuie doar o latură și unghiul opus ei;
• latura izolată — $a=2R\sin A$: dintr-un cerc dat și un unghi, obții latura;
• forma de proporție — $\frac{a}{\sin A}=2R$: verifici sau afli oricare dintre cele patru mărimi când le știi pe celelalte trei.

Din a doua formă iese o consecință care merită memorată. Cum $\sin A\le 1$ pentru orice unghi, avem

$$a=2R\sin A\le 2R,$$

adică nicio latură nu poate depăși diametrul cercului circumscris, iar egalitatea are loc exact când $\sin A=1$, adică $A=90^{\circ }$. În limbaj de cerc: cea mai lungă coardă a unui cerc este diametrul. Este un test de plauzibilitate excelent — dacă îți iese $R$ mai mic decât jumătate din cea mai mare latură, ai greșit undeva.

8. Rețeta, în trei pași

1. Caută o pereche completă: o latură și unghiul opus ei. Dacă unghiul lipsește, dar ai cele trei laturi, îl obții cu teorema cosinusului (mai exact: obții cosinusul, apoi sinusul din formula fundamentală).
2. Împarte: $R=\frac{a}{2\sin A}$.
3. Verifică: cea mai mare latură trebuie să fie cel mult $2R$.

Exemplu rapid. $a=6$, $m(\angle A)=150^{\circ }$. Atunci $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci $R=\frac{6}{2\cdot \frac{1}{2}}=6$. Un unghi foarte obtuz „vede" o coardă scurtă dintr-un cerc mare — și, într-adevăr, $6\le 12=2R$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Raza dintr-o singură pereche

În triunghiul $ABC$, $a=8$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Calculați raza cercului circumscris.

Rezolvare. Perechea $(a,A)$ este completă, deci aplicăm direct:

$$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{8}{\sin 30^{\circ }}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16\Rightarrow R=8.$$

Observă că celelalte elemente ale triunghiului nu au fost necesare: o singură pereche determină complet cercul circumscris. Control: $a=8\le 16=2R$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Triunghiul dreptunghic, pe scurtătură

Un triunghi dreptunghic are catetele de $6$ și $8$. Calculați raza cercului circumscris.

Rezolvare. Ipotenuza este $\sqrt{36+64}=10$. Cum unghiul drept este opus ipotenuzei, iar $\sin 90^{\circ }=1$:

$$2R=\frac{10}{\sin 90^{\circ }}=10\Rightarrow R=5.$$

Deci $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$ — regula pe care o știai din gimnaziu, regăsită acum ca un caz particular al teoremei. $■$

Exemplul 3 — Drumul invers: latura din rază

Un triunghi este înscris într-un cerc de rază $R=4$ și are un unghi de $60^{\circ }$. Calculați latura opusă acestui unghi. Ce se întâmplă dacă triunghiul este echilateral?

Rezolvare. Din $a=2R\sin A$:

$$a=2\cdot 4\cdot \sin 60^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\approx 6,93.$$

Dacă triunghiul este echilateral, toate unghiurile au $60^{\circ }$, deci toate laturile sunt egale cu $4\sqrt{3}$. Verificare cu formula dedusă mai devreme: $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{12}{3}=4$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Când unghiul trebuie aflat mai întâi

Triunghiul $ABC$ are laturile $a=13$, $b=14$, $c=15$. Calculați raza cercului circumscris.

Rezolvare. Nu avem niciun unghi, deci nicio pereche completă. O construim cu teorema cosinusului:

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{196+225-169}{420}=\frac{3}{5}.$$

Sinusul unui unghi de triunghi este pozitiv, deci $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$. Atunci

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{13}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{65}{8}=8,125.$$

Reține lanțul: laturi → cosinus → sinus → rază. Este cel mai frecvent traseu de la Bacalaureat. Control: cea mai mare latură este $15\le 16,25=2R$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Un triunghi isoscel

Triunghiul $ABC$ are $AB=AC=5$ și $BC=6$. Calculați raza cercului circumscris.

Rezolvare. Cu notațiile obișnuite, $a=BC=6$, $b=c=5$. Teorema cosinusului pentru unghiul $A$:

$$\cos A=\frac{25+25-36}{2\cdot 5\cdot 5}=\frac{14}{50}=\frac{7}{25},\sin A=\sqrt{1-\frac{49}{625}}=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}.$$

Prin urmare

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{6}{2\cdot \frac{24}{25}}=\frac{6\cdot 25}{48}=\frac{25}{8}=3,125.$$

Control: $\cos A>0$, deci $A$ este ascuțit — se potrivește cu criteriul din laturi, $25+25=50>36$. Iar cea mai mare latură, $6$, este sub $2R=6,25$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se știe că $AB=3$, $AC=5$ și $BC=7$. a) Arătați că $m(\angle A)=120^{\circ }$. b) Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Rezolvare. Notațiile: $a=BC=7$, $b=AC=5$, $c=AB=3$.

a) Din teorema cosinusului,

$$\cos A=\frac{25+9-49}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2},$$

iar singurul unghi din $(0^{\circ },180^{\circ })$ cu cosinusul $-\frac{1}{2}$ este $120^{\circ }$. Deci $m(\angle A)=120^{\circ }$.

b) $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx 4,04.$$

Control: $2R\approx 8,08\ge 7$ ✓ — latura opusă unui unghi obtuz este mare, dar tot sub diametru. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu scrie mai întâi ce pereche latură–unghi opus folosești și nu uita că raportul dă diametrul. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă.

1. În triunghiul $ABC$, $a=8$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Calculează $2R$ și $R$.

2. În triunghiul $ABC$, $a=10$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. Calculează raza cercului circumscris.

3. Calculează raza cercului circumscris unui triunghi echilateral cu latura $6$.

4. Calculează raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic cu catetele $6$ și $8$.

5. Raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este $R=5$, iar $m(\angle A)=30^{\circ }$. Calculează $a$.

6. În triunghiul $ABC$, $a=12$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculează $R$.

7. În triunghiul $ABC$, $a=6$ și $m(\angle A)=150^{\circ }$. Calculează $R$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Raportul $\frac{a}{\sin A}$ este egal cu raza cercului circumscris triunghiului."

9. Un triunghi este înscris într-un cerc de rază $5$ și are o latură de $10$. Arată că triunghiul este dreptunghic.

10. În triunghiul $ABC$ cu $a=13$, $b=14$, $c=15$ se știe că $\sin A=\frac{4}{5}$. Calculează $R$.

11. În triunghiul $ABC$, $a=9$ și $m(\angle A)=40^{\circ }$. Calculează $R$, folosind $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$.

12. Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $4$. Calculează latura triunghiului.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un triunghi, nicio latură nu poate fi mai lungă decât diametrul cercului circumscris."

14. (Problemă aplicată.) Trei copaci $A$, $B$, $C$ dintr-un parc trebuie înconjurați de o alee circulară care trece prin toți trei. Se măsoară $BC=24$ m și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Ce rază va avea aleea?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $BC=10$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=3$, $AC=5$ și $BC=7$. a) Arătați că $m(\angle A)=120^{\circ }$. b) Calculați raza cercului circumscris.

17. Triunghiul $ABC$ are $AB=AC=5$ și $BC=6$. Calculează raza cercului circumscris.

18. (Provocare.) Folosind $a=2R\sin A$, arată că $a\le 2R$ pentru orice latură și că egalitatea are loc dacă și numai dacă unghiul opus este drept. Ce spune acest rezultat despre coardele unui cerc?

Răspunsuri și explicații

1. $2R=\frac{8}{\sin 30^{\circ }}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16$, deci $R=8$. Latura este egală cu raza — firesc, pentru că un unghi de $30^{\circ }$ „vede" o coardă cât raza.

2. $2R=\frac{10}{\sin 45^{\circ }}=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10\sqrt{2}$, deci $R=5\sqrt{2}\approx 7,07$.

3. Toate unghiurile au $60^{\circ }$, deci $2R=\frac{6}{\sin 60^{\circ }}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$ și $R=2\sqrt{3}\approx 3,46$. (Formula generală: $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$.)

4. Ipotenuza este $10$, iar unghiul drept îi este opus: $2R=\frac{10}{1}=10$, deci $R=5$. Raza este jumătate din ipotenuză.

5. $a=2R\sin A=10\cdot \frac{1}{2}=5$.

6. $2R=\frac{12}{\sin 60^{\circ }}=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}$, deci $R=4\sqrt{3}\approx 6,93$.

7. $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci $2R=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$ și $R=6$.

8. Fals. Raportul este egal cu diametrul, adică $2R$, nu cu raza. Verificare imediată în triunghiul dreptunghic: acolo raportul este egal cu ipotenuza, care este chiar diametrul cercului circumscris.

9. Fie $a=10$ latura dată. Din $a=2R\sin A$ obținem $\sin A=\frac{10}{2\cdot 5}=1$, iar singurul unghi din $(0^{\circ },180^{\circ })$ cu sinusul $1$ este $90^{\circ }$. Deci triunghiul este dreptunghic, iar latura de $10$ este chiar diametrul.

10. $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{13}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{65}{8}=8,125$.

11. $R=\frac{9}{2\cdot 0,6428}=\frac{9}{1,2856}\approx 7,00$.

12. $\ell =2R\sin 60^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\approx 6,93$.

13. Adevărat. Din $a=2R\sin A$ și $\sin A\le 1$ rezultă $a\le 2R$. Geometric: latura este o coardă a cercului circumscris, iar cea mai lungă coardă a unui cerc este diametrul.

14. Perechea completă este $(BC,A)$, cu $a=24$ și $A=60^{\circ }$:

$$2R=\frac{24}{\sin 60^{\circ }}=\frac{48}{\sqrt{3}}=16\sqrt{3}\Rightarrow R=8\sqrt{3}\approx 13,86\text{m}.$$

15. $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{10}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\approx 7,07$.

16. a) Cu $a=7$, $b=5$, $c=3$: $\cos A=\frac{25+9-49}{30}=-\frac{1}{2}$, deci $m(\angle A)=120^{\circ }$. b) $R=\frac{7}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx 4,04$.

17. Cu $a=6$, $b=c=5$: $\cos A=\frac{25+25-36}{50}=\frac{7}{25}$ și $\sin A=\frac{24}{25}$, deci

$$R=\frac{6}{2\cdot \frac{24}{25}}=\frac{25}{8}=3,125.$$

18. Pentru orice unghi $A$ al unui triunghi avem $0<\sin A\le 1$, deci $a=2R\sin A\le 2R\cdot 1=2R$. Egalitatea are loc dacă și numai dacă $\sin A=1$, adică $A=90^{\circ }$ (singura soluție din intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$). Cum orice latură a triunghiului este o coardă a cercului circumscris și, reciproc, orice coardă poate fi latură a unui triunghi înscris, rezultatul spune că cea mai lungă coardă a unui cerc este diametrul, iar ea se „vede" din orice alt punct al cercului sub un unghi drept — chiar teorema lui Thales. $■$

De reținut

• Cercul circumscris trece prin cele trei vârfuri; centrul lui este intersecția mediatoarelor, iar raza se notează $R$. Orice triunghi are exact un astfel de cerc.
• Forma completă a teoremei sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Raportul este diametrul, nu raza.
• $R=\frac{a}{2\sin A}$: raza se calculează dintr-o singură pereche latură–unghi opus, fără să construiești centrul. Orice pereche dă același rezultat.
• $a=2R\sin A$: drumul invers, de la cerc la latură. De aici $a\le 2R$, cu egalitate exact când unghiul opus este drept.
• În triunghiul dreptunghic, ipotenuza este diametrul, deci $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$; în cel echilateral de latură $\ell$, $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$.

Greșeli frecvente

• Se confundă $R$ cu $2R$. Se scrie $R=\frac{a}{\sin A}$ în loc de $R=\frac{a}{2\sin A}$, iar rezultatul iese dublu. Verifică mereu cu regula $a\le 2R$.
• Se caută centrul înainte de a calcula. Construcția mediatoarelor nu e necesară: formula ocolește complet centrul.
• Se pornește fără pereche completă. Dacă știi doar cele trei laturi, trebuie mai întâi teorema cosinusului pentru un cosinus, apoi formula fundamentală pentru sinus, și abia pe urmă împărțirea.
• Se ia sinusul negativ la extragerea rădăcinii. Din ${\sin }^{2}A=k$ ies două valori, dar unghiul unui triunghi are întotdeauna sinusul pozitiv; se păstrează doar valoarea pozitivă.
• Se crede că unghiul obtuz dă rază mică. Dimpotrivă: cu cât unghiul e mai aproape de $180^{\circ }$, cu atât sinusul lui e mai mic și raza iese mai mare pentru aceeași latură.

Aplică acasă

1. Cercul prin trei puncte. Desenează pe o coală un triunghi oarecare. Măsoară cu rigla o latură și cu raportorul unghiul opus ei, apoi calculează $R=\frac{a}{2\sin A}$. Construiește după aceea mediatoarele a două laturi, găsește centrul, măsoară raza reală și compară. Repetă calculul cu celelalte două perechi latură–unghi: cât de aproape sunt cele trei valori?

2. Farfuria și triunghiul. Așază trei obiecte mici pe masă, în triunghi, și încearcă să găsești o farfurie sau un capac rotund care să treacă exact prin toate trei. Măsoară o latură și unghiul opus, calculează diametrul $2R$ și compară-l cu diametrul farfuriei alese. Ai nimerit din prima?

3. Rotonda din cartier. Caută pe o hartă digitală un sens giratoriu sau o piațetă circulară. Alege trei puncte de pe marginea lui, măsoară cu instrumentul hărții o distanță dintre două dintre ele și unghiul sub care se vede din al treilea, apoi calculează raza. Compară cu raza citită direct pe hartă.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide perechea de teoreme fundamentale ale unității, adăugând teoremei sinusurilor interpretarea ei geometrică: valoarea comună a rapoartelor este diametrul cercului circumscris. Programa de trunchi comun cere teorema fără demonstrație, așa că textul o verifică pe cazurile în care elevul poate calcula independent (triunghiul dreptunghic, prin teorema lui Thales; triunghiul echilateral, prin centrul de greutate; un triunghi numeric, din două perechi diferite) și explică intuitiv de ce raportul nu poate depinde de vârful ales. Demonstrația riguroasă rămâne accesibilă prin link, în lecția de clasa a IX-a.

Întrebări bune de control: „Cât este $\frac{a}{\sin A}$?" (diametrul, $2R$, nu raza); „Ce trebuie să știu ca să calculez $R$?" (o latură și unghiul opus ei); „Unde se află centrul cercului circumscris unui triunghi obtuzunghic?" (în exterior); „De ce nicio latură nu poate depăși $2R$?" (pentru că $\sin A\le 1$); „Ce fac dacă știu doar cele trei laturi?" (cosinus, apoi sinus, apoi rază). Semne că a înțeles: scrie din reflex $2R$ în dreapta relației, verifică rezultatul cu inegalitatea $a\le 2R$ și obține aceeași rază din oricare dintre cele trei perechi.

La Bacalaureat, formularea tipică este „calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$", de obicei ca al doilea punct al unei probleme al cărei prim punct cere un unghi obținut cu teorema cosinusului — exact lanțul din Exemplele $4$ și $6$. Merită exersat traseul complet până devine automat: laturi, cosinus, sinus, rază. Lecția se continuă cu rezolvarea triunghiului în cazurile LLL și LUL, unde cele două teoreme încep să lucreze împreună.

Întrebări frecvente

Cum calculez raza cercului circumscris unui triunghi? Cu formula $R=\frac{a}{2\sin A}$, unde $a$ este o latură oarecare și $A$ este unghiul opus ei. Nu ai nevoie de centrul cercului și nici de celelalte elemente ale triunghiului.

De ce raportul este $2R$ și nu $R$? Pentru că se leagă de diametru: în triunghiul dreptunghic, ipotenuza este chiar diametrul cercului circumscris, iar raportul este egal cu ipotenuza. Confuzia dintre $R$ și $2R$ este cea mai frecventă greșeală la această lecție.

Ce fac dacă în problemă am doar cele trei laturi? Afli întâi cosinusul unui unghi cu teorema cosinusului, apoi sinusul lui din formula fundamentală (luând valoarea pozitivă) și abia pe urmă aplici $R=\frac{a}{2\sin A}$.

Contează ce pereche latură–unghi aleg? Nu. Toate cele trei perechi dau exact aceeași valoare, pentru că cercul circumscris este unic. În practică o alegi pe cea la care ai cele mai comode numere.

Unde se află centrul cercului circumscris? La intersecția mediatoarelor laturilor: în interiorul triunghiului dacă el este ascuțitunghic, la mijlocul ipotenuzei dacă este dreptunghic și în exteriorul lui dacă este obtuzunghic.

Cât este raza cercului circumscris unui triunghi echilateral? Pentru latura $\ell$, $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$. De exemplu, pentru $\ell =6$ obții $R=2\sqrt{3}\approx 3,46$.

Poate o latură a triunghiului să fie mai lungă decât diametrul? Nu. Din $a=2R\sin A$ și $\sin A\le 1$ rezultă $a\le 2R$, cu egalitate doar când unghiul opus este drept. Altfel spus, cea mai lungă coardă a unui cerc este diametrul.

Cercul circumscris este același lucru cu cercul înscris? Nu. Cercul circumscris trece prin vârfuri și are centrul în intersecția mediatoarelor; cercul înscris este tangent la laturi și are centrul în intersecția bisectoarelor. În această lecție lucrăm doar cu primul.