Trigonometria în triunghiul dreptunghic: pe scurt

Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit $x$ definim trei rapoarte între laturi: $\sin x=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\cos x=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$ și $\mathrm{tg}x=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$. Cateta alăturată unui unghi este cea care îl formează, împreună cu ipotenuza; cea opusă nu atinge unghiul — confuzia dintre ele este greșeala numărul unu a lecției.

Valorile remarcabile se rețin din memorie: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar cosinusurile sunt aceleași valori citite invers ($\cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }$); $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$.

Unghiurile complementare dintr-un triunghi dreptunghic verifică $\sin (90^{\circ }-x)=\cos x$, iar formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, împreună cu $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, permit aflarea celorlalte valori pornind de la una singură.

Cu aceste unelte poți rezolva un triunghi dreptunghic: afli o latură necunoscută înmulțind ipotenuza (sau cealaltă catetă) cu raportul potrivit, sau afli un unghi când cunoști două laturi. Verifică mereu rezultatul cu teorema lui Pitagora — ipotenuza trebuie să fie cea mai lungă latură.

Toate definițiile funcționează doar în triunghiul dreptunghic. Terenurile reale au, de cele mai multe ori, triunghiuri fără niciun unghi drept — pentru ele avem nevoie de teoremele cosinusului și sinusurilor, din lecțiile următoare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Într-un triunghi dreptunghic $ABC$, cu unghiul drept în $C$, tangenta unghiului $A$ este:

   • a) $\frac{BC}{AC}$
   • b) $\frac{BC}{AB}$
   • c) $\frac{AC}{AB}$
   • d) $\frac{AC}{BC}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{BC}{AC}$

   $\mathrm{tg}A=\frac{\text{opusa˘ lui }A}{\text{ala˘turata˘ lui }A}$. Latura opusă unghiului $A$ este $BC$ (nu atinge vârful $A$), iar cea alăturată este $AC$. Deci $\mathrm{tg}A=\frac{BC}{AC}$.

2. Cât este $\sin 60^{\circ }$?

   • a) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
   • b) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • c) $1$
   • d) $\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

   Valoare remarcabilă de memorat: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$. Nu confunda cu $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ sau cu $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, celelalte două valori remarcabile aflate printre variante.

3. Dacă $x$ este un unghi ascuțit cu $\sin x=0,6$, cât este $\cos (90^{\circ }-x)$?

   • a) $0,8$
   • b) nu se poate determina
   • c) $0,6$
   • d) $0,4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $0,6$

   Din formula unghiurilor complementare, $\cos (90^{\circ }-x)=\sin x=0,6$.