Ce este unghiul de elevație și cum îl folosesc?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Triunghiul dreptunghic, recapitulat

Unghiul de elevație este unghiul dintre orizontală și direcția spre un obiect aflat mai sus decât observatorul. Dacă știi distanța orizontală $d$ până la baza obiectului, înălțimea este $h = d \cdot tg α$ . Exemplu: un proiector luminează vertical baza unui nor, iar un observator aflat la $300$ m vede pata luminoasă sub unghiul $\frac{π}{3}$ . Norul este la $3003 \approx 519, 6$ m înălțime.

Rezolvarea unui triunghi dreptunghic cere două date în afara unghiului drept, dintre care măcar una trebuie să fie o lungime; din ele obții toate laturile și unghiurile. Unghiurile singure dau doar forma, nu și mărimea: triunghiurile cu aceleași unghiuri sunt asemenea.

Pentru a alege raportul, te uiți la cele două laturi care contează: cea cunoscută și cea căutată. Ipotenuza împreună cu o catetă cer sinusul sau cosinusul, două catete cer tangenta. Când ipotenuza e necunoscută, calculul devine o împărțire.

La științe ale naturii, unghiurile apar des în radiani: pi supra șase, pi supra patru, pi supra trei înseamnă treizeci, patruzeci și cinci și șaizeci de grade. Cele două unghiuri ascuțite au suma pi supra doi, iar sinusul unuia este cosinusul celuilalt.

Unghiul de elevație și cel de depresie se măsoară de la orizontală; când doi observatori se privesc, unghiurile lor sunt egale, ca unghiuri alterne interne. Mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris, deci raza este jumătate din ipotenuză.

Verifici totul cu trei reflexe: ipotenuza este latura cea mai lungă, latura mai mare stă în fața unghiului mai mare, iar teorema lui Pitagora se închide.

De reținut

$h = d \cdot tg α$ pentru unghiul de elevație $α$
elevația și depresia se măsoară de la orizontală
două catete: tangenta; ipotenuză și catetă: sinus sau cosinus

Greșeala tipică

Se măsoară unghiul de elevație față de verticală și se folosește tangenta lui; unghiul se ia de la orizontală, altfel rezultatul iese cu tangenta complementului.

Exerciții din această mini-lecție

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $B C = 22$ și $B = \frac{π}{6}$ . Cât este $A C$ ?
- a) $11$
- b) $113$
- c) $223$
- d) $44$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $11$

$A C$ este opusă unghiului $B$ : $A C = 22 sin \frac{π}{6} = 11$ .
Catetele unui triunghi dreptunghic au $20$ și $203$ . Ce măsură are unghiul opus catetei de $203$ ?
- a) $\frac{π}{6}$
- b) $\frac{π}{4}$
- c) $\frac{π}{3}$
- d) $\frac{π}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{π}{3}$

Tangenta unghiului este $\frac{20 3}{20} = 3$ , deci unghiul este $\frac{π}{3}$ .
Dintr-un punct aflat la $30$ m deasupra solului orizontal, un obiect de pe sol se vede sub un unghi de depresie de $\frac{π}{4}$ . La ce distanță pe orizontală este obiectul?
- a) $302$ m
- b) $15$ m
- c) $30$ m
- d) $303$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $30$ m

Depresia de sus este egală cu elevația de jos, iar $tg \frac{π}{4} = 1$ , deci distanța este egală cu înălțimea: $30$ m.

Întrebări conexe

Cum aflu distanța până la o barcă din unghiul de depresie?

Unghiul de depresie se măsoară sub orizontala observatorului aflat sus. De pe un turn de $45$ m, o barcă văzută sub depresia $\frac{π}{6}$ se află la distanța orizontală $\frac{45}{tg \frac{π}{6}} = 453 \approx 77, 9$ m. Înălțimea turnului este cateta opusă unghiului.

Cum aleg între sinus, cosinus și tangentă într-un triunghi dreptunghic?

Te uiți la latura cunoscută și la cea căutată. Dacă printre cele două laturi se află ipotenuza, lucrezi cu sinusul sau cu cosinusul; dacă ambele sunt catete, lucrezi cu tangenta. De exemplu, cu ipotenuza $12$ și unghiul $\frac{π}{6}$ , cateta alăturată este $12 cos \frac{π}{6} = 63$ , iar cea opusă $12 sin \frac{π}{6} = 6$ .

Cât de lungă este umbra unui copac de $8$ m când Soarele e la $\frac{π}{6}$ deasupra orizontului?

Copacul, umbra și raza de lumină formează un triunghi dreptunghic în care înălțimea este cateta opusă unghiului. Umbra este $\frac{8}{tg \frac{π}{6}} = 83 \approx 13, 86$ m. Cu Soarele mai sus, tangenta crește și umbra se scurtează.

Cum verific un triunghi dreptunghic după ce l-am rezolvat?

Folosești trei controale. Ipotenuza trebuie să fie latura cea mai lungă, unghiului mai mare trebuie să i se opună latura mai mare, iar relația lui Pitagora trebuie verificată cu numerele obținute. Pentru laturile $6$ , $63$ și $12$ : $36 + 108 = 144 = 1 2^{2}$ .

În ce raport sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu un unghi de $\frac{π}{3}$ ?

Tangenta unghiului este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată, iar $tg \frac{π}{3} = 3$ . Deci cateta opusă unghiului de $\frac{π}{3}$ este de $3$ ori mai lungă. De exemplu, catetele $5$ și $53$ dau ipotenuza $10$ , dublul catetei mici. Un triunghi dreptunghic cu un unghi de $\frac{π}{6}$ apare la Subiectul I în modelul de bacalaureat M2 pentru 2026.

Oamenii mai întreabă și: unghi de elevație · înălțimea unui obiect din unghiul de elevație · h egal d ori tangenta · cum măsor înălțimea cu un unghi